中考数学复习冲刺专项训练精讲:三角形的基础知识教学课件(初三数学章节复习课件)

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中考数学复习冲刺专项训练精讲:三角形的基础知识教学课件(初三数学章节复习课件)

第四章三角形三角形的基础知识中考数学复习冲刺专项训练精讲 1.三角形的边、角关系:(1)三角形任意两边的和__________第三边,三角形任意两边的差__________第三边;(2)三角形三个内角的和等于________°.直角三角形的两个锐角__________.(3)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的__________.一、考点知识2.等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角__________(简写成“__________”).(2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高__________,简称__________.(3)是轴对称图形,有__________条对称轴(腰与底边不等的等腰三角形).大于小于180互余和相等等边对等角互相重合三线合一一 3.等腰三角形的判定:有_____边相等的三角形是等腰三角形.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也__________(简写成“__________”).4.等边三角形的性质:(1)等边三角形的三条边都________.三个内角都______,并且每一个内角都等于__________°.(2)是轴对称图形,有__________条对称轴.(3)等边三角形的中线、角平分线、高各有__________条.5.等边三角形的判定:三边都__________的三角形是等边三角形.三个角都__________的三角形是等边三角形;有一个角是60°的__________是等边三角形.两相等等角对等边相等相等相等相等相等相等相等等腰三角形 【例1】如图,在△ABC中,∠A=70°,AB=AC,CD平分∠ACB.求∠ADC的度数.【考点1】等边对等角,三角形的内角与外角二、例题与变式解:∵在△ABC中,∠A=70°,AB=AC,∴∠B=∠ACB==55°.又∵CD平分∠ACB,∴∠DCB=∠ACD=27.5°.∵∠ADC为△BCD的外角,∴∠ADC=∠B+∠DCB=82.5° 【变式1】如图,在△ABC中,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,求∠ABD的度数.解:∵在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,∴∠ABC=∠C==70°.又∵BD=BC,∴∠BDC=∠C=70°.∵∠BDC为△BAD的外角,∴∠ABD=∠BDC-∠A=30°. 【考点2】等边三角形的性质【例2】如图,等边三角形ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,过顶点B作直线BF∥DE,边BC与BF所夹锐角∠CBF=20°,求∠α的度数.解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠A=60°.∴∠DBF=60°+20°=80°.∵BF∥DE,∴∠ADE=∠DBF=80°.在△ADE中,∠AED=180°-80°-60°=40°,∴∠α=∠AED=40°. 【变式2】如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数;(2)若CD=2,求DF的长.解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴∠F=90°-∠EDC=30°.(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=2.∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=4. 【考点3】等腰三角形三线合一【例3】如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,D为BC边的中点,E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF.求AE+AF的值.解:连接AD,∵AB=AC,D为BC中点,∴AD⊥BC.∵∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.∴∠BAD=45°,∠CAD=45°.∴AD=BD=CD.∵∠EDF=90°,∴∠EDA+∠ADF=90°,又由AD⊥BC,得∠BDE+∠ADE=90°.∴∠BDE=∠ADF.在△BDE和△ADF中,∠B=∠DAF=45°,BD=AD,∠BDE=∠ADF,∴△BDE≌△ADF.∴BE=AF.∴AE+AF=AE+BE=AB=4. 【变式3】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,M是AB上一点.求证:AM2+BM2=2CM2.解:过C作CD⊥AB于点D,∵∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB,∴∠A=∠B=45°,∠ACD=∠BCD=45°.∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCD.∴AD=BD,BD=CD.即AD=BD=CD.∵CD⊥AB,∴DM2+CD2=CM2.∴在Rt△CMD中,AM2+BM2=(AD-DM)2+(BD+DM)2=2(DM2+CD2)=2CM2. A组1.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果底边是4cm时,那么腰是________cm;(2)如果腰是8cm时,那么底边是________cm;(3)如果一边的长为7cm时,那么另外两边的长分别是__________________________.三、过关训练3.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有(  )A.2个B.3个C.4个D.5个2.有3cm,6cm,8cm,9cm的四条线段,任选其中的三条线段组成一个三角形,则能组成三角形的个数最多有(  )A.1个  B.2个  C.3个  D.4个DC7cm,4cm或5.5cm,5.5cm27 4.如图,在△ABC中,∠A=40°,点D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点.求∠BDC的度数.解:∵D点是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,∴∠CBD=∠ABC,∠BCD=∠ACB.∵∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°,∴∠DBC+∠DCB=70°.∴∠BDC=180°-70°=110°.5.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=35°,∠ACE=60°.求∠A的度数.解:∵∠ACE=60°,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,∴∠ACD=2∠ACE=120°.∵∠ACD=∠A+∠B,∠B=35°,∴∠A=∠ACD-∠B=85°. B组6.如图,已知AB∥CD,BC∥DE.若∠A=20°,∠C=120°,求∠AED的度数.解:延长DE交AB于点F,∵AB∥CD∴∠C+∠B=180°∵∠C=120°,∴∠B=60°.∵BC∥DE,∴∠AFD=∠B=60°.∴∠AED=∠A+∠AFD=80°.7.如图,在△ABC中,AB=AC,点O在△ABC内,OB=OC.求证:AO⊥BC.解:延长AO交BC于点D,∵AB=AC,OB=OC,OA=OA,∴△ABO≌△ACO.∴∠BAO=∠CAO,即∠BAD=∠CAD.∴AD⊥BC,即AO⊥BC. 8.如图,在△ABC中,点O是AC边上的一点.过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于F.(1)求证:EO=FO;(2)若CE=4,CF=3,求EF的长.解:(1)∵CE是∠ACB的平分线,∴∠1=∠2.∵MN∥BC,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴OE=OC.同理可得OF=OC.∴OE=OF.(2)CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠1=∠2,∠4=∠5.∴∠2+∠4=90°.∴∠ECF=∠2+∠4=90°.在Rt△ECF中,由勾股定理,得EF=. C组9.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其右侧作等边三角形APQ.当点P运动到原点O处时,记Q的位置为B.(1)求点B的坐标;(2)求证:当点P在x轴上运动(P不与O重合)时,∠ABQ为定值.解:(1)过点B作BC⊥y轴于点C,∵A(0,2),△AOB为等边三角形,∴AB=OB=OA=2,∠BAO=60°.∴BC=,OC=AC=1,即B(,1).(2)当点P在x轴上运动(P不与O重合)时,不失一般性,∵∠PAQ=∠OAB=60°,∴∠PAO=∠QAB,在△APO和△AQB中,AP=AQ,∠PAO=∠QAB,AO=AB,∴△APO≌△AQB(SAS).∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立.∴当点P在x轴上运动(P不与O重合)时,∠ABQ为定值90°.
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