九年级数学上册第二十四章圆24-2点和圆直线和圆的位置关系 切线的判定和性质

九年级数学上册第二十四章圆24-2点和圆直线和圆的位置关系 切线的判定和性质

第 24 章 24.2.2直线与圆（3） 切线的判定和性质 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出． 1 . 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 2. 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？ 生活中的数学 探究： 在⊙ O 中， 作任一条半径 OP ， 过点 P 作 PQ⊥OP PQ 是⊙ O 的切线 已知⊙ O ，过点 P 你能作出它的一条切线吗？你是怎样判断这条直线是⊙ O 的切线的？ O P Q 经过半径的外端且垂于这条半径 的直线是圆的切线。 条件： (1) 经过半径的外端； (2) 垂直于过该点半径； ● O ┐ A l ∵ l ⊥OA ，且 l 经过⊙ O 上 的 A 点 ∴直线 l 是⊙ O 的切线 符号语言表达 圆的切线判定定理： × × × 火眼金睛辨一辨 O r l A O r l A O r l A ● O ┐ A l 1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ） 请你总结一下：圆的切线的判定有几种方法？ 精彩源于发现 1 、如何判定一条直线是已知圆的切线？ (1) 与圆 只有一个公共点 的直线是圆的切线； (2) 到圆心的 距离等于半径 的直线是圆的切线； (3) 过半径外端点且和半径垂直的 直线是圆的切线； (d=r) 知识清单： 1 、矩形的两边长分别为 2.5 和 5 ，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（ ） A 、 0 条 B 、 1 条 C 、 2 条 D 、 3 条 D 2 、已知如图△ ABC 内接于 ⊙ O ，过点 A 作直线 EF ， AB 为直径 , 还需添加的条件是 ____________. 使得 EF 是 ⊙ O 的切线。 F E C O B A O B A C 分析：由于 AB 过⊙ O 上的点 C ，所以连接 OC ，只要证明 ______________ 即可。 证明：连结 OC( 如图 ) 。 ∵ 在△ OAB 中 OA ＝ OB,CA ＝ CB, ∴ AB⊥OC 。 ∵ 直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ∴ AB 是⊙ O 的切线。 已知：直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ，且 OA=OB,CA=CB 求证：直线 AB 是⊙ O 的切线。 AB⊥OC 例题讲解（ 1 ） 已知： O 为∠ BAC 平分线上一点， OD⊥AB 于 D, 以 O 为圆心， OD 为半径作⊙ O 。 求证：⊙ O 与 AC 相切。 O A B C E D 证明：过 O 作 OE⊥AC ，垂足为 E 。 ∵ AO 平分∠ BAC ， OD⊥AB ∴ OE ＝ OD ∵ OD 是⊙ O 的半径 ∴ OE 是⊙ O 的半径 ∴ AC 是⊙ O 的切线。 例题讲解（ 2 ） O B A C O A B C E D 闯关练习 1 与闯关练习 2 的证法有何不同 ? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。 ● O P 1 、已知： P 为⊙ O 外一点，以 OP 为直径作圆交⊙ O 于 A 、 B 两点，连接 PA 、 PB 那么 PA 、 PB 是⊙ O 的切线吗？ A B 证明：连结 OP 。 ∵ AB 为直径 ∴ OB=OA ， BP=PC ， ∴ OP∥AC 。 又∵ PE⊥AC ， ∴ PE⊥OP 。 ∴ PE 为⊙ 0 的切线。 如图 ,△ABC 中，以 AB 为直径的⊙ O 交边 BC 于 P ， BP=PC, PE⊥AC 于 E 。 求证 :PE 是⊙ O 的切线。 O A B C E P 谈谈今天的收获 1. 判定切线的方法有哪些？ 直线 l 与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径 l 是圆的切线 2. 证明圆的切线常用辅助线作法： ⑴ 连半径，证垂直 ⑵ 作垂直，证半径 l 是圆的切线 l 是圆的切线 1. 定义法 : 和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线 . 2. 数量法 ( d=r ): 和圆心距离等于半径的直线是圆的切线 . 3. 判定定理 : 经过半径外端且垂直于这条半径的直线是 圆的切线 . 即 : 若直线与圆的一个公共点已指明 , 则连接这点和圆心 , 说明直线垂直于经过这点的半径 ; 若直线与圆的公共点未指明 , 则过圆心作直线的垂线段 , 然后说明这条线段的长等于圆的半径． 证明直线与圆相切有如下三种途径 : . O A l 思考 将上页思考中的问题反过来 , 如果 l 是⊙ O 的切线 , 切点为 A , 那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢 ? 一定垂直 切线的性质定理 : 圆的切线垂直于过切点的半径 1. 切线和圆只有一个公共点 . 2. 切线和圆心的距离等于半径 . 3. 切线垂直于过切点的半径 . 4. 经过圆心垂直于切线的直线必过切点 . 5. 经过切点垂直于切线的直线必过圆心 . 切线的性质３、４、５可归纳为 : 已知直线满足 a. 过圆心 ,b. 过切点 ,c. 垂直于切线中任意两个 , 便得到第三个结论 . 切线的性质： 思考： 求圆心 A 到 x 轴、 y 轴的距离各是多少 ? y 4: 已知⊙ A 的直径为 6, 点 A 的坐标为 (-3,-4), 则 x 轴与⊙ A 的位置关系是 ____________, y 轴与⊙ A 的位置关系是 _______________. A . (-3,-4) O x B C 4 3 相离 相切 1. 如图 ,AB 是⊙ O 的直径 , 点 D 在 AB 的延长线上 ,BD=OB, 点 C 在圆上 ,∠CAB=30°. 求证 :DC 是⊙ O 的切线 . . A B D C O 方法引导 当已知直线与圆有公共点 , 要证明直线与圆相切时 , 可先连接圆心与公共点 , 再证明连线垂直于直线 , 这是证明切线的一种方法 . 练习 3. 在 Rt△ABC 中 ,∠B=90°,∠A 的平分线交 BC 于 D, 以 D 为圆心 ,DB 长为半径作⊙ D. 试说明 :AC 是⊙ D 的切线 . F E