2020年绵阳市中考数学考点训练9：探究性几何问题（含答案）
探究性几何问题
1． 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
（1）若DP=2AP=4，CP，CD=5，求△ACD的面积．
（2）若AE=BN，AN=CE，求证：ADCM+2CE．
2． 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′=t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
3． 如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A（，3），AC⊥OA与x轴的交点为C．动点M以每秒个单位长度由点A向点O运动．同时，动点N以每秒3个单位长度由点O向点C运动，当一动点先到终点时，另一动点立即停止运动．
（1）写出∠ACO的值；
（2）用t表示出四边形AMNC的面积；
（3）求点P的坐标，使得以O、N、M、P为顶点的四边形是特殊的平行四边形？
4． 如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD=∠CAE；
（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°<∠AIC
”“<”“=”）；
②求证：点F在∠ABC的平分线上．
（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．
6． 如图1，菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE=3 cm，AE=4 cm，把四边形BCDE沿DE所在直线折叠，使点B落在AE上的点M处，点C落在点N处，MN交AD于点F．
（1）证明：FA=FM；
（2）求四边形DEMF面积；
（3）如图2，点P从点D出发，沿D→N→F路径以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△DPF的面积与四边形DEMF的面积相等．
7． 在ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）如图1，若∠D=30°，AB，求△ABE的面积；
（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF．求证：ED-AG=FC．
答案
1． （1）作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG=x，则DG=4-x，
在Rt△PGC中，GC2=CP2-PG2=17-x2，
在Rt△DGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2，
∴17-x2=9+8x-x2，
解得：x=1，即PG=1，
∴GC=4，
∵DP=2AP=4，
∴AD=6，
∴S△ACDAD×CG6×4=12．
（2）连接NE，如图2所示：
∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，
∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，
在△NBF和△EAF中，，
∴△NBF≌△EAF，
∴BF=AF，NF=EF，
∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，
∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，
在△ANE和△ECM中，，
∴△ANE≌△ECM，
∴CM=NE，
又∵NFNEMC，
∴AFMC+EC，
∴ADMC+2EC．
2． （Ⅰ）∵点A（6，0），
∴OA=6，
∵OD=2，
∴AD=OA-OD=6-2=4，
∵四边形CODE是矩形，
∴DE∥OC，
∴∠AED=∠ABO=30°，
在Rt△AED中，AE=2AD=8，ED4，
∵OD=2，
∴点E的坐标为（2，4）．
（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′=2，E′D′=4，ME′=OO′=t，D′E′∥O′C′∥OB，
∴∠E′FM=∠ABO=30°，
∴在Rt△MFE′中，MF=2ME′=2t，FE′t，
∴S△MFE′ME′·FE′tt，
∵S矩形C′O′D′E′=O′D′·E′D′=2×48，
∴S=S矩形C′O′D′E′-S△MFE′=8，
∴St2+8，其中t的取值范围是：0
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