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文档介绍
2017年湖南省株洲市中考数学试卷
2017年湖南省株洲市中考数学试卷 一、选择题(每小题3分,满分30分) 1.(3分)计算a2•a4的结果为( ) A.a2 B.a4 C.a6 D.a8 2.(3分)如图示,数轴上点A所表示的数的绝对值为( ) A.2 B.﹣2 C.±2 D.以上均不对 3.(3分)如图示直线l1,l2△ABC被直线l3所截,且l1∥l2,则α=( ) A.41° B.49° C.51° D.59° 4.(3分)已知实数a,b满足a+1>b+1,则下列选项错误的为( ) A.a>b B.a+2>b+2 C.﹣a<﹣b D.2a>3b 5.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD=( ) A.145° B.150° C.155° D.160° 6.(3分)下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 7.(3分)株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下,则馆内人数变化最大时间段为( ) 9:00﹣10:00 10:00﹣11:00 14:00﹣15:00 15:00﹣16:00 进馆人数 50 24 55 32 出馆人数 30 65 28 45 A.9:00﹣10:00 B.10:00﹣11:00 C.14:00﹣15:00 D.15:00﹣16:00 8.(3分)三名初三学生坐在仅有的三个座位上,起身后重新就坐,恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为( ) A.) B.) C.) D.) 9.(3分)如图,点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的为( ) A.一定不是平行四边形 B.一定不是中心对称图形 C.可能是轴对称图形 D.当AC=BD时它是矩形 10.(3分)如图示,若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB,则点P为△ABC的布洛卡点.三角形的布洛卡点(Brocard point)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle 1780﹣1855)于1816年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意,1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard 1845﹣1922)重新发现,并用他的名字命名.问题:已知在等腰直角三角形DEF中,∠EDF=90°,若点Q为△DEF的布洛卡点,DQ=1,则EQ+FQ=( ) A.5 B.4 C. D. 二、填空题(每小题3分,满分24分) 11.(3分)如图示在△ABC中∠B= . 12.(3分)分解因式:m3﹣mn2= . 13.(3分)分式方程﹣=0的解为 . 14.(3分)已知“x的3倍大于5,且x的一半与1的差不大于2”,则x的取值范围是 . 15.(3分)如图,已知AM为⊙O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段AB和AC分别交⊙O于点D、E,∠BMD=40°,则∠EOM= . 16.(3分)如图示直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B,当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时,点B运动的路径的长度为 . 17.(3分)如图所示是一块含30°,60°,90°的直角三角板,直角顶点O位于坐标原点,斜边AB垂直于x轴,顶点A在函数y1=(x>0)的图象上,顶点B在函数y2=(x>0)的图象上,∠ABO=30°,则= . 18.(3分)如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧,其图象与x轴交于点A(﹣1,0)与点C(x2,0),且与y轴交于点B(0,﹣2),小强得到以下结论:①0<a<2;②﹣1<b<0;③c=﹣1;④当|a|=|b|时x2>﹣1;以上结论中正确结论的序号为 . 三、解答题(本大题共有8个小题,满分66分) 19.(6分)计算:+20170×(﹣1)﹣4sin45°. 20.(6分)化简求值:(x﹣)•﹣y,其中x=2,y=. 21.(8分)某次世界魔方大赛吸引世界各地共600名魔方爱好者参加,本次大赛首轮进行3×3阶魔方赛,组委会随机将爱好者平均分到20个区域,每个区域30名同时进行比赛,完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐;如图是3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图,求: ①A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例(结果用最简分数表示). ②若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体一致,则根据A区域的统计结果估计在3×3阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数. ③若3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒,求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概率(结果用最简分数表示). 22.(8分)如图示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交于点G,连接CF. ①求证:△DAE≌△DCF; ②求证:△ABG∽△CFG. 23.(8分)如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的 俯角为α其中tanα=2,无人机的飞行高度AH为500米,桥的长度为1255米. ①求点H到桥左端点P的距离; ②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°,求这架无人机的长度AB. 24.(8分)如图所示,Rt△PAB的直角顶点P(3,4)在函数y=(x>0)的图象上,顶点A、B在函数y=(x>0,0<t<k)的图象上,PA∥y轴,连接OP,OA,记△OPA的面积为S△OPA,△PAB的面积为S△PAB,设w=S△OPA﹣S△PAB. ①求k的值以及w关于t的表达式; ②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值,令T=wmax+a2﹣a,其中a为实数,求Tmin. 25.(10分)如图示AB为⊙O的一条弦,点C为劣弧AB的中点,E为优弧AB上一点,点F在AE的延长线上,且BE=EF,线段CE交弦AB于点D. ①求证:CE∥BF; ②若BD=2,且EA:EB:EC=3:1:,求△BCD的面积(注:根据圆的对称性可知OC⊥AB). 26.(12分)已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1, ①当b=1时,求这个二次函数的对称轴的方程; ②若c=﹣b2﹣2b,问:b为何值时,二次函数的图象与x轴相切? ③若二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,与y轴的正半轴交于点M,以AB为直径的半圆恰好过点M,二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F,且满足=,求二次函数的表达式. 2017年湖南省株洲市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题3分,满分30分) 1.(3分)(2017•株洲)计算a2•a4的结果为( ) A.a2 B.a4 C.a6 D.a8 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案. 【解答】解:原式=a2+4=a6. 故选C. 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算,正确掌握运算法则是解题关键. 2.(3分)(2017•株洲)如图示,数轴上点A所表示的数的绝对值为( ) A.2 B.﹣2 C.±2 D.以上均不对 【分析】根据数轴可以得到点A表示的数,从而可以求出这个数的绝对值,本题得以解决. 【解答】解:由数轴可得, 点A表示的数是﹣2, ∵|﹣2|=2, ∴数轴上点A所表示的数的绝对值为2, 故选A. 【点评】本题考查数轴、绝对值,解答本题的关键是明确数轴的特点,会求一个数的绝对值. 3.(3分)(2017•株洲)如图示直线l1,l2△ABC被直线l3所截,且l1∥l2,则α=( ) A.41° B.49° C.51° D.59° 【分析】根据平行线的性质即可得到结论. 【解答】解:∵l1∥l2, ∴α=49°, 故选B. 【点评】本题考查了平行线的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键. 4.(3分)(2017•株洲)已知实数a,b满足a+1>b+1,则下列选项错误的为( ) A.a>b B.a+2>b+2 C.﹣a<﹣b D.2a>3b 【分析】根据不等式的性质即可得到a>b,a+2>b+2,﹣a<﹣b. 【解答】解:由不等式的性质得a>b,a+2>b+2,﹣a<﹣b. 故选D. 【点评】本题考查了不等式的性质,属于基础题. 5.(3分)(2017•株洲)如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD=( ) A.145° B.150° C.155° D.160° 【分析】根据三角形内角和定理求出x,再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和,即可解决问题. 【解答】解:在△ABC中,∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x, ∴6x=180°, ∴x=30°, ∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°, 故选B. 【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识,学会构建方程解决问题,属于基础题. 6.(3分)(2017•株洲)下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论. 【解答】解:∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°, 正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°, 正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°, 正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°, ∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形, 故选A. 【点评】本题考查了正多边形与圆,熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题的关键. 7.(3分)(2017•株洲)株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下,则馆内人数变化最大时间段为( ) 9:00﹣10:00 10:00﹣11:00 14:00﹣15:00 15:00﹣16:00 进馆人数 50[来源:学科网] 24 55 32 30 65 28 45 出馆人数 A.9:00﹣10:00 B.10:00﹣11:00 C.14:00﹣15:00 D.15:00﹣16:00 【分析】直接利用统计表中人数的变化范围得出馆内人数变化最大时间段. 【解答】解:由统计表可得:10:00﹣11:00,进馆24人,出馆65人,差之最大, 故选:B. 【点评】此题主要考查了统计表,正确利用表格获取正确信息是解题关键. 8.(3分)(2017•株洲)三名初三学生坐在仅有的三个座位上,起身后重新就坐,恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为( ) A.) B.) C.) D.) 【分析】画树状图为(用A、B、C表示三位同学,用a、b、c表示他们原来的座位)展示所有6种等可能的结果数,再找出恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数,然后根据概率公式求解. 【解答】解:画树状图为:(用A、B、C表示三位同学,用a、b、c表示他们原来的座位) 共有6种等可能的结果数,其中恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数为3, 所以恰好有两名同学没有坐回原座位的概率==. 故选D. 【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率. 9.(3分)(2017•株洲)如图,点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的为( ) A.一定不是平行四边形 B.一定不是中心对称图形 C.可能是轴对称图形 D.当AC=BD时它是矩形 【分析】先连接AC,BD,根据EF=HG=AC,EH=FG=BD,可得四边形EFGH是平行四边形,当AC⊥BD时,∠EFG=90°,此时四边形EFGH是矩形;当AC=BD时,EF=FG=GH=HE,此时四边形EFGH是菱形,据此进行判断即可. 【解答】解:连接AC,BD, ∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点, ∴EF=HG=AC,EH=FG=BD, ∴四边形EFGH是平行四边形, ∴四边形EFGH一定是中心对称图形, 当AC⊥BD时,∠EFG=90°,此时四边形EFGH是矩形, 当AC=BD时,EF=FG=GH=HE,此时四边形EFGH是菱形, ∴四边形EFGH可能是轴对称图形, 故选:C. 【点评】本题主要考查了中点四边形的运用,解题时注意:平行四边形是中心对称图形.解决问题的关键是掌握三角形中位线定理. 10.(3分)(2017•株洲)如图示,若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB,则点P为△ABC的布洛卡点.三角形的布洛卡点(Brocard point)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle 1780﹣1855)于1816年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意,1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard 1845﹣1922)重新发现,并用他的名字命名.问题:已知在等腰直角三角形DEF中,∠EDF=90°,若点Q为△DEF的布洛卡点,DQ=1,则EQ+FQ=( ) A.5 B.4 C. D. 【分析】由△DQF∽△FQE,推出===,由此求出EQ、FQ即可解决问题. 【解答】解:如图,在等腰直角三角形△DEF中,∠EDF=90°,DE=DF,∠1=∠2=∠3, ∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°, ∴∠QEF=∠DFQ,∵∠2=∠3, ∴△DQF∽△FQE, ∴===, ∵DQ=1, ∴FQ=,EQ=2, ∴EQ+FQ=2+, 故选D 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型. 二、填空题(每小题3分,满分24分) 11.(3分)(2017•株洲)如图示在△ABC中∠B= 25° . 【分析】由直角三角形的两个锐角互余即可得出答案. 【解答】解:∵∠C=90°, ∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣65°=25°; 故答案为:25°. 【点评】本题考查了直角三角形的两个锐角互余的性质;熟记直角三角形的性质是解决问题的关键. 12.(3分)(2017•株洲)分解因式:m3﹣mn2= m(m+n)(m﹣n) . 【分析】先提取公因式m,再运用平方差公式分解. 【解答】解:m3﹣mn2, =m(m2﹣n2), =m(m+n)(m﹣n). 【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式,本题要进行二次分解因式,分解因式要彻底. 13.(3分)(2017•株洲)分式方程﹣=0的解为 x=﹣ . 【分析】根据解方式方程的步骤一步步求解,即可得出x的值,将其代入原方程验证后即可得出结论. 【解答】解:去分母,得4x+8﹣x=0, 移项、合并同类项,得3x=﹣8, 方程两边同时除以3,得x=﹣. 经检验,x=﹣是原方程的解. 故答案为:x=﹣.[来源:学+科+网] 【点评】本题考查了解分式方程,熟练掌握分式方程的解法及步骤是解题的关键. 14.(3分)(2017•株洲)已知“x的3倍大于5,且x的一半与1的差不大于2”,则x的取值范围是 <x≤6 . 【分析】根据题意列出不等式组,再求解集即可得到x的取值范围. 【解答】解:依题意有, 解得<x≤6. 故x的取值范围是<x≤6. 故答案为:<x≤6. 【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法,其简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解). 15.(3分)(2017•株洲)如图,已知AM为⊙O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段AB和AC分别交⊙O于点D、E,∠BMD=40°,则∠EOM= 80° . 【分析】连接EM,根据等腰三角形的性质得到AM⊥BC,进而求出∠AMD=70°,于是得到结论. 【解答】解:连接EM, ∵AB=AC,∠BAM=∠CAM, ∴AM⊥BC, ∵AM为⊙O的直径, ∴∠ADM=∠AEM=90°, ∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50° ∴∠EAM=40°, ∴∠EOM=2∠EAM=80°, 故答案为:80°. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质,圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键. 16.(3分)(2017•株洲)如图示直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B,当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时,点B运动的路径的长度为 π . 【分析】先利用一次函数的解析式可确定A(﹣1,0),B(0,),再利用正切的定义求出∠BAO=60°,利用勾股定理计算出AB=2,然后根据弧长公式计算. 【解答】解:当y=0时,x+=0,解得x=﹣1,则A(﹣1,0), 当x=0时,y=x+=,则B(0,), 在Rt△OAB中,∵tan∠BAO==, ∴∠BAO=60°, ∴AB==2, ∴当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时,点B运动的路径的长度==π. 故答案为π. 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换:熟练掌握旋转的性质,会计算一次函数与坐标轴的交点坐标. 17.(3分)(2017•株洲)如图所示是一块含30°,60°,90°的直角三角板,直角顶点O位于坐标原点,斜边AB垂直于x轴,顶点A在函数y1=(x>0)的图象上,顶点B在函数y2=(x>0)的图象上,∠ABO=30°,则= ﹣ . 【分析】设AC=a,则OA=2a,OC=a,根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标,写出A和B两点的坐标,代入解析式求出k1和k2的值,相比即可. 【解答】解:如图,Rt△AOB中,∠B=30°,∠AOB=90°, ∴∠OAC=60°, ∵AB⊥OC, ∴∠ACO=90°, ∴∠AOC=30°, 设AC=a,则OA=2a,OC=a, ∴A(a,a), ∵A在函数y1=(x>0)的图象上, ∴k1=a•a=, Rt△BOC中,OB=2OC=2a, ∴BC==3a, ∴B(a,﹣3a), ∵B在函数y2=(x>0)的图象上, ∴k2=﹣3aa=﹣3, ∴=﹣; 故答案为:﹣. 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的特征、直角三角形30°的性质,熟练掌握直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半,正确写出A、B两点的坐标是关键. 18.(3分)(2017•株洲)如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧,其图象与x轴交于点A(﹣1,0)与点C(x2,0),且与y轴交于点B(0,﹣2),小强得到以下结论:①0<a<2;②﹣1<b<0;③c=﹣1;④当|a|=|b|时x2>﹣1;以上结论中正确结论的序号为 ①④ . 【分析】根据抛物线与y轴交于点B(0,﹣2),可得c=﹣2,依此判断③;由抛物线图象与x轴交于点A(﹣1,0),可得a﹣b﹣2=0,依此判断①②;由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=,可得x2=2,比较大小即可判断④;从而求解. 【解答】解:由A(﹣1,0),B(0,﹣2),得b=a﹣2, ∵开口向上, ∴a>0; ∵对称轴在y轴右侧, ∴﹣>0, ∴﹣>0, ∴a﹣2<0, ∴a<2; ∴0<a<2; ∴①正确; ∵抛物线与y轴交于点B(0,﹣2), ∴c=﹣2,故③错误; ∵抛物线图象与x轴交于点A(﹣1,0), ∴a﹣b﹣2=0, ∵0<a<2, ∴0<b+2<2, ﹣2<b<0,故②错误; ∵|a|=|b|,二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧, ∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=, ∴x2=2>﹣1,故④正确. 故答案为:①④. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定,△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点. 三、解答题(本大题共有8个小题,满分66分) 19.(6分)(2017•株洲)计算:+20170×(﹣1)﹣4sin45°. 【分析】根据立方根的定义、零指数幂及特殊角的三角函数值求得各项的值,再计算即可. 【解答】解: +20170×(﹣1)﹣4sin45° =2+1×(﹣1)﹣4× =2﹣1﹣2 =﹣1. 【点评】本题主要考查实数的计算及零指数幂和特殊角的三角函数值,掌握立方根的计算、零指数幂的运算法则、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 20.(6分)(2017•株洲)化简求值:(x﹣)•﹣y,其中x=2,y=. 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分后计算得到最简结果,把x与y的值代入计算即可求出值. 【解答】解:原式=•﹣y=﹣=﹣, 当x=2,y=时,原式=﹣. 【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 21.(8分)(2017•株洲)某次世界魔方大赛吸引世界各地共600名魔方爱好者参加,本次大赛首轮进行3×3阶魔方赛,组委会随机将爱好者平均分到20个区域,每个区域30名同时进行比赛,完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐;如图是3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图,求: ①A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例(结果用最简分数表示). ②若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体一致,则根据A区域的统计结果估计在3×3阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数. ③若3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒,求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概率(结果用最简分数表示). 【分析】①由图知1人6秒,3人7秒,小于8秒的爱好者共有4人,进入下一轮角逐的人数比例为4:30; ②因为其他赛区情况大致一致,所以进入下一轮的人数为:600× A区进入下一轮角逐的人数比例; ③由完成时间的平均值和A区30人,得到关于a、b的二元一次方程组,求出a、b,得到完成时间8秒的爱好者的概率. 【解答】解:①A区小于8秒的共有3+1=4(人) 所以A区进入下一轮角逐的人数比例为:=; ②估计进入下一轮角逐的人数为600×=80(人); ③因为A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒, 所以(1×6+3×7+a×8+b×9+10×10)÷30=8.8 化简,得8a+9b=137 又∵1+3+a+b+10=30,即a+b=16 所以 解得a=7,b=9 所以该区完成时间为8秒的爱好者的概率为. 【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.解决本题的关键是根据平均数和各个时间段的人数确定完成时间为8秒的人数.概率=所求情况数与总情况数之比. 22.(8分)(2017•株洲)如图示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交于点G,连接CF. ①求证:△DAE≌△DCF; ②求证:△ABG∽△CFG. 【分析】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF,得到两对边相等,一对直角相等,利用SAS即可得证; ②由第一问的全等三角形的对应角相等,根据等量代换得到∠BAG=∠BCF,再由对顶角相等,利用两对角相等的三角形相似即可得证. 【解答】证明:①∵正方形ABCD,等腰直角三角形EDF, ∴∠ADC=∠EDF=90°,AD=CD,DE=DF, ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF, ∴∠ADE=∠CDF, 在△ADE和△CDF中, , ∴△ADE≌△CDF; ②延长BA到M,交ED于点M, ∵△ADE≌△CDF, ∴∠EAD=∠FCD,即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF, ∵∠MAD=∠BCD=90°, ∴∠EAM=∠BCF, ∵∠EAM=∠BAG, ∴∠BAG=∠BCF, ∵∠AGB=∠CGF, ∴△ABG∽△CFG. 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,以及相似三角形的判定与性质,熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键. 23.(8分)(2017•株洲)如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的 俯角为α其中tanα=2,无人机的飞行高度AH为500米,桥的长度为1255米. ①求点H到桥左端点P的距离; ②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°,求这架无人机的长度AB. 【分析】①在Rt△AHP中,由tan∠APH=tanα=,即可解决问题; ②设BC⊥HQ于C.在Rt△BCQ中,求出CQ==1500米,由PQ=1255米,可得CP=245米,再根据AB=HC=PH﹣PC计算即可; 【解答】解:①在Rt△AHP中,∵AH=500, 由tan∠APH=tanα===2,可得PH=250米. ∴点H到桥左端点P的距离为250米. ②设BC⊥HQ于C. 在Rt△BCQ中,∵BC=AH=500,∠BQC=30°, ∴CQ==1500米, ∵PQ=1255米, ∴CP=245米, ∵HP=250米, ∴AB=HC=250﹣245=5米. 答:这架无人机的长度AB为5米. 【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题,锐角三角函数,矩形判定和性质等知识,解题的关键是灵活应用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 24.(8分)(2017•株洲)如图所示,Rt△PAB的直角顶点P(3,4)在函数y=(x>0)的图象上,顶点A、B在函数y=(x>0,0<t<k)的图象上,PA∥y轴,连接OP,OA,记△OPA的面积为S△OPA,△PAB的面积为S△PAB,设w=S△OPA﹣S△PAB. ①求k的值以及w关于t的表达式; ②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值,令T=wmax+a2﹣a,其中a为实数,求Tmin. 【分析】(1)由点P的坐标表示出点A、点B的坐标,从而得S△PAB=•PA•PB=(4﹣)(3﹣),再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣t,由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案; (2)将(1)中所得解析式配方求得wmax=,代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案. 【解答】解:(1)∵点P(3,4), ∴在y=中,当x=3时,y=,即点A(3,), 当y=4时,x=,即点B(,4), 则S△PAB=•PA•PB=(4﹣)(3﹣), 如图,延长PA交x轴于点C, 则PC⊥x轴, 又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=×3×4﹣t=6﹣t, ∴w=6﹣t﹣(4﹣)(3﹣)=﹣t2+t; (2)∵w=﹣t2+t=﹣(t﹣6)2+, ∴wmax=, 则T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+=(a﹣)2+, ∴当a=时,Tmin=. 【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义及二次函数的性质,熟练掌握反比例系数k的几何意义及配方法求二次函数的最值是解题的关键. 25.(10分)(2017•株洲)如图示AB为⊙O的一条弦,点C为劣弧AB的中点,E为优弧AB上一点,点F在AE的延长线上,且BE=EF,线段CE交弦AB于点D. ①求证:CE∥BF; ②若BD=2,且EA:EB:EC=3:1:,求△ BCD的面积(注:根据圆的对称性可知OC⊥AB). 【分析】①连接AC,BE,由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F=∠AEB,由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC,证出∠AEC=∠F,即可得出结论; ②证明△ADE∽△CBE,得出,证明△CBE∽△CDB,得出,求出CB=2,得出AD=6,AB=8,由垂径定理得出OC⊥AB,AG=BG=AB=4,由勾股定理求出CG==2,即可得出△BCD的面积. 【解答】①证明:连接AC,BE,作直线OC,如图所示: ∵BE=EF, ∴∠F=∠EBF; ∵∠AEB=∠EBF+∠F, ∴∠F=∠AEB, ∵C是的中点,∴, ∴∠AEC=∠BEC, ∵∠AEB=∠AEC+∠BEC, ∴∠AEC=∠AEB, ∴∠AEC=∠F, ∴CE∥BF; ②解:∵∠DAE=∠DCB,∠AED=∠CEB, ∴△ADE∽△CBE, ∴,即, ∵∠CBD=∠CEB,∠BCD=∠ECB, ∴△CBE∽△CDB, ∴,即, ∴CB=2, ∴AD=6, ∴AB=8, ∵点C为劣弧AB的中点, ∴OC⊥AB,AG=BG=AB=4, ∴CG==2, ∴△BCD的面积=BD•CG=×2×2=2. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识;熟练掌握圆周角定理和垂径定理,证明三角形相似是解决问题的关键. 26.(12分)(2017•株洲)已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1, ①当b=1时,求这个二次函数的对称轴的方程; [来源:Zxxk.Com] ②若c=﹣b2﹣2b,问:b为何值时,二次函数的图象与x轴相切? ③若二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,与y轴的正半轴交于点M,以AB为直径的半圆恰好过点M,二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F,且满足=,求二次函数的表达式. 【分析】①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=,即可得出答案; ②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为(,),y由二次函数的图象与x轴相切且c=b2﹣2b,得出方程组,求出b即可; ③由圆周角定理得出∠AMB=90°,证出∠OMA=∠OBM,得出△OAM∽△OMB,得出OM2=OA•OB,由二次函数的图象与x轴的交点和根与系数关系得出OA=﹣x1,OB=x2,x1+x2,=b,x1•x2=﹣(c+1),得出方程(c+1)2=c+1,得出c=0,OM=1,证明△BDE∽△BOM,△AOM∽△ADF,得出,,得出OB=4OA,即x2=﹣4x1,由x1•x2=﹣(c+1)=﹣1,得出方程组,解方程组求出b的值即可. 【解答】解:①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=, 当b=1时,=, ∴当b=1时,求这个二次函数的对称轴的方程为x=.[来源:学科网] ②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为(,), ∵二次函数的图象与x轴相切且c=﹣b2﹣2b, ∴,解得:b=, ∴b为,二次函数的图象与x轴相切. ③∵AB是半圆的直径, ∴∠AMB=90°, ∴∠OAM+∠OBM=90°, ∵∠AOM=∠MOB=90°, ∴∠OAM+∠OMA=90°, ∴∠OMA=∠OBM,[来源:Z&xx&k.Com] ∴△OAM∽△OMB, ∴, ∴OM2=OA•OB, ∵二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0), ∴OA=﹣x1,OB=x2,x1+x2,=b,x1•x2=﹣(c+1), ∵OM=c+1, ∴(c+1)2=c+1, 解得:c=0或c=﹣1(舍去), ∴c=0,OM=1, ∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F,且满足=, ∴AD=BD,DF=4DE, DF∥OM, ∴△BDE∽△BOM,△AOM∽△ADF, ∴,, ∴DE=,DF=, ∴×4, ∴OB=4OA,即x2=﹣4x1, ∵x1•x2=﹣(c+1)=﹣1, ∴,解得:, ∴b=﹣+2=, ∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+1. 【点评】本题是二次函数综合题目,考查了二次函数的性质、二次函数的图象与x轴的交点、顶点坐标、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、根与系数是关系等知识;本题综合性强,有一定难度. 查看更多