山东省淄博市沂源县2020年九年级数学初中学业模拟（一模）试题 解析版

山东省淄博市沂源县2020年九年级数学初中学业模拟（一模）试题 解析版

‎2020年山东省淄博市沂源县中考数学模拟练习试卷 一．选择题 ‎1．计算：﹣3+（﹣5）＝（　　）‎ A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8‎ ‎2．下列计算正确的是（　　）‎ A．x3•x2＝2x6 B．x4•x2＝x8 C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．（x3）2＝x5‎ ‎3．如图，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC∥DE，则∠CAE等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎4．用型号为“大雁DY﹣570”的计算器计算（﹣2）10，按键顺序正确的是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎5．为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了20名同学，结果如下表：‎ 每天使用零花钱（单位：元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 5‎ 人数 ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎ 5‎ 则这20名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（　　）‎ A．3，3 B．3，3.5 C．3.5，3.5 D．3.5，3‎ ‎6．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎7．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为AB边上一点，∠BCE＝15°，且AE＝AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论中：①AC⊥DE；②‎ ‎；③CD＝2DH；④； ⑤S△ADE＝2S△BCE．‎ 正确的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎8．甲车与乙车同时从A地出发去往B地，如图所示，折线O﹣A﹣B﹣C和射线OC分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留36分钟后再继续前往B地，两车同时到达B地，则下列说法：①乙车的速度为70千米/时；②甲车再次出发后的速度为100千米/时；③两车在到达B地前不会相遇；④甲车再次出发时，两车相距60千米．其中正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎9．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（　　）‎ ‎①AC＝5；②∠A+∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD．‎ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④‎ ‎10．某林场计划购买甲、乙两种树苗共6000棵，甲种树苗每棵0.5元，乙种树苗每棵0.8元，相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%．若要使这批树苗的成活率不低于93%，且购买树苗的总费用最低，应选购乙种树苗（　　）‎ A．2000棵 B．2400棵 C．3000棵 D．3600棵 ‎11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x 轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（　　）‎ A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12‎ ‎12．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）‎ A．2015π B．3019.5π C．3018π D．3024π 二．填空题 ‎13．计算：（2+a）（a﹣2）＝　 　．‎ ‎14．化简：+的结果是　 　．‎ ‎15．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是　 　．‎ ‎16．已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为　 　．‎ ‎17.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为　 　．‎ 三.解答题 ‎18.计算：﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|．‎ ‎19.如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，求∠BAD的度数．‎ ‎20.某中学就本校学生对新冠肺炎防控有关知识的了解情况进行了一次随机抽样调查，图①、图②是他们根据采集数据绘制的两幅不完整的统计图（A：了解很少，B：了解一般，C：了解较多，D：了解很多）．请你根据图中提供的信息解答以下问题：‎ ‎（1）求本次抽取的学生人数；‎ ‎（2）先求出B、D两类学生人数，然后将图②补充完整；‎ ‎（3）在扇形统计图中，计算出C部分所对应的扇形圆心角的度数；‎ ‎（4）若该学校共有1200名学生，请估计C类的学生人数．‎ ‎21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．‎ ‎（1）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DB平分∠ADC，AB＝a，AD：DE＝4：1，写出求DE长的思路．‎ ‎22.学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．‎ 以下是小明探究过程，请补充完整：‎ ‎（1）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB∥CD，补充下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是　　（写出一个你认为正确选项的序号即可）；‎ ‎（A）BC＝AD　　（B）AO＝CO ‎（2）将（1）中的命题用文字语言表述为：‎ ‎①命题1　　；‎ ‎②画出图形，并写出命题1的已知和求证；‎ ‎（3）小明进一步探究发现：‎ 若一个四边形ABCD的三个顶点A，B，C的位置如图所示，且这个四边形满足CD＝AB，∠D＝∠B，但四边形ABCD不是平行四边形，画出符合题意的四边形ABCD，进而小明发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．‎ ‎23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴及线段AB的长；‎ ‎（2）抛物线的顶点为P，若∠APB＝120°，求顶点P的坐标及a的值；‎ ‎（3）若在抛物线上存在一点N，使得∠ANB＝90°，结合图象，求a的取值范围．‎ ‎24.已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A ‎（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．‎ ‎（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；‎ ‎（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案与试题解析 一．选择题 ‎1．计算：﹣3+（﹣5）＝（　　）‎ A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8‎ ‎【分析】根据同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加进行计算即可．‎ ‎【解答】解：﹣3+（﹣5）＝﹣（5+3）＝﹣8．‎ 故选：A．‎ ‎2．下列计算正确的是（　　）‎ A．x3•x2＝2x6 B．x4•x2＝x8 C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．（x3）2＝x5‎ ‎【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算方法，以及同底数幂的乘法的运算方法，逐项判断即可．‎ ‎【解答】解：∵x3•x2＝x5，‎ ‎∴选项A不符合题意；‎ ‎ ‎ ‎∵x4•x2＝x6，‎ ‎∴选项B不符合题意；‎ ‎ ‎ ‎∵（﹣x2）3＝﹣x6，‎ ‎∴选项C符合题意；‎ ‎ ‎ ‎∵（x3）2＝x6，‎ ‎∴选项D不符合题意．‎ 故选：C．‎ ‎3．如图，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC∥DE，则∠CAE等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【分析】由直角三角板的特点可得：∠C＝30°‎ ‎，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠CAE的度数．‎ ‎【解答】解：∵∠C＝30°，BC∥DE，‎ ‎∴∠CAE＝∠C＝30°．‎ 故选：A．‎ ‎4．用型号为“大雁DY﹣570”的计算器计算（﹣2）10，按键顺序正确的是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【分析】根据题意，可以写出正确的按键顺序，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：用型号为“大雁DY﹣570”的计算器计算（﹣2）10，按键顺序是：（、（﹣）、2、）、yx、1、0，‎ 故选：D．‎ ‎5．为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了20名同学，结果如下表：‎ 每天使用零花钱（单位：元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 5‎ 人数 ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎ 5‎ 则这20名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（　　）‎ A．3，3 B．3，3.5 C．3.5，3.5 D．3.5，3‎ ‎【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．‎ ‎【解答】解：因为3出现的次数最多，‎ 所以众数是：3元；‎ 因为第十和第十一个数是3和4，‎ 所以中位数是：3.5元．‎ 故选：B．‎ ‎6．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【分析】根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出概率即可．‎ ‎【解答】解：用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb 所以颜色搭配正确的概率是；‎ 故选：B．‎ ‎7．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为AB边上一点，∠BCE＝15°，且AE＝AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论中：①AC⊥DE；②；③CD＝2DH；④； ⑤S△ADE＝2S△BCE．‎ 正确的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】在等腰直角△ADE中，根据等腰三角形三线合一的性质可得AH⊥ED，即AC⊥ED，判定①正确；因为△CHE为直角三角形，且∠HEC＝60°所以EC＝2EH，因为∠ECB＝15°，所以EC≠4EB，所以不成立②错误；根据全等三角形对应边相等可得CD＝CE，再求出∠CED＝60°，得到△CDE为等边三角形，判定③正确；过H作HM⊥AB于M，所以HM∥BC，所以△AMH∽△ABC，利用相似三角形的性质以及底相等的三角形面积之比等于高之比即可判定④正确，设AE＝a，BE＝b，用a，b分别表示S△ADE＝AD•AE＝a2，S△BEC＝×b（b+a）＝，可判定⑤正确，即可求解．‎ ‎【解答】解：∵AD∥BC，∠ABC＝90°‎ ‎∴∠BAD＝90°，‎ 又∵AB＝BC，‎ ‎∴∠BAC＝45°，‎ ‎∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝90°﹣45°＝45°，‎ ‎∴∠BAC＝∠CAD，‎ ‎∴AH⊥ED，‎ 即AC⊥ED，故①正确；‎ ‎∵△CHE为直角三角形，且∠HEC＝60°‎ ‎∴EC＝2EH ‎∵∠ECB＝15°，‎ ‎∴EC≠4EB，‎ ‎∴EH≠2EB；故②错误．‎ ‎∵∠BAC＝∠CAD，‎ 在△ACD和△ACE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACD≌△ACE（SAS），‎ ‎∴CD＝CE，‎ ‎∵∠BCE＝15°，‎ ‎∴∠BEC＝90°﹣∠BCE＝90°﹣15°＝75°，‎ ‎∴∠CED＝180°﹣∠BEC﹣∠AED＝180°﹣75°﹣45°＝60°，‎ ‎∴△CDE为等边三角形，‎ ‎∴∠DCH＝30°，‎ ‎∴CD＝2DH，故③正确；‎ 过H作HM⊥AB于M，‎ ‎∴HM∥BC，‎ ‎∴△AMH∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠DAC＝∠ADH＝45°，‎ ‎∴DH＝AH，‎ ‎∴，‎ ‎∵△BEH和△CBE有公共底BE，‎ ‎∴＝，故④正确，‎ 设AE＝a，BE＝b，‎ ‎∴AB＝a+b，‎ ‎∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠BAC＝∠BCA＝45°，‎ ‎∴AB＝BC＝a+b，‎ ‎∵AE＝AD，∠BAD＝90°，‎ ‎∴DE＝a，S△ADE＝AD•AE＝a2，‎ ‎∵△DCE是等边三角形，‎ ‎∴DE＝DC＝CE＝a，‎ ‎∵EC2＝BC2+BE2，‎ ‎∴（a+b）2+b2＝2a2，‎ ‎∴b2+ab＝，‎ ‎∵S△BEC＝BE×BC，‎ ‎∴S△BEC＝×b（b+a）＝，‎ ‎∴S△ADE＝2S△BEC，故⑤正确，‎ 故选：C．‎ ‎8．甲车与乙车同时从A地出发去往B地，如图所示，折线O﹣A﹣B﹣C和射线OC分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留36分钟后再继续前往B地，两车同时到达B地，则下列说法：①乙车的速度为70千米/时；②‎ 甲车再次出发后的速度为100千米/时；③两车在到达B地前不会相遇；④甲车再次出发时，两车相距60千米．其中正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据速度＝路程÷时间列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：乙车的速度为＝75千米/时，故①错误；‎ 甲车再次出发后的速度为＝100千米/时，故②正确；‎ 由图象知，两车在到达B地前不会相遇，故③正确；‎ ‎∵甲车再次出发时，乙车行驶了75×（1+）﹣60＝120﹣60＝60千米，故④正确，‎ 故选：C．‎ ‎9．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（　　）‎ ‎①AC＝5；②∠A+∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD．‎ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④‎ ‎【分析】当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：根据题意得：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，‎ ‎∴AC＝＝5，‎ ‎①正确，②正确，④正确；③不正确；‎ 故选：B．‎ ‎10．某林场计划购买甲、乙两种树苗共6000棵，甲种树苗每棵0.5元，乙种树苗每棵0.8元，相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%．若要使这批树苗的成活率不低于93%，且购买树苗的总费用最低，应选购乙种树苗（　　）‎ A．2000棵 B．2400棵 C．3000棵 D．3600棵 ‎【分析】直接利用树苗的成活率不低于93%，进而得出不等式，结合树苗价格进而得出答案．‎ ‎【解答】解：设应选购乙种树苗x棵，则购甲种树苗（6000﹣x）棵，‎ 根据题意可得：（6000﹣x）90%+95%x≥93%×6000，‎ 解得：x≥3600，‎ ‎∵甲种树苗每棵0.5元，乙种树苗每棵0.8元，‎ ‎∴乙种树苗购买的数量越小，总费用越低，‎ 故应选购乙种树苗3600棵．‎ 故选：D．‎ ‎11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（　　）‎ A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12‎ ‎【分析】首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），可求得OC的长，进而根据菱形的性质，可求得OB的长，且∠AOB＝30°，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，‎ ‎∵顶点C的坐标为（m，3），‎ ‎∴OE＝﹣m，CE＝3，‎ ‎∴OC＝＝6，‎ ‎∵菱形ABOC中，∠BOC＝60°，‎ ‎∴OB＝OC＝6，∠BOD＝∠BOC＝30°，‎ ‎∵DB⊥x轴，‎ ‎∴DB＝OB•tan30°＝6×＝2，‎ ‎∴点D的坐标为：（﹣6，2），‎ ‎∵反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交D点，‎ ‎∴k＝xy＝﹣12．‎ 故选：D．‎ ‎12．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）‎ A．2015π B．3019.5π C．3018π D．3024π ‎【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．‎ ‎【解答】解：转动一次A的路线长是：，‎ 转动第二次的路线长是：，‎ 转动第三次的路线长是：，‎ 转动第四次的路线长是：0，‎ 转动五次A的路线长是：，‎ 以此类推，每四次循环，‎ 故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π＝6π，‎ ‎2015÷4＝503余3‎ 顶点A转动2015次经过的路线长为：6π×504＝3024π．‎ 故选：D．‎ 二．填空题 ‎13．计算：（2+a）（a﹣2）＝　a2﹣4　．‎ ‎【分析】根据平方差公式求出即可．‎ ‎【解答】解：（2+a）（a﹣2）＝a2﹣4，‎ 故答案为：a2﹣4．‎ ‎14．化简：+的结果是　　．‎ ‎【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝﹣‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝，‎ 故答案为：．‎ ‎15．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是　　．‎ ‎【分析】如图，连接AM，由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，得到△ACM为等边三角形根据AB＝BC，CM＝AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO＝AC＝，OM＝CM•sin60°＝，最终得到BM＝BO+OM．‎ ‎【解答】解：如图，连接AM，‎ 由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，‎ ‎∴△ACM为等边三角形，‎ ‎∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；‎ ‎∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，‎ ‎∴AC＝CM＝2，‎ ‎∵AB＝BC，CM＝AM，‎ ‎∴BM垂直平分AC，‎ ‎∴BO＝AC＝，OM＝CM•sin60°＝，‎ ‎∴BM＝BO+OM＝+，‎ 故答案为：+．‎ ‎16．已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为　23　．‎ ‎【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2﹣a﹣3＝0，b2﹣b﹣3＝0，即a2＝a+3，b2＝b+3，则2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5＝2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5，整理得 ‎2a2﹣2a+17，然后再把a2＝a+3代入后合并即可．‎ ‎【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，‎ ‎∴a2﹣a﹣3＝0，b2﹣b﹣3＝0，即a2＝a+3，b2＝b+3，‎ ‎∴2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5＝2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5‎ ‎＝2a2﹣2a+17‎ ‎＝2（a+3）﹣2a+17‎ ‎＝2a+6﹣2a+17‎ ‎＝23．‎ 故答案为：23．‎ ‎17.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为　 　．‎ ‎【考点】LB：矩形的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EN⊥AB于N点，EN就是所求的线段．‎ ‎【解答】解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EN⊥AB于N点，交AC于M，‎ 则BM+MN的最小值＝EN，‎ ‎∵AB＝10，BC＝5，‎ ‎∴AC＝＝5，‎ ‎∴AC边上的高为，所以BE＝4，‎ ‎∵△ABC∽△ENB，‎ ‎∴，‎ ‎∴EN＝8．‎ 故答案为：8．‎ 三.解答题 ‎18.计算：﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|．‎ ‎【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．‎ ‎【专题】11：计算题．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】首先计算乘方和开方，然后从左向右依次计算，求出算式﹣（4﹣π）0+cos60‎ ‎°﹣|﹣3|的值是多少即可．‎ ‎【解答】解：﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎19.如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，求∠BAD的度数．‎ ‎【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图—基本作图．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出∠C＝∠DAC，再由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，根据∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵由题意可得：MN是AC的垂直平分线．‎ ‎∴AD＝DC．‎ ‎∴∠C＝∠DAC．‎ ‎∵∠C＝30°，‎ ‎∴∠DAC＝30°． ‎ ‎∵∠B＝55°，‎ ‎∴∠BAC＝95°． ‎ ‎∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°．‎ ‎20.某中学就本校学生对新冠肺炎防控有关知识的了解情况进行了一次随机抽样调查，图①、图②是他们根据采集数据绘制的两幅不完整的统计图（A：了解很少，B：了解一般，C：了解较多，D：了解很多）．请你根据图中提供的信息解答以下问题：‎ ‎（1）求本次抽取的学生人数；‎ ‎（2）先求出B、D两类学生人数，然后将图②补充完整；‎ ‎（3）在扇形统计图中，计算出C部分所对应的扇形圆心角的度数；‎ ‎（4）若该学校共有1200名学生，请估计C类的学生人数．‎ ‎【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．‎ ‎【专题】54：统计与概率；65：数据分析观念．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】（1）根据A类学生有5人，占总体的10%，即可求得总人数；‎ ‎（2）根据总人数和B所占的百分比是30%，可以求得B类的人数，然后即可得到D类的人数，从而即可将图②补充完整；‎ ‎（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出C部分所对应的扇形圆心角的度数；‎ ‎（4）根据条形统计图中的数据，可以计算出C类的学生人数．‎ ‎【解答】解：（1）5÷10%＝50（人），‎ 即本次抽取的学生有50人；‎ ‎（2）B类的学生有：50×30%＝15（人），‎ D类的学生有：50﹣5﹣15﹣20＝10（人），‎ 补充完整的图②如右图所示；‎ ‎（3）360°×＝144°，‎ 即在扇形统计图中，计算出C部分所对应的扇形圆心角是144°；‎ ‎（4）1200×＝480（人），‎ 答：C类的学生有480人．‎ ‎21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．‎ ‎（1）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DB平分∠ADC，AB＝a，AD：DE＝4：1，写出求DE长的思路．‎ ‎【考点】M6：圆内接四边形的性质；ME：切线的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】（1）连接OD，直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，进而得出答案；‎ ‎（2）首先证明证明△ABC是等腰直角三角形；其次其次AC的长；再证明ACD∽△AEC，得到AC2＝AD•AE；最后由相似三角形的性质即可求出DE的长．‎ ‎【解答】解：（1）证明：连接OD．‎ ‎∵OD＝CD，‎ ‎∴∠ODC＝∠OCD．‎ ‎∵AC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADC＝∠EDC＝90°．‎ ‎∵点F为CE的中点，‎ ‎∴DF＝CF．‎ ‎∴∠FDC＝∠FCD．‎ ‎∴∠FDO＝∠FCO．‎ 又∵AC⊥CE，‎ ‎∴∠FDO＝∠FCO＝90°．‎ ‎∴DF是⊙O的切线； ‎ ‎（2）①由DB平分∠ADC，AC为⊙O的直径，证明△ABC是等腰直角三角形；‎ ‎②由AB＝a，求出AC的长度为；‎ ‎③由∠ACE＝∠ADC＝90°，∠CAE是公共角，证明△ACD∽△AEC，得到AC2＝AD•AE；‎ ‎④设DE为x，由AD：DE＝4：1，求出DE＝a．‎ 解：∵DB平分∠ADC，‎ ‎∴∠ADB＝∠CDB，‎ ‎∴∠BAC＝∠BCA，‎ ‎∴AB＝BC，‎ ‎∵AC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABC＝90°，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∵AB＝a，‎ ‎∴AC＝a，‎ ‎∵∠ACE＝∠ADC＝90°，∠CAE是公共角，‎ ‎∴△ACD∽△AEC，‎ ‎∴AC：AE＝AD：AC，‎ ‎∴AC2＝AD•AE，‎ 设DE为x，‎ ‎∵AD：DE＝4：1，‎ ‎∴AD＝4x，‎ ‎∴（a）2＝20x2，‎ 解得x＝a．‎ 即DE＝a．‎ ‎22.‎ 学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．‎ 以下是小明探究过程，请补充完整：‎ ‎（1）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB∥CD，补充下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是　　（写出一个你认为正确选项的序号即可）；‎ ‎（A）BC＝AD　　（B）AO＝CO ‎（2）将（1）中的命题用文字语言表述为：‎ ‎①命题1　　；‎ ‎②画出图形，并写出命题1的已知和求证；‎ ‎（3）小明进一步探究发现：‎ 若一个四边形ABCD的三个顶点A，B，C的位置如图所示，且这个四边形满足CD＝AB，∠D＝∠B，但四边形ABCD不是平行四边形，画出符合题意的四边形ABCD，进而小明发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．‎ ‎【考点】L5：平行四边形的性质．‎ ‎【专题】555：多边形与平行四边形；67：推理能力．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】（1）根据四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，补充条件即可判定四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎（2）先将符号语言转化为文字语言，再写出已知、求证和证明过程即可；‎ ‎（3）根据等腰三角形以及轴对称变换即可得到反例，或根据平行四边形以及圆周角定理即可得到反例．‎ ‎【解答】解：（1）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，‎ 若AB∥CD，则当AO＝CO时，四边形ABCD是平行四边形；‎ 故答案为：B；‎ ‎（2）①文字语言表述为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；‎ 故答案为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；‎ ‎②已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD交于点O，AO＝CO．‎ 求证：四边形ABCD是平行四边形．‎ 证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO，‎ ‎∵AO＝CO，‎ ‎∴△AOB≌△COD，‎ ‎∴AB＝CD，‎ 又∵AB∥CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎（3）如图所示，四边形ABCD满足CD＝AB，∠D＝∠B，但四边形ABCD不是平行四边形．‎ ‎23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴及线段AB的长；‎ ‎（2）抛物线的顶点为P，若∠APB＝120°，求顶点P的坐标及a的值；‎ ‎（3）若在抛物线上存在一点N，使得∠ANB＝90°，结合图象，求a的取值范围．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】（1）令y＝0得：ax2+2ax﹣3a＝0，解关于x的方程可求得点A和点B的横坐标，然后可求得AB的长，利用抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴方程；‎ ‎（2）如图1所示，利用抛物线的对称性可知：AH＝2，∠APH＝60°，然后可求得PH＝，从而可的点P的坐标，最后将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值；‎ ‎（3）以AB为直径作⊙H，则点N在⊙H上，当点P在⊙H上或点P在⊙H外时，∠ANB＝90°，故此HP≥2，接下来，依据HP≥2列不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）令y＝0得：ax2+2ax﹣3a＝0，即a（x+3）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣3或x＝1，‎ ‎∴A（﹣3，0）、B（1，0）．‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，AB＝4．‎ ‎（2）如图1所示：‎ 设抛物线的对称轴与x轴交于点H．‎ ‎∵∠APB＝120°，AB＝4，PH在对称轴上，‎ ‎∴AH＝2，∠APH＝60°．‎ ‎∴PH＝．‎ ‎∴点P的坐标为（﹣1，﹣）．‎ 将点P的坐标代入得：﹣＝﹣4a，解得a＝．‎ ‎（3）如图2所示：以AB为直径作⊙H．‎ ‎∵当∠ANB＝90°，‎ ‎∴点N在⊙H上．‎ ‎∵点N在抛物线上，‎ ‎∴点N为抛物线与⊙H的交点．‎ ‎∴点P在圆上或点P在圆外．‎ ‎∴HP≥2．‎ ‎∵将x＝﹣1代入得：y＝﹣4a．‎ ‎∴HP＝4a．‎ ‎∴4a≥2，解得a≥．‎ ‎∴a的取值范围是a≥．‎ ‎24.已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．‎ ‎（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；‎ ‎（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；J4：垂线段最短；KQ：勾股定理；MG：切线长定理；MR：圆的综合题；S9：相似三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】15：综合题；16：压轴题；2C：存在型；32：分类讨论．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】方法一：‎ ‎（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．‎ ‎（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．‎ ‎（3）易证S△PED＝S△PFD．从而有S四边形DEPF＝2S△PED＝DE．由∠DEP＝90°得DE2＝DP2﹣PE2＝DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．‎ 方法二：‎ ‎（1）利用中点公式求出P点坐标，并求出直线DP的解析式．‎ ‎（2）若△DOM∽△ABC时，分类讨论两种情况，求出直线AC的斜率，从而求出M点坐标．‎ ‎（3）由于PE与⊙P相切，因此只需求出PE长度及PD的长度表达式，利用面积公式便可求出四边形DEPF的面积函数，从而求出最小面积S的值．‎ ‎【解答】方法一：‎ 解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．‎ ‎∵PH∥OA，‎ ‎∴△CHP∽△COA．‎ ‎∴＝＝．‎ ‎∵点P是AC中点，‎ ‎∴CP＝CA．‎ ‎∴HP＝OA，CH＝CO．‎ ‎∵A（3，0）、C（0，4），‎ ‎∴OA＝3，OC＝4．‎ ‎∴HP＝，CH＝2．‎ ‎∴OH＝2．‎ ‎∵PH∥OA，∠COA＝90°，‎ ‎∴∠CHP＝∠COA＝90°．‎ ‎∴点P的坐标为（，2）．‎ 设直线DP的解析式为y＝kx+b，‎ ‎∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴直线DP的解析式为y＝x﹣5．‎ ‎（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，‎ ‎∵△DOM∽△ABC，‎ ‎∴＝．‎ ‎∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0，﹣5），‎ ‎∴BC＝3，AB＝4，OD＝5．‎ ‎∴＝．‎ ‎∴OM＝．‎ ‎∵点M在x轴的正半轴上，‎ ‎∴点M的坐标为（，0）‎ ‎②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，‎ ‎∵△DOM∽△CBA，‎ ‎∴＝．‎ ‎∵BC＝3，AB＝4，OD＝5，‎ ‎∴＝．‎ ‎∴OM＝．‎ ‎∵点M在x轴的正半轴上，‎ ‎∴点M的坐标为（，0）．‎ 综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．‎ ‎（3）∵OA＝3，OC＝4，∠AOC＝90°，‎ ‎∴AC＝5．‎ ‎∴PE＝PF＝AC＝．‎ ‎∵DE、DF都与⊙P相切，‎ ‎∴DE＝DF，∠DEP＝∠DFP＝90°．‎ ‎∴S△PED＝S△PFD．‎ ‎∴S四边形DEPF＝2S△PED ‎＝2×PE•DE ‎＝PE•DE ‎＝DE．‎ ‎∵∠DEP＝90°，‎ ‎∴DE2＝DP2﹣PE2．‎ ‎＝DP2﹣．‎ 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：‎ 当DP⊥AC时，DP最短，‎ 此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．‎ ‎∵DP⊥AC，‎ ‎∴∠DPC＝90°．‎ ‎∴∠AOC＝∠DPC．‎ ‎∵∠OCA＝∠PCD，∠AOC＝∠DPC，‎ ‎∴△AOC∽△DPC．‎ ‎∴＝．‎ ‎∵AO＝3，AC＝5，DC＝4﹣（﹣5）＝9，‎ ‎∴＝．‎ ‎∴DP＝．‎ ‎∴DE2＝DP2﹣‎ ‎＝（）2﹣‎ ‎＝．‎ ‎∴DE＝，‎ ‎∴S四边形DEPF＝DE ‎＝．‎ ‎∴四边形DEPF面积的最小值为．‎ 方法二：‎ ‎（1）A（3，0），C（0，4），‎ ‎∵P为AC的中点，∴PX＝＝，PY＝＝2，‎ ‎∴P（，2），‎ ‎∵D（0，﹣5），‎ ‎∴直线DP的解析式为y＝x﹣5．‎ ‎（2）若△DOM与△ABC相似，则∠ODM＝∠OCA或∠ODM+∠OCA＝90°，‎ ‎①当∠ODM＝∠OCA时，则KAC+KDM＝0，‎ ‎∵A（3，0）、C（0，4），‎ ‎∴KAC＝﹣，KDM＝，‎ ‎∵D（0，﹣5），‎ ‎∴lDM：y＝x﹣5，‎ 当y＝0时，x＝，‎ ‎∴M1（，0），‎ ‎②当∠ODM+∠OCA＝90°时，DM⊥AC，‎ ‎∴KDM×KAC＝﹣1，‎ ‎∵KAC＝﹣，∴KDM＝，‎ ‎∵D（0，﹣5），‎ ‎∴lDM：y＝x﹣5，‎ 当y＝0时，x＝，‎ ‎∴M2（，0）．‎ ‎（3）易知lAC：y＝﹣x+4，‎ ‎∵点P在直线AC上，设P（t，﹣t+4），‎ ‎∵D（0，﹣5），‎ ‎∴DP＝＝，‎ ‎∵PE＝AC＝，‎ ‎∴DE＝，‎ 当t＝时，S四边形DEPF有最小值，‎ ‎∴S四边形DEPF＝DE＝．‎