2010年四川省眉山市中考数学试卷(全解全析)

2010年四川省眉山市中考数学试卷(全解全析)

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1、（2010•扬州）﹣5的倒数是（　　）‎ ‎ A、‎1‎‎5‎ B、5‎ ‎ C、﹣‎1‎‎5‎ D、﹣5‎ 考点：倒数。‎ 分析：根据倒数的定义可知．‎ 解答：解：﹣5的倒数是‎﹣‎‎1‎‎5‎．‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ ‎2、（2010•眉山）化简‎（﹣3）‎‎2‎的结果是（　　）‎ ‎ A、3 B、﹣3‎ ‎ C、±3 D、9‎ 考点：二次根式的性质与化简。‎ 分析：本题可先将根号内的数化简，再开方，根据开方的结果得出答案．‎ 解答：解：‎（﹣3‎‎）‎‎2‎=‎9‎=3．故选A．‎ 点评：本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意式子为（﹣3）2的算术平方根，结果为非负数．‎ ‎3、（2010•眉山）下列运算中正确的是（　　）‎ ‎ A、3a+2a=5a2 B、（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2‎ ‎ C、2a2•a3=2a6 D、（2a+b）2=4a2+b2‎ 考点：平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式。‎ 分析：分别根据合并同类项、平方差公式、同底数幂的乘法及完全平方公式进行逐一计算即可．‎ 解答：解：A、错误，应为3a+2a=5a；‎ B、（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2，正确；‎ C、错误，应为2a2•a3=2a5；‎ D、错误，应为（2a+b）2=4a2+4ab+b2．‎ 故选B．‎ 点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟知以下概念：‎ ‎（1）同类项：所含字母相同，并且所含字母指数也相同的项叫同类项；‎ ‎（2）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；‎ ‎（3）平方差公式：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．‎ ‎（4）完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，叫做完全平方公式．‎ ‎4、（2010•常德）已知⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，则这两圆的位置关系是（　　）‎ ‎ A、相交 B、内含 ‎ C、内切 D、外切 考点：圆与圆的位置关系。‎ 分析：根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．‎ 解答：解：∵⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，4﹣3=1，‎ ‎∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P，外离：P＞R+r；外切：P=R+r；相交：R﹣r＜P＜R+r；内切：P=R﹣r；内含：P＜R﹣r．‎ ‎5、（2010•眉山）把代数式mx2﹣6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是（　　）‎ ‎ A、m（x+3）2 B、m（x+3）（x﹣3）‎ ‎ C、m（x﹣4）2 D、m（x﹣3）2‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用。‎ 分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式m，再对余下的多项式继续分解．‎ 解答：解：mx2﹣6mx+9m，‎ ‎=m（x2﹣6x+9），‎ ‎=m（x﹣3）2．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎6、（2010•眉山）下列命题中，真命题是（　　）‎ ‎ A、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B、等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形 ‎ C、圆的切线垂直于经过切点的半径 D、垂直于同一直线的两条直线互相垂直 考点：命题与定理。‎ 分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．‎ 解答：解：A、错误，例如对角线互相垂直的等腰梯形；‎ B、错误，等腰梯形是轴对称图形不是中心对称图形；‎ C、正确，符合切线的性质；‎ D、错误，垂直于同一直线的两条直线平行．‎ 故选C．‎ 点评：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．‎ ‎7、（2010•眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　）‎ ‎ A、90° B、60°‎ ‎ C、45° D、30°‎ 考点：勾股定理。‎ 分析：根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．‎ 解答：解：根据勾股定理可以得到：AC=BC=‎5‎，AB=‎10‎．‎ ‎∵（‎5‎）2+（‎5‎）2=（‎10‎）2．‎ ‎∴AC2+BC2=AB2．‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形．‎ ‎∴∠ABC=45°．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．‎ ‎8、（2010•眉山）下列说法不正确的是（　　）‎ ‎ A、某种彩票中奖的概率是‎1‎‎1000‎，买1000张该种彩票一定会中奖 B、了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查 ‎ C、若甲组数据的标准差S甲=0.31，乙组数据的标准差S乙=0.25，则乙组数据比甲组数据稳定 D、在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件 考点：概率公式；全面调查与抽样调查；标准差；随机事件；可能性的大小。‎ 分析：根据抽样调查适用的条件、方差的定义及意义和可能性的大小找到正确答案即可．‎ 解答：解：A、某种彩票中奖的概率是‎1‎‎1000‎，只是一种可能性，买1000张该种彩票不一定会中奖，故错误；‎ B、调查电视机的使用寿命要毁坏电视机，有破坏性，适合用抽样调查，故正确；‎ C、标准差反映了一组数据的波动情况，标准差越小，数据越稳定，故正确；‎ D、袋中没有黑球，摸出黑球是不可能事件，故正确．‎ 故选A．‎ 点评：用到的知识点为：破坏性较强的调查应采用抽样调查的方式；随机事件可能发生，也可能不发生；标准差越小，数据越稳定；一定不会发生的事件是不可能事件．‎ ‎9、（2010•眉山）下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：几何体的展开图。‎ 专题：操作型。‎ 分析：三棱锥的四个面都是三角形，还要能围成一个立体图形，可排除C，D，而A不能围成立体图形，故可得答案．‎ 解答：解：A、不组成三棱锥，故不是；‎ B、能组成三棱锥，是；‎ C、组成的是四棱锥，故不是；‎ D、组成的是三棱柱，故不是．‎ 故选B．‎ 点评：主要考查了三棱锥的表面展开图和空间想像能力．‎ ‎10、（2010•眉山）已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（　　）‎ ‎ A、﹣7 B、﹣3‎ ‎ C、7 D、3‎ 考点：根与系数的关系。‎ 分析：根据根与系数的关系，先求出x1+x2与x1x2的值，然后再把它们的值整体代入所求代数式求值即可．‎ 解答：解：根据题意可得x1+x2=﹣ba=5，x1x2=ca=2，‎ ‎∴x1+x2﹣x1•x2=5﹣2=3．‎ 故选D 点评：一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=﹣ba，x1•x2=ca．‎ ‎11、（2010•眉山）打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：函数的图象。‎ 分析：理解洗衣机的四个过程中的含水量与图象的关系是关键．‎ 解答：解：因为进水时水量增加，函数图象的走势向上，所以可以排除B，清洗时水量大致不变，函数图象与x轴平行，排水时水量减少，函数图象的走势向下，排除A，对于C、D，因为题目中明确说明了﹣开始时洗衣机内无水．‎ 故选D．‎ 点评：此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．‎ ‎12、（2010•眉山）如图，已知双曲线y=kx（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C、若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（　　）‎ ‎ A、12 B、9‎ ‎ C、6 D、4‎ 考点：反比例函数系数k的几何意义。‎ 分析：△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=‎1‎‎2‎|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可．‎ 解答：解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），‎ ‎∴D（﹣3，2），‎ ‎∵双曲线y=kx经过点D，‎ ‎∴k=﹣3×2=﹣6，‎ ‎∴△BOC的面积=‎1‎‎2‎|k|=3．‎ 又∵△AOB的面积=‎1‎‎2‎×6×4=12，‎ ‎∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=‎1‎‎2‎|k|．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎13、（2010•眉山）某班一个小组七名同学在为地震灾区“爱心捐助”活动中，捐款数额分别为：10，30，40，50，15，20，50（单位：元）．这组数据的中位数是 （元）．‎ 考点：中位数。‎ 分析：求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．‎ 解答：解：数字按从小到大的顺序排列：10，15，20，30，40，50，50，‎ ‎∴这组数据的中位数是30元．‎ 故填30．‎ 点评：注意找中位数的时候一定要先排好大小顺序，然后再根据奇数和偶数个数据来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．‎ ‎14、（2010•眉山）一元二次方程2x2﹣6=0的解为 ．‎ 考点：解一元二次方程-直接开平方法。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先把式子移项，变成x2=3，从而把问题转化为求3的平方根．‎ 解答：解：2x2﹣6=0，‎ ‎2x2=6，‎ x2=3，‎ x=±‎3‎．‎ 点评：主要考查直接开平方法解方程．‎ ‎（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．‎ 法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．‎ ‎（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．‎ ‎15、（2010•眉山）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠OBC的度数为 度．‎ 考点：圆周角定理。‎ 分析：已知角∠A为圆周角，根据圆周角定理，可求其所对的圆心角∠BOC的度数，因为OB=OC，在△OBC中，根据内角和定理可求∠OBC．‎ 解答：解：∵∠BOC、∠BAC分别是弧BC所对的圆心角、圆周角，‎ ‎∴∠BOC=2∠A=80°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠OBC=（180°﹣∠BOC）÷2=50°．‎ 点评：本题运用圆周角定理将已知角转化，根据半径相等构造等腰三角形，运用内角和定理求解．‎ ‎16、（2010•眉山）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连接各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，…，则得到的第五个图中，共有 个正三角形．‎ 考点：规律型：图形的变化类。‎ 分析：分析数据可得：图①中正三角形的个数是1；图②中正三角形的个数是3+1+1=5；图③中正三角形的个数是5+3+1=9；故第五个图中正三角形的个数是13+3+1=17个．‎ 解答：解：故图⑤中正三角形的个数为 ‎13+3+1=17个．‎ 点评：本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ ‎17、（2010•眉山）已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为 cm2．‎ 考点：圆锥的计算。‎ 分析：利用勾股定理易求得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．‎ 解答：解：∵圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，‎ ‎∴母线长为5cm，‎ ‎∴圆锥的侧面积为2π×4×5÷2=20πcm2．‎ 点评：本题考查圆锥侧面积的求法；注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．‎ ‎18、（2010•眉山）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AD=4，AB=3‎3‎，则下底BC的长为 ．‎ 考点：梯形。‎ 分析：过A作AE∥CD，把梯形分成平行四边形和直角三角形，利用平行四边形的对边相等得到CE=AD，所以BE可以求出，在直角三角形中，根据∠B=30°，利用勾股定理求出BE，BC的长也就可以求出了．‎ 解答：解：如图，过A作AE∥CD交BC于点E，‎ ‎∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，‎ ‎∴CE=AD=4，‎ ‎∵∠B=30°，∠C=60°，‎ ‎∴∠BAE=90°，‎ ‎∴AE=‎1‎‎2‎BE，‎ 在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2，‎ 即BE2=（3‎3‎）2+‎1‎‎4‎BE2，‎ 解得BE=6，‎ ‎∴BC=BE+EC=6+4=10．‎ 点评：通过作腰的平行线，把梯形分成平行四边形和直角三角形，再利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求解，考虑本题的突破口在于两个已知角的和是90°．‎ 三、解答题（共8小题，满分66分）‎ ‎19、（2010•眉山）计算：‎（‎1‎‎3‎）‎‎﹣1‎﹣‎（‎5‎﹣2）‎‎0‎+‎18‎﹣‎‎（﹣2）‎‎2‎‎•‎‎2‎ 考点：实数的运算。‎ 分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：解：原式=3﹣1+3‎2‎﹣4‎‎2‎ ‎=2﹣‎2‎．‎ 点评：本题主要考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎20、（2010•眉山）解方程：‎xx+1‎‎+1=‎‎2x+2‎x 考点：解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：本题的最简公分母是x（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．‎ 解答：解：方程两边都乘x（x+1），‎ 得x2+x2+x=2（x+1）2，‎ 解得：x=﹣‎2‎‎3‎，‎ 检验：当x=﹣‎2‎‎3‎时，x（x+1）≠0，‎ ‎∴x=﹣‎2‎‎3‎是原方程的解．‎ 点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．‎ ‎（3）分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．‎ ‎21、（2010•眉山）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．‎ ‎（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；‎ ‎（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．‎ 考点：菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的性质。‎ 分析：（1）首先可根据DE∥AC、CE∥BD判定四边形ODEC是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得OC=OD，由此可判定四边形OCED是菱形．‎ ‎（2）连接OE，通过证四边形BOEC是平行四边形，得OE=BC；根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形ODEC的面积．‎ 解答：解：（1）四边形OCED是菱形．（2分）‎ ‎∵DE∥AC，CE∥BD，‎ ‎∴四边形OCED是平行四边形，（3分）‎ 又在矩形ABCD中，OC=OD，‎ ‎∴四边形OCED是菱形．（4分）‎ ‎（2）连接OE．由菱形OCED得：CD⊥OE，（5分）‎ ‎∴OE∥BC 又CE∥BD ‎∴四边形BCEO是平行四边形；‎ ‎∴OE=BC=8（7分）‎ ‎∴S四边形OCED=‎1‎‎2‎OE•CD=‎1‎‎2‎×8×6=24．（8分）‎ 点评：本题主要考查矩形的性质，平行四边形、菱形的判定，菱形面积的求法；‎ 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：‎ ‎①定义；‎ ‎②四边相等；‎ ‎③对角线互相垂直平分．‎ ‎22、（2010•眉山）有一个不透明口袋，装有分别标有数字1，2，3，4的4个小球（小球除数字不同外，其余都相同），另有3张背面完全一样、正面分别写有数字1，2，3的卡片．小敏从口袋中任意摸出一个小球，小颖从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张，然后计算小球和卡片上的两个数的积．‎ ‎（1）请你用列表或画树状图的方法，求摸出的这两个数的积为6的概率；‎ ‎（2）小敏和小颖做游戏，她们约定：若这两个数的积为奇数，小敏赢；否则，小颖赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．‎ 考点：游戏公平性；列表法与树状图法。‎ 分析：（1）列举出所有情况，看摸出的这两个数的积为6的情况占总情况的多少即可；‎ ‎（2）看两个数的积为奇数的情况占所有情况的多少即可求得小敏赢的概率，进而求得小颖赢的概率，比较即可．‎ 解答：解：（1）列表如下：‎ 总结果有12种，其中积为6的有2种，‎ ‎∴P（积为6）=‎2‎‎12‎=‎1‎‎6‎；‎ ‎（2）游戏不公平，因为积为偶数的有8种情况，所以概率是‎2‎‎3‎，而积为奇数的有4种情况，概率是‎1‎‎3‎，获胜的概率是不相等的．‎ 游戏规则可改为：若积为3的倍数，小敏赢，否则，小颖赢．‎ 注：修改游戏规则，应不改变已知数字和小球、卡片数量．其他规则，凡正确均给分．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．‎ ‎23、（2010•眉山）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 分析：利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.5即为这幢教学楼的高度AB．‎ 解答：解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=AGFG，‎ ‎∴FG=AGtan∠AFG=AG‎3‎．‎ 在Rt△ACG中，tan∠ACG=AGCG，‎ ‎∴CG=AGtan∠ACG=‎3‎AG．‎ 又CG﹣FG=40，‎ 即‎3‎AG﹣AG‎3‎=40，‎ ‎∴AG=20‎3‎，‎ ‎∴AB=20‎3‎+1.5．‎ 答：这幢教学楼的高度AB为（20‎3‎+1.5）米．‎ 点评：构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．‎ ‎24、（2010•眉山）某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．‎ ‎（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？‎ ‎（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？‎ ‎（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？‎ 考点：一元一次不等式的应用。‎ 分析：（1）0.5×甲种鱼的尾数+0.8×乙种鱼的尾数=3600；‎ ‎（2）0.5×甲种鱼的尾数+0.8×乙种鱼的尾数≤4200；‎ ‎（3）关系式为：甲种鱼的尾数×0.9+乙种鱼的尾数×95%≥6000×93%．‎ 解答：解：（1）设购买甲种鱼苗x尾，则购买乙种鱼苗（6000﹣x）尾．‎ 由题意得：0.5x+0.8（6000﹣x）=3600，‎ 解这个方程，得：x=4000，‎ ‎∴6000﹣x=2000，‎ 答：甲种鱼苗买4000尾，乙种鱼苗买2000尾；‎ ‎（2）由题意得：0.5x+0.8（6000﹣x）≤4200，‎ 解这个不等式，得：x≥2000，‎ 即购买甲种鱼苗应不少于2000尾；‎ ‎（3）设购买鱼苗的总费用为y．‎ 则y=0.5x+0.8（6000﹣x）=﹣0.3x+4800，‎ 由题意，有‎90‎‎100‎x+‎95‎‎100‎（6000﹣x）≥‎93‎‎100‎×6000，‎ 解得：x≤2400，‎ 在y=﹣0.3x+4800中，‎ ‎∵﹣0.3＜0，∴y随x的增大而减少，‎ ‎∴当x=2400时，y最小=4080．‎ 答：购买甲种鱼苗2400尾，乙种鱼苗3600尾时，总费用最低．‎ 点评：根据钱数和成活率找到相应的关系式是解决本题的关键，注意不低于是大于或等于；不超过是小于或等于．‎ ‎25、（2010•眉山）如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．‎ ‎（1）证明：△ACE∽△FBE；‎ ‎（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．‎ 考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定；旋转的性质。‎ 专题：证明题；探究型。‎ 分析：（1）欲证△ACE∽△FBE，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠AEC=∠FEB，此时，再证∠ACC′=∠ABB′即可．‎ ‎（2）欲证△ACE≌△FBE，由（1）知△ACE∽△FBE，只需证明CE=BE，由已知可证∠ABC=∠BCE=α，即证β=2α时，△ACE≌△FBE．‎ 解答：证明：（1）∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，‎ ‎∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分）‎ ‎∴∠CAC′=∠BAB′，‎ ‎∴∠ACC′=∠ABB′，（3分）‎ 又∠AEC=∠FEB，‎ ‎∴△ACE∽△FBE．（4分）‎ 解：（2）当β=2α时，△ACE≌△FBE．（5分）‎ 在△ACC′中，‎ ‎∵AC=AC′，‎ ‎∴∠ACC′=‎180°﹣‎‎∠CAC‎'‎‎2‎=‎180°﹣β‎2‎=90°﹣α，（6分）‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎∠ACC′+∠BCE=90°，即90°﹣α+∠BCE=90°，‎ ‎∴∠BCE=α，‎ ‎∵∠ABC=α，‎ ‎∴∠ABC=∠BCE，（8分）‎ ‎∴CE=BE，‎ 由（1）知：△ACE∽△FBE，‎ ‎∴△ACE≌△FBE．（9分）‎ 点评：本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．‎ ‎26、（2010•眉山）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=‎2‎‎3‎x‎2‎+bx+c经过B点，且顶点在直线x=‎5‎‎2‎上．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；‎ ‎（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．‎ ‎（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．‎ ‎（3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为l的表达式，由此可求出l、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M的坐标．‎ 解答：解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为y=‎2‎‎3‎‎（x﹣‎5‎‎2‎）‎‎2‎+m（1分）‎ ‎∴4=‎2‎‎3‎×‎（﹣‎5‎‎2‎）‎‎2‎+m ‎∴m=﹣‎1‎‎6‎（3分）‎ ‎∴所求函数关系式为：y=‎2‎‎3‎‎（x﹣‎5‎‎2‎）‎‎2‎﹣‎1‎‎6‎=‎2‎‎3‎x‎2‎﹣‎10‎‎3‎x+4（4分）‎ ‎（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，‎ ‎∴AB=OA‎2‎‎+‎OB‎2‎=5‎ ‎∵四边形ABCD是菱形 ‎∴BC=CD=DA=AB=5（5分）‎ ‎∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；（6分）‎ 当x=5时，y=‎2‎‎3‎×52﹣‎10‎‎3‎×5+4=4‎ 当x=2时，y=‎2‎‎3‎×22﹣‎10‎‎3‎×2+4=0‎ ‎∴点C和点D在所求抛物线上；（7分）‎ ‎（3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，‎ 则‎&5k+b=4‎‎&2k+b=0‎；‎ 解得：k=‎4‎‎3‎，b=﹣‎8‎‎3‎；‎ ‎∴y=‎4‎‎3‎x﹣‎8‎‎3‎（9分）‎ ‎∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，‎ ‎∴N点的横坐标也为t；‎ 则yM=‎2‎‎3‎t‎2‎﹣‎10‎‎3‎t+4，yN=‎4‎‎3‎t﹣‎8‎‎3‎，（10分）‎ ‎∴l=yN﹣yM=‎4‎‎3‎t﹣（‎2‎‎3‎t‎2‎﹣‎10‎‎3‎t+4）=﹣‎2‎‎3‎t‎2‎+‎14‎‎3‎t﹣‎20‎‎3‎=﹣‎2‎‎3‎‎（t﹣‎7‎‎2‎）‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎ ‎∵﹣‎2‎‎3‎＜0，‎ ‎∴当t=‎7‎‎2‎时，l最大=‎3‎‎2‎，‎ 此时点M的坐标为（‎7‎‎2‎，‎1‎‎2‎）．（12分）‎ 点评：此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数的应用等知识．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ CJX；huangling；mmll852；lanyuemeng；Linaliu；MMCH；zcx；xinruozai；zhehe；lanchong；lihongfang；bjy；zhjh；liling；py168；wangcen；shenzigang；zhangCF；hbxglhl；路斐斐；cook2360。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日