2020年黑龙江省伊春市中考数学试卷

2020年黑龙江省伊春市中考数学试卷

2020年黑龙江省伊春市中考数学试卷一、选择题（每题3分，满分30分）1．（3分）下列各运算中，计算正确的是　　A．B．C．D．2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是　　A．B．C．D．3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是　　A．6B．7C．8D．94．（3分）一组从小到大排列的数据：，3，4，4，为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是　　A．3.6B．3.8或3.2C．3.6或3.4D．3.6或3.25．（3分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是　　A．B．C．D．且6．（3分）如图，菱形的两个顶点，在反比例函数的图象上，对角线 ，的交点恰好是坐标原点，已知，，则的值是　　A．5B．4C．3D．27．（3分）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是　　A．B．且C．且D．且8．（3分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为　　A．4B．8C．D．69．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买、、三种奖品，种每个10元，种每个20元，种每个30元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案　　A．12种B．15种C．16种D．14种10．（3分）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：①； ②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，是线段的中点．其中正确的结论是　　A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤二、填空题（每题3分，满分30分）11．（3分）信号的传播速度为，将数据300000000用科学记数法表示为　　．12．（3分）在函数中，自变量的取值范围是　　．13．（3分）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　　，使和全等．14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为　　．15．（3分）若关于的一元一次不等式组有2个整数解，则 的取值范围是　　．16．（3分）如图，是的外接圆的直径，若，则　　．17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　　．18．（3分）如图，在边长为4的正方形中，将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为　　．19．（3分）在矩形中，，，点在边上，且，连接，将沿折叠．若点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为　　．20．（3分）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为．过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点．以为边作正方形．．则点的坐标　　． 三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：，其中．22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．（1）将向左平移5个单位得到△，并写出点的坐标；（2）画出△绕点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求△在旋转过程中扫过的面积（结果保留．23．（6分）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点 的坐标．若不存在，请说明理由．24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离（单位：千米）与快递车所用时间（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时． （1）求的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）26．（8分）如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．（1）与的数量关系是　　．（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克为正整数），求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒．（1）线段　　；（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标． 2020年黑龙江省伊春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，满分30分）1．（3分）下列各运算中，计算正确的是　　A．B．C．D．【解答】解：、，正确；、，故此选项错误；、，故此选项错误；、，故此选项错误；故选：．2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是　　A．B．C．D．【解答】解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；．是中心对称图形，故本选项符合题意；．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：．3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是　　 A．6B．7C．8D．9【解答】解：综合主视图与左视图，第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个；第二行第1列最多有3个，第二行第2列最多有1个；所以最多有：（个．故选：．4．（3分）一组从小到大排列的数据：，3，4，4，为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是　　A．3.6B．3.8或3.2C．3.6或3.4D．3.6或3.2【解答】解：从小到大排列的数据：，3，4，4，为正整数），唯一的众数是4，或，当时，这组数据的平均数为；当时，这组数据的平均数为；即这组数据的平均数为3.4或3.6，故选：．5．（3分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是　　A．B．C．D．且 【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，△，解得：．故选：．6．（3分）如图，菱形的两个顶点，在反比例函数的图象上，对角线，的交点恰好是坐标原点，已知，，则的值是　　A．5B．4C．3D．2【解答】解：四边形是菱形，，，，，是等边三角形，点，，，直线的解析式为，直线的解析式为， ，点的坐标为，，点在反比例函数的图象上，，故选：．7．（3分）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是　　A．B．且C．且D．且【解答】解：分式方程，去分母得：，去括号得：，解得：，由分式方程的解为正数，得到，且，解得：且．故选：．8．（3分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为　　 A．4B．8C．D．6【解答】解：四边形是菱形，，，，，，，，菱形的面积，，；故选：．9．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买、、三种奖品，种每个10元，种每个20元，种每个30元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案　　A．12种B．15种C．16种D．14种【解答】解：设购买种奖品个，购买种奖品个，当种奖品个数为1个时，根据题意得，整理得，、都是正整数，，，2，3，4，5，6，7，8； 当种奖品个数为2个时，根据题意得，整理得，、都是正整数，，，2，3，4，5，6；有种购买方案．故选：．10．（3分）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，是线段的中点．其中正确的结论是　　A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤ 【解答】解：如图1中，在上截取，连接．，，，，，，，，，，，，，，，，，，故①正确，如图2中，延长到，使得，则，，，，，，， ，，，，故③错误，的周长，故②错误，设，则，，，，时，的面积的最大值为．故④正确，当时，设，则，在中，则有，解得，，故⑤正确，故选：． 二、填空题（每题3分，满分30分）11．（3分）信号的传播速度为，将数据300000000用科学记数法表示为　　．【解答】解：．故答案为：．12．（3分）在函数中，自变量的取值范围是　　．【解答】解：由题意得，，解得．故答案为：．13．（3分）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　或或等）　，使和全等．【解答】解：添加的条件是：，理由是：在和中 ，，故答案为：．14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为　　．【解答】解：画树状图如图所示：共有20种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于6的有8种结果，摸出的两个小球的标号之和大于6的概率为，故答案为：．15．（3分）若关于的一元一次不等式组有2个整数解，则的取值范围是　　．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，不等式组有2个整数解， 不等式组的整数解为2、3，则，解得，故答案为：．16．（3分）如图，是的外接圆的直径，若，则　50　．【解答】解：连接，如图，为的外接圆的直径，，，．故答案为50．17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　10　．【解答】解：，，解得， 设圆锥的底面半径为，，．故答案为：10．18．（3分）如图，在边长为4的正方形中，将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为　　．【解答】解：如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，，．四边形是正方形，，，，，，，关于对称，，，， ，，，共线，，，，四边形是平行四边形，，，，，的最小值为．19．（3分）在矩形中，，，点在边上，且，连接，将沿折叠．若点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为　或　．【解答】解：分两种情况：①当点落在边上时，如图1所示：四边形是矩形，，将沿折叠．点的对应点落在矩形的边上， ，是等腰直角三角形，，；②当点落在边上时，如图2所示：四边形是矩形，，，将沿折叠．点的对应点落在矩形的边上，，，，，，在和△中，，，△，，即，解得：，或（舍去），，； 综上所述，折痕的长为或；故答案为：或．20．（3分）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为．过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点．以为边作正方形．．则点的坐标　，　．【解答】解：点坐标为，，，，，，，， 同理可得，，由上可知，，当时，．故答案为：，．三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式，当时，原式．22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上． （1）将向左平移5个单位得到△，并写出点的坐标；（2）画出△绕点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求△在旋转过程中扫过的面积（结果保留．【解答】解：（1）如图所示，△即为所求，点的坐标为；（2）如图所示，△即为所求，点的坐标为；（3）如图，，△在旋转过程中扫过的面积为：． 23．（6分）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得，解得．故抛物线的解析式为；（2）二次函数的对称轴是，当时，， 则，点关于对称轴的对应点，设直线的解析式为，则，解得．则直线的解析式为，设与平行的直线的解析式为，则，解得．则与平行的直线的解析式为，联立抛物线解析式得，解得，（舍去）．．综上所述，，． 24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．【解答】解：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是：，，超过全校的平均次数；（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为，所以中位数一定在范围内；（3）该班60秒跳绳成绩大于或等于100次的有：（人，故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是． 25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离（单位：千米）与快递车所用时间（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）【解答】解：（1）设的函数解析式为，由经过，可得：，解得，的解析式为；（2）设的函数解析式为，由经过，可得：，解得，的函数解析式为； 设的函数解析式为，由经过，可得：，解得，的函数解析式为，解方程组得，同理可得，答：货车返回时与快递车图中相遇的时间，；（3），答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为．26．（8分）如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．（1）与的数量关系是　　．（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明． 【解答】解：（1）如图①中，，，，，，，，，，，，，，，，，， 的等腰直角三角形，，，，故答案为．（2）如图②中，结论仍然成立．理由：连接，延长交于点．和是等腰直角三角形，，，，，，，，， ，，、、分别为、、的中点，，，，，，，．27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克为正整数），求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值．【解答】解：（1）依题意，得：，解得：．答：的值为10，的值为14．（2）依题意，得：， 解得：．又为正整数，可以为58，59，60，共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．（3）购买方案1的总利润为（元；购买方案2的总利润为（元；购买方案3的总利润为（元．，利润最大值为520元，即售出甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．依题意，得：，解得：．答：的最大值为．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒．（1）线段　　；（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点 的坐标．【解答】解：（1）长是的根，，四边形是矩形，，，，，，，，，，故答案为：．（2）如图，过点作于，， ，，，，，当时，的面积；当时，点与点重合，，当时，的面积；（3）如图，过点作于，当时，，，或，或，当时，，， ，，点，，当时，同理可求点，，当时，，，或24（不合题意舍去），，点，，综上所述：点坐标为，或，．