2020年湖北省随州市中考数学试题

2020年湖北省随州市中考数学试题

随州市 2020 年初中毕业升学考试数学试题 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，有且只 有一个是正确的） 1.2020 的倒数是（ ） A. 2020 B. 2020 C. 1 2020 D. 1 2020  【答案】C 【解析】 【分析】 根据倒数的定义解答. 【详解】2020 的倒数是 1 2020 ， 故选：C. 【点睛】此题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键. 2.如图，直线 1 2//l l ，直线l 与 1l ， 2l 分别交于 A ， B 两点，若 1 60  ，则 2 的度数是（ ） A. 60 B. 100 C. 120 D. 140 【答案】C 【解析】 【分析】 如图：先运用两直线平行、同位角相等得到∠3=∠1=60°，然后再根据邻补角的性质得到∠3+∠2=180°，最 后计算即可． 【详解】解：如图： ∵ 1 2//l l ，∠1=60° ∴∠3=∠1=60° ∵∠3+∠2=180° ∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°． 故答案为 C． 【点睛】本题考查了平行的性质和邻补角的性质，掌握平行线的性质（两直线平行、同位角相等）是正确 解答本题的关键． 3.随州 7 月份连续 5 天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：℃），则这组数据的众数和中位数 分别为（ ） A. 30，32 B. 31，30 C. 30，31 D. 30，30 【答案】D 【解析】 【分析】 根据众数和中位数的求解答案来判断即可． 【详解】解：∵7 月份连续 5 天的最高气温分别为：29，30，30，32，34（单位：℃） ∴这组数据的众数是：30 中位数：30 故选：D 【点睛】本题考查了众数和中位数，注意有偶数个数时中位数就是中间两个数的平均数，而个数有奇数个 时，中位数就是中间的一个数． 4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四棱柱 D. 四棱锥 【答案】A 【解析】 【分析】 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． 【详解】俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱． 故选：A． 【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力． 5. 2 2 2 1 4 2x x x   的计算结果为（ ） A. 2 x x  B. 2 2 x x  C. 2 2 x x  D. 2 ( 2)x x  【答案】B 【解析】 【分析】 先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果． 【详解】 2 2 2 1 4 2x x x   = 2 1 ( 2)( 2) ( 2)x x x x    =     2 · 22 2 x xx x   = 2 2 x x  ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的除法，约分是解答的关键． 6.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 问鸡兔各几何”．设鸡有 x 只，兔有 y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ） A. 35 2 4 94 x y x y      B. 35 4 2 94 x y x y      C. 2 35 4 94 x y x y      D. 4 35 2 94 x y x y      【答案】A 【解析】 【分析】 根据“上有三十五头”和“下有九十四足”两个等量关系列二元一次方程组即可． 【详解】解：设鸡有 x 只，兔有 y 只 根据上有三十五头，可得 x+y=35； 下有九十四足，2x+4y=94 即 35 2 4 94 x y x y      ． 故答案为 A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 7.小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（ s ）与出 发时间（ t ）之间的对应关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果． 【详解】解：小明从家出发步行至学校，可以看作是一条缓慢上升的直线； 中间停留一段时间，可以看作与水平方向平行的直线； 从学校乘车返回家，可以看作是一条迅速下降的直线； 结合四个选项，B 符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键． 8.设边长为 a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 h 、r 、 R ，则下列结论不正确．．．的是 （ ） A. h R r  B. 2R r C. 3 4r a D. 3 3R a 【答案】C 【解析】 【分析】 将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明 A 正确,再由构造的直角三角形和 30°特殊角证明 B 正确,利用 勾股定理求出 r 和 R,即可判断 C、D． 【详解】 如图所示,标上各点，AO 为 R，OB 为 r，AB 为 h， 从图象可以得出 AB=AO+OB，即 h R r  ，A 正确； ∵三角形为等边三角形， ∴∠CAO=30°， 根据垂径定理可知∠ACO=90°， ∴AO=2OC，即 R=2r，B 正确； 在 Rt△ACO 中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即 2 2 21 2R a r     ， 由 B 中关系可得：  2 2 212 2r a r     ，解得 3 6 r a ，则 3 3R a ， 所以 C 错误，D 正确； 故选：C． 【点睛】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形． 9.将关于 x 的一元二次方程 2 0x px q   变形为 2x px q  ，就可以将 2x 表示为关于 x 的一次多项式， 从而达到“降次”的目的，又如 3 2 ( )x x x x px q     …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法 可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： 2 1 0x x   ，且 0x  ，则 4 32 3x x x  的值为（ ） A. 1 5 B. 3 5 C. 1 5 D. 3 5 【答案】C 【解析】 【分析】 先求得 2 = +1x x ，代入 4 32 3x x x  即可得出答案． 【详解】∵ 2 1 0x x   ， ∴ 2 = +1x x ，    21 1 4 1 1 1 5x 2 2         ， ∴ 4 32 3x x x  =   21 2 1 3x+ - x x+ + x = 2 22 1 2 2 3x + x+ - x - x+ x = 2 3 1-x + x+ =  1 3 1- x+ + x+ = 2x ， ∵ 1 5 2x  ，且 0x  ， ∴ 1+ 5x 2  ， ∴原式= 1+ 52 =1+ 52  ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次． 10.如图所示，已知二次函数 2y ax bx c   的图象与 x 轴交于 ( 1,0)A  ， (3,0)B 两点，与 y 轴的正半轴 交于点C ，顶点为 D ，则下列结论：① 2 0a b  ；② 2 3c b ；③当 ABC 是等腰三角形时， a 的值有 2 个；④当 BCD 是直角三角形时， 2 2a   ．其中正确的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次函数对称轴的位置可判断；②把两个点代入解析式可得到方程组，解出 B 与 C 的关系即可；③由 图象可知， BC AC ，从而得以判断；④根据直角三角形的 【详解】∵二次函数 2y ax bx c   的图象与 x 轴交于 ( 1,0)A  ， (3,0)B 两点， ∴二次函数的对称轴为 1 3 12x    ， 即 - 12 b a  ， ∴ 2 0a b  ． 故①正确； ∵二次函数 2y ax bx c   的图象与 x 轴交于 ( 1,0)A  ， (3,0)B 两点， ∴ 0a b c   ，9 3 0a b c   ， 又∵ 2b a  ， ∴3 6b a  ，  2 0a a c    ， ∴3 6b a  ，9 6 0a a c   ， ∴2 6c a  ， ∴ 2 3c b ， 故②错误； 由图象可知，当 ABC 是等腰三角形时， BC AC ，只能是 AB AC 或 AB BC ，故 a 有两个值， 故③正确； ∵ BCD 是直角三角形， ∴分两种情况 BD CD 或 DC BC ， 得到的 a 有两个值， 故④错误； 故答案选 B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，准确分析判断是解题的关键． 二、填空题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，只需要将结果直接填写在答题卡对 应题号处的横线上） 11.计算： 2( 1) 9   _____． 【答案】4 【解析】 【分析】 分别进行乘方运算和开根号，相加即可． 【详解】原式=1+3=4． 故答案为 4． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，准确进行幂的运算是解题的关键． 12.如图，点 A ，B ，C 在 O 上，AD 是 BAC 的角平分线，若 120BOC   ，则 CAD 的度数为_____． 【答案】30° 【解析】 【分析】 根据圆周角定理求出 BAC ，再由角平分线的性质可得到结果； 【详解】∵ 120BOC   ， ∴ =60BAC ， 又∵ AD 是 BAC 的角平分线， ∴ 1 302BAD CAD BAC       ， 故答案为 30°． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用，准确运用角平分线的性质是解题的必要步骤． 13.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字 1~9 分别填入 如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是 15，则 m 的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】 本题首先根据每一横行数字之和为 15 求出第一个方格数字，继而根据对角线斜边数字和为 15 求出最后一 格数字，最后根据每一竖行数字之和为 15 求出 m． 【详解】设第一方格数字为 x，最后一格数字为 y，如下图所示： 由已知得：x+7+2=15，故 x=6； 因为 x+5+y=15，将 x=6 代入求得 y=4； 又因为2+m+y=15，将 y=4 代入求得 m=9； 故答案为：9． 【点睛】本题考查新题型，本质是一元一次方程的求解，理清题意，按照图示所给信息逐步列方程求解即 可． 14.如图， ABC 中，点 D ， E ， F 分别为 AB ， AC ， BC 的中点，点 P ， M ， N 分别为 DE ， DF ， EF 的中点，若随机向 ABC 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为____． 【答案】 1 16 【解析】 【分析】 根据三角形的中位线定理建立面积之间的关系,按规律求解，再根据概率公式进行求解即可． 【详解】根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半,并且这两个三角 形相似, 那么第二个△DEF 的面积= 1 4 △ABC 的面积 那么第三个△MPN 的面积= 1 4 △DEF 的面积= 1 16 △ABC 的面积 ∴若随机向 ABC 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为: 1 16 故答案为： 1 16 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，概率公式,解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第三 个三角形的面积与第一个三角形的面积的关系，以及概率公式． 15.如图，直线 AB 与双曲线 ( 0)ky kx   在第一象限内交于 A 、B 两点，与 x 轴交于点 C ，点 B 为线段 AC 的中点，连接OA，若 AOC△ 的面积为 3，则 k 的值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】 设 A 点坐标为 , ka a      ，C 点坐标为 ( ,0)b ，求出 B 点坐标为 ,2 2 a b k a      ，根据 B 点在 ( 0)ky kx   上可 得 2 2 a b k ka    ，整理得 3b a ，再根据三角形面积公式得 1 3 32 ka a    可得 k 的值． 【详解】解：设 A 点坐标为 , ka a      ，C 点坐标为 ( ,0)b ， B 恰为 AC 的中点， B 点的坐标为 ,2 2 a b k a      ， B 点在 ( 0)ky kx   的图象上， 2 2 a b k ka    3b a  3OACS  1 32 kb a    1 3 32 ka a     2k  故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意： 反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式． 16.如图，已知矩形 ABCD 中， 3AB  ， 4BC  ，点 M ， N 分别在边 AD ， BC 上，沿着 MN 折叠矩形 ABCD ，使点 A ，B 分别落在 E ，F 处，且点 F 在线段CD 上（不与两端点重合），过点 M 作 MH BC 于点 H ，连接 BF ，给出下列判断：① MHN BCF ∽ ；②折痕 MN 的长度的取值范围为 153 4MN  ； ③当四边形 CDMH 为正方形时，N 为 HC 的中点；④若 1 3DF DC ，则折叠后重叠部分的面积为 55 12 ．其 中正确的是_____．（写出所有正确判断的序号）. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】 由题意，逐一判定，①由折叠的性质以及等腰三角形三线合一的性质即可判定；②根据题意点 F 在线段 CD 上（不与两端点重合），假设 F 分别在 C、D 两点，即可得出其取值范围；③由相似三角形、正方形的性质 以及勾股定理构建方程，即可判定；④由相似三角形以及勾股定理，得出梯形 MEFN 的面积和△MEO 的面 积，即可得解； 【详解】 由折叠性质，得，BG=FG，BN=FN ∴BF⊥MN ∵∠BIH=∠MIG， MH BC ∴∠HBI=∠GMI ∵∠MHN=∠BCF=90° ∴ MHN BCF ∽ 故①结论正确； 假设 F 与 C 重合时，MN 取得最小值，即为 3； 假设 F 与 D 重合时，MN 取得最大值， ∵ MHN BCF ∽ ∴ MH BC MN BF  ∵MH=3，BC=4， 2 2 2 24 3 5BF BC CF     ∴ 15 4MN  ∵点 F 在线段 CD 上（不与两端点重合） ∴折痕 MN 的长度的取值范围为 153 4MN  故②结论正确； ∵四边形CDMH 为正方形 ∴MH=HC=3 ∴BH=1 ∵ MHN BCF ∽ ∴ MH BC HN CF  令 HN x ，则 3CN x  ， 1FN BN x   ∴    2 22 2 1 3CF FN NC x x      ∴    2 2 3 4 1 3x x x     ∴ 1 3 2x  ， 2 3x  （不符合题意，舍去） ∴ 1 2HN HC ，即 N 为 HC 的中点 故③结论正确； ④∵ 1 3DF DC ，AB=CD=3 ∴DF=1，CF=2 ∴ 2 2 2 24 2 2 5BF BC CF     ∴BG=GF= 5 ∵ MHN BCF ∽ ∴ MH BC HN CF  ∴HN= 3 2 ∵△FGN∽△MHN ∴GN= 5 2 ∴   2 22 2 5 552 2FN NG NF          ∴ 2 2 2 25 322 2CN FN CF         ∴BH=BC-HN-NC=4- 3 2 - 3 2 =1 ∵∠EMO=∠CNF，∠MEO=∠NCF=90° ∴△MEO∽△NCF ∴ ME NC EO CF  ∴EO= 4 3 ∴折叠后重叠部分的面积为：  1 1 1 5 1 4 551 3 12 2 2 2 2 3 12MEOMEFNS S ME FN EF ME EO                △梯形 故④结论正确； 故答案为：①②③④. 【点睛】此题主要考查矩形的折叠性质以及相似三角形的综合运用，熟练掌握，即可解题. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 17.先化简，再求值： ( 2 ) 2 ( )a a b b a b   ，其中 5a  ， 3b  ． 【答案】 2 22a b ， 1 ． 【解析】 【分析】 先根据整式的乘法法则化简整式，再将字母的值代入结果计算求值即可． 【详解】 ( 2 ) 2 ( )a a b b a b   2 22 2 2a ab ab b    2 22a b  当 5, 3a b  时， 原式 2 2( 5) 2 ( 3) 5 6 1       ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算----化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法． 18.已知关于 x 的一元二次方程 2 (2 1) 2 0x m x m     ． （1）求证：无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根 1x ， 2x ，且 1 2 1 23 1x x x x   ，求 m 的值． 【答案】（1）见解析；（2） 8m  ． 【解析】 【分析】 （1）求出△的值即可证明； （2），根据根与系数的关系得到 1 2 1 2 (2 1) 2 x x m x x m        ，代入 1 2 1 23 1x x x x   ，得到关于 m 的方程，然后 解方程即可． 【详解】（1）证明：依题意可得 2(2 1) 4( 2)m m     24 9 0m   故无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得： 1 2 1 2 (2 1) 2 x x m x x m        由 1 2 1 23 1x x x x   ，得 (2 1) 3( 2) 1m m     ，解得 8m  ． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根 与系数的关系：x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=− b a ，x1x2= c a ． 19.根据公安部交管局下发的通知，自 2020 年 6 月 1 日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就 要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了 50 名不带头盔的骑行 者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题： 年龄 x （岁） 人数 男性占比 20x  4 50% 20 30x  m 60% 30 40x  25 60% 40 50x  8 75% 50x  3 100% （1）统计表中 m 的值为_______； （2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30 40x  ”部分所对应扇形的圆心角 的度数为_______； （3）在这 50 人中女性有______人； （4）若从年龄在“ 20x  ”的 4 人中随机抽取 2 人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求 恰好抽到 2 名男性的概率． 【答案】（1）10；（2）180 ；（3）18；（4）P（恰好抽到 2 名男性） 1 6  ． 【解析】 【分析】 （1）用 50-4-25-8-3 可求出 m 的值； （2）用 360°乘以年龄在“30 40x  ”部分人数所占百分比即可得到结论； （3）分别求出每个年龄段女性人数，然后再相加即可； （4）年龄在“ 20x  ”的 4 人中，男性有 2 人，女性有 2 人，分别用 A1，A2 表示男性，用 B1，B2 表示女性， 然后画出树状图表示出所有等可能结果数，以及关注的事件数，然后利用概率公式进行求解即可. 【详解】解：（1）m=50-4-25-8-3=10； 故答案为：10； （2）360°× 25 50 =180 ； 故答案为：180 ； （3）在这 50 人中女性人数为： 4×（1-50%）+10×（1-60%）+25×（1-60%）+8×（1-75%）+3×（1-100%） =2+4+10+2+0 =18； 故答案为：18； （4）设两名男性用 1 2,A A 表示，两名女性用 1 2,B B 表示，根据题意： 可画出树状图： 或列表： 第 2 人 第 1 人 1A 2A 1B 2B 1A 1 2A A 1 1A B 1 2A B 2A 2 1A A 2 1A B 2 2A B 1B 1 1B A 1 2B A 1 2B B 2B 2 1B A 2 2B A 2 1B B 由上图（或上表）可知，共有 12 种等可能的结果，符合条件的结果有 2 种， 故 P（恰好抽到 2 名男性） 2 1 12 6   ． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及频数分布表．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情 况数之比． 20.如图，某楼房 AB 顶部有一根天线 BE ，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点 C ，D ， A ，在点C 处测得天线顶端 E 的仰角为 60 ，从点C 走到点 D ，测得 5CD  米，从点 D 测得天线底端 B 的 仰角为 45 ，已知 A ， B ， E 在同一条垂直于地面的直线上， 25AB  米． （1）求 A 与C 之间的距离； （2）求天线 BE 的高度．（参考数据： 3 1.73 ，结果保留整数） 【答案】（1） ,A C 之间的距离为 30 米；（2）天线 BE 的高度约为 27 米． 【解析】 【分析】 （1）根据题意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故 AD=AB，已知 CD=5，不难算出 A 与 C 之间的距离． （2）根据题意，在 Rt ACE△ 中， 60ACE   ，利用三角函数可算出 AE 的长，又已知 AB，故 EB 即可 求解． 【详解】（1）依题意可得，在 Rt ABD△ 中， 45ADB   ， 25AD AB   米， 5CD  米， 25 5 30AC AD CD      米. 即 ,A C 之间的距离为 30 米． （2）在 Rt ACE△ 中， 60ACE   ， 30AC  米， 30 tan60 30 3AE     （米）， 25AB  米， 30 3 25)(BE AE AB     米． 由 3 1 73 ． ．并精确到整数可得 27BE  米． 即天线 BE 的高度约为 27 米． 【点睛】（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． （2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键． 21.如图，在 Rt ABC 中， 90ACB   ，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作 O ，与 BC 交于点 M ，与 AB 的另一个交点为 E ，过 M 作 MN AB ，垂足为 N ． （1）求证： MN 是 O 的切线； （2）若 O 的直径为 5， 3sin 5B  ，求 ED 的长． 【答案】（1）见解析；（2） 7 5ED  ． 【解析】 【分析】 （1）欲证明 MN 为⊙O 的切线，只要证明 OM⊥MN． （2）连接 ,DM CE ，分别求出 BD=5，BE= 32 5 ，根据 ED BE BD  求解即可． 【详解】（1）证明：连接 OM ， OC OM ， OCM OMC   ． 在 Rt ABC 中， CD 是斜边 AB 上的中线， 1 2CD AB BD   ， DCB DBC   ， OMC DBC   ， / /OM BD ， MN BD ， MN OM  ， MN 是 O 的切线． （2）连接 ,DM CE ，易知 ,DM BC CE AB  ， 由（1）可知 5BD CD  ，故 M 为 BC 的中点， 3sin 5B  ， 4cos 5B  ， 在 Rt BMD△ 中， cos 4BM BD B   ， 2 8BC BM   ． 在 Rt CEB 中， 32cos 5BE BC B   ， 32 755 5ED BE BD      ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定 理是解题的关键． 22.2020 年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按 30 天计）前 5 天的 某型号口罩销售价格 p （元/只）和销量 q（只）与第 x 天的关系如下表： 第 x 天 1 2 3 4 5 销售价格 p （元/只） 2 3 4 5 6 销量 q（只） 70 75 80 85 90 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于 1 元/只，该药店从第 6 天起将 该型号口罩的价格调整为 1 元/只．据统计，该药店从第 6 天起销量 q（只）与第 x 天的关系为 22 80 200q x x    （ 6 30x  ，且 x 为整数），已知该型号口罩的进货价格为 0.5 元/只． （1）直接写出．．．．该药店该月前 5 天的销售价格 p 与 x 和销量 q与 x 之间的函数关系式； （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与 x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大； （3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外 的非法所得部分处以 m 倍的罚款，若罚款金额不低于 2000 元，则 m 的取值范围为______． 【 答 案 】（ 1 ） 1p x  ， 1 5x≤ ≤ 且 x 为 整 数 ， 5 65q x  ， 1 5x≤ ≤ 且 x 为 整 数 ；（ 2 ） 2 2 135 655 , 1 52 2 40 100, 6 30 x x x xW x x x x        且 为整数 且 为整数 „ „ „ „ ，第 5 天时利润最大；（3） 8 5m… ． 【解析】 【分析】 （1）根据表格数据，p 是 x 的一次函数，q 是 x 的一次函数，分别求出解析式即可； （2）根据题意，求出利润 w 与 x 的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值． （3）先求出前 5 天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出 m 的取值范围． 【详解】（1）观察表格发现 p 是 x 的一次函数，q 是 x 的一次函数， 设 p=k1x+b1， 将 x=1，p=2；x=2，p=3 分别代入得： 1 1 1 1 2 3 2 k b k b      ， 解得： 1 1 1 1 k b    ， 所以 1p x  ， 经验证 p=x+1 符合题意， 所以 1p x  ，1 5x≤ ≤ 且 x 为整数； 设 q=k2x+b2， 将 x=1，q=70；x=2，q=75 分别代入得： 2 2 2 2 70 75 2 k b k b      ， 解得： 2 2 5 65 k b    ， 所以 5 65q x  ， 经验证 5 65q x  符合题意， 所以 5 65q x  ，1 5x≤ ≤ 且 x 为整数； （2）当1 5x≤ ≤ 且 x 为整数时， ( 1 0.5)(5 65)W x x    2 135 655 2 2x x   ； 当 6 30x  且 x 为整数时，  2(1 0.5) 2 80 200W x x     2 40 100x x    ； 即有 2 2 135 655 , 1 52 2 40 100, 6 30 x x x xW x x x x        且 为整数 且 为整数 „ „ „ „ ； 当1 5x≤ ≤ 且 x 为整数时，售价，销量均随 x 的增大而增大， 故当 5x  时， 495W 最大 （元） 当 6 30x  且 x 为整数时， 2 240 100 ( 20) 300W x x x        故当 20x = 时， 300W 最大 （元）； 由 495 300 ，可知第 5 天时利润最大． （3）根据题意， 前 5 天的销售数量为： 70 75 80 85 90 400q       （只）， ∴前 5 天多赚的利润为： (2 70 3 75 4 80 5 85 6 90) 1 400 1650 400 1250W                （元）， ∴1250 2000m  ， ∴ 8 5m… ； ∴ m 的取值范围为 8 5m… ． 【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，一次函数的应用，不等式的应用，也考查了二次函数的基本 性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． 23.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》 中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图 1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理； ②勾股定理的证明，人们已经找到了 400 多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定 理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）①如图 4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三 个图形中面积关系满足 1 2 3S S S  的有_______个； ②如图 7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别 为 1S ， 2S ，直角三角形面积为 3S ，请判断 1S ， 2S ， 3S 的关系并证明； （3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复 这一过程就可以得到如图 8 所示的“勾股树”．在如图 9 所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形 M 的 边长为定值 m ，四个小正方形 A ， B ，C ， D 的边长分别为 a ，b ，c ，d ，已知 1 2 3        ， 则当  变化时，回答下列问题：（结果可用含 m 的式子表示） ① 2 2 2 2a b c d    _______； ②b 与 c 的关系为_______， a 与 d 的关系为_______． 【答案】（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为 ,a b ，斜边为 c，那么 2 2 2 a b c ，（或者：在直角三 角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析；（2）①3，②结论 1 2 3S S S  ；（3）① 2m ， ②b c ， a d m  ． 【解析】 【分析】 （1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可； ②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立； （2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为 a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即 可得到答案； ②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案； （3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知， 2 2 2 2 2a b c d m    ； ②由 1 2 3        ，则sin1 sin 2 sin3 sin   ，同理可得 cos1 cos2 cos3 cos   ，利用 解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案． 【详解】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为 ,a b ，斜边为 c，那么 2 2 2 a b c ． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明： 在图 1 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即 2 21 4 ( )2c ab b a    ， 化简得 2 2 2 a b c ． 在图 2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即 2 2 1( ) 42a b c ab    ，化简得 2 2 2 a b c ． 在图 3 中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即 21 1 1( )( ) 22 2 2a b a b ab c     ，化简 2 2 2 a b c ． （2）①根据题意，则如下图所示： 在图 4 中，直角三角形的边长分别为 a、b、c，则 由勾股定理，得 2 2 2 a b c ， ∴ 1 2 3S S S  ； 在图 5 中，三个扇形的直径分别为 a、b、c，则 2 2 1 1 1( )2 2 8 aS a    ， 2 2 2 1 1( )2 2 8 bS b    ， 2 2 3 1 1( )2 2 8 cS c    ， ∴ 2 2 1 2 1 ( )8S S a b   ， ∵ 2 2 2 a b c ， ∴ 2 2 21 1( )8 8a b c   ， ∴ 1 2 3S S S  ； 在图 6 中，等边三角形的边长分别为 a、b、c，则 2 2 1 1 3sin 602 4S a a   ， 2 2 2 1 3sin 602 4S b b   ， 2 2 3 1 3sin 602 4S c c   ， ∵ 2 2 1 2 3 ( )4S S a b   ， 2 2 2 a b c ， ∴ 2 2 23 3( )4 4a b c  ， ∴ 1 2 3S S S  ； ∴满足 1 2 3S S S  的有 3 个， 故答案为：3； ②结论 1 2 3S S S  ； 2 2 2 1 2 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a b cS S S                       2 2 2 1 2 3 1 8S S a b c S      2 2 2a b c  ， 1 2 3S S S   ； （3）①如图 9，正方形 A、B、C、D、E、F、M 中，对应的边长分别为 a、b、c、d、e、f、m，则有 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：A+B=E，C+D=F，E+F=M， ∴ 2 2 2a b e  ， 2 2 2c d f  ， 2 2 2e f m  ， ∴ 2 2 2 2 2a b c d m    故答案为： 2m ； ②∵ 1 2 3        ， ∴sin1 sin 2 sin3 sin   ， cos1 cos2 cos3 cos   ， 由解直角三角形和正方形的性质，则 cose m    ， sinb e    ， ∴ cos sinb m       ； 同理： sin cosc m       ； cos cosa m       ； sin sind m       ； ∴b c ， ∴ 2 2(cos sin )a d m      ， ∵ 2 2cos sin 1   ， ∴ a d m  ． 故答案为：b c ； a d m  ． 【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，解题的关键是 掌握勾股定理的应用，注意归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是 中档题． 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 1y ax bx   的对称轴为直线 3 2x  ，其图象与 x 轴交于点 A 和 点 (4,0)B ，与 y 轴交于点C ． （1）直接写出抛物线的解析式和 CAO 的度数； （2）动点 M ， N 同时从 A 点出发，点 M 以每秒 3 个单位的速度在线段 AB 上运动，点 N 以每秒 2 个 单位的速度在线段 AC 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 ( 0)t t  秒，连接 MN ，再将线段 MN 绕点 M 顺时针旋转 90 ，设点 N 落在点 D 的位置，若点 D 恰好落 在抛物线上，求 t 的值及此时点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，设 P 为抛物线上一动点，Q 为 y 轴上一动点，当以点C ， P ，Q 为顶点的三角形 与 MDB△ 相似时，请直接写出．．．．点 P 及其对应的点Q 的坐标．（每写出一组正确的结果得 1 分，至多得 4 分） 【 答 案 】（ 1 ） 21 3 14 4y x x    ， 45CAO   ；（ 2 ） t= 3 4 ， D 点 坐 标 为 32, 2      ； （ 3 ） 1 3 495, , 0,2 6P Q           ； 2 2 3 535, , 0,2 22P Q           ； 3 3 3 171, , 0,2 6P Q          ； 4 4 3 371, , 0,2 22P Q          ； 5 5 25 91 257, , 0,3 9 18P Q           ； 6 6 25 91 1151, , 0,3 9 99P Q           ； 7 7 7 19 59, , 0,3 9 18P Q            ； 8 8 7 19 251, , 0,3 9 99P Q            9 9 41 39 373, , 0,11 121 242P Q          ； 10 10 41 39 1687, , 0,11 121 363P Q          ； 11 11 25 171 617, , 0,11 121 242P Q          ； 12 12 25 171 1613, , 0,11 121 363P Q          ． 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的对称轴以及点 B 坐标可求出抛物线表达式； （2）过点 N 作 NE AB 于 E，过点 D 作 DF AB 于 F，证明 NEM MFD△ ≌△ ，得到 ,NE MF EM DF  ，从而得到点 D 坐标，代入抛物线表达式，求出 t 值即可； （3）设点 P（m， 21 3 14 4m m   ），当点 P 在 y 轴右侧，点 Q 在 y 轴正半轴，过点 P 作 PR⊥y 轴于点 R， 过点 D 作 DS⊥x 轴于点 S，根据△CPQ∽△MDB，得到 CP PR MD DS  ，从而求出 m 值，再证明△CPQ∽△MDB， 求出 CQ 长度，从而得到点 Q 坐标，同理可求出其余点 P 和点 Q 坐标. 【详解】解：（1）∵抛物线 2 1y ax bx   的对称轴为直线 3 2x  ， ∴ 3 2 2 b a   ，则 b=-3a， ∵抛物线经过点 B（4，0）， ∴16a+4b+1=0，将 b=-3a 代入， 解得：a= 1 4  ，b= 3 4 ， 抛物线的解析式为： 21 3 14 4y x x    ， 令 y=0，解得：x=4 或-1， 令 x=0，则 y=1， ∴A（-1，0），C（0，1）， ∴tan∠CAO= 1CO AO  , ∴ 45CAO   ； （2）由（1）易知  1,0A  ， 过点 N 作 NE AB 于 E，过点 D 作 DF AB 于 F， ∵∠DMN=90°， ∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°， ∴∠DMF=∠ENM， NM DM ， 90DMN   ， NEM MFD ≌ （AAS）， ,NE MF EM DF   ， 由题意得： 45CAO   ， 2AN t ， 3AM t ， , 2AE CE t EM AM AE t      ， 2 , , 4 1DF t MF t OF t     ，  4 1,2D t t  ， 21 3(4 1) (4 1) 1 24 4t t t      ，又 0t  ， 故可解得：t= 3 4 或 0（舍）， 经检验，当 t= 3 4 时，点 ,M N 均未到达终点，符合题意， 此时 D 点坐标为 32, 2      ； （3）由（2）可知：D 32, 2      ，t= 3 4 时，M（ 5 4 ，0），B（4，0），C（0，1）， 设点 P（m， 21 3 14 4m m   ）， 如图，当点 P 在 y 轴右侧，点 Q 在 y 轴正半轴， 过点 P 作 PR⊥y 轴于点 R，过点 D 作 DS⊥x 轴于点 S， 则 PR=m，DS= 3 2 ， 若△CPQ∽△MDB， ∴ CP PR MD DS  ，则 2 2 2 2 CP PR MD DS  ， 2 2 2 2 1 3 4 4 45 9 16 4 m m m m        ，解得：m=0（舍）或 1 或 5（舍）， 故点 P 的坐标为： 31, 2      ， ∵△CPQ∽△MDB， ∴ CP CQ PR MD MB DS   ， 当点 P 31, 2      时， 1 11 3 4 2 CQ  ，解得：CQ=11 6 ，11 1716 6   ， ∴点 Q 坐标为（0，17 6 ）， 3 171, , 0,2 6P Q           ； 同理可得：点 P 和点 Q 的坐标为： 1 3 495, , 0,2 6P Q           ； 2 2 3 535, , 0,2 22P Q           ； 3 3 3 171, , 0,2 6P Q          ； 4 4 3 371, , 0,2 22P Q          ； 5 5 25 91 257, , 0,3 9 18P Q           ； 6 6 25 91 1151, , 0,3 9 99P Q           ； 7 7 7 19 59, , 0,3 9 18P Q            ； 8 8 7 19 251, , 0,3 9 99P Q            9 9 41 39 373, , 0,11 121 242P Q          ； 10 10 41 39 1687, , 0,11 121 363P Q          ； 11 11 25 171 617, , 0,11 121 242P Q          ； 12 12 25 171 1613, , 0,11 121 363P Q          . 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，二次函数表达式，全等三角形的判定和 性质，相似三角形的性质，难度较大，计算量较大，解题时注意结合函数图像，找出符合条件的情形.