2020年上海市静安区中考数学一模试卷

2020年上海市静安区中考数学一模试卷

‎2020年上海市静安区中考数学一模试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎ ‎ ‎1. 已知a=x+‎y，b=x−‎y，那么ab的值为（ ） ‎ A.‎2‎x B.‎2‎y C.x−y D.‎x+y ‎ ‎ ‎2. 已知点P在线段AB上，且AP:PB＝‎2:3‎，那么AB:PB为（ ） ‎ A.‎3:2‎ B.‎3:5‎ C.‎5:2‎ D.‎‎5:3‎ ‎ ‎ ‎3. 在‎△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE // BC，AD:DB＝‎4:5‎，下列结论中正确的是（ ） ‎ A.DEBC‎=‎‎4‎‎5‎ B.BCDE‎=‎‎9‎‎4‎ C.AEAC‎=‎‎4‎‎5‎ D.‎ECAC‎=‎‎5‎‎4‎ ‎ ‎ ‎4. 在Rt△ABC中，‎∠C＝‎90‎‎∘‎，‎∠A、‎∠B、‎∠C所对的边分别为a、b、c，如果a＝‎3b，那么‎∠A的余切值为（ ） ‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎3‎ C.‎2‎‎4‎ D.‎‎10‎‎10‎ ‎ ‎ ‎5. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设OA‎→‎‎=‎a‎→‎，OB‎→‎‎=‎b‎→‎，下列式子中正确的是（ ） ‎ A.DC‎→‎‎=a‎→‎+‎b‎→‎ B.DC‎→‎‎=a‎→‎−‎b‎→‎ C.DC‎→‎‎=−a‎→‎+‎b‎→‎ D.DC‎→‎‎=−a‎→‎−‎b‎→‎ ‎ ‎ ‎ ‎6. 如果将抛物线y＝x‎2‎‎−2‎平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x‎2‎‎−8x+9‎重合，那么它平移的过程可以是（ ） ‎ A.向右平移‎4‎个单位，向上平移‎11‎个单位 B.向左平移‎4‎个单位，向上平移‎11‎个单位 C.向左平移‎4‎个单位，向上平移‎5‎个单位 D.向右平移‎4‎个单位，向下平移‎5‎个单位 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎ ‎ ‎ 因式分解：x‎2‎‎−5x＝________． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知f(x)=‎‎3x+1‎，那么f(3)‎＝________． ‎ ‎ ‎ ‎ 方程x−1‎x+1‎‎=‎‎1‎‎2‎的根为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知：xy‎=‎‎3‎‎4‎，且y≠4‎，那么x−3‎y−4‎‎=‎________． ‎ ‎ ‎ ‎ 在‎△ABC中，边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G，AD＝‎6‎，那么AG＝________． ‎ ‎ ‎ ‎ 如果两个相似三角形的对应边的比是‎4:5‎，那么这两个三角形的面积比是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为‎60‎度，已知A、C两点间的距离为‎15‎米，那么大楼AB的高度为________米．（结果保留根号） ‎ ‎ ‎ ‎ 某商场四月份的营业额是‎200‎万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x(x>0)‎，六月份的营业额为y万元，那么y关于x的函数解式是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 矩形的一条对角线长为‎26‎，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为‎5‎‎13‎，那么该矩形的面积为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知二次函数y＝a‎2‎x‎2‎‎+8a‎2‎x+a(a是常数，a≠0)‎，当自变量x分别取‎−6‎、‎−4‎时，对应的函数值分别为y‎1‎、y‎2‎，那么y‎1‎、y‎2‎的大小关系是：y‎1‎ ‎>‎ y‎2‎（填“‎>‎”、“‎<‎”或“＝”）． ‎ ‎ ‎ ‎ 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD // BC，AD＝‎4‎，BC＝‎9‎，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么DFFC‎=‎________． ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎ ‎ ‎ 如图，有一菱形纸片ABCD，‎∠A＝‎60‎‎∘‎，将该菱形纸片折叠，使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，那么cos∠EFB的值为________． ‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎ ‎ ‎ 先化简，再求值：x−yx+2y‎÷‎x‎2‎‎−‎y‎2‎x‎2‎‎+4xy+4‎y‎2‎，其中x＝sin‎45‎‎∘‎，y＝cos‎60‎‎∘‎． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在Rt△ABC中，‎∠ACB＝‎90‎‎∘‎，AC＝‎20‎，sinA=‎‎3‎‎4‎，CD⊥AB，垂足为D． ‎ ‎（1）求BD的长；‎ ‎ ‎ ‎（2）设AC‎→‎‎=‎a‎→‎，BC‎→‎‎=‎b‎→‎，用a‎→‎、b‎→‎表示AD‎→‎．‎ ‎ ‎ ‎ 已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x‎2‎‎+bx+1‎（b为常数）的对称轴是直线x＝‎1‎． ‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎ ‎ ‎（2）点A(8, m)‎在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A‎′‎，求点A‎′‎的坐标；‎ ‎ ‎ ‎（3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线． ‎ x ‎…‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎…‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在东西方向的海岸线l上有长为‎300‎米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东‎45‎‎∘‎方向上；同一时刻，在A点正东方向距离‎100‎米的C处测得轮船M在北偏东‎22‎‎∘‎方向上． ‎ ‎（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到‎0.01‎米）‎ ‎ ‎ ‎（2）如果轮船M沿着南偏东‎30‎‎∘‎的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由． （参考数据：sin‎22‎‎∘‎≈0.375‎，cos‎22‎‎∘‎≈0.927‎，tan‎22‎‎∘‎≈0.404‎，‎3‎‎≈1.732‎．）‎ ‎ ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎ 如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD‎2‎＝OB⋅OE． ‎ ‎（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；‎ ‎ ‎ ‎（2）如果BC＝BD，AE⋅AF＝AD⋅BF，求证：‎△ABE∽△ACD．‎ ‎ ‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y＝ax‎2‎+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0‎）的图象经过点A(0, −3)‎、B(1, 0)‎、C(3, 0)‎，联结AB、AC． ‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎ ‎ ‎（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果S‎△ABD‎:‎S‎△BCD＝‎3:2‎，求tan∠DBC的值；‎ ‎ ‎ ‎（3）如果点E在该二次函数图象的对称轴上，当AC平分‎∠BAE时，求点E的坐标．‎ ‎ ‎ ‎ 已知：如图‎1‎，在‎△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB‎2‎＝BE⋅DC，DE:EC＝‎3:1‎，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G． ‎ ‎（1）找出图中与‎△ACD相似的三角形，并说明理由；‎ ‎ ‎ ‎（2）当DF平分‎∠ADC时，求DG:DF的值；‎ ‎ ‎ ‎（3）如图‎2‎，当‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 参考答案与试题解析 ‎2020年上海市静安区中考数学一模试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 二次根式的化简求值 ‎【解析】‎ 将a、b直接代入ab，利用平方差公式求值即可．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ a=x+‎y，b=x−‎y， ∴ ab＝‎(x+y)(x−y)‎＝x−y，‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 比例线段 ‎【解析】‎ 根据比例的合比性质直接求解即可．‎ ‎【解答】‎ 由题意AP:PB＝‎2:3‎， AB:PB＝‎(AP+PB)‎：PB＝‎(2+3)‎：‎3‎＝‎5:3‎；‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ 由平行线证出‎△ADE∽△ABC，得出AEAC‎=DEBC=ADAB=‎‎4‎‎9‎，即可得出答案．‎ ‎【解答】‎ 故选：B． ‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 锐角三角函数的定义 ‎【解析】‎ 根据余切函数的定义即可求解．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 在Rt△ABC中，‎∠C＝‎90‎‎∘‎，‎∠A、‎∠B、‎∠C所对的边分别为a、b、c，a＝‎3b， ∴ cotA=ba=‎‎1‎‎3‎．‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ ‎*平面向量 平行四边形的性质 ‎【解析】‎ 利用平行四边形的性质与计算机向法则求出AB‎→‎即可解决问题．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB // CD，AB＝CD， ∵ AB‎→‎‎=AO‎→‎+‎OB‎→‎ ∴ DC‎→‎‎=AB‎→‎=−a‎→‎+‎b‎→‎，‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 二次函数图象与几何变换 ‎【解析】‎ 根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 抛物线y＝x‎2‎‎−8x+9‎＝‎(x−4‎)‎‎2‎−7‎的顶点坐标为‎(4, −7)‎，抛物线y＝x‎2‎‎−2‎的顶点坐标为‎(0, −2)‎， ∴ 顶点由‎(0, −2)‎到‎(4, −7)‎需要向右平移‎4‎个单位再向下平移‎5‎个单位．‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎【答案】‎ x(x−5)‎ ‎【考点】‎ 因式分解-提公因式法 因式分解 ‎【解析】‎ 根据提公因式法，可分解因式．‎ ‎【解答】‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 x‎2‎‎−5x‎＝x(x−5)‎．‎ ‎【答案】‎ ‎10‎ ‎【考点】‎ 函数值 ‎【解析】‎ 将x＝‎3‎代入f(x)=‎‎3x+1‎计算即可．‎ ‎【解答】‎ 当x＝‎3‎是，f(3)=‎3×3+1‎=‎‎10‎，‎ ‎【答案】‎ x‎＝‎‎3‎ ‎【考点】‎ 解分式方程 ‎【解析】‎ 根据分式方程的解法，方程两边同时乘以‎2(x+1)‎，将分式方程化为整式方程求解即可．‎ ‎【解答】‎ 方程两边同时乘以‎2(x+1)‎，得 ‎2(x−1)‎＝x+1‎， 解得x＝‎3‎， 经检验，x＝‎3‎是原方程的根， ∴ 原方程的解为x＝‎3‎，‎ ‎【答案】‎ ‎3‎‎4‎ ‎【考点】‎ 比例的性质 ‎【解析】‎ 根据分比性质可得答案．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ xy‎=‎‎3‎‎4‎，且y≠4‎， ∴ x−3‎y−4‎‎=‎‎3‎‎4‎．‎ ‎【答案】‎ ‎4‎ ‎【考点】‎ 三角形的重心 三角形中位线定理 相似三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ 由三角形的重心的概念和性质求解．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ AD、BE为‎△ABC的中线，且AD与BE相交于点G， ∴ G点是三角形ABC的重心， ∴ AG=‎2‎‎3‎AD=‎2‎‎3‎×6=4‎，‎ ‎【答案】‎ ‎16:25‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的性质 ‎【解析】‎ 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．‎ ‎【解答】‎ 两个相似三角形面积的比是‎(4:5‎‎)‎‎2‎＝‎16:25‎．‎ ‎【答案】‎ ‎15‎‎3‎ ‎【考点】‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 ‎【解析】‎ 解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】‎ 由题意得，‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，‎∠ACB＝‎60‎‎∘‎，AC＝‎15‎， ∴ tan∠ACB=ABAC=AB‎15‎=‎‎3‎， ∴ AB=‎3‎AC＝‎15‎‎3‎，‎ ‎【答案】‎ y‎＝‎‎200x‎2‎+400x+200‎ ‎【考点】‎ 二次函数的应用 ‎【解析】‎ 根据增长率问题公式列出函数解析式即可．‎ ‎【解答】‎ 根据题意，得 y＝‎200(1+x‎)‎‎2‎ ＝‎200x‎2‎+400x+200‎．‎ ‎【答案】‎ ‎240‎ ‎【考点】‎ 矩形的性质 解直角三角形 ‎【解析】‎ 由矩形的性质和三角函数求出CD，由勾股定理求出AD，即可得出矩形的面积．‎ ‎【解答】‎ 如图所示： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ‎∠BAD＝‎90‎‎∘‎，AC＝BD＝‎26‎， ∵ tan∠DAC=CDAC=‎‎5‎‎13‎， ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎∴ CD＝‎10‎， ∴ AD=AC‎​‎‎2‎−CD‎​‎‎2‎=‎26‎​‎‎2‎−10‎‎​‎‎2‎=24‎， ∴ 矩形的面积＝AD×CD＝‎24×20‎＝‎240‎， 故答案为：‎240‎．‎ ‎【答案】‎ ‎>‎ ‎【考点】‎ 二次函数的性质 二次函数图象上点的坐标特征 ‎【解析】‎ 求出二次函数的对称轴x＝‎−4‎，由于函数开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，即可求解．‎ ‎【解答】‎ y‎＝a‎2‎x‎2‎‎+8a‎2‎x+a＝a‎2‎‎(x‎2‎+8x)+a＝a‎2‎‎(x+4‎)‎‎2‎+a−16‎a‎2‎， ∴ 对称轴x＝‎−4‎， ∵ x分别取‎−6‎、‎−4‎时，在对称轴左侧， ∴ y随x的增大而减小， ∴ y‎1‎‎>‎y‎2‎，‎ ‎【答案】‎ ‎2‎‎3‎ ‎【考点】‎ 梯形 相似三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ 连接BD交EF于G，由EF是梯形ABCD的“比例中线”，得出EF‎2‎＝AD×BC＝‎36‎，EF＝‎6‎，由平行线证出‎△BEG∽△BAD，‎△DFG∽△DCB，得出EGAD‎=‎BGBD，DFDC‎=GFBC=‎DGBD，求出EGAD‎+GFBC=BGBD+DGBD=BDBD=1‎，即EG‎4‎‎+‎6−EG‎9‎=1‎，解得EG=‎‎12‎‎5‎，得出GF＝‎6−EG=‎‎18‎‎5‎，即可得出答案．‎ ‎【解答】‎ 故答案为：‎2‎‎3‎． ‎ ‎【答案】‎ ‎1‎‎7‎ ‎【考点】‎ 等边三角形的性质与判定 翻折变换（折叠问题）‎ 解直角三角形 菱形的性质 ‎【解析】‎ 如图，连接BD．设BC＝‎2a．在Rt△BEF中，求出EF，BF即可解决问题．‎ ‎【解答】‎ 如图，连接BD．设BC＝‎2a． ∵ 四边形ABC都是菱形， ∴ AB＝BC＝CD＝AD＝‎2a，‎∠A＝‎∠C＝‎60‎‎∘‎， ∴ ‎△BDC是等边三角形， ∵ DE＝EC＝a， ∴ BE⊥CD， ∴ BE=BC‎2‎−EC‎2‎=‎3‎a， ∵ AB // CD，BE⊥CD， ∴ BE⊥AB， ∴ ‎∠EBF＝‎90‎‎∘‎， 设AF＝EF＝x，在Rt△EFB中，则有x‎2‎＝‎(2a−x‎)‎‎2‎+(‎3‎a‎)‎‎2‎， ∴ x=‎‎7a‎4‎， ∴ AF＝EF=‎‎7a‎4‎，BF＝AB−AF=‎a‎4‎， ∴ cos∠EFB=BFEF=a‎4‎‎7a‎4‎=‎‎1‎‎7‎，‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎【答案】‎ 原式‎=x−yx+2y÷‎(x+y)(x−y)‎‎(x+2y‎)‎‎2‎=x−yx+2y⋅‎(x+2y‎)‎‎2‎‎(x+y)(x−y)‎=‎x+2yx+y， 当x＝sin‎45‎‎∘‎=‎‎2‎‎2‎，y＝cos‎60‎‎∘‎=‎‎1‎‎2‎时， 原式‎=‎2‎‎2‎‎+2×‎‎1‎‎2‎‎2‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎2‎．‎ ‎【考点】‎ 特殊角的三角函数值 分式的化简求值 ‎【解析】‎ 现将原式化简为x+2yx+y，再将x＝sin‎45‎‎∘‎=‎‎2‎‎2‎，y＝cos‎60‎‎∘‎=‎‎1‎‎2‎代入计算即可．‎ ‎【解答】‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 原式‎=x−yx+2y÷‎(x+y)(x−y)‎‎(x+2y‎)‎‎2‎=x−yx+2y⋅‎(x+2y‎)‎‎2‎‎(x+y)(x−y)‎=‎x+2yx+y， 当x＝sin‎45‎‎∘‎=‎‎2‎‎2‎，y＝cos‎60‎‎∘‎=‎‎1‎‎2‎时， 原式‎=‎2‎‎2‎‎+2×‎‎1‎‎2‎‎2‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎2‎．‎ ‎【答案】‎ ‎∵ CD⊥AB，∴ ‎∠ADC＝‎∠BDC＝‎90‎‎∘‎， 在Rt△ACD中，sinA=‎CDAC， ∴ CD＝AC⋅sinA＝‎20×‎3‎‎5‎=12‎， ∴ AD=AC‎2‎−CD‎2‎=‎20‎‎2‎‎−‎‎12‎‎2‎=16‎， ∴ tanA=CDAD=‎‎3‎‎4‎， ∵ ‎∠ACB＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠DCB+∠B＝‎∠A+∠B＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠DCB＝‎∠A． ∴ BD＝CD⋅tan∠DCB＝CD⋅tanA＝‎12×‎3‎‎4‎=9‎．‎ ‎∵ AB＝AD+DB＝‎16+9‎＝‎25‎， ∴ ADAB‎=‎‎16‎‎25‎， 又∵ AB‎→‎‎=AC‎→‎+CB‎→‎=a‎→‎−‎b‎→‎， ∴ AD‎→‎‎=‎16‎‎25‎AB‎→‎=‎16‎‎25‎a‎→‎−‎‎16‎‎25‎b‎→‎． ‎ ‎【考点】‎ ‎*平面向量 解直角三角形 ‎【解析】‎ ‎（1）解直角三角形求出CD，AD，再在Rt△CDB中求出BD即可． （2）利用三角形法则求解即可．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ CD⊥AB，∴ ‎∠ADC＝‎∠BDC＝‎90‎‎∘‎， 在Rt△ACD中，sinA=‎CDAC， ∴ CD＝AC⋅sinA＝‎20×‎3‎‎5‎=12‎， ∴ AD=AC‎2‎−CD‎2‎=‎20‎‎2‎‎−‎‎12‎‎2‎=16‎， ∴ tanA=CDAD=‎‎3‎‎4‎， ∵ ‎∠ACB＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠DCB+∠B＝‎∠A+∠B＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠DCB＝‎∠A． ∴ BD＝CD⋅tan∠DCB＝CD⋅tanA＝‎12×‎3‎‎4‎=9‎．‎ ‎∵ AB＝AD+DB＝‎16+9‎＝‎25‎， ∴ ADAB‎=‎‎16‎‎25‎， 又∵ AB‎→‎‎=AC‎→‎+CB‎→‎=a‎→‎−‎b‎→‎， ∴ AD‎→‎‎=‎16‎‎25‎AB‎→‎=‎16‎‎25‎a‎→‎−‎‎16‎‎25‎b‎→‎． ‎ ‎【答案】‎ ‎∵ 对称轴为x=−‎b‎2‎， ∴ ‎−b‎2‎=1‎， ∴ b＝‎−2‎， ∴ 抛物线的表达式为y＝x‎2‎‎−2x+1‎；‎ ‎∵ 点A(8, m)‎在该抛物线的图象上， ∴ 当x＝‎8‎时，y＝x‎2‎‎−2x+1‎＝‎8‎‎2‎‎−2×8+1‎＝‎49‎． ∴ 点A(8, 49)‎， ∴ 点A(8, 49)‎关于对称轴对称的点A‎′‎的坐标为‎(−6, 49)‎；‎ ‎−1‎‎,‎0‎,‎1‎,‎2‎,‎3‎,‎4‎,‎1‎,‎0‎,‎1‎,‎‎4‎ ‎【考点】‎ 二次函数的性质 二次函数图象与几何变换 二次函数图象上点的坐标特征 待定系数法求二次函数解析式 ‎【解析】‎ ‎（1）根据对称轴公式求得b的值，即可求得抛物线的解析式； （2）把点A(8, m)‎代入解析式求得m的值，然后根据轴对称的性质即可求得A′‎的坐标； （3）列表、连线，画出函数的图象即可．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 对称轴为x=−‎b‎2‎， ∴ ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎ ‎−b‎2‎=1‎， ∴ b＝‎−2‎， ∴ 抛物线的表达式为y＝x‎2‎‎−2x+1‎；‎ ‎∵ 点A(8, m)‎在该抛物线的图象上， ∴ 当x＝‎8‎时，y＝x‎2‎‎−2x+1‎＝‎8‎‎2‎‎−2×8+1‎＝‎49‎． ∴ 点A(8, 49)‎， ∴ 点A(8, 49)‎关于对称轴对称的点A‎′‎的坐标为‎(−6, 49)‎；‎ 列表： ‎ x ‎…‎ ‎−1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎…‎ ‎ 描点、连线，画出图象如图： ‎ ‎【答案】‎ 过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x， ∵ 在Rt△CDM中，CD＝DM⋅tan∠CMD＝x⋅tan‎22‎‎∘‎， 又∵ 在Rt△ADM中，‎∠MAC＝‎45‎‎∘‎， ∴ AD＝DM， ∵ AD＝AC+CD＝‎100+x⋅tan‎22‎‎∘‎， ∴ ‎100+x⋅tan‎22‎‎∘‎＝x， ∴ x=‎100‎‎1−tan22‎≈‎100‎‎1−0.404‎≈167.79‎， 答：轮船M到海岸线l的距离约为‎167.79‎米．‎ 作‎∠DMF＝‎30‎‎∘‎，交l于点F． 在Rt△DMF中，DF＝DM⋅tan∠FMD＝DM⋅tan‎30‎‎∘‎ ‎=‎3‎‎3‎DM≈‎3‎‎3‎×167.79≈96.87‎米， ∴ AF＝AC+CD+DF＝DM+DF≈167.79+96.87‎＝‎264.66<300‎， 所以该轮船能行至码头靠岸． ‎ ‎【考点】‎ 解直角三角形的应用-方向角问题 ‎【解析】‎ ‎（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，解直角三角形即可得到结论； （2）作‎∠DMF＝‎30‎‎∘‎，交l于点F．解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】‎ 过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x， ∵ 在Rt△CDM中，CD＝DM⋅tan∠CMD＝x⋅tan‎22‎‎∘‎， 又∵ 在Rt△ADM中，‎∠MAC＝‎45‎‎∘‎， ∴ AD＝DM， ∵ AD＝AC+CD＝‎100+x⋅tan‎22‎‎∘‎， ∴ ‎100+x⋅tan‎22‎‎∘‎＝x， ∴ x=‎100‎‎1−tan22‎≈‎100‎‎1−0.404‎≈167.79‎， 答：轮船M到海岸线l的距离约为‎167.79‎米．‎ 作‎∠DMF＝‎30‎‎∘‎，交l于点F． 在Rt△DMF中，DF＝DM⋅tan∠FMD＝DM⋅tan‎30‎‎∘‎ ‎=‎3‎‎3‎DM≈‎3‎‎3‎×167.79≈96.87‎米， ∴ AF＝AC+CD+DF＝DM+DF≈167.79+96.87‎＝‎264.66<300‎， 所以该轮船能行至码头靠岸． ‎ ‎【答案】‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 证明：∵ OD‎2‎ ＝OE⋅OB， ∴ OEOD‎=‎ODOB， ∵ AD // BC， ∴ ‎△AOD∽△COB， ∴ OAOC‎=‎ODOB ∴ OAOC‎=‎OEOD ∴ AF // CD， ∴ 四边形AFCD是平行四边形；‎ 证明：∵ AF // CD， ∴ ‎∠AED＝‎∠BDC，‎△BEF∽△BDC， ∴ BEBD‎=‎BFBC， ∵ BC＝BD， ∴ BE＝BF，‎∠BDC＝‎∠BCD， ∴ ‎∠AED＝‎∠BCD． ∵ ‎∠AEB＝‎180‎‎∘‎‎−∠AED，‎∠ADC＝‎180‎‎∘‎‎−∠BCD， ∴ ‎∠AEB＝‎∠ADC． ∵ AE⋅AF＝AD⋅BF， ∴ AEBF‎=‎ADAF， ∵ 四边形AFCD是平行四边形， ∴ AF＝CD， ∴ AEBE‎=‎ADDC， ∴ ‎△ABE∽△ADC．‎ ‎【考点】‎ 梯形 相似三角形的判定 平行四边形的性质与判定 ‎【解析】‎ ‎（1）由已知得出OEOD‎=‎ODOB，由平行线得出‎△AOD∽△COB，得出OAOC‎=‎ODOB，证出OAOC‎=‎OEOD，得出AF // CD，即可得出结论； （2）由平行线得出‎∠AED＝‎∠BDC，‎△BEF∽△BDC，得出BEBD‎=‎BFBC，证出‎∠AEB＝‎∠ADC．由已知得出AEBF‎=‎ADAF，由平行四边形的性质得出AF＝CD，得出AEBE‎=‎ADDC，由相似三角形的判定定理即可得出结论．‎ ‎【解答】‎ 证明：∵ OD‎2‎ ＝OE⋅OB， ∴ OEOD‎=‎ODOB， ∵ AD // BC， ∴ ‎△AOD∽△COB， ∴ OAOC‎=‎ODOB ∴ OAOC‎=‎OEOD ∴ AF // CD， ∴ 四边形AFCD是平行四边形；‎ 证明：∵ AF // CD， ∴ ‎∠AED＝‎∠BDC，‎△BEF∽△BDC， ∴ BEBD‎=‎BFBC， ∵ BC＝BD， ∴ BE＝BF，‎∠BDC＝‎∠BCD， ∴ ‎∠AED＝‎∠BCD． ∵ ‎∠AEB＝‎180‎‎∘‎‎−∠AED，‎∠ADC＝‎180‎‎∘‎‎−∠BCD， ∴ ‎∠AEB＝‎∠ADC． ∵ AE⋅AF＝AD⋅BF， ∴ AEBF‎=‎ADAF， ∵ 四边形AFCD是平行四边形， ∴ AF＝CD， ∴ AEBE‎=‎ADDC， ∴ ‎△ABE∽△ADC．‎ ‎【答案】‎ 将A(0, −3)‎、B(1, 0)‎、C(3, 0)‎代入y＝ax‎2‎+bx+c， 得，c=−3‎a+b+c=0‎‎9a+3b+c=0‎‎ ‎， 解得，a=−1‎b=4‎c=−3‎‎ ‎， ∴ 此抛物线的表达式是y＝‎−x‎2‎+4x−3‎；‎ 过点D作DH⊥BC于H， 在‎△ABC中，设AC边上的高为h，则S‎△ABDS‎△BCD‎=‎1‎‎2‎AD⋅h‎1‎‎2‎DC⋅h=ADDC=‎‎3‎‎2‎， 又∵ DH // y轴， ∴ ‎△CHD∽△COA， ∴ CHOC‎=DCAC=DHOA=‎‎2‎‎5‎， ∴ CH＝DH=‎2‎‎5‎×3=‎‎6‎‎5‎， ∴ BH＝BC−CH＝‎2−‎6‎‎5‎=‎‎4‎‎5‎， ∴ tan∠DBC=DHBH=‎‎3‎‎2‎；‎ ‎∵ y＝‎−x‎2‎+4x−3‎＝‎−(x−2‎)‎‎2‎+1‎， ∴ 对称轴为直线x＝‎2‎，设直线x＝‎2‎与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x＝‎2‎，垂足为F， ∵ OA＝OC＝‎3‎， ‎∠AOC＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠OAC＝‎∠OCA＝‎45‎‎∘‎， ∵ AF // x轴， ∴ ‎∠FAC＝‎∠OCA＝‎45‎‎∘‎， ∵ AC平分‎∠BAE， ∴ ‎∠BAC＝‎∠EAC， ∵ ‎∠BAO＝‎∠OAC−∠BAC，‎∠EAF＝‎∠FAC−∠EAC， ∴ ‎∠BAO＝‎∠EAF， ∵ ‎∠AOB＝‎∠AFE＝‎90‎‎∘‎，‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎ ∴ ‎△OAB∽△FEA， ∴ OBOA‎=EFAF=‎‎1‎‎3‎， ∵ AF＝‎2‎， ∴ EF=‎‎2‎‎3‎， ∴ EG＝GF−EF＝AO−EF＝‎3−‎2‎‎3‎=‎‎7‎‎3‎， ∴ E(2, −‎7‎‎3‎)‎． ‎ ‎【考点】‎ 二次函数综合题 ‎【解析】‎ ‎（1）将A、B、C的坐标直接代入y＝ax‎2‎+bx+c即可； （2）过点D作DH⊥BC于H，在‎△ABC中，设AC边上的高为h，求出AD与DC的比，证‎△CHD∽△COA，可求出CH，DH，BH的长，可根据正切定义求出结果； （3）求出抛物线对称轴为直线x＝‎2‎，设直线x＝‎2‎与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x＝‎2‎，垂足为F，证‎∠OAC＝‎∠OCA＝‎45‎‎∘‎，‎∠FAC＝‎∠OCA＝‎45‎‎∘‎，推出‎∠BAO＝‎∠EAF，证‎△OAB∽△FEA，即可求出AF的长，EF的长，EG的长，即可写出点E的坐标．‎ ‎【解答】‎ 将A(0, −3)‎、B(1, 0)‎、C(3, 0)‎代入y＝ax‎2‎+bx+c， 得，c=−3‎a+b+c=0‎‎9a+3b+c=0‎‎ ‎， 解得，a=−1‎b=4‎c=−3‎‎ ‎， ∴ 此抛物线的表达式是y＝‎−x‎2‎+4x−3‎；‎ 过点D作DH⊥BC于H， 在‎△ABC中，设AC边上的高为h，则S‎△ABDS‎△BCD‎=‎1‎‎2‎AD⋅h‎1‎‎2‎DC⋅h=ADDC=‎‎3‎‎2‎， 又∵ DH // y轴， ∴ ‎△CHD∽△COA， ∴ CHOC‎=DCAC=DHOA=‎‎2‎‎5‎， ∴ CH＝DH=‎2‎‎5‎×3=‎‎6‎‎5‎， ∴ BH＝BC−CH＝‎2−‎6‎‎5‎=‎‎4‎‎5‎， ∴ tan∠DBC=DHBH=‎‎3‎‎2‎；‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎∵ y＝‎−x‎2‎+4x−3‎＝‎−(x−2‎)‎‎2‎+1‎， ∴ 对称轴为直线x＝‎2‎，设直线x＝‎2‎与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x＝‎2‎，垂足为F， ∵ OA＝OC＝‎3‎， ‎∠AOC＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠OAC＝‎∠OCA＝‎45‎‎∘‎， ∵ AF // x轴， ∴ ‎∠FAC＝‎∠OCA＝‎45‎‎∘‎， ∵ AC平分‎∠BAE， ∴ ‎∠BAC＝‎∠EAC， ∵ ‎∠BAO＝‎∠OAC−∠BAC，‎∠EAF＝‎∠FAC−∠EAC， ∴ ‎∠BAO＝‎∠EAF， ∵ ‎∠AOB＝‎∠AFE＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎△OAB∽△FEA， ∴ OBOA‎=EFAF=‎‎1‎‎3‎， ∵ AF＝‎2‎， ∴ EF=‎‎2‎‎3‎， ∴ EG＝GF−EF＝AO−EF＝‎3−‎2‎‎3‎=‎‎7‎‎3‎， ∴ E(2, −‎7‎‎3‎)‎． ‎ ‎【答案】‎ 与‎△ACD相似的三角形有：‎△ABE、‎△ADC，理由如下： ∵ AB‎2‎ ＝BE⋅DC， ∴ BEAB‎=‎ABDC， ∵ AB＝AC， ∴ ‎∠B＝‎∠C，BEAB‎=‎ACDC， ∴ ‎△ABE∽△DCA． ∵ ‎△ABE∽△DCA， ∴ ‎∠AED＝‎∠DAC． ∵ ‎∠AED＝‎∠C+∠EAC，‎∠DAC＝‎∠DAE+∠EAC， ∴ ‎∠DAE＝‎∠C． ∴ ‎△ADE∽△CDA；‎ ‎∵ ‎△ADE∽△CDA， 又∵ DF平分‎∠ADC， ∴ DGDF‎=DEAD=‎ADCD， 设CE＝a，则DE＝‎3CE＝‎3a，CD＝‎4a， ∴ ‎3aAD‎=‎AD‎4a， 解得：AD＝‎2‎3‎a， ∴ DFDG‎=ADCD=‎2‎3‎a‎4a=‎‎3‎‎2‎；‎ ‎∵ ‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，AB＝AC， ∴ ‎∠B＝‎∠C＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠DAE＝‎∠C＝‎45‎‎∘‎ ∵ DG⊥AE， ∴ ‎∠DAG＝‎∠ADF＝‎45‎‎∘‎， ∴ AG＝DG=‎2‎‎2‎AD=‎2‎‎2‎×2‎3‎a=‎6‎a， ∴ EG=DE‎2‎−DG‎2‎=‎(3a‎)‎‎2‎−(‎6‎a‎)‎‎2‎=‎3‎a， ∴ AE＝AG+EG＝‎(‎6‎+‎3‎)a， ∵ ‎∠AED＝‎∠DAC， ∴ ‎△ADE∽△DFA， ∴ ADDF‎=‎AEAD， ∴ DF=AD‎2‎AE=‎(2‎3‎a‎)‎‎2‎‎(‎6‎+‎3‎)a=4(‎6‎−‎3‎)a， ∴ DGDF‎=‎6‎a‎4(‎6‎−‎3‎)a=‎‎2+‎‎2‎‎4‎．‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 等腰三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ ‎（1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可； （2）由相似三角形的性质即可得出答案； （3）由等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案．‎ ‎【解答】‎ 与‎△ACD相似的三角形有：‎△ABE、‎△ADC，理由如下： ∵ AB‎2‎ ＝BE⋅DC， ∴ BEAB‎=‎ABDC， ∵ AB＝AC， ∴ ‎∠B＝‎∠C，BEAB‎=‎ACDC， ∴ ‎△ABE∽△DCA． ∵ ‎△ABE∽△DCA， ∴ ‎∠AED＝‎∠DAC． ∵ ‎∠AED＝‎∠C+∠EAC，‎∠DAC＝‎∠DAE+∠EAC， ∴ ‎∠DAE＝‎∠C． ∴ ‎△ADE∽△CDA；‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎∵ ‎△ADE∽△CDA， 又∵ DF平分‎∠ADC， ∴ DGDF‎=DEAD=‎ADCD， 设CE＝a，则DE＝‎3CE＝‎3a，CD＝‎4a， ∴ ‎3aAD‎=‎AD‎4a， 解得：AD＝‎2‎3‎a， ∴ DFDG‎=ADCD=‎2‎3‎a‎4a=‎‎3‎‎2‎；‎ ‎∵ ‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，AB＝AC， ∴ ‎∠B＝‎∠C＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠DAE＝‎∠C＝‎45‎‎∘‎ ∵ DG⊥AE， ∴ ‎∠DAG＝‎∠ADF＝‎45‎‎∘‎， ∴ AG＝DG=‎2‎‎2‎AD=‎2‎‎2‎×2‎3‎a=‎6‎a， ∴ EG=DE‎2‎−DG‎2‎=‎(3a‎)‎‎2‎−(‎6‎a‎)‎‎2‎=‎3‎a， ∴ AE＝AG+EG＝‎(‎6‎+‎3‎)a， ∵ ‎∠AED＝‎∠DAC， ∴ ‎△ADE∽△DFA， ∴ ADDF‎=‎AEAD， ∴ DF=AD‎2‎AE=‎(2‎3‎a‎)‎‎2‎‎(‎6‎+‎3‎)a=4(‎6‎−‎3‎)a， ∴ DGDF‎=‎6‎a‎4(‎6‎−‎3‎)a=‎‎2+‎‎2‎‎4‎．‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页