北师大版九年级数学上册-6-反比例函数导学案(新版)+平行线分线段成比例导学案+菱形与正方形练习题

北师大版九年级数学上册-6-反比例函数导学案(新版)+平行线分线段成比例导学案+菱形与正方形练习题

北师大版九年级数学上册-6-反比例函数导学案 (新版)+平行线分线段成比例导学案+菱形与正方形练习题 九年级数学上册 1.4.1 角平分线（一）导学案 北师大版 课题 §1.4.1 角平分线（1）学案 课型 新授课 课时 教师 教学 目标 1、通过学习角平分线定理及逆定理的过程，掌握该定理及逆定理，并运用之进行 证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用；2、通过探索与证明，进 一步发展推理意识及能力； 3、证明是严密推理的方法，并培养自身的逆向思维能力。 重点 掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用 难点 掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用 教法 合作探究 学法 合作交流 时间 xx 年 9 月 日 一、 前置 准备 角 平 分 线 的 定 义 ： _______________________ ___ ___ 。 学习困惑记录 二、 讲授 新课 问题 1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是 怎样得到的？你能证明它吗？ 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点 P在 OC 上，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为 D，E。 求证：PD=PE 定理：角平分线上的点到这个角两边的 距离相等。 问题 2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题 吗？如果是，你作证明它？ 学习困惑记录 O D A P E B C 已知：如图，点 P在射线 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为 D，E，且 PD=PE。 求证：OC 是∠AOB 的角平分线 定理：在一个角的内部，且到角的两边 距离相等的点，在这个角的平分线上。 三、合作交流：（做一做）用尺规作已知角的平分线 已知：∠AOB 求作：射线 OC，使∠AOC=∠BOC。 四、例题解析： 如图，已知 AD 为△ABC 的角平分线，∠B=90°，DF ⊥AC，垂足为 F，DE=DC， 求证：BE=CF [分析]要证 BE=CF，只需证△ADE≌△FDC 三、 应用 、当堂训练： 1、如图在△ABC 中 AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB 于 R，PS⊥ 随时纠错 O D A P E B C 深化 AC 于 S，则三个结论： ①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△QSP 中（ ） A 全部正确 B：仅①和②正确 C：仅①正确 D： 仅①和③正确。 2、在△ABC 中∠C=90°，∠A的平分线交 BC 于 D，BC=CM， BD：DC：=4：3，则点 D 到 AB 的距离为___________。 3、在 RT△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D， DE 是是 斜边 AB 的垂 直平 分线 ，且 DE=1CM ，则 AC=_________. 课下训练： 1、OM 平分∠BOA，P 是 OM 上的任意一点，PD⊥OA，PE ⊥OB，垂足分别为 D、E，下列结论中错误的是（ ） A、PD=PE B、OD=OE C、∠DPO=∠EPO D、PD=OD 2、如图所示，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为 E，DF ⊥AC，垂足为 F， 则下列结论不正确的是（ ） A、△AEG≌△AFG B、△AED≌△AFD C、△DEG≌△DFG D、△BDE≌△CDF 3、△ABC 中, ∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 O，连结 AO，若∠OBC=25°， ∠OCB=30°，则∠OAC=_____________° 4、与相交的两直线距离相等的点在（ ） A、一条直线上 B、一条射线上 C、两条互相垂直的直 线上 D、以上都不对 5、∠AOB 的平分线上一点 M，M 到 OA 的距离为 2CM，则 M到 OB 的距离为____________。 6、在 RT△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线， 若 BC=16，BD=10，则 D 到 AB 的距离是________。 7、已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD=CD，DE⊥AB ，DF⊥AC，垂足分别为 E，F。 求证：EB=FC 8、如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，作 AB 的 垂直平分线，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE，则 BE 平分∠ABC。请证明这一结论，你有几种证明方法？ C A B FE A B C D E 9、如图在两条交叉的公路 L1 与 L2 之间有两家工厂 A、 B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离 相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站 的地址吗？请试试。 中考真题： 如图，梯形 ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD、BC 的延长线 相交于 G，CE⊥AG 于 E，CF⊥AB 于 F， （1）请写出图中 4 组相等的线段（已知的相等线段除 外） （2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们 相等的理由。 三、 小结 反馈 课后 反思 4.2 平行线分线段成比例 1.了解平行线分线段成比例定理. 2.会用平行线分线段成比例定理解决实际问题. 阅读教材 P82-83，自学“例”，掌握平行线分线段成比例定. 自学反馈 学生独立完成后集体订正 ①如图，l1、l2分别被 l3,l4,l5所截,且 l3∥l4∥l5，则 AB 与 对应，BC 与 对应，DF 与 对应； AB BC = ( ) ( ) ，  ( )   AB = (    ) DF ， AB DE = ( ) (          ) = ( ) (          ) . ②如图所示，已知 AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( ) A. AD DF = BC CE B. BC CE = DF AD C. CD EF = BC BE D. CD EF = AD AF 找准对应线段是关键. 活动 1 小组讨论 例 1 如图，在△ABC 中，E，F 分别是 AB 和 AC 上的点，且 EF∥BC。 （1）如果 AE=7 ，EB=5，FC=4.那么 AF 的长是多少？ （2）如果 AB=10 ，AE=6，AF=5.那么 FC 的长是多少？ 例 2 如图所示，如果 D，E，F 分别在 OA，OB，OC 上，且 DF∥AC，EF∥BC．求证：OD∶OA ＝OE∶OB 活动 2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.如图，已知 AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ） A． AD DF = BC CE B． BC CE = DF AD C． CD EF = BC BE D． CD EF = AD AF 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 2. 如图，△ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，且 DE∥BC，若 AE:EC=1:2，AD=6，则 AB 的长 为（ ） A.18 B.12 C.9 D.3 3.如图，已知在△ABC 中，点 D，E，F 分别是边 AB，AC，BC 上的点，DE∥BC，EF∥AB，且 AD∶DB＝3∶5，那么 CF∶FB＝( ) A. 5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．5∶3 4.如图，l1∥l2∥l3，直线 a，b与 l1、l2、l3分别相交于 A、B、C 和点 D、E、F．若 = ， DE=4，则 EF 的长是 ． 第 4题图 第 5 题图 5.如图， 321 //// lll ，AM＝2，MB＝4，CN＝1.5，则 ND＝______. 6．（2015•漳州）如图，AD∥BE∥CF，直线 l1，l2与这三条平行线分别交于点 A，B，C和点 D，E，F， BC AB = 3 2 ，DE=6，则 EF= ． 第 6 题图 第 7 题图 7.如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5cm，则线段 BF 的长为_________cm． 8.如图，已知：△ABC 中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，求 AC 的长． 9.如图所示，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 分别交这三条直线于点 A，B，C，直线 DF 分别交 这三条直线于点 D，E，F，若 AB=3，DE= 2 7 ，EF=4，求 BC． 活动 3 课堂小结 平行线分线段成比例定理： (1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段） (2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例. 教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分. 【预习导学 1】 自学反馈 ①DE EF AC     DE EF AB AC（ ） = DE DF （ ） BC EF （ ） （ ） = AC DF （ ） （ ） ②A 【合作探究 1】 活动 2 跟踪训练 1.A 2.A 3. D 4. 6 5.3 6.9 7.10 8.∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴  AD AE BD EC  . 又∵AD=3，DB=6，AE=2， ∴ 3 2  6 EC  . 解得 EC=4． ∴AC=AE+EC=6. 9.∵直线 1l ∥ 2l ∥ 3l ，且 AB=3，DE= 2 7 ，EF=4， ∴根据平行线分线段成比例定理可得 AB BC = DE EF ， 即 BC= DE EF ·AB= 3 2 7 4  = 7 24 ． 第六章《反比例函数》 【学习目标】 1、巩固反比例函数的概念，会求反比例函数表达式并能画出图象． 2、巩固反比例函数图象的变化其及性质并能运用解决某些实际问题． 【学习重点】反比例函数的定义、图像性质。 【学习难点】反比例函数增减性的理解。 【学习过程】 一、基础知识梳理 （一）、反比例函数的概念: 一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可表示成 的形式，那么称 y是 x的反 比例函数。反比例函数有三种表达方式： 、 、 。 注意：反比例函数的自变量 x 不能为 。 （二）、绘制反比例函数凸显的基本步骤 、 、 。 （三）、反比例函数的图象和性质： 1、反比例函数的图象是两支双曲线： 当 k>0 时，两支曲线分别位于 内，在每一象限内，y 的值随 x 值的 而减小； 当 k<0 时，两支曲线分别位于 内，在每一象限内，y 的值随 x 值的 而增大. 2、反比例函数的图象不与坐标轴相交原因：因为 ，所以和 x 轴没有交点；因 为 ，所以和 y 轴没有交点. 3、反比例函数的图象 原点（填 经过 或者不经过）. 4、反比 例函数的图象自身是轴对称图形，它有两条对称轴对称轴直线解析式 为 ；图象也是关于 的中心对称图形。 5、在一个反比例函数图象上任取两点 P，Q，分别过 P，Q 作 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴 围成的矩形面积为 S1,S2，则有 S1＝S2 = . （四）、确定反比例函数关系式的方法：待定系数法 找 对 x 与 y 的对应值或者图像上任一点的坐标即可 （五）、反比例函数和正比例函数的图像的关系： 正比例函数 反比例函数 解析 式 ___________________ ____________________________ 图像 直线 位置 k＞0， 象限 k＜0， 象限 k＞0， 象限 k＜0， 象限 增减 性 k＞0，y 随 x 的增大而 k＜0，y 随 x 的增大而 k＞0，在每个象限 y 随 x 的增大而 k＜0，在每个象限 y随 x的增大而 二、典型例题 例 1、如图，直线 y=x+1 和 y=﹣x+3 相交于点 A，且分别与 x轴 交于 B，C 两点，过点 A 的双曲线 y= （x＞0）与直线 y= ﹣ x+3 的另一交点为点 D． （1）求双曲线的解析式； （2）求△BCD 的面积． 例 2、如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是矩形，AD∥x 轴，A（﹣3， ），AB=1， AD=2． （1）直接写出 B、C、D 三点的坐标； （2）将矩形 ABCD 向右平移 m个单位，使点 A、C 恰好同时落在反比例函数 y= （x＞0）的 图象上，得矩形 A′B′C′D′．求矩形 ABCD 的平移距离 m 和反比例函数的解析式． 例 3、如图，直线 y=ax+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，与双曲线 y= （x＞0）相交 于点 P，PC⊥x 轴于点 C，且 PC=2，点 A 的坐标为（﹣2，0）． （1）求双曲线的解析式； （2）若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点，且 QH⊥x 轴于 H，当以点 Q、C、H为顶点的三角 形与△AOB 相似时，求点 Q 的坐标． 例 4、如图，已知反比例函数 y= （k＞0）的图象经过点 A（1，m），过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B，且△AOB 的面积为 1．（1）求 m，k 的值；（2）若一次函数 y=nx+2（n≠0）的图象与反比 例函数 y= 的图象有两个不同的公共点，求实数 n 的取值范围． 三、巩固训练 （一）选择题 1、下列函数中，反比例函数是（ ） A、 1)1( yx B、 1 1   x y C、 2 1 x y  D、 x y 3 1  2、函数 x ky  的图象经过点（－4，6），则下列各点中在 x ky  图象上的是（ ） A、（3，8） B、（3，－8） C、（－8，－3） D、（－4，－6） 3、已知反比例函数的图像经过点（a，b ），则它的图像一定也经过（ ） A、(－ a ,－b ) B、(a ,－b ) C、(－ a，b ) D、（0，0） 4、已知反比例函数的图象经过点 ( 2 1)P  ，，则这个函数的图象位于（ ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 5、若反比例函数 22 )12(  mxmy 的图像在第二、四象限，则m 的值是（ ） A、－1或 1 B、小于 2 1 的任意实数 C、－1 Ｄ、不能确定 （二）填空题 1、函数 1y x a   ，当 2x  时没有意义，则 a的值为 2、如图 8，若点 A在反比例函数 ( 0)ky k x   的图象上，AM x 轴于点 M ， AMO△ 的 面积为 3，则 k  ． 3、对于函数 y= x 2 ，当 x>0 时，y_______0，这部分图象在第______象限；对于 y＝- x 2 ，当 x<0 时，y____这部分图象在第_____象限. 4、反比例函数 x ky  的图像经过（－ 2 3 ，5）点、（a，－3）及（10，b ）点，则 k ＝ ， a＝ ，b ＝ ； 5、已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（-2，3）则 m 的值为 ． 6、如图 9，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M 的直线 l∥y 轴，且直 线 l 分别与反比例函数 y= （x＞0）和 y= （x＞0）的图象交于 P、Q 两点，若 S△POQ=14，则 k的值为__________． （三）简答题 1、如图，已知一次函数 y kx b  的图象交反比例函数 4 2my x   （ 0x  ）的图象于点 A、 B ，交 x轴于点C 。（1）求m 的取值范围； （2）若点 A的坐标是（2， 4 ）， 且 1 3 BC AB  ，求m 的值和一次函数的解析式。 2、如图，已知 A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图 象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 AB 与 x轴的交点 C 的坐标及△AOB 的面积； （3）求方程 kx+b﹣ ＜0的解集（请直接写出答案）． 3、如图，反比例函数 y= （k＞0）与正比例函数 y=ax 相交于 A（1，k），B（﹣k，﹣1）两 点． （1）求反比例函数和正比例函数的解析式； （2）将正比例函数 y=ax 的图象平移，得到一次函数 y=ax+b 的图象，与函数 y= （k＞0） 的图象交于 C（x1，y1），D（x2，y2），且|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5，求 b 的值． 4、如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，A、C 分别在坐标轴上， 点 B 的坐标为（4，2），直线 x+3 交 AB，BC 分别于点 M，N，反比例函数 的图象经过点 M，N． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 在 y 轴上，且△OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等，求点 P的坐标． 5、已知反比例函数 x ky 2  和一次函数 y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a,b），（a+1， b+k）两点. （1）求反比例函数的解析式； （2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标； （3）利用（2）的结果，请问：在 x 轴上是否存在点 P，使△AOP 为等腰三角形？若存在， 把符合条件的 P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由. 矩形、菱形与正方形 一、选择题 1．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线 交对角线 AC 于点 F，垂足为 E，连接 DF，则∠CDF 等于 （ ）．A．50° B．60° C．70° D．80° 2.如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，把 ADE 沿 AE 对折，点 D 的对称点 F 恰好落在 BC 上，已知折痕 10 5AE  cm，且 3tan 4 EFC  ，那么该矩形的周长为（ ） A．72 cm B．36cm C．20cm D．16cm 3.如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上，△AEF 是等边三角形，连 接 AC 交 EF 于 G，下列结论：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC 垂直平分 EF， ④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有( )个 A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列命题中，真命题是( )A.对角线相等的四边形是等腰梯形 B.对角 线互相垂直且平分的四边形是正方形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.四个 角相等的边形是矩形 5.如图，把一个 长方形的纸片按图示对 折两次，然后剪 下一部分，为了得到一个 钝角为 120° 的菱形，剪口与第二次折 痕所成角的度 数应为（ ） A．15°或 30° B．30°或 45° C．45°或 60° D．30°或 60° (第 2 题) 6．如图，边长为 6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别 为 S1、S2，则 S1+S2的值为（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 7.如图，菱形 ABCD中， 60B  ， 4AB  ，则以 AC 为边长的 正方形 ACEF 的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．17 8．如图，在矩形 ABCD 中，AB＜BC，AC，BD 相交于点 O，则图中 等腰三角形的个数是（ ）A．8 B．6 C．4 D．2 9.下列命题中，正确的是（ ）A．平行四边形的对角线相等 B．矩 形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．梯形的 对角线相等 10.顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（ ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．直角梯形 11．下列命题中的真命题是（ ）A．三个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．顺次连接矩形四 边中点得到的四边形是菱形 D．正五边形既是轴对称图形又是 中心对称图形 12．如图，E、F分别是正方形 ABCD 的边 CD、AD 上的点，且 CE=DF， AE、BF 相交于点 O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE； S2 S1 F （第 12 题图） A B C D O E B A C D F E 60 （第 7 题图） （4） AOB DEOFS S  四边形 中正确的有( ） A．4 个 B．3个 C．2个 D．1 个 13．如图，矩形 ABCD 的面积为 20cm2 ，对角线交于点 O；以 AB、AO 为邻边做平 行四边形 AOC1B，对角线交于点 O1；以 AB、AO1为邻边做平行四边形 AO1C2B；…； 依此类推，则平行四边形 AO4C5B 的面积为（ ）A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2 14.如图，在矩形 ABCD 中，AD=2AB，点 M、N 分别在边 AD、BC 是， 连接 BM、DN，若四边形 MBND 是菱形，则 MD AM 等于（ ） A． 8 3 B． 3 2 C． 5 3 D． 5 4 15.下列说法正确的是（ ）A．对角线相等且互相垂直的四边形 是菱形 B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C．对角线互相垂直 的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 16.如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB 于点 H，且 DH与 AC 交于 G，则 GH=（ ） A． B． C． D． 17．在平面中，下列命题为真命题的是（ ）A．四个角相等的四 边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C． 对 角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形 18．如图 4，菱形 ABCD 中，点 M，N 在 AC 上，ME⊥AD，NF⊥AB. 若 NF = NM = 2，ME = 3，则 AN = （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．（2013 河 北 省 ，12，3 分）如已知：线段 AB，BC，∠ABC = 90°. 求作： 矩形 ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业： 对于两人的作业，下列说法正确的是 A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 对于两人的作业，下列说法正确的是( ) A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 二、填空题 B C D A 第14题图 M N 1．如图 6，Rt△ABC 的斜边 AB=16, Rt△ABC 绕点 O顺时针旋转后得到 CBARt  ， 则 CBARt  的斜边 BA  上的中线 DC  的长度为_____________ . 2.如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和CD上，下列结论：①CE＝CF②∠AEB＝75 0 ③BE+DF＝EF④S正方形ABCD＝2+ 3， 其中正确的序号是 。（把你认为正确的都填上） 3．对角线互相___________的平行四边形是菱形. 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，顶点 A，C 分别在 x，y 轴的正半轴上．点 Q 在对角线 OB 上，且 OQ＝OC，连接 CQ 并延长 CQ交边 AB 于点 P，则点 P的坐标为( ， )． 5．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，将△ADE 沿 AE 折叠后得到△AFE， 且点 F 在矩形 ABCD 内部．将 AF 延长交边 BC 于点 G．若 1CG GB k  ，则 AD AB  （用 含 k的代数式表示）． 6.矩形的两邻边长的差为 2，对角线长为 4，则矩形的面积为 ． 7．如图，菱形 ABCD 中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E， F，连接 EF，则△AEF 的面积是_________________． 8.如 图， 正方 形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 BC 上，四边形 EFCB 也是正方形，以 B为圆心，BA 长为 半径画弧 AC，连结 AF,CF 则图中阴影部分面积为__________. 9.矩形的外角和等于__________度 10.如图(六)所示，将△ABC 绕 AC 的中点 O 顺时针旋转 180°得到△CDA，添加 一个条件______________，使四边形 ABCD 为矩形. 11．如图，矩形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，连接 DE 和 BF，分别 取 DE、BF 的中点 M、N，连接 AM，CN，MN，若 AB=2 2，BC=2 3，则图中阴影 部分的面积为 ． 图（六） O A B D C 12．如图，在正方形 ABCD 中，E是 AB 上一点，BE=2，AE=3BE，P 是 AC 上一动 点，则 PB+PE 的最小值是 ． 14. 如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 A’B’C’D’的位置，旋转角为 (0<<90)。若 1=110，则= 。 15 . 如图，将菱形纸片 ABCD 折迭，使点 A 恰好落在 菱形的对称中心 O 处，折痕为 EF。若菱形 ABCD 的边长 为 2 cm， A=120，则 EF= cm。 16．如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且 OB＝ OD，请你添加一个适当的条件 ____________，使 ABCD 成为菱形．（只需添加一 个即可） 17.如图，正方形 ABCD 的边长为 3， 点 E，F分别在边 AB，BC 上， AE=BF=1，小球 P从点 E出发沿直线向点 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球 P第一 次碰到点 E 时，小球 P与正方形的边碰撞的次数为 6 ，小球 P所经过的路程 为 ． 18.如图，四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都是菱形，其中点 C 在 AF 上，点 E，G 分 别在 BC，CD 上，若∠BAD=135°，∠EAG=75°，则 AE AB =__________ 19.对正方形 ABCD 进行分割，如图 1，其中 E、F 分别是 BC、CD 的中点，M、N、 G分别是 OB、OD、EF 的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可 以拼出很多图案，图 2 就是用其中 6 块拼出的“飞机”。若△GOM 的面积为 1， 则“飞机”的面积为 20.已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8，M、N分别是边 BC、CD 的中点， P是对角线 BD上一点，则 PM+PN 的最小值= 5 ． 21．如图所示，菱形 ABCD 的边长为 4，且 AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，∠B=60°， 则菱形的面积为 . 22．如图，矩形 ABCD中， 3, 4AB BC  ,点 E 是 BC 边上一点，连接 AE ，把 B 沿 AE 折叠，使点B 落在点 'B 处，当△ 'CEB 为直角三角形时， BE 的长为 23．如图。矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 0，过点 O作 OE⊥AC 交 AB 于 E, 若 BC=4，△AOE 的面积为 5，则 sin∠BOE 的值为 ． A B C D B’ 1 C’ D’ 三、解答题 1.如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD 上的点，AE＝CF，连接 EF、BF， EF 与对角线 AC交于点 O，且 BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．（1）求证：OE＝OF；（2） 若 BC＝ 2 3，求 AB 的长． 2.如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 相交于点 O，DH⊥AB 于 H，连接 OH，求证：∠DHO＝∠DCO． 3．如图，点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点，连接 DP 并延长 DP 交边 AB 于点 E，连接 BP 并延长 BP 交边 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G．（1）求证： △APB≌△APD；（2）已知 DF︰FA＝1︰2， 设线段 DP 的长为 x，线段 PF 的长为 y．① 求 y 与 x 的函数关系式；②当 x＝6 时，求 线段 FG 的长． 4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，点 D 在边 AB 上，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°至 CE 位置，连接 AE．（1）求证：AB⊥AE；（2）若 BC2=AD·AB，求证：四边形 ADCE为正方形． 5.如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点。BE=2DE，延长 DE 到点 F， 使得 EF=BE，连接 CF.（1）求证：四边形 BCFE 是菱形；（2）若 CE=4，∠BCF=120°， 求菱形 BCFE 的面积. 6．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平 行线交 BE 的延长线于点 F，连接 CF．（1）求证：AF＝DC；（2）若 AB⊥AC，试判 断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论． 7．如图 8，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 相交于 O,AB=5,AO=4,求 BD 的 长. 8．（1）如图 1，已知△ABC，以 AB、AC 为边向△ABC 外做等边△ABD 和等边△ ACE，连接 BE，CD。请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法， 保留作图痕迹） （2）如图 2，已知△ABC，以 AB、AC为边向外做正方形 ABFD 和正方形 ACGE。 连接 BE，CD。BE 与 CD 有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）（2）解 答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，要测量池塘两岸相对的两点 B， E 的距离，已经测得∠ABC=450，∠CAE=900，AB=BC=100米，AC=AE。求 BE 的长。 A B C D E F 9. 如图，矩形 ABCD中，点 P在边 CD上，且与点 C、 D不 重合，过点 A作 AP的垂线与 CB的延长线相交于点 Q，连接 PQ，PQ的中点为M. (1)求证：△ADP∽△ABQ；(2)若 AD=10， AB=20，点 P在边 CD上运动，设 DP=x, BM 2=y，求 y与 x的 函数关系式，并求线段 BM长的最小值；(3)若 AD=10, AB=a， DP=8，随着 a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M 落在矩形 ABCD外部时，求 a的取值范围。 10.如题 22 图，矩形 ABCD 中，以对角线 BD 为一边构造一个矩形 BDEF，使得另 一边 EF 过原矩形的顶点 C．（1）设 Rt△CBD 的面积为 1S ，Rt△BFC 的面积为 2S ， Rt△DCE 的面积为 3S ，则 1S 2S + 3S （用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出 题 22 图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明． 11．如图(十一)所示，在 Rt△ABC 中，AB=BC=4，∠ABC=90°.点 P 是△ABC 外角 ∠BCN 的角平分线上一个动点，点 P/是点 P 关于直线 BC 的对称点，连结 PP/交 BC 于点 M、BP/交 AC于点 D，连结 BP、AP/、CP/. (1)若四边形 BPCP/为菱形，求 BM 的长；(2)若△BMP/∽△ABC，求 BM 的长；(3)若△ABD 为等腰三角形，求 △ABD 的面积. 12. 已知四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD=60°，对角线 AC 与 BD 交于 点 O，过点 O 的直线 EF 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F. ⑴求证：△AOE≌△COF； ⑵若∠EOD=30°，求 CE 的长. 13．如图，在△ABC中，D是 BC边上的一点，E是 AD的中点，过 A点作 BC 的平行线交 CE的延长线于点 F，且 AF=BD，连接 BF．（1）BD与 CD有什么 数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由． 图(十一) P / N M A B D P C ② P / N M A B D P C ③ P / N M A B D P C ① 14．如图，在△ABC中，D、E分别是 AB、AC的中点，BE=2DE，延长 DE到点 F，使得 EF=BE，连接 CF．（1）求证：四边形 BCFE是菱形；（2） 若 CE=4，∠BCF=120°，求菱形 BCFE的面积． 15．四边形 ABCD是正方形，E、F分别是 DC和 CB的延长线上的点，且 DE=BF， 连接 AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF；（2）填空：△ABF可以由△ADE 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到；（3）若 BC=8，DE=6，求△AEF的面积． 16. 如图，点 E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点 E，F为圆 心，以 AE的长为半径画弧，两弧相交于点 D，连接 DE，DF． （1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由； （2）连接 EF，若 AE=8厘米，∠A=60°，求线段 EF的长． 17 .如图，在□ABCD 中，M，N 分别是 AD，BC 的中点， ∠AND=90°，连接 CM 交 DN 于点 O. （ 1）求证： ⊿ABN≌⊿CDM；（2）过点 C 作 CE⊥MN 于点 E，交 DN 于点 P，若 PE=1，∠1=∠2，求 AN的长. 18 ．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含 60°角的 直角三角板 ABC与 AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将 Rt△AEF绕 A 点按 逆时针方向旋转角α （0°＜α＜90°），如图 （2），AE 与 BC 交于 点 M，AC与 EF交于 点 N，BC 与 EF 交于点 P．（1）求证：AM=AN； （2）当旋转角α=30° 时，四边形 ABPF 是什 么样的特殊四边形？ 并说明理由． 19．如图，△ABC 中，点 O是边 AC上一个动点，过 O作直线 MN∥BC．设 MN 交∠ACB 的平分线于点 E，交∠ACB 的外角平分线于点 F．（1）求证：OE=OF；（2） 若 CE=12，CF=5，求 OC的长；（3）当点 O 在边 AC上运动到什么位置时，四边 形 AECF 是矩形？并说明理由． 20.如图，在△ABC 中，∠B=45°，BC=5，高 AD=4，矩形 EFPQ 的一边 QP在 BC 边上，E、F 分别在 AB、AC 上，AD交 EF 于点 H．（1）求证： ； （2）设 EF=x，当 x 为何值时，矩形 EFPQ的面积最大？并求出最 大面积；（3）当矩形 EFPQ的面积最大时，该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 DA匀速向上运动（当矩形的边 PQ 到达 A 点 时停止运动），设运动时间为 t秒，矩形 EFPQ与△ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围． 21 . 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，对角线 BD 平分ABC，P 是 BD 上一点， 过点 P 作 PMAD，PNCD，垂足分别为 M、N。(1) 求证：ADB=CDB； (2) 若ADC=90，求证：四边形 MPND 是正方形。 22 ．如图(十二)所示，在 Rt△ABC 中，AB=BC=4，∠ABC=90°.点 P 是△ABC 外角 ∠BCN 的角平分线上一个动点，点 P/是点 P 关于直线 BC 的对称点，连结 PP/交 BC 于点 M、BP/交 AC于点 D，连结 BP、AP/、CP/. (1)若四边形 BPCP/为菱形，求 BM 的长；(2)若△BMP/∽△ABC，求 BM 的长；(3)若△ABD 为等腰三角形，求△ABD 的面积. 图(十一) P / N M A B D P C ② P / N M A B D P C ③ P / N M A B D P C ① A B C D N M P 23．如图，在四边形 ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是 CD上一点，BE交 AC于 F，连接 DF．（1）证明：∠ BAC＝∠ DAC，∠ AFD＝∠ CFE．（2） 若 AB∥CD，试证明四边形 ABCD是菱形； （3）在 （2）的条件下，试确定 E点的位置，∠ EFD＝∠ BCD，并说明理由． 24．如图，在正方形 ABCD中，E是 AB上一点，F是 AD延长线上一点，且 DF＝BE．（1）求证：CE＝CF； （2）若点 G在 AD上，且∠GCE＝45°，则 GE＝BE+GD 成立吗？为什么？ 25.如图 1，在正方形 ABCD中，E、 F分别是边 AD、DC上的点，且 AF⊥ BE．（1）求证：AF=BE； （2）如图 2，在正方形 ABCD中， M、N、P、Q分别是边 AB、BC、 CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP 与 NQ是否相等？并说明理由． 26．如图，四边形 ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为 E，求证：AE＝CE． 27如图，已知正方形 ABCD的边长为 4，对称中心为点 P，点 F为 BC边上一 个动点，点 E在 AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于 直线 AC成轴对称，设它们的面积和为 S1．（1）求证：∠APE=∠CFP； （2）设四边形 CMPF的面积为 S2，CF=x， ．①求 y关于 x的 函数解析式和自变量 x的取值范围，并求出 y的最大值；②当图中两 块阴影部分图形关于点 P成中心对称时，求 y的值． 28.某学校的校门是伸缩门（如图 1），伸缩门中的每一行菱形有 20个，每个菱 形边长为 30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为 60°（如图 2）；校门打 开时，每个菱形的锐角度数从 60°缩小为 10°（如图 3）．问：校门打开了多少米？ （结果精确到 1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736， cos10°≈0.9848）． 29.若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角 线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边 形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分 ∠ABC．求证：BD是梯形 ABCD的和谐 线；（2）如图 2，在 12×16的网格图上（每 个小正方形的边长为 1）有一个扇形 BAC， 点 A．B．C均在格点上，请在答题卷给 出的两个网格图上各找一个点 D，使得以 A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角 线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形； （3）四边形 ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形 ABCD的和 谐线，求∠BCD的度 数． 30.若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图 1，矩形ABCD 中，BC=2AB，则称 ABCD为方 形．（1）设 a，b是方形的一组邻 边长，写出 a，b的值（一组即 可）．（2）在△ABC中，将 AB， AC分别五等分，连结两边对应 的等分点，以这些连结为一边作矩形，使这些矩形的边 B1C1，B2C2，B3C3，B4C4 的对边分别在 B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图 2所示．①若 BC=25，BC边上 的高为 20，判断以 B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？ ②若以 B3C3为一边的矩形为方形，求 BC 与 BC 边上的高之比． 31.某地下车库出口处“两段式栏杆”如图 7-1 所示，点 A是栏杆转动的支点， 点 E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆 AEF 升起后的位置如图 7-2 所 示，其示意图如图 7-3 所示，其中 AB ⊥ BC ， EF ∥ BC ， 0143EAB  ， 1.2AB AE  米，求当车辆经过时，栏杆 EF 段距离地面的高度（即直线 EF 上 任意一点到直线 BC 的距离）．（结果精确到 0.1 米，栏杆宽度忽略不计参考数据： sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈0.75．） 图 7-1 图 7-2 图 7-3 A E F A E F A E F B C 32.如图，已知四边形 ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是 E、 F，并且 DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形 ABCD是菱形． 33.如图，在正方形 ABCD中，点M是对角线 BD上的一点，过点M 作ME∥CD交 BC于点 E，作MF∥BC交 CD于点 F．求证：AM=EF． 34.如图，在等边三角形 ABC 中， 6BC cm ,射线 AG BC∥ ，点 E 从点 A出发沿射线 AG以1 /cm s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿 射线BC 以 2 /cm s的速度运动，设运动时间为 ( )t s （1）连接 EF ， 当 EF 经过 AC 边的中点 D时，求证： ADE CDF  （2）填空： ①当为 s 时，四边形 ACFE是菱形； ②当为 s 时， 以 , , ,A F C E 为顶点的四边形是直角梯形。 35.如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．（1） 求证：△ADE≌△ABF．（2）求△AEF的面积．