人教版【初中数学】知识点总结-全面整理+九上数学全册教案

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人教版【初中数学】 知识点总结-全面整理+九上数学全册教案 人教版初中数学知识点总结 目 录 七年级数学（上）知识点.......................................................................1 第一章 有理数................................................................................... 1 第二章 整式的加减.........................................................................3 第三章 一元一次方程.......................................................................4 第四章 图形的认识初步...................................................................5 七年级数学（下）知识点.......................................................................6 第五章 相交线与平行线...............................................................6 第六章 平面直角坐标系.................................................................8 第七章 三角形................................................................................. 9 第八章 二元一次方程组...............................................................12 第九章 不等式与不等式组...........................................................13 第十章 数据的收集、整理与描述...............................................13 八年级数学（上）知识点.....................................................................14 第十一章 全等三角形...................................................................14 第十二章 轴对称...........................................................................15 第十三章 实数...............................................................................16 第十四章 一次函数.......................................................................17 第十五章 整式的乘除与分解因式...............................................18 八年级数学（下）知识点.....................................................................19 第十六章 分式...............................................................................19 第十七章 反比例函数...................................................................20 第十八章 勾股定理.......................................................................21 第十九章 四边形...........................................................................22 第二十章 数据的分析...................................................................23 九年级数学（上）知识点.....................................................................24 第二十一章 二次根式...................................................................24 第二十二章 一元二次根式...........................................................25 第二十三章 旋转...........................................................................26 第二十四章 圆...............................................................................27 第二十五章 概率...........................................................................28 九年级数学（下）知识点.....................................................................30 第二十六章 二次函数...................................................................30 第二十七章 相似...........................................................................32 第二十八章 锐角三角函数...........................................................33 第二十九章 投影与视图...............................................................34 七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方 程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一． 知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成 )0pq,p(p q 为整数且 形式的数，都是有理数.正整数、0、负整 数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注 意：0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正 数；不是有理数； (2)有理数的分类: ①          负分数 负整数负有理数 零 正分数 正整数正有理数 有理数 ②            负分数 正分数分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的 相反数还是 0； (2)相反数的和为 0  a+b=0  a、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相 反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：        )0a(a )0a(0 )0a(a a 或    )0a(a )0a(aa ；绝对值的问题 经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永 远比 0 大，负数永远比 0 小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数 比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左 边的数大；（6）大的数-小的数 ＞ 0，小的数-大的数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；若 a ≠0，那么 a 的倒数是 a 1 ；若 ab=1 a、b 互为倒数；若 ab=-1 a、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去 较小的绝对值； （3）一个数与 0 相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 a-b=a+ （-b）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零， 积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac . 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零 不能做除数， 无意义即 0 a . 13．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当 n 为正 奇数时: (-a)n=-an 或(a -b)n=-(b-a)n , 当 n 为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n . 14．乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘 方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a×10n 的形式，其中 a 是 整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近 似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所 有数字，都叫这个近似数的有效数字. 请判断下列题的对错,并解释. 1.近似数 25.0 的精确度与近似数 25 一样. 2.近似数 4 千万与近似数 4000 万的精确度一样. 3.近似数 660 万,它精确到万位.有三个有效数字. 4.用四舍五入法得近似数 6.40 和 6.4 是相等的. 5.近似数 3.7x10 的二次方与近似数 370 的精确度一样. 1、错。前者精确到十分位（小数点后面一位），后者精确到个位数。 2、错。4 千万精确到千万位，4000 万精确到万位。 3、对。 4、错。值虽然相等，但是取之范围和精确度不同 5、错。3.7x10^2 精确到十位,370 精确到个位 相关概念：有效数字：是指从该数字左边第一个非 0 的数字到该数字 末尾的数字个数（有点绕口）。 举几个例子：3 一共有 1 个有效数字，0.0003 有一个有效数字，0.1500 有 4 个有效数字，1.9*10^3 有两个有效数字（不要被 10^3 迷惑，只 需要看 1.9 的有效数字就可以了，10^n 看作是一个单位）。 精确度：即数字末尾数字的单位。比如说：9800.8 精确到十分位（又 叫做小数点后面一位），80 万精确到万位。9*10^5 精确到 10 万位 （总共就 9 一个数字，10^n 看作是一个单位，就和多少万是一个概 念）。 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习 数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用 有理数的运算法则解决实际问题. 体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学 的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确 的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时，应该多创设 情境，充分体现学生学习的主体性地位。 第二章 整式的加减 一．知识框架 二.知识概念 1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含 有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式. 2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的 数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指 数的和，叫单项式的次数. 3．多项式：几个单项式的和叫多项式. 4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的 项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多 项式的次数。 通过本章学习，应使学生达到以下学习目标： 1. 理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与 联系。 2. 理解同类项概念，掌握合并同类项的方法，掌握去括号时符号的变 化规律，能正确地进行同类项的合并和去括号。在准确判断、正确合 并同类项的基础上，进行整式的加减运算。 3. 理解整式中的字母表示数，整式的加减运算建立在数的运算基础 上；理解合并同类项、去括号的依据是分配律；理解数的运算律和运 算性质在整式的加减运算中仍然成立。 4．能够分析实际问题中的数量关系，并用还有字母的式子表示出来。 在本章学习中，教师可以通过让学生小组讨论、合作学习等方 式，经历概念的形成过程，初步培养学生观察、分析、抽象、概括等 思维能力和应用意识。 第三章 一元一次方程 一． 知识框架 二．知识概念 1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，并 且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程. 2．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a、b 是已知数， 且 a≠0）. 3．一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 …… 去分母 …… 去 括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为 1 …… （检验方 程的解）. 4．列一元一次方程解应用题： （1）读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少， 是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列 出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关 系填入代数式，得到方程. （2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题， 依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找 相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量 与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获 得方程的基础. 11．列方程解应用题的常用公式： （1）行程问题： 距离=速度·时间 时间 距离速度  速度 距离时间  ； （2）工程问题： 工作量=工效·工时 工时 工作量工效  工效 工作量工时  ； （3）比率问题： 部分=全体·比率 全体 部分比率  比率 部分全体  ； （4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水 速度-水流速度； （5）商品价格问题： 售价=定价·折· 10 1 ，利润=售价-成本， %100 成本 成本售价利润率 ； （6）周长、面积、体积问题：C 圆=2πR，S 圆=πR2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab， C 正方形=4a， S 正方形=a2，S 环形=π(R2-r2),V 长方体=abc ，V 正方体=a3，V 圆柱=πR2h ，V 圆锥= 3 1 πR2h. 本章内容是代数学的核心，也是所有代数方程的基础。丰富多彩 的问题情境和解决问题的快乐很容易激起学生对数学的乐趣，所以要 注意引导学生从身边的问题研究起，进行有效的数学活动和合作交 流，让学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，提升能力，体 会数学思想方法。 第四章 图形的认识初步 知识框架 本章的主要内容是图形的初步认识，从生活周围熟悉的物体入 手，对物体的形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形.通过从 不同方向看立体图形和展开立体图形，初步认识立体图形与平面图形 的联系.在此基础上，认识一些简单的平面图形——直线、射线、线 段和角. 本章书涉及的数学思想： 1.分类讨论思想。在过平面上若干个点画直线时，应注意对这些点分 情况讨论；在画图形时，应注意图形的各种可能性。 2.方程思想。在处理有关角的大小，线段大小的计算时，常需要通过 列方程来解决。 3.图形变换思想。在研究角的概念时，要充分体会对射线旋转的认识。 在处理图形时应注意转化思想的应用，如立体图形与平面图形的互相 转化。 4.化归思想。在进行直线、线段、角以及相关图形的计数时，总要划 归到公式 n(n-1)/2 的具体运用上来。 七年级数学（下）知识点 人教版七年级数学下册主要包括相交线与平行线、平面直角坐标 系、三角形、二元一次方程组、不等式与不等式组和数据的收集、整 理与表述六章内容。 第五章 相交线与平行线 一、知识框架 二、知识概念 1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公 共边的两个角是邻补角。 2.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这 样的两个角互为对顶角。 3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一 条的垂线。 4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 5.同位角、内错角、同旁内角： 两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对 内错角，两对同旁内角。 同位角：∠1 与∠5 像这样具有相同位置关系的一 对角叫做同位角。 内错角：∠4 与∠6 像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：∠4 与∠5 像这样的一对角叫做同旁内角。 6.命题：判断一件事情的语句叫命题。 7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的 这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点 移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 9.定理与性质 对顶角的性质：对顶角相等。 10 垂线的性质： 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直 线也互相平行。 12.平行线的性质： 性质 1：两直线平行，同位角相等。 性质 2：两直线平行，内错角相等。 性质 3：两直线平行，同旁内角互补。 13.平行线的判定： 判定 1：同位角相等，两直线平行。 判定 2：内错角相等，两直线平行。 判定 3：同旁内角互补，两直线平行。 本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位 置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直 所具有的特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有 关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案. 重点:垂线和 它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些 的组织运用. 难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区 别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。 第六章 平面直角坐标系 一．知识框架 二．知识概念 1.有序数对：有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对叫做有序数对，记做 （a,b） 2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组 成平面直角坐标系。 3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为 x 轴或横轴；竖直的数轴称为 y 轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 4.坐标：对于平面内任一点 P，过 P 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足 分别在 x 轴，y 轴上，对应的数 a,b 分别叫点 P 的横坐标和纵坐标。 5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按 逆时针方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不 在任何一个象限内。 平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡，同时它又是学习函 数的基础，起到承上启下的作用。另外，平面直角坐标系将平面内的 点与数结合起来，体现了数形结合的思想。掌握本节内容对以后学习 和生活有着积极的意义。教师在讲授本章内容时应多从实际情形出 发，通过对平面上的点的位置确定发展学生创新能力和应用意识。 第七章 三角形 一．知识框架 二．知识概念 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 叫做三角形。 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第 三边。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足 间的线段叫做三角形的高。 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角 形的中线。 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个 角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三 角形的稳定性。 6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边 形。 7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 多边形内角和定理:n 边形的内角的和等于： （n － 2）×180°，则正 多边形各内角度数为： （n － 2）×180°÷n 多边形内角和定理证明 证法一：在 n 边形内任取一点 O，连结 O 与各个顶点，把 n 边 形分成 n 个三角形. 因为这 n 个三角形的内角的和等于 n·180°，以 O 为公共顶点 的 n 个角的和是 360° 所以 n 边形的内角和是 n·180°-2×180°=（n-2）·180°. 即 n 边形的内角和等于（n-2）×180°. 证法二：连结多边形的任一顶点 A1 与其他各个顶点的线段， 把 n 边形分成（n-2）个三角形. 因为这（n-2）个三角形的内角和都等于（n-2）·180° 所以 n 边形的内角和是（n-2）×180°. 证法三：在 n 边形的任意一边上任取一点 P，连结 P 点与其它 各顶点的线段可以把 n 边形分成（n-1）个三角形， 这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）·180° 以 P 为公共顶点的（n-1）个角的和是 180° 所以 n 边形的内角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°. 已知正多边形内角度数则其边数为：360÷（180－内角度数） 8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多 边形的外角。 外角和=N*180-（N-2）*180=360 度。 注：在不考虑角度方向的情况下，以上所述的 N 边形，仅为任意‘凸’ 多边形。当考虑角度方向的时候，上面的论述也适合凹多边形。 9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边 形的对角线。 10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫 做正多边形。 11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖， 叫做用多边形覆盖平面。 镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是 360°． 1．全等的任意三角形能镶嵌平面 把一些纸整齐地叠放好，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角 形．用这些全等的三角形可镶嵌平面．这是因为三角形的内角和是 180°，用 6 个全等的三角形即可镶嵌出一个平面．如图 1．用全等 的三角形镶嵌平面，镶嵌的方法不止一种，如图 2． 2．全等的任意四边形能镶嵌平面。 仿上面的方法可剪出多个全等的四边形，用它们可镶嵌平面．这 是因为四边形的内角和是 360°，用 4 个全等的四边形即可镶嵌出一 个平面．如图 3．其实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三 角形进行镶嵌．如图 4． 3．全等的特殊五边形可镶嵌平面 圣地亚歌一位家庭妇女，五个孩子的母亲玛乔里·赖斯，对平面 镶嵌有很深的研究，尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结 论．1968 年克什纳断言只有 8 类五边形能镶嵌平面，可是玛乔里·赖 斯后来又找到了 5 类五边形能镶嵌平面，在图 5 的五边形 ABCDE 中，∠B=∠E=90°，2∠A＋∠D=2∠C＋∠D=360°，a=e，a＋e=d．图 6 是她于 1977 年 12 月找到的一种用此五边形镶嵌的方法．用五边 形镶嵌平面，是否只有 13 类，还有待研究． 4．全等的特殊六边形可镶嵌平面 1918 年，莱因哈特证明了只有 3 类六边形能镶嵌平面．图 7 是其中之一．在图 7 的六边形 ABCDEF 中，∠A＋∠B＋∠C=360°， a=d． 5．七边形或多于七边的凸多边形，不能镶嵌平面． 只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面，用其它正多边 形不能镶嵌平面． 例如：用正三角形和正六形的组合进行镶嵌．设在一个顶点周 围有 m 个正三角形的角，有 n 个正六边形的角．由于正三角形的每 个角是 60°，正六边形的每个角是 120°．所以有 m·60°＋n·120°=360°，即 m＋2n=6． 这个方程的正整数解 或 可见用正三角形和正六边形镶嵌，有两种类型，一种是在一个顶点 的周围有 4 个正三角形和 1 个正六边形，另一种是在一个顶点的周 围有 2 个正三角形和 2 个正六边形． 埃舍尔_百度百科 12.公式与性质 三角形的内角和：三角形的内角和为 180° 三角形外角的性质： 性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180° 多边形的外角和：多边形的内角和为 360°。 多边形对角线的条数：（1）从 n 边形的一个顶点出发可以引（n-3） 条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。 （2）n 边形共有 2 3)-n(n 条对角线。 三角形是初中数学中几何部分的基础图形，在学习过程中，教师 应该多鼓励学生动脑动手，发现和探索其中的知识奥秘。注重培养学 生正确的数学情操和几何思维能力。 第八章 二元一次方程组 一．知识结构图 二、知识概念 1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是 1，像这 样的方程叫做二元一次。方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。 2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二 元一次方程组。 3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知 数的值叫做二元一次方程组的解。 4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共 解叫做二元一次方程组。 5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。 6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再 代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这 种方法叫做代入消元法，简称代入法。 7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两 个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做 加减消元法，简称加减法。 本章通过实例引入二元一次方程,二元一次方程组以及二元一次 方程组的概念,培养学生对概念的理解和完整性和深刻性,使学生掌握 好二元一次方程组的两种解法. 重点:二元一次方程组的解法,列二元 一次方程组解决实际问题. 难点:二元一次方程组解决实际问题 第九章 不等式与不等式组 一．知识框架 二、知识概念 1.用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等 式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等 式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等 式合在一起，就组成 6.了一个一元一次不等式组。 7.定理与性质 不等式的性质： 不等式的基本性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或 式子），不等号的方向不变。 不等式的基本性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变。 不等式的基本性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变。 本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并 应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握 运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增 强创新精神和应用数学的意识。 第十章 数据的收集、整理与描述 一．知识框架 全面调查 抽样调查 收 集 数 据 描 述 数 据 整 理 数 据 分 析 数 据 得 出 结 论 二．知识概念 1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽 样调查。 3.总体：要考察的全体对象称为总体。 4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。 6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 8.频率：频数与数据总数的比为频率。 9.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组， 分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。 本章要求通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动，经 历统计的一般过程，感受统计在生活和生产中的作用，增强学习统计 的兴趣，初步建立统计的观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学 态度。 八年级数学（上）知识点 人教版八年级上册主要包括全等三角形、轴对称、实数、一次函数和 整式的乘除与分解因式五个章节的内容。 第十一章 全等三角形 一．知识框架 二．知识概念 1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以 经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两 个三角形称为全等三角形。 2．全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。 3.三角形全等的判定公理及推论有： （1）“边角边”简称“SAS” （2）“角边角”简称“ASA” （3）“边边边”简称“SSS” （4）“角角边”简称“AAS” （5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。 除了边边角和角角角。 4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线 上。 5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤： ①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角 平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾 三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序 和对应关系从已知推导出要证明的问题). 在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引 出全等图形进而引出全等三角形。通过直观的理解和比较发现全等三 角形的奥妙之处。在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生 的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。 第十二章 轴对称 一．知识框架 二．知识概念 1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互 相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 2.性质： （1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的 垂直平分线。 （2）角平分线上的点到角两边距离相等。 （3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离 相等。 （4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂 直平分线上。 （5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角） 4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合， 简称为“三线合一”。 5.等腰三角形的判定：等角对等边。 6.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于 60°， 7.等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是 60°的三角形是等边三角形。 8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 9．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 本章内容要求学生在建立在轴对称概念的基础上，能够对生活中 的图形进行分析鉴赏，亲身经历数学美，正确理解等腰三角形、等边 三角形等的性质和判定，并利用这些性质来解决一些数学问题。 第十三章 实数 1.算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那 么正数 x 叫做 a 的算术平方根，记作 a 。0 的算术平方根为 0；从定 义可知，只有当 a≥0 时,a 才有算术平方根。 2.平方根：一般地，如果一个数 x 的平方根等于 a，即 x2=a，那么数 x 就叫做 a 的平方根。 3.正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0 只有一个平方 根，就是它本身；负数没有平方根。 4.正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。 )(无限不循环小数负有理数 正有理数无理数                      )( )3 2,2 1( )3 2,2 1( )( )3,2,1( )3,2,1,0( 无限循环小数有限小数整数 负分数 正分数 小数分数 负整数 自然数整数 有理数 、、                实数 5.数 a 的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝 对值是它的相反数，0 的绝对值是 0   )0,0(0,0  bab a b abaabba 实数部分主要要求学生了解无理数和实数的概念，知道实数和数 轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运 算律，会进行实数的运算。重点是实数的意义和实数的分类；实数的 运算法则及运算律。 第十四章 一次函数 一.知识框架 二．知识概念      3 2 1 0 0 0. 0k        b b b      3 2 1 0 0 0. 0k        b b b 1.一次函数：若两个变量 x,y 间的关系 式可以表示成 y=kx+b(k≠0)的形式,则称 y 是 x 的一次函数(x 为自变 量,y 为因变量)。特别地,当 b=0 时,称 y 是 x 的正比例函数。 2.正比例函数一般式：y=kx（k≠0），其图象是经过原点(0,0)的一条直 线。 3.正比例函数 y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当 k>0 时， (1) (2) (3) (1) (3) (2) 直线 y=kx 经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大，当 k<0 时，直线 y=kx 经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小，在一次函数 y=kx+b 中: 当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大; 当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小。 4.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法 一次函数是初中学生学习函数的开始，也是今后学习其它函数知 识的基石。在学习本章内容时，教师应该多从实际问题出发，引出变 量，从具体到抽象的认识事物。培养学生良好的变化与对应意识，体 会数形结合的思想。在教学过程中，应更加侧重于理解和运用，在解 决实际问题的同时，让学习体会到数学的实用价值和乐趣。 第十五章 整式的乘除与分解因式 1.同底数幂的乘法法则: nmnm aaa  (m,n 都是正数) 2.. 幂的乘方法则： mnnm aa )( (m,n 都是正数)      ).( ),()(, 为奇数时当 为偶数时当一般地 na naa n n n 3. 整式的乘法 （1） 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相 乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个 因式。 （2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的 分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就 是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 （3）．多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加。 4．平方差公式: 22))(( bababa  5．完全平方公式: 222 2)( bababa  6. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 nmnm aaa  (a≠0,m、n 都是正数,且 m>n). 在应用时需要注意以下几点: ①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且 0 不能做除数,所以法 则中 a≠0. ②任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1,即 )0(10  aa ,如 1100  ,(-2.50=1), 则 00 无意义. ③任何不等于 0 的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的 p 的次幂的 倒数,即 p p a a 1 ( a≠0,p 是正整数), 而 0-1,0-3 都是无意义的;当 a>0 时,a-p 的值一定是正的; 当 a<0 时,a-p 的值可能是正也可能是负的,如 4 1(-2) 2-  , 8 1)2( 3   ④运算要注意运算顺序. 7．整式的除法 单项式除法单项式:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为 商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的 一个因式； 多项式除以单项式: 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除 以单项式，再把所得的商相加. 8.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把 这个多项式分解因式. 分解因式的一般方法：1. 提公共因式法 2. 运用公式法 3.十字相乘法 分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到 分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解 为止. 整式的乘除与分解因式这章内容知识点较多，表面看来零碎的概 念和性质也较多，但实际上是密不可分的整体。在学习本章内容时， 应多准备些小组合作与交流活动，培养学生推理能力、计算能力。在 做题中体验数学法则、公式的简洁美、和谐美，提高做题效率。 八年级数学（下）知识点 人教版八年级下册主要包括了分式、反比例函数、勾股定理、四边形、 数据的分析五章内容。 第十六章 分式 一．知识框架 二．知识概念 1.分式：形如 A/B，A、B 是整式，B 中含有未知数且 B 不等于 0 的整 式叫做分式(fraction)。其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。 2.分式有意义的条件：分母不等于 0 3.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数）约去，这种 变形称为约分。 4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。 分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C （A,B,C 为整式，且 C≠0） 5.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简 分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式. 6.分式的四则运算：1.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母 不变，把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c 2.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母 的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a/b±c/d=ad±cb/bd 3.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子, 把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd 4.分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位 置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc (2). 除 以 一 个 分 式 ， 等 于 乘 以 这 个 分 式 的 倒 数:a/b÷c/d=a/b*d/c 7.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 8.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分 式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③ 验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方 程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 分式和分数有着许多相似点。教师在讲授本章内容时，可以 对比分数的特点及性质，让学生自主学习。重点在于分式方程解 实际应用问题。 第十七章 反比例函数 一.知识框架 二．知识概念 1.反比例函数：形如 y＝ x k（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。 其他形式 xy=k 1 kxy xky 1 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函 数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线 y=x 和 y=-x。对称中心是：原点 3.性质:当 k＞0 时双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个象限内 y 值随 x 值的增大而减小； 当 k＜0 时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象 限内 y 值随 x 值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线 段与两坐标轴围成的矩形的面积。 在学习反比例函数时，教师可让学生对比之前所学习的一次函数 启发学生进行对比性学习。在做题时，培养和养成数形结合的思想。 第十八章 勾股定理 一.知识框架 2 二 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c， 那么 a2＋b2=c2。 勾股定理逆定理：如果三角形三边长 a,b,c 满足 a2＋b2=c2。， 那么这个三角形是直角三角形。 2.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。 3.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中 一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾 股定理逆定理） 勾股定理是直角三角形具备的重要性质。本章要求学生在理解勾 股定理的前提下，学会利用这个定理解决实际问题。可以通过自主学 习的发展体验获取数学知识的感受。 第十九章 四边形 一．知识框架 二．知识概念 1.平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边 形。 2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相 等。平行四边形的对角线互相平分。 A C B D 3.平行四边形的判定 ○1 .两组对边分别相等的 四边形是平行四边形 ○2 .对角线互相平分的四边形是平行四边形； ○3 .两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ○4. 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形。 4.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 6.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。 7.矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相 等。AC=BD 8.矩形判定定理： ○1 .有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 ○2 .对角线相等的平行四边形是矩形。 ○3 .有三个角是直角的四边形是矩形。 9.菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。 10.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角。 11.菱形的判定定理：○1 .一组邻边相等的平行四边形是菱形。 ○2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 ○3.四条边相等的四边形是菱形。 12.S 菱形=1/2×ab（a、b 为两条对角线） 13.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 14.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。 正方形既是矩 形，又是菱形。 15.正方形判定定理： 1.邻边相等的矩形是正方形。 2.有一个 角是直角的菱形是正方形。 16.梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯 形。 17.直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 18.等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。 19.等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形 的两条对角线相等。 20.等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 本章内容是对平面上四边形的分类及性质上 的研究，要求学生在学习过程中多动手多动脑，把自己的发现和知识 带入做题中。因此教师在教学时可以多鼓励学生自己总结四边形的特 点，这样有利于学生对知识的把握。 第二十章 数据的分析 一．知识框架 二．知识概念 1.加权平均数：加权平均数的计算公式。 权的理解:反映了某个数据 在整个数据中的重要程度。 2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如 果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数 (median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这 组数据的中位数。 3. 众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数 （mode）。 4. 极差：组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极 差(range)。 5.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就 越稳定。 本章内容要求学生在经历数据的收集、整理、分析过程中发展 学生的统计意识和数据处理的方法与能力。在教学过程中，以生活实 例为主，让学生体会到数据在生活中的重要性。 九年级数学（上）知识点 人教版九年级数学上册主要包括了二次根式、二元一次方程、旋 转、圆和概率五个章节的内容。 第二十一章 二次根式 一．知识框架 二．知识概念 二次根式：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当 a＞0 时，√a 表示 a 的算数平方根,其中√0=0 对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求： 1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由； 2. 了解最简二次根式的概念； 3. 理解并掌握下列结论： 1） 是非负数； （2） ； （3） ； 4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实 数的简单四则运算； 5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作 用。 第二十二章 一元二次根式 一．知识框架 二.知识概念 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并 且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化 成如下形式 ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般 形式． 一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中 ax2 是 二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数 项． 本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来 解决一些实际问题。 （1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次─ ─转化的数学思想． （2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形 式；化二次项系数为 1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系 数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的 形式，如果 q≥0，方程的根是 x=-p±√q；如果 q＜0,方程无实根． 介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如 的方程。这样的方 程可以化为更为简单的形如 的方程，由平方根的概念，可以得 到这个方程的解。进而举例说明如何解形如 的方程。然后 举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程，引出配方 法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二 次项系数不是 1 的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方 程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对 这个内容会有进一步的理解。 （3）一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此： 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b2-4ac≥0 时，将 a、b、c 代入式子 x= 2 4 2 b b ac a    就得到方程的 根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、 乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子 叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法 叫公式法． 第二十三章 旋转 一.知识框架 二．知识概念 1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度， 这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫 做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点 旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应 线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改 变。） 2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始 图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心， 旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于 0°，大于 360°）。 3．中心对称图形与中心对称： 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与自身重 合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。 中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与另一个图形 重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。 4.中心对称的性质： 关于中心对称的两个图形是全等形。 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称 中心平分。 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相 等。 本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探 索旋转的性质，进一步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在 实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。 第二十四章 圆 一．知识框架 二．知识概念 1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定 点称为圆心，定长称为半径。 2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半 圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的 线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周 上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4.内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三 角形的内切圆，其圆心称为内心。 5.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 6.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母 线。 7.圆和点的位置关系：以点 P 与圆 O 的为例（设 P 是一点，则 PO 是点到圆心的距离），P 在⊙O 外，PO＞r；P 在⊙O 上，PO＝r； P 在⊙O 内，PO＜r。 8.直线与圆有 3 种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点 为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切， 这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 9.两圆之间有 5 种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫 外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外 切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距 离叫做圆心距。两圆的半径分别为 R 和 r，且 R≥r，圆心距为 P： 外离 P＞R+r；外切 P=R+r；相交 R-r＜P＜R+r；内切 P=R-r；内含 P＜R-r。 10.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线。 11.切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直 于经过切点的半径。 12.垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 13.有关定理： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半． 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直 径． 14.圆的计算公式 1.圆的周长 C=2πr=πd 2.圆的面积 S=π r^2; 3.扇形弧长 l=nπr/180 15.扇形面积 S=π（R^2-r^2） 5.圆锥侧面积 S=πrl 第二十五章 概率 知识框架 本章内容要求学生了解事件的可能性，在探究交流中学习体验概 率在生活中的乐趣和实用性，学会计算概率。 【概率，又称或然率、机会率或机率、可能性，是数学概率论的基本 概念，是一个在 0 到 1 之间的实数，是对随机事件发生的可能性的度 量。表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。它是 随机事件出现的可能性的量度，同时也是概率论最基本的概念之一。 人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可 能性是多少，这都是概率的实例。但如果一件事情发生的概率是 1/n， 不是指 n 次事件里必有一次发生该事件，而是指此事件发生的频率接 近于 1/n 这个数值。 普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者说不安 全感，俗称「点背」，下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对 机率存在的错误的认识： ■1. 六合彩：在六合彩（49 选 6）中，一共有 13983816 种可能 性（参阅组合数学），普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最 晚可以在 13983816/52（周）=268919 年后获得头等奖。事实上这种 理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会 因为时间的推移而变大。 ■2. 生日悖论：在一个足球场上有 23 个人（2×11 个运动员和 1 个裁判员），不可思议的是，在这 23 人当中至少有两个人的生日 是在同一天的机率要大于 50％。 ■3. 轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色 后，出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色 的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记忆”，它不会意识到以 前都发生了什么，其机率始终是 18/37。 ■4. 三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏 节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有 一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他 认为其後面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接著主持人 打开没有被参赛者选择的另外两扇门中後面有山羊的一扇门，这时主 持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的 机率更大一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇 关闭著的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。 William wang : 2009-01-20: 对于 M4.三门问题我有个愚见： 参与者的赢得汽车的机率是 50%。 因为主持人无论参与者第一次从三扇门挑一扇的时候有没有中 都会开一扇后面是山羊的。并且开了之后还可以让参赛者挑选。这样 看来，参赛者实际只需要从两扇门挑一扇。几率是 1/2。这个中奖几 率不需考虑三扇门的时候的几率。 n43e120 修订：概率三选一游戏，2009-01-12 同样逻辑的事例： 一个监狱看守从三个罪犯中随机选择一个予以释放，其他两个将被处 死。警卫知道哪个人是否会被释放，但是不允许给罪犯任何关于其状 态的信息。让我们分别称为罪犯为 X,Y,Z.罪犯 X 私下问警卫 Y 或 Z 哪个会被处死，因为他已经知道他们中至少一个人会死，警卫不能透 露任何关于他本人状态的信息。警卫告诉 X,Y 将被处死。X 感到很高 兴，因为他认为他或者 Z 将被释放，这意味着他被释放的概率是 1/2。 他正确吗？或者他的机会仍然是 1/3? 解： 对当事人关键的项的概率公式是： 2/3 * 1/2 = 1/3 说明： 2/3 是开始时，选任意一项出错的概率都是 2/3；则选对的概率 是 1/3； 接下来，去除了一项； 1/2 此时对当事人进入子事件组，他做 的任意选择，对错对开。 这里容易让人误以为接下来，去除任意一项； --与-- 接下来，有意识的去除某一项； 不同 接下来，有意识的去除某一项； --与-- 接下来，去除一个错项； 不同 这些都是相互独立的事件， 类似的 和在时间上选择停止生育孩子的点，与生出来的性别的 概率，不存在关联。 TANKTANK98 修正：这里的几率是指什么几率？ 我认为，这个问题使得很多人迷糊了，其实这里存在 2 个几率： 1.整个开门事件来说，包括从一开始来说，参赛者的几率由 1/3 提高到了 2/3，因为有 3 张门，分别是参赛者选中的（有 1/3） 另外 2 张（各 1/3），后来主持人确定一个门没有车，这样使得 剩下的 2 张门有车的总几率提升到了 100%，而原来这 2 张门的总几 率是 66%，多出的 33%分到了谁头上？ 2.就参赛者从剩下的 2 张门里面选一个的时候，他得到车子的几 率是 50%。 几率的对象必须分清楚！是 2 张门选 1 张时候的几率还是从头至 尾的几率，的确会迷糊人。 毅 U 味尽: ..."如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭著的门，他赢得 汽车的机率会增加一倍。" 这种说法。几率永远都是 50%。 ......，后验概率会使得下一次反面的几率大的多。 哈尔威：正如《决胜 21 点》的男主角所说的“我一定换，因为 那是主持人送给我的概率” 事实原因就在这里选手选择是随机的 （33%的机会为车，66%的机会为羊），但是主持人确要在他选到羊的 时候（66%）一定要选择剩余的那只羊！当然这种情况下换的结果只 能是“车”。那么玩家有在始终选择换的情况下他只在自己选中车的 时候（33%）才会选到羊。此时你在游戏获得车的机会提高了一倍（33% 到 66%）所以聪明的你如果去参加这个游戏你会选择换还是不换呢？ 我想现在你心里已经有答案了。 后退思维者，关于三门问题：这是个有前提条件的问题，大家被 严重的思维混淆了 1、结果：换门，赢取汽车的概率为 2/3，不换门，赢取汽车的 概念为 1/3 （成立） 前提：同一个人玩同一个游戏 3 次以上，那么每次选择换门的话， 赢取汽车的概率为 2/3 2、结果：换门与不换门赢取汽车的概率均为 1/2 （成立） 前提：同一个人只有一次机会玩同一个游戏，那么在主持人确定 一扇门后，他换与不换的概率就是 1/2. 2/3 和 1/2 的结果问题就是根本不是同一类别，是概率两大类别， 所谓的 2/3 概率是相对一个空间，在 100 次的机会中，你将会有 2/3 的机会赢取。1/2 概率是在限定的情况下，发生的概率，所以是不同 的。】 九年级数学（下）知识点 人教版九年级数学下册主要包括了二次函数、相似、锐角三角形、 投影与视图四个章节的内容。 第二十六章 二次函数 一．知识框架 二．.知识概念 1.二次函数：一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： 一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c 为常数)，则称 y 为 x 的二次函数。 2.二次函数的解析式三种形式。 一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0) 顶点式 2( )y a x h k   2 2 4( )2 4 b ac by a x a a    交点式 1 2( )( )y a x x x x   3.二次函数图像与性质 y xO 对称轴： 2 bx a   顶点坐标： 24( , )2 4 b ac b a a  与 y 轴交点坐标（0，c） 4.增减性：当 a>0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而减小；对称轴右边， y 随 x 增大而增大 当 a<0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而增大；对称轴右边，y 随 x 增大而减小 5.二次函数图像画法： 勾画草图关键点：○1 开口方向 ○2 对称轴 ○3 顶点 ○4 与 x 轴交点 ○5 与 y 轴交点 6.图像平移步骤 （1）配方 2( )y a x h k   ，确定顶点（h,k） （2）对 x 轴 左加右减；对 y 轴 上加下减 7.二次函数的对称性 二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为 x1, x2 其对应 的纵坐标相等那么对称轴 1 2 2 x xx  8.根据图像判断 a,b,c 的符号 （1）a ——开口方向 （2）b ——对称轴与 a 左同右异 9.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线 y=ax2 +bx+c 与 x 轴交点的横坐标 x1, x2 是一元二次方程 ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。 抛物线 y=ax2 +bx+c，当 y=0 时，抛物线便转化为一元二次方程 ax2 +bx+c=0 2 4b ac >0 时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与 x 轴有两个交点； 2 4b ac =0 时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与 x 轴有一个交点； 2 4b ac <0 时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与 x 轴没 有交点 二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的 综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热 点考题，往往以大题形式出现．教师在讲解本章内容时应注重培 养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力。 第二十七章 相似 一．知识框架 二.知识概念： 1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三 角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形 2.相似三角形的判定方法: 根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等） ○1 .平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所 构成的三角形与原三角形相似； ○2 .如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似； ○3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似； ○4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相 似； 3.直角三角形相似判定定理: ○1 .斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 ○2 .直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三 角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 4.相似三角形的性质: ○1 .相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角 平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 ○2.相似三角形周长的比等于相似比。 ○3 .相似三角形面积的比等于相似比的平方。 本章内容通过对相似三角形的学习，培养学生认识和观察事 物的能力和利用所学知识解决实际问题的能力。 第二十八章 锐角三角函数 一．知识框架 二．知识概念 1.Rt△ABC 中 (1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作 sinA＝ ∠A 的对边 斜边 (2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作 cosA＝ ∠A 的邻边 斜边 (3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作 tanA＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边 (4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作 cota＝ ∠A 的邻边 ∠A 的对边 2.特殊值的三角函数： a sin a cos a tan a cot a 30 ° 1 2 3 2 3 3 3 45 ° 2 2 2 2 1 1 60 3 2 1 2 3 3 3 ° 本章内容使学生了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边 与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正 弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。并能应用这些概念解决 一些实际问题。 【三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它 们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常 的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义城为整个实数域。 另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成 无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 http://baike.baidu.com/view/959840.htm】 第二十九章 投影与视图 知 识 框 架 本 章 内 容 要求学生经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的 概念；会画事物的三视图，学会关注生活中有关投影的数学问题，提 高数学的应用意识。 教学难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。 最新人教版九年级上册数学全册教案 第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转（1） 教学内容 1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 教学目标 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些 实际问题． 通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念， 应用概念解决一些实际问题． 1．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用． 2．难点与关键：从活生生的数学中抽出概念． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面各题． 1．将如图所示的四边形 ABCD 平移，使点 B 的对应点为点 D，作出平移后的图 形． 2．如图，已知△ABC 和直线 L，请你画出△ABC 关于 L 的对称图形△A′B′C′． 3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质． （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）的对称图形并口述它既有的一些性质． （3）什么叫轴对称图形？ 二、探索新知 我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的， 下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现在到下课 时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ （口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．如果从 现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度． 2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老 师点评略） 3．第 1、2 两题有什么共同特点呢？ 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固 定点转动一定的角度． 像这样，把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转 中心，转动的角叫做旋转角． 如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 下面我们来运用这些概念来解决一些问题． 例 1．如图，如果把钟表的指针看做三角形 OAB，它绕 O 点按顺时针方向旋转得到△ OEF，在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点 A、B 分别移动到什么位置？ 解：（1）旋转中心是 O，∠AOE、∠BOF 等都是旋转角． （2）经过旋转，点 A 和点 B 分别移动到点 E 和点 F 的位置． 例 2．（学生活动）如图，四边形 ABCD、四边形 EFGH 都是边长为 1 的正方 形． （1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ （2）请画出旋转中心和旋转角． （3）指出，经过旋转，点 A、B、C、D 分别移到什么位置？ （老师点评） （1）可以看做是由正方形 ABCD 的基本图案通过旋转而得到的．（2）画图略．（3）点 A、点 B、点 C、点 D 移到的位置是点 E、点 F、点 G、点 H． 最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是 不唯一的． 三、巩固练习 四、应用拓展 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课要掌握： 1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念． 2．旋转的对应点及其它们的应用． 六、布置作业 23.1 图形的旋转(2) 教学内容 1．对应点到旋转中心的距离相等． 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3．旋转前后的图形全等及其它们的运用． 教学目标 理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转 角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用． 先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图 形的旋转的基本性质． 重难点、关键 1．重点：图形的旋转的基本性质及其应用． 2．难点与关键：运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）老师口问，学生口答． 1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 3．请独立完成下面的题目． 如图，O 是六个正三角形的公共顶点，正六边形 ABCDEF 能否看做是某条线段绕 O 点旋 转若干次所形成的图形？ （老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段 AB）绕 O 点，按照同一方法连续旋转 60°、120°、180°、240°、300°形成的． 二、探索新知 上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题： 1．A、B、C、D、E、F 到 O 点的距离是否相等？ 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA 是否相 等？ 3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA 全等吗？ 老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有 一般性？下面请看这个实验． 请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点 O 作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案 （△ABC），然后围绕旋转中心 O 转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△ A′B′C′），移去硬纸板． （分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明） 1．线段 OA 与 OA′，OB 与 OB′，OC 与 OC′有什么关系？ 2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？ 3．△ABC 与△A′B′C′形状和大小有什么关系？ 老师点评：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点到旋转中心相等． 2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所 连线段的夹角称为旋转角． 3．△ABC 和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等． 综合以上的实验操作和刚才作的（3），得出 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等． 例 1．如图，△ABC 绕 C 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D，试确定顶点 B对应点的位 置，以及旋转后的三角形． 分析：绕 C 点旋转，A 点的对应点是 D 点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转 中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等， 即 CB=CB′，就可确定 B′的位置，如图所示． 解：（1）连结 CD （2）以 CB 为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线 CE 上截取 CB′=CB 则 B′即为所求的 B 的对应点． （4）连结 DB′ 则△DB′C 就是△ABC 绕 C 点旋转后的图形． 例 2．如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 DE= 1 4 ，△ABF 是△ADE 的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF 的长度是多少？ （4）如果连结 EF，那么△AEF 是怎样的三角形？ 分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求 AF的长度， 根据旋转前后的对应线段相等，只要求 AE 的长度，由勾股定理很容易得到．△ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是 A 点． （2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的 ∴B 是 D 的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角 （3）∵AD=1，DE= 1 4 ∴AE= 2 211 ( )4  = 17 4 ∵对应点到旋转中心的距离相等且 F 是 E 的对应点 ∴AF= 17 4 （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且 AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形． 三、巩固练习： 四、应用拓展 分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明． 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握：1．对应点到旋转中心的距离相等；2．对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角；3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用． 六、布置作业 23.1 图形的旋转(3) 教学内容：选择不同的旋转中心或不同的旋转角，设计出不同的美丽的图案． 教学目标：理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据 需要用旋转的知识设计出美丽的图案．复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转 角然后应用已学的知识作图，设计出美丽的图案． 重难点、关键 1．重点：用旋转的有关知识画图． 2．难点与关键：根据需要设计美丽图案． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 1．（学生活动）老师口问，学生口答． （1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？ （2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？ （3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？ 2．请同学独立完成下面的作图题． 如图，△AOB 绕 O 点旋转后，G 点是 B 点的对应点，作出△AOB 旋转后 的三角形． （老师点评）分析：要作出△AOB 旋转后的三角形，应找出三方面：第 一，旋转中心：O；第二，旋转角：∠BOG；第三，A 点旋转后的对应点：A′． 二、探索新知 从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、 对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因 此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究． 1．旋转中心不变，改变旋转角 画出以下图所示的四边形 ABCD 以 O 点为中心，旋转角分别为 30°、60°的旋转图形． 2．旋转角不变，改变旋转中心 画出以下图，四边形 ABCD 分别为 O、O 为中心，旋转角都为 30°的旋转图形． 因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变 旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案． 例 1．如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以 O为旋转中心画出分别旋转 45°、90°、 135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案． 分析：只要以 O 为旋转中心、旋转角以上面为变化，旋转长度为菊花的最长 OA，按 菊花叶的形状画出即可． 解：（1）连结 OA （2）以 O 点为圆心，OA 长为半径旋转 45°，得 A． （3）依此类推画出旋转角分别为 90°、135°、180°、225°、270°、315°的 A、A、 A、A、A、A． （4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶． 那么所画的图案就是绕 O 点旋转后的图形． 例 2．（学生活动）如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的点 O′为旋转 中心，请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？ 老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一种花了． 三、巩固练习 ． 四、应用拓展 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案； 2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点──线的端点、 角的顶点、圆的圆心等． 六、布置作业 23.2 中心对称(1) 教学内容 两个图形关于这个点对称或中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及其运用它们 解决一些实际问题． 教学目标 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题． 复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋转 180°的 特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题． 2．难点与关键：从一般旋转中导入中心对称． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 请同学们独立完成下题． 如图，△ABC 绕点 O 旋转，使点 A 旋转到点 D 处，画出旋转后的三角形， 并写出简要作法． 老师点评：分析，本题已知旋转后点 A 的对应点是点 D，且旋转中心也 已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，一般 我们选择小于 180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；已知一对对应 点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结 OA、OD，则∠AOD 即为旋转角．接下来根 据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离 相等”这两个依据来作图即可． 作法：（1）连结 OA、OB、OC、OD； （2）分别以 OB、OB 为边作∠BOM=∠CON=∠AOD； （3）分别截取 OE=OB，OF=OC； （4）依次连结 DE、EF、FD； 即：△DEF 就是所求作的三角形，如图所示． 二、探索新知 问题：作出如图的两个图形绕点 O 旋转 180°的图案，并回答下列的问题： 1．以 O 为旋转中心，旋转 180°后两个图形是否重合？ 2．各对称点绕 O 旋转 180°后，这三点是否在一条直线上？ 老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕 O 旋转 180°都是重合的，即甲图与乙图 重合，△OAB 与△COD 重合． 像这样，把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 例 1．如图，四边形 ABCD 绕 D 点旋转 180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． （1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理 由． （2）如果是中心对称，那么 A、B、C、D 关于中心的对称点是哪些点． 分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，对称中心就 是旋转中心． （3）旋转后的对应点，便是中心的对称点． 解：作法：（1）延长 AD，并且使得 DA′=AD （2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D （3）连结 A′B′、B′C′、C′D，则四边形 A′B′C′D 为所求的四边形，如图 23-44 所示． 答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是 D 点． （2）A、B、C、D 关于中心 D 的对称点是 A′、B′、C′、D′，这里的 D′与 D 重合． 例 2．如图，已知 AD 是△ABC 的中线，画出以点 D 为对称中心，与△ABD成中 心对称的三角形． 分析：因为 D 是对称中心且 AD 是△ABC 的中线，所以 C、B 为一对的对应点，因 此，只要再画出 A 关于 D 的对应点即可． 解：（1）延长 AD，且使 AD=DA′，因为 C 点关于 D 的中心对称点是 B（C′），B点 关于中心 D 的对称点为 C（B′） （2）连结 A′B′、A′C′． 则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示． 三、巩固练习 四、应用拓展 例 3．如衅，在△ABC 中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC 沿 CB 方向平移到△A′ B′C′的位置． （1）若平移的距离为 3，求△ABC 与△A′B′C′重叠部分的面积． （2）若平移的距离为 x（0≤x≤4），求△ABC 与△A′B′C′重叠部分的面积 y，写出 y 与 x 的关系式． 分析：（1）∵BC=4，AC=4 ∴△ABC 是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且 BC′=1 （2）∵平移的距离为 x，∴BC′=4-x 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握：1．中心对称及对称中心的概念；2．关于中心的对称点的概念及其运用． 六、布置作业 1．教材 练习 1． 23.2 中心对称(2) 教学内容 1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平 分． 2．关于中心对称的两个图形是全等图形． 教学目标 理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平 分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用． 复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让 学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质． 重难点、关键 1．重点：中心对称的两条基本性质及其运用． 2．难点与关键：让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质． 教学过程 一、复习引入 （老师口问，学生口答） 1．什么叫中心对称？什么叫对称中心？ 2．什么叫关于中心的对称点？ 3．请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关于这个对 称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论． （每组推荐一人上台陈述，老师点评） （老师）在黑板上画一个三角形 ABC，分两种情况作两个图形 （1）作△ABC 一顶点为对称中心的对称图形； （2）作关于一定点 O 为对称中心的对称图形． 第一步，画出△ABC． 第二步，以△ABC 的 C 点（或 O 点）为中心，旋转 180°画出△A′B′和△A′B′C′， 如图 1 和用 2 所示． (1) (2) 从图 1 中可以得出△ABC 与△A′B′C 是全等三角形； 分别连接对称点 AA′、BB′、CC′，点 O 在这些线段上且 O 平分这些线段． 下面，我们就以图 2 为例来证明这两个结论． 证明：（1）在△ABC 和△A′B′C′中， OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′ ∴△AOB≌△A′OB′ ∴AB=A′B′ 同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′ （2）点 A′是点 A 绕点 O 旋转 180°后得到的，即线段 OA 绕点 O旋转 180°得到线 段 OA′，所以点 O 在线段 AA′上，且 OA=OA′，即点 O 是线段 AA′的中点． 同样地，点 O 也在线段 BB′和 CC′上，且 OB=OB′，OC=OC′，即点 O 是 BB′和 CC′ 的中点． 因此，我们就得到 1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平 分． 2．关于中心对称的两个图形是全等图形． 例 1．如图，已知△ABC 和点 O，画出△DEF，使△DEF 和△ABC 关于点 O 成中心对称． 分析：中心对称就是旋转 180°，关于点 O 成中心对称就是绕 O 旋转 180°，因此，我 们连 AO、BO、CO 并延长，取与它们相等的线段即可得到． 解：（1）连结 AO 并延长 AO 到 D，使 OD=OA，于是得到点 A 的对称点 D，如图所示． （2）同样画出点 B 和点 C 的对称点 E 和 F． （3）顺次连结 DE、EF、FD． 则△DEF 即为所求的三角形． 例 2．（学生练习，老师点评）如图，已知四边形 ABCD 和点 O，画四边形 A′B′C′D′， 使四边形 A′B′C′D′和四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写 出作法）． 二、巩固练习 三、应用拓展 例 3．如图等边△ABC 内有一点 O，试说明：OA+OB>OC． 分析：要证明 OA+OB>OC，必然把 OA、OB、OC 转为在一个三角形内，应用两边之和大 于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以 A 为旋转中心，旋转 60°， 便可把 OA、OB、OC 转化为一个三角形内． 解：如图，把△AOC 以 A 为旋转中心顺时针方向旋转 60°后，到△AO′B的位置，则 △AOC≌△AO′B． ∴AO=AO′，OC=O′B 又∵∠OAO′=60°，∴△AO′O 为等边三角形． ∴AO=OO′ B A C D O 在△BOO′中，OO′+OB>BO′ 即 OA+OB>OC 四、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 中心对称的两条基本性质： 1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用． 五、布置作业 23.2 中心对称(3) 教学内容 1．中心对称图形的概念． 2．对称中心的概念及其它们的运用． 教学目标 了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用． 复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图 形的有关概念及其它的运用． 重难点、关键 1．重点：中心对称图形的有关概念及其它们的运用． 2．难点与关键：区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形． 教具、学具准备 小黑板、三角形 教学过程 一、复习引入 1．（老师口问）口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？ （老师口述）：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对 称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 2．（学生活动）作图题． （1）作出线段 AO 关于 O 点的对称图形，如图所示． A O B A O （2）作出三角形 AOB 关于 O 点的对称图形，如图所示． （2）延长 AO 使 OC=AO， 延长 BO 使 OD=BO 连结 CD 则△COD 为所求的，如图所示． 二、探索新知 从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段 AB 绕它的中点旋转 180°，因为 OA=OB， 所以，就是线段 AB 绕它的中点旋转 180°后与它重合． 上面的（2）题，连结 AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四边 形，如图所示． ∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD ∴△AOB≌△COD ∴AB=CD 也就是，ABCD 绕它的两条对角线交点 O 旋转 180°后与 B A C D O 它本身重合． 因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的 图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （学生活动）例 1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举 出三个图形，它们也是中心对称图形． 老师点评：老师边提问学生边解答． （学生活动）例 2：请说出中心对称图形具有什么特点？ 老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳． 例 3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形． 分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中 点，因此，直接可得到对角线互相平分． 证明：如图，O 是四边形 ABCD 的对称中心，根据中心对称性质，线段 AC、 BD 必过点 O，且 AO=CO，BO=DO，即四边形 ABCD 的对角线互相平分，因此， 四边形 ABCD 是平行四边形． 三、巩固练习 四、应用拓展 例 4．如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使 C 点和 A 点重合，求折 痕 EF 的长． 分析：将矩形折叠，使 C 点和 A 点重合，折痕为 EF，就是 A、C 两点关于 O 点对称， 这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对称轴垂直平分，进而转化 为中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面积． 解：连接 AF， ∵点 C 与点 A 重合，折痕为 EF，即 EF 垂直平分 AC． ∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四边形 ABCD 为矩 形，∠ B=90°，AB=CD=3，AD=BC=4 设 CF=x，则 AF=x，BF=4-x， 由勾股定理，得 AC2=BC2+AB2=52 ∴AC=5，OC= 1 2 AC= 5 2 ∵AB2+BF2=AF2 ∴32+（4-x）=2=x2 ∴x= 25 8 ∵∠FOC=90° ∴OF2=FC2-OC2=（ 25 8 ）2-（ 5 2 ）2=（15 8 ）2 OF=15 8 同理 OE=15 8 ，即 EF=OE+OF= 15 4 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．中心对称图形的有关概念； 2．应用中心对称图形解决有关问题． 六、布置作业 23.2 中心对称（4） 教学内容 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y），关于原点的对称点为 P′（-x， l A -3 -3 3 O B A -2 -2 1 -1 y x 3 -4 4 2 2 1 -1 -y）及其运用． 教学目标 理解 P 与点 P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握 P（x，y）关于原点 的对称点为 P′（-x，-y）的运用． 复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其 运用． 重难点、关键 1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）关于原点的 对称点 P′（-x，-y）及其运用． 2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它 解决实际问题． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面三题． 1．已知点 A 和直线 L，如图，请画出点 A 关于 L 对称的点 A′． 2．如图，△ABC 是正三角形，以点 A 为中心，把△ADC 顺时针旋转 60°，画出旋转后 的图形． 3．如图△ABO，绕点 O 旋转 180°，画出旋转后的图形． 老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略） 二、探索新知 （学生活动）如图，在直角坐标系中，已知 A（-3，1）、B（-4，0）、 C（0，3）、D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出 A、B、C、D、E、 F 点关于原点 O 的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：这些坐标 与已知点的坐标有什么关系？ 老师点评：画法：（1）连结 AO 并延长 AO （2）在射线 AO 上截取 OA′=OA （3）过 A 作 AD′⊥x 轴于 D′点，过 A′作 A′D″⊥x 轴于点 D″． ∵△AD′O 与△A′D″O 全等 ∴AD′=A′D″，OA=OA′ ∴A′（3，-1） 同理可得 B、C、D、E、F 这些点关于原点的中心对称点的坐标． （学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们 的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐 标之间符号又有什么特点？ 提问几个同学口述上面的问题． 老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相 等．（2）坐标符号相反，即设 P（x，y）关于原点 O 的对称点 P′（-x，-y）． 例 1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段 AB关于原点对称的图形． 分析：要作出线段 AB 关于原点的对称线段，只要作出点 A、 点 B 关于原点的对称点 A′、B′即可． 解：点 P（x，y）关于原点的对称点为 P′（-x，-y）， 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 即点 P（x，y）关于原点 O 的对称点 P′（-x，-y）． -3 -3 3 O B A C -2 -2 1 -1 y x 3 -4 D 4 2 2 1 -1 因此，线段 AB 的两个端点 A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为 A′（1，0），B（-3，0）． 连结 A′B′． 则就可得到与线段 AB 关于原点对称的线段 A′B′． （学生活动）例 2．已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对 称的点的坐标的特点，作出△ABC 关于原点对称的图形． 老师点评分析：先在直角坐标系中画出 A、B、C 三点并连结组成△ABC，要作出△ABC 关于原点 O 的对称三角形，只需作出△ABC 中的 A、B、C 三点关于原点的对称点，依次连 结，便可得到所求作的△A′B′C′． 三、巩固练习 教材 练习． 四、应用拓展 例 3．如图，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，将直线 AB 绕点 O 顺时针旋 转 90°得到直线 A1B1． （1）在图中画出直线 A1B1． （2）求出线段 A1B1 中点的反比例函数解析式． （3）是否存在另一条与直线 AB 平行的直线 y=kx+b（我们发现互相 平行的两条直线斜率 k 值相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求 此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由． 分析：（1）只需画出 A、B 两点绕点 O 顺时针旋转 90°得到的点 A1、B1，连结 A1B1． （2）先求出 A1B1 中点的坐标，设反比例函数解析式为 y= k x 代入求 k． （3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不 存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此 A1B1 与双曲线是相切的， 只要我们通过 A1B1 的线段作 A1、B1 关于原点的对称点 A2、B2，连结 A2B2 的直线就是我们所 求的直线． 解：（1）分别作出 A、B 两点绕点 O 顺时针旋转 90°得到的点 A1（1，0），B1（2，0）， 连结 A1B1，那么直线 A1B1 就是所求的． （2）∵A1B1 的中点坐标是（1， 1 2 ） 设所求的反比例函数为 y= k x 则 1 2 = 1 k ，k= 1 2 ∴所求的反比例函数解析式为 y= 1 2 x （3）存在． ∵设 A1B1：y=k′x+b′过点 A1（0，1），B1（2，0） ∴ 1 ` 0 2 b k b     ∴ ` 1 1` 2 b k    ∴y=- 1 2 x+1 把线段 A1B1 作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线． 根据点 P（x，y）关于原点的对称点 P′（-x，-y）得： -3 -3 3 O B A -2 -2 1 -1 y x 3 -4 4 2 2 1 -1 A1（0，1），B1（2，0）关于原点的对称点分别为 A2（0，-1），B2（-2，0） ∵A2B2：y=kx+b ∴ 1 0 2 ` b k b       ∴ 1 2 1 k b       ∴A2B2：y=- 1 2 x-1 下面证明 y=- 1 2 x-1 与双曲线 y= 1 2 x 相切 1 12 1 2 y x y x        - 1 2 x-1= 1 2 x  x+2=- 1 x  x2+2x+1=0，b2-4ac=4-4×1×1=0 ∴直线 y=- 1 2 x-1 与 y= 1 2 x 相切 ∵A1B1 与 A2B2 的斜率 k 相等 ∴A2B2 与 A1B1 平行 ∴A2B2：y=- 1 2 x-1 为所求． 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y），关于原点的对称点 P′ （-x，-y），及其利用这些特点解决一些实际问题． 六、布置作业 23.3 课题学习 图案设计 教学内容 课题学习──图案设计 教学目标 利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如 意的图案． 通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大 胆联想，设计出一幅幅美丽的图案． 重难点、关键 1．重点：设计图案． 2．难点与关键：如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的 组合得出图案． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下面的各题． B C D 1．如图，已知线段 CD 是线段 AB 平移后的图形，D 是 B点的对称点，作出线段 AB， 并回答，AB 与 CD 有什么位置关系． 2．如图，已知线段 CD，作出线段 CD 关于对称轴 L 的对称线段 C′D′，并说明 CD 与对称线段 C′D′之间有什么关系？ 3．如图，已知线段 CD，作出线段 CD 关于 D 点旋转 90°的旋转后的图形，并说明 这两条线段之间有什么关系？ C D 老师点评： 1．AB 与 CD 平行且相等； 2．过 D 点作 DE⊥L，垂足为 E 并延长，使 ED′=ED，同理作出 C′点，连结 C′D′， 则 CD′就是所求的．CD 的延长线与 C′D′的延长线相交于一点，这一点在 L 上并且 CD=C′D′． 3．以 D 点为旋转中心，旋转后 CD⊥C′D′，垂足为 D，并且 CD=C′D． 二、探索新知 请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或组合完成下面的图案设计． 例 1．（学生活动）学生亲自动手操作题． 按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案． （1）准备一张正三角形纸片（课前准备）（如图 a） （2）把纸片任意撕成两部分（如图 b，如图 c） （3）将撕好的如图 b 沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形． （4）并将（3）得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图（d） （如图 c）保持不动） （5）把如图（d）平移到如图（c）的右边，得到如图（e） （6）对如图（e）进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图（f）的图案． 老师必要时可以给予一定的指导． 三、巩固练习 四、应用拓展 例 2．（学生活动）请利用线段、三角形、矩形、菱形、圆作为基本图形，绘制一幅反 映你身边面貌的图案，并在班级里交流展示． 老师点评：老师点到为止，让学生自由联想，老师也可在黑板上设计一、二图案． 五、归纳小结 本节课应掌握： 利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案． 六、布置作业 1．教材 活动 2 第二十四章 圆 24．1 圆 教学内容 l C D 1．圆的有关概念． 2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它 们的应用． 教学目标 了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题． 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何 的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得 出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解． 重难点、关键 1．重点：垂径定理及其运用． 2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个． 2．你能讲出形成圆的方法有多少种？ 老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个 长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆． 二、探索新知 从以上圆的形成过程，我们可以得出： 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点所形成的图形 叫做圆．固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径． 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”． 学生四人一组讨论下面的两个问题： 问题 1：图上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？ 问题 2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结． （1）图上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径 r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的 距离等于定长 r 的点组成的图形． 同时，我们又把 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段 AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如图 24-1 线段 AB； ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以 A、C 为端点的弧记作 AC ”，读作“圆 弧 AC ”或“弧 AC”．大于半圆的弧（如图所示 ABC 叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示） AC 或 BC 叫做劣弧． B A C O ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （学生活动）请同学们回答下面两个问题． 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流． （老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径． 3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的． 因此，我们可以得到： C E D O F 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． （学生活动）请同学按下面要求完成下题： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB，垂足为 M． （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是 CD． （2）AM=BM，  AC BC ，  AD BD ，即直径 CD 平分弦 AB，并且平 分 AB 及 ADB ． 这样，我们就得到下面的定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径 CD、弦 AB 且 CD⊥AB 垂足为 M 求证：AM=BM，  AC BC ，  AD BD . 分析：要证 AM=BM，只要证 AM、BM 构成的两个三角形全等．因此， 只要连结 OA、OB 或 AC、BC 即可． 证明：如图，连结 OA、OB，则 OA=OB 在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中 OA OB OM OM    ∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称 ∵⊙O 关于直径 CD 对称 ∴当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， AC 与 BC 重合， AD 与 BD 重合． ∴  AC BC ，  AD BD 进一步，我们还可以得到结论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （本题的证明作为课后练习） 1、 如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中 CD ，点 2、 O 是 CD 的圆心，其中 CD=600m，E 为 CD 上一点， 3、且 OE⊥CD，垂足为 F，EF=90m，求这段弯路的半径． 分析：例 1 是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法， 这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接 OC 设弯路的半径为 R，则 OF=（R-90）m ∵OE⊥CD ∴CF= 1 2 CD= 1 2 ×600=300（m） 根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2 即 R2=3002+（R-90）2 解得 R=545 ∴这段弯路的半径为 545m． 三、巩固练习 教材 练习 四、应用拓展 例 2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图 24-5 所示，正常水位下水面宽 AB=60m，水 面到拱顶距离 CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽 MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明 B A C O M B A C D O M B A C E D O N M 理由． 分析：要求当洪水到来时，水面宽 MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出 DE 的 长，因此只要求半径 R，然后运用几何代数解求 R． 解：不需要采取紧急措施 设 OA=R，在 Rt△AOC 中，AC=30，CD=18 R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324 解得 R=34（m） 连接 OM，设 DE=x，在 Rt△MOE 中，ME=16 342=162+（34-x）2 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得 x1=4，x2=64（不合设） ∴DE=4 ∴不需采取紧急措施． 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆的有关概念； 2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 3．垂径定理及其推论以及它们的应用． 六、布置作业 24.1 圆(第 2 课时) 教学内容 1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等． 3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所 对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可 以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用． 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等 圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都 分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键 1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两 个推论和它们的应用． 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题． 已知△OAB，如图所示，作出绕 O 点旋转 30°、45°、60°的图形． 老师点评：绕 O 点旋转，O 点就是固定点，旋转 30°，就是旋转角∠BOB′=30°． 二、探索新知 如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB 绕 圆心 O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ B A O B A O AB = ' 'A B ，AB=A′B′ 理由：∵半径 OA 与 O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′ ∴半径 OB 与 OB′重合 ∵点 A 与点 A′重合，点 B 与点 B′重合 ∴ AB 与 ' 'A B 重合，弦 AB 与弦 A′B′重合 ∴ AB = ' 'A B ，AB=A′B′ 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？ 请同学们现在动手作一作． （学生活动）老师点评：如图 1，在⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆 心角∠AOB 和∠A′O′B′得到如图 2，滚动一个圆，使 O 与 O′重合，固定圆心，将其中 的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 O′A′重合． O( O ' ) O ' O B ' A ' B B ' O( O ' ) O ' O B A A A ' (1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现： AB = ' 'A B ，AB=A/B/． 现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢─ ─化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对 的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对 的弧也相等． （学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评． 例 1．如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 EF． （1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果 OE=OF，那么 AB 与 CD 的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关系？ 为什么？∠AOB 与∠COD 呢？ 分析：（1）要说明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE 和直角三角形 COF 中说明 AE=CF， 即说明 AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可． （2）∵OE=OF，∴在 Rt△AOE 和 Rt△COF 中， 又有 AO=CO 是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF， ∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到 AB = CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE= 1 2 AB，CF= 1 2 CD ∴AE=CF B ' B A A ' O O B A C E D F 又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴OE=OF （2）如果 OE=OF，那么 AB=CD， AB = CD ，∠AOB=∠COD 理由是： ∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF 又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE= 1 2 AB，CF= 1 2 CD ∴AB=2AE，CD=2CF ∴AB=CD ∴ AB = CD ，∠AOB=∠COD 三、巩固练习 四、应用拓展 五、归纳总结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆心角概念． 2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用． 六、布置作业 24.1 圆(第 3 课时) 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对 的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的 应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条 弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对 的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予 逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决 一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ O B A C 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们 所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的 位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解 决的问题． 二、探索新知 问题： 结论：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半． 下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且 它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．” （1）设圆周角∠ABC 的一边 BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC= 1 2 ∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的两侧，那么∠ABC= 1 2 ∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 老师点评：连结 BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角， 那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC． （3）如图，圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的同侧，那么∠ABC= 1 2 ∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结 OA、OC，连结 BO 并延长交⊙O 于 D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2 ∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO= 1 2 ∠AOD- 1 2 ∠COD= 1 2 ∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半， 因此，同弧上的圆周角是相等的． 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一 半． 进一步，我们还可以得到下面的推导： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目． 例 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长 BD 到 C，使 AC=AB，BD 与 CD 的大小有什么关系？为什么？ 分析：BD=CD，因为 AB=AC，所以这个△ABC 是等腰，要证明 D 是 BC 的中点，只要连 O B A C D 结 AD 证明 AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD 理由是：如图 24-30，连接 AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即 AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、巩固练习 四、应用拓展 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆周角的概念； 2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所 对的圆心角的一半； 3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业 24.2.1 点和圆的位置关系 教学目标 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆 的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． (二)能力训练要求 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题 的策略． (三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新 精神． 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的 三个点作圆． 教学方法 教师指导学生自主探索交流法． 教具准备 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点 能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索． Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？ [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离 相等． 作法：如下图，分别以 A、B 为圆心，以大于 1 2 AB 长为半径画弧，在 AB 的两侧 找出两交点 C、D，作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，直线 CD 上的 任一点到 A 与 B 的距离相等． [师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定 点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？ [生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆 心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定． 2．做一做 (1)作圆，使它经过已知点 A，你能作出几个这样的圆？ (2)作圆，使它经过已知点 A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分 布有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？ (3)作圆，使它经过已知点 A、B、C(A、B、C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？ 你能作出几个这样的圆？ [师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意 见并作出解答． [生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点 A 作圆，只要圆心确定下来， 半径就随之确定了下来．所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段 为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)． (2)已知点 A、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到 A、B 的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分 线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段 AB 的垂直平分线上．在 AB 的垂直平分线上任意取一点，都能满足到 A、B 两点的距离相等，所以在 AB 的垂 直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到 A 的距离即为半径．圆就确定下来 了．由于线段 AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数 个．如图(2)． (3)要作一个圆经过 A、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点 的距离相等．因为到 A、B 两点距离相等的点的集合是线段 AB 的垂直平分线，到 B、C 两点距离相等的点的集合是线段 BC 的垂直平分线，这两条垂直平分线的交 点满足到 A、B、C 三点的距离相等，就是所作圆的圆心． 因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆． [师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？ 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 作法 图示 1．连结 AB、BC 2．分别作 AB、BC 的垂直 平分线 DE 和 FG，DE 和 FG 相交于点 O 3．以 O 为圆心，OA 为半径作 圆 ⊙O 就是所要求作的圆 他作的圆符合要求吗？与同伴交流． [生]符合要求． 因为连结 AB，作 AB 的垂直平分线 ED，则 ED 上任意一点到 A、B 的距离相等；连结 BC，作 BC 的垂直平分线 FG，则 FG 上的任一点到 B、C 的距离相等．ED 与 FG 的满足条件． [师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条 直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 (circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． Ⅲ．课堂练习 已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位 置有怎样的特点？ 解：如下图． O 为外接圆的圆心，即外心． 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心 在三角形的外部． Ⅳ．课时小结 本节课所学内容如下： 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程． 方法． 3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念． Ⅴ．课后作业 Ⅵ．活动与探究 如下图，CD 所在的直线垂直平分线段 AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？ 解：因为 A、B 两点在圆上，所以圆心必与 A、B 两点的距离相等，又因为和一条线段 的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在 CD 所在的直线上．因此 使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心． 24.2.2 直线和圆的位置关系 教学目标 (一)教学知识点 1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系． 2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系． (二)能力训练要求 1．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力． 2．通过观察得出“圆心到直线的距离 d 和半径 r 的数量关系”与“直线和圆的位置关 系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化． (三)情感与价值观要求 通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的 严谨性以及数学结论的确定性． 在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 经历探索直线与圆位置关系的过程． 理解直线与圆的三种位置关系． 了解切线的概念以及切线的性质． 教学难点 经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系． 探索圆的切线的性质． 教学方法 教师指导学生探索法． 教具准备 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？ [生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的点到圆心的距离 等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径．因此点和圆 的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径作 比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内． [师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系． Ⅱ．新课讲解 1．复习点到直线的距离的定义 [生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直 线的距离． 如下图，C 为直线 AB 外一点，从 C 向 AB 引垂线，D 为垂足，则线段 CD 即为点 C 到直 线 AB 的距离． 2．探索直线与圆的三种位置关系 [师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这 样的例子是很多的．如大家请看课本 113 页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的 位置关系怎样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和 圆有几种位置关系？ [生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看成 一条直线，则直线和圆有三种位置关系． [师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？ [生]有三种位置关系： [师]直线和圆有三种位置关系，如下图： 它们分别是相交、相切、相离． 当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tangent line)． 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交． 当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？ [生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切； 当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交； 当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离． [师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离 d 和半径 r 作比较，类似地推导出如 何用点到直线的距离 d 和半径 r 之间的关系来确定三种位置关系呢？ [生]如上图中，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，圆的半径为 r，当直线与圆相交时，d＜r； 当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用 d 与 r 间的大小关系断定 直线与圆的位置关系． [师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种是从直线与圆的公共点的个 数来断定；一种是用 d 与 r 的大小关系来断定． (1)从公共点的个数来判断： 直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切； 直线与圆没有公共点时，直线与圆相离． (2)从点到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系来判断： d＜r 时，直线与圆相交； d＝r 时，直线与圆相切； d＞r 时，直线与圆相离． 投影片(§3．5．1B) [例 1]已知 Rt△ABC 的斜边 AB＝8cm，AC＝4cm． (1)以点 C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与⊙C 相切？ (2)以点 C 为圆心，分别以 2cm 和 4cm 的长为半径作两个圆，这两个圆与 AB 分别有怎 样的位置关系？ 分析：根据 d 与 r 间的数量关系可知： d＝r 时，相切；d＜r 时，相交；d＞r 时，相离． 解：(1)如上图，过点 C 作 AB 的垂线段 CD． ∵AC＝4cm，AB＝8cm； ∴cosA＝ 1 2 AC AB  ， ∴∠A＝60°． ∴CD＝ACsinA＝4sin60°＝2 3 (cm)． 因此，当半径长为 2 3 cm 时，AB 与⊙C 相切． (2)由(1)可知，圆心 C 到 AB 的距离 d＝2 3 cm，所以，当 r＝2cm 时，d＞r，⊙C 与 AB 相离； 当 r＝4cm 时，d＜r，⊙C 与 AB 相交． 3．议一议 (1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？ (2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？ (3)如图(2)，直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直径 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？说一 说你的理由． 对于(3)，小颖和小亮都认为直径 AB 垂直于 CD．你同意他们的观点吗？ [师]请大家发表自己的想法． [生](1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交； 自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切； 杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离． (2)图(1)中的三个图形是轴对称图形．因为沿着 d 所在的直线折叠，直线两旁的部分都 能完全重合．对称轴是 d 所在的直线，即过圆心 O 且与直线 l 垂直的直线． (3)所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直径 AB 与直线 CD 垂直，因为图(2)是轴对称图形，AB 是对称轴，所以沿 AB 对折图形时，AC 与 AD 重合，因此∠BAC＝∠BAD＝90°． [师]因为直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直径 AB 与直线 CD 垂直，直线 CD 是⊙O 的切线， 因此有圆的切线垂直于过切点的直径． 这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论． 在图(2)中，AB 与 CD 要么垂直，要么不垂直．假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作一条直 径垂直于 CD、垂足为 M，则 OM＜OA，即圆心 O 到直线 CD 的距离小于⊙O 的半径，因此 CD 与⊙O 相交，这与已知条件“直线 CD 与⊙O 相切”相矛盾，所以 AB 与 CD 垂直． 这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不 成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立． Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容： 1．直线与圆的三种位置关系． (1)从公共点数来判断． (2)从 d 与 r 间的数量关系来判断． 2．圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 3．例题讲解． Ⅴ．课后作业 Ⅵ．活动与探究 如下图，A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向 300 千米的 B 处，并以每小时 10 7 千米的速度向北偏东 60°的 BF 方向移动，距台风中心 200 千米的范围是受台风影响的区域． (1)A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？ (2)若 A 城受到这次台风的影响，试计算 A 城遭受这次台风影响的时间有多长？ 分析：因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心，半径为 200 千米的圆，A 城 能否受到影响，即比较 A 到直线 BF 的距离 d 与半径 200 千米的大小．若 d＞200，则无影响， 若 d≤200，则有影响． 解：(1)过 A 作 AC⊥BF 于 C． 在 Rt△ABC 中，∵∠CBA＝30°，BA＝300，∴AC＝ABsin30°＝300× 1 2 ＝150(千米)． ∵AC＜200，∴A 城受到这次台风的影响． (2)设 BF 上 D、E 两点到 A 的距离为 200 千米，则台风中心在线段 DE 上时，对 A 城均 有影响，而在 DE 以外时，对 A 城没有影响． ∵AC＝150，AD＝AE＝200，∴DC＝ 2 2200 150 50 7  ．∴DE＝2DC＝100 7 ． ∴t＝ 100 7 10 7 s v  ＝10(小时)． 答：A 城受影响的时间为 10 小时． 直线和圆的位置关系(2) 教学目标 (一)教学知识点 1．能判定一条直线是否为圆的切线． 2．会过圆上一点画圆的切线． 3．会作三角形的内切圆． (二)能力训练要求 1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力． 2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力． (三)情感与价值观要求 1.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能 力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 2.经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简 单的问题． 教学重点 1.探索圆的切线的判定方法，并能运用． 2.作三角形内切圆的方法． 教学难点: 探索圆的切线的判定方法． 教学方法：师生共同探索法． 教具准备 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种 位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和 圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂 直于过切点的直径． 由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探 索切线的判定条件． Ⅱ．新课讲解 1．探索切线的判定条件 如下图，AB 是⊙O 的直径，直线 l 经过点 A，l 与 AB 的夹角∠α，当 l 绕点 A 旋转时， (1)随着∠α的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与⊙O 的位置关系如何变化？ (2)当∠α等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r？此时，直线 l 与⊙O 有怎样的 位置关系？为什么？ [师]大家可以先画一个圆，并画出直径 AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点 A 移动．观 察∠α发生变化时，点 O 到 l 的距离 d 如何变化，然后互相交流意见． [生](1)如上图，直线 l1 与 AB 的夹角为α，点 O 到 l 的距离为 d1，d1＜r，这时直线 l1 与 ⊙O 的位置关系是相交；当把直线 l1 沿顺时针方向旋转到 l 位置时，∠α由锐角变为直角， 点 O 到 l 的距离为 d，d＝r，这时直线 l 与⊙O 的位置关系是相切；当把直线 l 再继续旋转到 l2 位置时，∠α由直角变为钝角，点 O 到 l 的距离为 d2，d2＜r，这时直线 l 与⊙O 的位置关 系是相离． [师]回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α由小变大，点 O 到 l 的距离 d 也由小变 大，当∠α＝90°时，d 达到最大．此时 d＝r；之后当∠α继续增大时，d 逐渐变小．第(2) 题就解决了． [生](2)当∠α＝90°时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径．此时，直线 l 与⊙O 的位置关系 是相切，因为从上一节课可知，当圆心 O 到直线 l 的距离 d＝r 时，直线与⊙O 相切． [师]从上面的分析中可知，当直线 l 与直径之间满足什么关系时，直线 l 就是⊙O 的切 线？请大家互相交流． [生]直线 l 垂直于直径 AB，并经过直径的一端 A 点． [师]很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条 直径的直线是圆的切线． 2．做一做 已知⊙O 上有一点 A，过 A 作出⊙O 的切线． 分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直 于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心 O 和圆上一点 A，那么过 A 点的直径就可以作 出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手． [生]如下图． (1)连接 OA． (2)过点 A 作 OA 的垂线 l，l 即为所求的切线． 3．如何作三角形的内切圆． 如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切． 分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心 在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离． 解：(1)作∠B、∠C 的平分线 BE 和 CF，交点为 I(如下图)． (2)过 I 作 ID⊥BC，垂足为 D． (3)以 I 为圆心，以 ID 为半径作⊙I． ⊙I 就是所求的圆． [师]由例题可知，BE 和 CF 只有一个交点 I，并且 I 到△ABC 三边的距离相等，为什么？ [生]∵I 在∠B 的角平分线 BE 上，∴ID＝IM，又∵I 在∠C 的平分线 CF 上，∴ID＝IN， ∴ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的． [师]因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一 点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆 只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)，内 切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter)． 4．例题讲解 如下图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB． 求证：AT 是⊙O 的切线． 分析：AT 经过直径的一端，因此只要证 AT 垂直于 AB 即可，而由已知条件可知 AT＝ AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°． 由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即 AT⊥AB． 请大家自己写步骤． [生]证明：∵AB＝AT，∠ABT＝45°． ∴∠ATB＝∠ABT＝45°． ∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°． ∴AT⊥AB，即 AT 是⊙O 的切线． Ⅲ．课堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了以下内容： 1．探索切线的判定条件． 2．会经过圆上一点作圆的切线． 3．会作三角形的内切圆． 4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念． Ⅴ．课后作业 1. 2．活动与探究 已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD． 求证：DC 是⊙O 的切线． 分析：要证 DC 是⊙O 的切线，需证 DC 垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线 半径 OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为 OD＝OB，OC 为公共边，因此△CDO≌△CBO， 所以∠ODC＝∠OBC＝90°． 证明：连结 OD． ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2， ∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4． ∵OD＝OB，OC＝OC， ∴△ODC≌△OBC． ∴∠ODC＝∠OBC． ∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠OBC＝90°． ∴∠ODC＝90°． ∴DC 是⊙O 的切线． 24.3 正多边形和圆 教学过程设计 问题与情境 师生行为 设计意图 [活动 1] 观看下列美丽的图案． 问题 1 这些美丽的图案，都是在日常生活中 我们经常能看到的、利用正多边形得到的 物体．你能从这些图案中找出正多边形来 教师演示课件或展示图片，提出问 题 1． 学生观察图案，思考并指出找到的 正多边形． 教师关注： （1） 学生能否从这些图案 中找到正多边形； （2） 学生能否从这些图案 中发现正多边形和圆的关系． 教师提出问题 2，引导学生观 察、思考． 学生讨论、交流，发表各自见 通过观看美丽的图 案，欣赏生活中正多边 形形状的物体，让学生 感受到数学来源于生 活，并从中感受到数学 美． 问题 2 的提出是为 了创设一个问题情境， 激起学生主动将所学圆 的知识与正多边形联系 起来，激发学生积极探 索，研究的热情，调动 学生学习的积极性，并 教 学 目 标 知 识 和 能 力 1． 了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念． 2．在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正 多边形的知识解决圆的有关计算问题． 过程和 方 法 学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展 学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力． 情感态度 价值观 学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到 事物之间是相互联系，相互作用的． 教学重点 探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算． 教学难点 探索正多边形与圆的关系． 教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 吗？ 问题 2 你知道正多边形和圆有什么关系吗？ 你能借助圆做出一个正多边形吗？ 解． 教师关注: 学生能否联想到等分圆周作 出正多边形来． 有意将注意力集中在正 多边形与圆的关系上． [活动 3] 学生观看课件，理解概念． 例题 1 有一个亭子（如图）它的地 基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周 长和面积（精确到 0.1 m2）． 教师演示课件，给出正多边形 的中心，半径，中心角，边心距等 概念． 教师引导学生画出正六边形 图形，进行分析． 教师关注： （1）学生能否知道欲求地基 的周长和面积，需要先求正六边形 的边长和边心距； （2）学生能否将正六边形的 边长、半径和边心距集中在一个三 角形中来研究． （3）学生能否将正六边形的 中心与顶点连接起来，将正六边形 分割成 6 个全等的等腰三角形， 去发现每个等腰三角形的顶角就 是中心角，腰是半径，底边是边长， 底边上的高是边心距，从而可以利 用勾股定理进行计算，进而能够求 得正多边形的周长和面积． 教师引导学生完成例题 1 的 解答．总结这一类问题的求解方 法． 例题 1、2 是有关正多边 形计算的具体应用，目 的是让学生在了解有关 正多边形的概念后，通 过例题的练习，巩固所 学到的知识． 学生在教师的引导 下，将正多边形的中心， 半径，中心角，边心距 等集中在一个三角形中 来研究，即将正多边形 的中心与顶点连接起 来，将正多边形分割成 n 个全等的等腰三角形， 让学生们发现每个等腰 三角形的顶角为中心 角，腰为半径，底边为 边长，底边上的高为边 心距，可以利用勾股定 理进行计算．进而能够 求得正多边形的周长和 面积．教师引导学生将 实际问题转化成数学问 题，将多边形化归成三 完成教材第 页例题 教师让学生独立完成例题 2， 教师巡视，个别辅导．给出正确答 案． 角形来解决． 体现了化归思想在解题 中的应用． [活动 4]小节 学完这节课你有哪些收获？ 思考题 问题 1： 正 n 边形的一个内角的度数是多少？ 中心角呢？正多边形的中心角与外角的大 小有什么关系？ 问题 2 正 n 边形的半径，边心距，边长又有 什么关系？ 学生自己总结，不全面的由 其他学生补充完善． 教师重点关注：不同层次学 生对本节知识的理解、掌握程度． 学生独立完成，教师批改、 总结，重点关注： （1）对学生在练习中出 现的问题，有针对性地给予分 析； （2）学生面对探究性问题的 解决方法． 了解教学效果，及时调 整教学． 通过对实际问题的 探究，完成具体→抽象 →具体的思维螺旋上升 过程，形成应用数学的 意识，加深对本节知识 的理解． 作业 设计 必做 教科书 P 选做 教科书 P 教 学 反 思 24.4 弧长及扇形的面积 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力． (三)情感与价值观要求 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受 数学的严谨性以及数学结论的确定性． 2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系， 激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力． 教学重点 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式． 3．会用公式解决问题． 教学难点 1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题． 教学方法 学生互相交流探索法 教具准备 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的 一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系 呢？本节课我们将进行探索． Ⅱ．新课讲解 一、复习 1．圆的周长如何计算？ 2．圆的面积如何计算？ 3．圆的圆心角是多少度？ [生]若圆的半径为 r，则周长 l＝2πr，面积 S＝πr2，圆的圆心角是 360°． 二、探索弧长的计算公式 如图，某传送带的一个转动轮的半径为 10cm． (1)转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？ (2)转动轮转 1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？ (3)转动轮转 n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？ [师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应 360°的圆心角，所以转动轮转 1°，传送带上的物品 A 被传送圆周长的 1 360 ；转动轮转 n°， 传送带上的物品 A 被传送转 1°时传送距离的 n 倍． [生]解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送 2π×10＝20πcm； (2)转动轮转 1°，传送带上的物品 A 被传送 20 360 18   cm； (3)转动轮转 n°，传送带上的物品 A 被传送 n× 20 n 360 180   ＝cm． [师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算 公式吗？请大家互相交流． [生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长 2πR，那么 1°的圆心角对应的 弧长为 2 360 180 R R  ，n°的圆心角对应的弧长应为 1°的圆心角对应的弧长的 n 倍，即 n× 180 180 R n R  ． [师]表述得非常棒． 在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为： l＝ 180 n R ． 下面我们看弧长公式的运用． 三、例题讲解 见课本 P 的例 1 四、想一想 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长 3m 的绳子，绳子的另一端拴着 一只狗． (1)这只狗的最大活动区域有多大？ (2)如果这只狗只能绕柱子转过 n°角，那么它的最大活动区域有多大？ [师]请大家互相交流． [生](1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即 9π； (2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积， 1°的圆心角对应圆面积的 1 360 ，即 1 360 ×9π＝ 40  ，n°的圆心角对应的圆面积为 n× 40  ＝ 40 n ． [师]请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式． [生]如果圆的半径为 R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为 2 360 R ，n° 的圆心角对应的扇形面积为 n· 2 2 360 360 R n R  ．因此扇形面积的计算公式为 S 扇形＝ 360 n πR2， 其中 R 为扇形的半径，n 为圆心角． 五、弧长与扇形面积的关系 [师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长 的计算公式为 l＝ 180 n πR，n°的圆心角的扇形面积公式为 S 扇形＝ 360 n πR2，在这两个公式 中，弧长和扇形面积都和圆心角 n．半径 R 有关系，因此 l 和 S 之间也有一定的关系，你能 猜得出吗？请大家互相交流． [生]∵l＝ 180 n πR，S 扇形＝ 360 n πR2， ∴ 360 n πR2＝ 1 2 R· 180 n πR．∴S 扇形＝ 1 2 lR． 六、扇形面积的应用 见课本 P 例 2 Ⅲ．课堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容： 1．探索弧长的计算公式 l＝ 180 n πR，并运用公式进行计算； 2．探索扇形的面积公式 S＝ 360 n πR2，并运用公式进行计算； 3．探索弧长 l 及扇形的面积 S 之间的关系，并能已知一方求另一方． Ⅴ．课后作业 1. 2.活动与探究 如图，两个同心圆被两条半径截得的 AB 的长为 6π cm，CD 的长为 10π cm，又 AC ＝12cm，求阴影部分 ABDC 的面积． 分析：要求阴影部分的面积，需求扇形 COD 的面积与扇形 AOB 的面积之差．根据扇形 面积 S＝ 1 2 lR，l 已知，则需要求两个半径 OC 与 OA，因为 OC＝OA＋AC，AC 已知，所以只 要能求出 OA 即可． 解：设 OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根据已知条件有： 6 180 10 ( 12)180 n R n R          ① ② ① ② 得 3 5 12 R R   ． ∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18． ∴OC＝18＋12＝30． ∴S＝S 扇形 COD－S 扇形 AOB＝ 1 2 ×10π×30－ 1 2 ×6π×18＝96π cm2． 所以阴影部分的面积为 96π cm2． 24.4.2 圆锥的侧面积 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程． 2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求 1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力． 2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力． (三)情感与价值观要求 1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培 养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经 验，感受成功的体验． 2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学 习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际． 教学重点 1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程． 2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． 教学难点: 经历探索圆锥侧面积计算公式． 教学方法 观察——想象——实践——总结法 教具准备 一个圆锥模型(纸做) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？ [主]见过，如漏斗、蒙古包． [师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流． [生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的． [师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这 些问题． Ⅱ．新课讲解 一、探索圆锥的侧面展开图的形状 [师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是 什么形状． [生]圆锥的侧面展开图是扇形． [师]能说说理由吗？ [生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上节 课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想 圆锥的侧面展开图应该是扇形． [师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理 由吗？ [生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型． [师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢？下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪 开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的？ [生]是扇形． [师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面 积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半 径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？这将是我们进一步研究的对象． 二、探索圆锥的侧面积公式 [师]圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线(generating line)长为 l，底面 圆的半径为 r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长 l，扇形的弧长即为底 面圆的周长 2πr，根据扇形面积公式可知 S＝ 1 2 ·2πr·l＝πrl．因此圆锥的侧面积为 S 侧 ＝πrl． 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，全面积为 S 全＝πr2＋πrl． 三、利用圆锥的侧面积公式进行计算． 圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为 58cm， 高为 20cm，要制作 20 顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到 0.1cm)2 分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从 中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高 h、底面圆的半径 r、母线 l 组成的 直角三角形中，根据勾股定理求出母线 l，代入 S 侧＝πrl 中即可． 解：设纸帽的底面半径为 r cm，母线长为 l cm，则 r＝ 58 2 l＝ 2 258( ) 202  ≈22.03cm， S 圆锥侧＝πrl≈ 1 2 ×58×22.03＝638.87cm2． 638.87×20＝12777.4cm2． 所以，至少需要 12777.4cm2 的纸． 分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两 个圆锥的侧面积之和．根据 S 侧＝ 360 n πR2 或 S 侧＝πrl 可知，用第二个公式比较好求，但是 得求出底面圆的半径，因为 AB 垂直于底面圆，在 Rt△ABC 中，由 OC、AB＝BC、AC 可求出 r，问题就解决了． 解：在 Rt△ABC 中，AB＝13cm，AC＝5cm， ∴BC＝12cm． ∵OC·AB＝BC·AC， ∴r＝OC＝ ． ∴S 表＝πr(BC＋AC)＝π× 60 13 ×(12＋5) ＝1020 13 π cm2． Ⅲ．课堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容： 探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算． Ⅴ．课后作业 1. 2．活动与探究 探索圆柱的侧面展开图 在生活中，我们常常遇到圆柱形的物体，如油桶、铅笔、圆形柱子等，在小学我们已 知圆柱是由两个圆的底面和一个侧面围成的，底面是两个等圆，侧面是一个曲面，两个底面 之间的距离是圆柱的高． 圆柱也可以看作是由一个矩形旋转得到的，旋转轴叫做圆柱的轴，圆柱侧面上平行于 轴的线段都叫做圆柱的母线．容易看出，圆柱的轴通过上、下底面的圆心，圆柱的母线长都 相等，并等于圆柱的高，圆柱的两个底面是平行的． 如图，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，侧面的展开图是矩形， 这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长，另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的 侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高． [例 1]如图(1)，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形 ABCD．已知 AD＝18cm，AB ＝30cm，求这个圆柱形木块的表面积(精确到 1cm2)． 解：如图(2)，AD 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的母线， 设圆柱的表面积为 S，则 S＝2S 圆＋S 侧． ∴S＝2π( 18 2 )2 ＋2π× 18 2 ×30＝162π＋540π≈ 2204cm2． 所以这个圆柱形木块的表面积约为 2204cm2． 回顾与思考 教学目标 (一)教学知识点 1．了解点与圆，直线与圆的位置关系． 2．了解切线的概念，切线的性质及判定． 3．会过圆上一点画圆的切线． (二)能力训练要求 1．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中 的特点和规律，进一步发展学生的推理能力． 2．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索 能力． 3．通过画圆的切线，训练学生的作图能力． 4．通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力． (三)情感与价值观要求 1．通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及 数学结论的确定性． 2．经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力， 能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 教学重点 1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系． 2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线． 教学难点：探索各种位置关系及切线的性质． 教学方法：学生自己交流总结法． 教具准备 教学过程 Ⅰ．回顾本章内容 [师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本 章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固． Ⅱ．具体内容巩固 一、确定圆的条件 [师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我 们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆， 圆心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结． [生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连 的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个． 经过两点也可以作无数个圆． 设这两点为 A、B，经过 A、B 两点的圆，其圆心到 A、B 两点的距离一定相等，所以圆 心应在线段 AB 的垂直平分线上，在 AB 的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到 A 或 B 的距离为半径都可以作一个经过 A、B 两点的圆．因此这样的圆也有无数个． 经过在同一直线上的三点不能作圆． 经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过 A、B、C 三点，就要确定 一个点作为圆心，使它到三点 A、B、C 的距离相等，到 A、B 两点距离相等的点在线段 AB 的垂直平分线上，到 B、C 两点距离相等的点应在线段 B、C 的垂直平分线上，那么同时满 足到 A、B、C 三点距离相等的点应既在 AB 的垂直平分线上，又在 BC 的垂直平分线上，既 两条直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到 A 点的距离为半径，所 以这样的圆只能作出一个． [师]经过不在同一条直线上的四个点 A、B、C、D 能确定一个圆吗？ [生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆 心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径， 说明四个点不在同一个圆上． 矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？ [师]请大家互相交流． [生]解：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O． ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD． ∴A、B、C、D 四点到定点 O 的距离都等于矩形对角线的一半． ∴A、B、C、D 四点在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上． 二、三种位置关系 [师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆 和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾． 1．点和圆的位置关系 [生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆 的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明 这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明 这个点在圆内． [师]总结得不错，下面看具体的例子． (投影片 B) 1．⊙O 的半径 r＝5cm，圆心 O 到直线 l 的 距离 d＝OD＝3 m．在直线 l 上有 P、Q、R 三点，且有 PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R 三点对于⊙O 的位置各是怎样的？ 2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？ 分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径． [生]1．解：如图(1)，在 Rt△OPD 中， ∵OD＝3，PD＝4， ∴OP＝ 2 2 2 23 4OD PD   ＝5＝r． 所以点 P 在圆上． 同理可知 OR＝ 2 2OD DR ＜5，OQ＝ 2 2OD DQ ＞5． 所以点 R 在圆内，点 Q 在圆外． 2．如图(2)，菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，E、F、G、H 分别是各边的 中点．因为菱形的对角线互相垂直，所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA 都是直角三角形， 又由于 E、F、G、H 分别是各直角三角形斜边上的中点，所以 OE、OF、OG、OH 分别是各直 角三角形斜边上的中线，因此有 OE＝ 1 2 AB，OF＝ 1 2 BC，OG＝ 1 2 CD，OH＝ 1 2 AD，而 AB＝ BC＝CD＝DA．所以 OE＝OF＝OG＝OH．即各中点 E、F、G、H 到对角线的交点 O 的距离相 等，所以菱形各边的中点在同一个圆上． 2．直线和圆的位置关系 [生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时， 此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没 有公共点时，此时直线和圆相离． [师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？ [生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较 圆心到直线的距离 d 与半径的大小． 当 d＜r 时，直线和圆相交；当 d＝r 时，直线和圆相切；当 d＞r 时，直线和圆相离． [师]很好，下面我们做一个练习． 如图，点 A 的坐标是(－4，3)，以点 A 为圆心，4 为半径作圆，则⊙A 与 x 轴、y 轴、 原点有怎样的位置关系？ 分析：因为 x 轴、y 轴是直线，所以要判断⊙A 与 x 轴、y 轴的位置关系，即是判断直 线与圆的位置关系，根据条件需用圆心 A 到直线的距离 d 与半径 r 比较．O 是点，⊙A 与原 点即是求点和圆的位置关系，通过求 OA 与 r 作比较即可． [生]解：∵A 点的坐标是(－4，3)， ∴A 点到 x 轴、y 轴的距离分别是 3 和 4． 又因为⊙A 的半径为 4， ∴A 点到 x 轴的距离小于半径，到 y 轴的距离等于半径． ∴⊙A 与 x 轴、y 轴的位置关系分别为相交、相切． 由勾股定理可求出 OA 的距离等于 5，因为 OA＞4，所以点 O 在圆外． [师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行深 层次的研究，即切线的性质和判定． [生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径． 切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线． [师]下面我们看它们的应用． 1．如图(1)，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D 是 AB 上一点，以 BD 为 直径的⊙O 切 AC 于点 E，求 AD 的长． 2．如图(2)，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，∠CAE＝∠B，你认为 AE 与⊙O 相 切吗？为什么？ 分析：1．由⊙O 与 AC 相切可知 OE⊥AC，又∠C＝90°，所以△AOE∽△ABC，则对应 边成比例， OA OE BA BC  ．求出半径和 OA 后，由 OA－OD＝AD，就求出了 AD． 2．根据切线的判定，要求 AE 与⊙O 相切，需求∠BAE＝90°，由 AB 为 ⊙O 的直径得∠ACB＝90°，则∠BAC＋∠B＝90°，所以∠CAE＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝ 90°． [师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤． [生]1．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴由勾股定理得 AB＝15． ∵⊙O 切 AC 于点 E，连接 OE，∴OE⊥AC．∴OE∥BC．∴△OAE∽△BAC．∴ OA OE AB BC  ， 即 AB OE OE AB BC   ．∴15 15 9 OE OE  ．∴OE＝ 45 8 ∴AD＝AB－2OD＝AB－2OE＝15－ 45 8 ×2＝15 4 ． 2．解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°．∴∠CAB＋∠B＝90°． ∴∠CAE＝∠B， ∴∠CAB＋∠CAE＝90°， 即 BA⊥AE．∵BA 为⊙O 的直径， ∴AE 与⊙O 相切． 三、有关外接圆和内切圆的定义及画法 [生]过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接 圆的圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点． 因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分 线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆． 和三角形三边都相切的圆；叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分 线的交点，叫三角形的内心．因此，作三角形的内切圆时，只要作两条角平分线就找到了圆 心，以这点与任一边之间的距离为半径，就可作出三角形的内切圆． Ⅲ．课堂练习 1．画三个半径分别为 2cm、2.5cm、4cm 的圆，使它他们两两外切． 2．两个同心圆中，大圆的弦 AB 和 AC 分别和小圆相切于点 D 和 E，则 DE 与 BC 的位置 关系怎样？DE 与 BC 之间有怎样的数量关系？(DE 1 2 BC) Ⅳ．课时小结 本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系；如何作三角 形的外接圆和内切圆． Ⅴ．课后作业 Ⅵ．活动与探究 如图，⊙O 是 Rt△ABC 的内切圆，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，求图中阴影部分 的面积． 分析：根据图形，阴影部分的面积等于三角形 ABC 的面积与⊙O 的面积差，由勾股定 理可求出直角边 BC 的长度，则能求出 S△ABC，要求圆的面积，则需求⊙O 的半径 OD 或 OE、 OF．连接 OA、OB、OC，则把△ABC 分成三个三角形，即△OAB，△OBC、△OCA，则有 S △ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA，从中可求出半径． 解：如图连接 OA、OB、OC，则△ABC 分成三个三角形，△OAB、△OBC、△OCA，OE、 OF、OD 分别是三角形各边上过切点的半径． ∴S△OAB＝ 1 2 AB·OF，S△OBC＝ 1 2 BC·OD，S△OCA＝ 1 2 CA·OE． ∵S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA， ∴ 1 2 AC·BC＝ 1 2 AB·OF＋ 1 2 BC·OD＋ 1 2 CA·OE． ∵OD＝OE＝OF， ∴AC·BC＝(AB＋BC＋CA)·OD． 在 Rt△ABC 中，AB＝13，AC＝12，由勾股定理得 BC＝5． ∴12×5＝(12＋13＋5)·OD．∴OD＝2． ∴S 阴影＝S△ABC－S⊙O＝ 1 2 ×12×5－π·22＝30－4π． 第二十四章 概率 24.1 随机事件 教学目标： 知识技能目标：了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点. 数学思考目标：学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程,发展学生从纷繁复杂的表 象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力. 解决问题目标：能根据随机事件的特点,辨别哪些事件是随机事件. 情感态度目标:引领学生感受随机事件就在身边,增强学生珍惜机会，把握机会的意识. 教学重点：随机事件的特点. 教学难点：判断现实生活中哪些事件是随机事件. 教学过程 <活动一> 【问题情境】 摸球游戏 三个不透明的袋子均装有 10 个乒乓球.挑选多名同学来参加游戏. 游戏规则 每人每次从自己选择的袋子中摸出一球,记录下颜色,放回,搅匀,重复前 面的试验.每人摸球 5 次.按照摸出黄色球的次数排序,次数最多的为第一名,其次为第二名,最 少的为第三名. 【师生行为】 教师事先准备的三个袋子中分别装有 10 个白色的乒乓球；5 个白色的乒乓球和 5 个黄 色的乒乓球；10 个黄色的乒乓球. 学生积极参加游戏,通过操作和观察,归纳猜测出在第 1个袋子中摸出黄色球是不可能的, 在第 2 个袋子中能否摸出黄色球是不确定的,在第 3 个袋子中摸出黄色球是必然的. 教师适时引导学生归纳出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点. 【设计意图】 通过生动、活泼的游戏,自然而然地引出必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事 件,不仅能够激发学生的学习兴趣,并且有利于学生理解.能够巧妙地实现从实践认识到理性 认识的过渡. <活动二> 【问题情境】 指出下列事件中哪些是必然发生的,哪些是不可能发生的，哪些是随机事件？ 1.通常加热到 100°C 时，水沸腾； 2.姚明在罚球线上投篮一次，命中； 3.掷一次骰子，向上的一面是 6 点； 4.度量三角形的内角和，结果是 360°； 5. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯； 6.某射击运动员射击一次，命中靶心； 7.太阳东升西落； 8.人离开水可以正常生活 100 天； 9.正月十五雪打灯； 10.宇宙飞船的速度比飞机快. 【师生行为】 教师利用多媒体课件演示问题,使问题情境更具生动性. 学生积极思考,回答问题,进一步夯实必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件的 特点.在比较充分的感知下，达到加深理解的目的. 教师在学生完成问题后应注意引导学生发现在我们生活的周围大量地存在着随机事件. 【设计意图】 引领学生经历由实践认识到理性认识再重新认识实践问题的过程, 同时引入一些常识 问题,使学生进一步感悟数学是认识客观世界的重要工具. <活动三>【问题情境】 情境 1 5 名同学参加讲演比赛,以抽签方式决定每个人的出场顺序.签筒中有 5 根形状、大小相同的 纸签,上面分别标有出场的序号 1,2,3,4,5.小军首先抽签,他在看不到纸签上的数字的情况下从 签筒中随机地抽取一根纸签. 情境 2 小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数. 在具体情境中列举不可能发生的事件、必然发生的事件和随机事件. 【师生行为】 学生首先独立思考,再把自己的观点和小组其他同学交流,并提炼出小组成员列举的主要事 件，在全班发布. 【设计意图】 开放性的问题有利于培养学生的发散性思维和创新思维,也有利于学生加深对学习内容 的理解. <活动四> 【问题情境】 请你列举一些生活中的必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件. 【师生行为】 教师引导学生充分交流，热烈讨论. 【设计意图】 随机事件在现实世界中广泛存在.通过让学生自己找到大量丰富多彩的实例，使学生从 不同侧面、不同视角进一步深化对随机事件的理解与认识. <活动五> 【问题情境】 李宁运动品牌打出的口号是“一切皆有可能”，请你谈谈对这句话的理解. 【师生行为】 教师注意引导学生独立思考,交流合作,提升学生对问题的理解与判断 能力. 【设计意图】 有意识地引领学生从数学的角度重新审视现实世界，初步感悟辩证统 一的思想. <活动六> 【问题情境】 归纳、小结 、 布置作业 设计一个摸球游戏,要求对甲乙公平. 【师生行为】 学生反思、讨论. 学生在设计游戏的过程中，进一步感悟随机事件的特点.作业的开放性 为学生创设了更大的学习空间. 【设计意图】课堂小结采取学生反思汇报形式,帮助学生形成较完整的认知结构.作业使 课堂内容得以丰富和延展. 教 学 设 计 说 明 现实生活中存在着大量的随机事件，而概率正是研究随机事件的一门学科.本课是“概 率初步”一章的第一节课.教学中，教师首先以一个学生喜闻乐见的摸球游戏为背景，通过 试验与分析，使学生体验有些事件的发生是必然的、有些是不确定的、有些是不可能的，引 出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件.然后，通过对不同事件的分析判断，让 学生进一步理解必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点.结合具体问题情境， 引领学生设计提出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件，具有相当的开放度，鼓 励学生的逆向思维与创新思维，在一定程度上满足了不同层次学生的学习需要. 做游戏是学习数学最好的方法之一，根据本节课内容的特点，教师设计了摸球游戏，力 求引领学生在游戏中形成新认识，学习新概念，获得新知识，充分调动了学生学习数学的积 极性，体现了学生学习的自主性.在游戏中参与数学活动，在游戏中分析、归纳、合作、思 考，领悟数学道理.在快乐轻松的学习氛围中，显性目标和隐性目标自然达成,在一定程度上, 开创了一个崭新的数学课堂教学模式. 课题: 24.1.2 概率的意义 教学目标: 〈一〉知识与技能：1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 〈二〉教学思考：让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机 现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系. 〈三〉解决问题：在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识 与能力.锻炼质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念. 〈四〉情感态度与价值观：在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲. 体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育. 【教学重点】在具体情境中了解概率意义. 【教学难点】对频率与概率关系的初步理解 【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚 【教学过程】 一、创设情境，引出问题 教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与 小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来 决定把球票给谁. 学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，…… 教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出 大家较认可的方法.如抓阄、投硬币） 追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？ 由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大 在学生讨论发言后，教师评价归纳. 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还上“反面 朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半， 所以小强、小明得到球票的可能性一样大. 质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？ 引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下. 说明：现实中不确定现象是大量存在的， 新课标指出：“学生数学学习内容应当是现实 的、有意义、富有挑战的”，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生 的学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛， 也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础. 二 、动手实践，合作探究 1．教师布置试验任务. （1）明确规则：把全班分成 10 组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录， 其余同学观察试验必须在同样条件下进行. （2）明确任务，每组掷币 50 次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上” 的频数 及 “正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来.. 2．教师巡视学生分组试验情况. 注意：（1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注 学生是否积极思考、勇于克服困难.（2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产 生的纪律问题予以调控. 3.各组汇报实验结果. 由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有 出入. 提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因. 在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机 试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性， 引导他们小组合作， 进一步探究. 解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作. 4．全班交流. 把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计， 按照书上 P140 要求填好 25-2.并根据所整理的数据，在 25.1-1 图上标注出对应的点,完成统计 图. 表 25-2 抛掷次数 n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “正面向上”的频数 m “ 正 面 向 上 ” 的 频 率 nm 想一想 1（投影出示）. 观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？ 注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在 0.5 上下波 动. 想一想 2（投影出示） 随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？ 在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具 有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数较少时，“正面朝上”的 频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频 率越来越接近 0.5. 这也与我们刚开始的猜想是一致的.我们就用 0.5 这个常数表示“正面向 上”发生的可能性的大小. 说明：注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇到的困难.通过以上实践探究活动， 让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，即大量重复试验事件发生的频率接 近事件发生的可能性的大小（概率）.鼓励学生在学习中要积极合作交流，思考探究.学会倾 听别人意见，勇于表达自己的见解. 为了给学生提供大量的、快捷的试验数据,利用计算机模拟掷硬币试验的课件，丰富学 生的体验、提高课堂教学效率，使他们能直观地、便捷地观察到试验结果的规律性--大量重 复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近 . 其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上数学家做掷币 试验的数据统计表（看书 P141 表 25-3）. 表 25-3 试验者 抛掷次数（n） “正面朝上”次数（m） “ 正 面 向 上 ” 频 率 （m/n） 棣莫弗 2048 1061 0.518 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 通过以上学生亲自动手实践,电脑辅助演示,历史材料展示, 让学生真实地感受到、清楚 地观察到试验所体现的规律，大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近, 即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.同时,又感受到无论 试验次数多么大,也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生的概率. 在探究学习过程中,应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，鼓 励学生在学习中不怕困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受,养成实事求是的科学态度. 5.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？ 学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向上”的频率也相 应稳定到 0.5. 教师归纳： （1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上” 0.5 1 正面向上的频率 n m 投掷次数n10050 250150 500450300 350200 图25.1-1 与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是说，用抛掷硬币的方法可以使小明与小 强得到球票的可能性一样. （2）在实际生活还有许多这样的例子，如在足球比赛中，裁判用掷硬币的办法来决定 双方的比赛场地等等. 说明：这个环节，让学生亲身经历了猜想试验——收集数据——分析结果的探索过程， 在真实数据的分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动建构，为下一环节概率意 义的教学作了很好的铺垫. 三、评价概括，揭示新知 问题 1.通过以上大量试验，你对频率有什么新的认识？有没有发现频率还有其他作用？ 学生探究交流.发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐渐稳定到的 值（或常数）估计或去描述. 通过猜想试验及探究讨论，学生不难有以上认识.对学生可能存在语言上、描述中的不 准确等注意予以纠正，但要求不必过高. 归纳：以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可能性的大 小. 那么我们给这样的常数一个名称，引入概率定义.给出概率定义（板书）：一般地，在大 量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 n m 会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就 叫做事件 A 的概率（probability）, 记作 P（A）= p. 注意指出： 1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映. 2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件 发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同. 想一想(学生交流讨论) 问题 2．频率与概率有什么区别与联系? 从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概 率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明 概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同. 说明：猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解， 使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.为下节课进一步研究概率和 今后的学习打下了基础. 当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的.这节课教学应把 握教学难度，注意关注学生接受情况. 四．练习巩固，发展提高. 学生练习 1． 巩固用频率估计概率的方法. 2． 巩固对概率意义的理解. 教师应当关注学生对知识掌握情况，帮助学生解决遇到的问题. 五．归纳总结，交流收获： 1．学生互相交流这节课的体会与收获，教师可将学生的总结与板书串一起，使学生对 知识掌握条理化、系统化. 2．在学生交流总结时，还应注意总结评价这节课所经历的探索过程，体会到的数学价 值与合作交流学习的意义. 【作业设计】 （1）完成 P 习题 （2）课外活动分小组活动，用试验方法获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率. 【教学设计说明】 这节课是在学习了 25.1.1 节随机事件的基础上学习的，学生通过大量重复试验，体验用 事件发生的频率去刻画事件发生的可能性大小，从而得到概率的定义. 1．对概率意义的正确理解，是建立在学生通过大量重复试验后，发现事件发生的频率 可以刻画随机事件发生可能性的基础上.结合学生认知规律与教材特点，这节课以用掷硬币 方法分配球票为问题情境，引导学生亲身经历猜测试验—收集数据—分析结果的探索过程. 这符合《新课标》“从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型 并进行解释与应用的过程”的理念. 贴近生活现实的问题情境，不仅易于激发学生的求知欲与探索热情，而且会促进他们面 对要解决的问题大胆猜想，主动试验，收集数据，分析结果，为寻求问题解决主动与他人交 流合作.在知识的主动建构过程中，促进了教学目标的有效达成.更重要的是，主动参与数学 活动的经历会使他们终身受益. 2．随机现象是现实世界中普遍存在的，概率的教学的一个很重要的目标就是培养学生 的随机观念.为了实现这一目标，教学设计中让学生亲身经历对随机事件的探索过程，通过 与他人合作探究，使学生自我主动修正错误经验，揭示频率与概率的关系，从而逐步建立正 确的随机观念，也为以后进一步学习概率有关知识打下基础. 3．在教学中，本课力求向学生提供从事数学活动的时间与空间，为学生的自主探索与 同伴的合作交流提供保障，从而促进学生学习方式的转变，使之获得广泛的数学活动经验. 教师在学习活动中是组织者、引导者与合作者，应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、 是否愿意交流等，给学生以适时的引导与鼓励. 24.2 列举法求概率 教学目标： 知识与技能目标：学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决 策。 过程与方法目标，经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件， 计算其发生的概率。渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决 问题的能力。 情感与态度目标，通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造， 体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。 教学重点：习运用列表法或树形图法计算事件的概率。 教学难点：能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。 教学过程 1.创设情景，发现新知 教材是通过 P151—P152 的例 5、例 6 来介绍列表法和树形图法的。 例 5（教材 P151）：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1) 两个骰子的点数相同；(2) 两个骰子的点数的和是 9；(3) 至少有一个骰子的点数为 2。 这个例题难度较大，事件可能出现的结果有 36 种。若首先就拿这个例题给学生讲解， 大多数学生理解起来会比较困难。所以在这里，我将新课的引入方式改为了一个有实际背景 的转盘游戏（前一课已有例２作基础）。 （1）创设情景 引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、B 两个带指针的转盘 分别被分成三个面积相等的扇形，转盘 A 上的数字分别是 1，6，8，转盘 B 上的数字分别是 4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。每次选择 2 名同学分别拨动 A、B 两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演 一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。作为游戏者，你会选择哪个装置呢？ 并请说明理由。 1 6 8 A 4 5 7 B 图 2 联欢晚会游戏转盘 【设计意图】 选用这个引例，是基于以下考虑：以贴近学生生活的联欢晚会为背景， 创设转盘游戏引入，能在最短时间内激发学生的兴趣，引起学生高度的注意力，进入情境。 （2）学生分组讨论，探索交流 在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。然后引导学生将实际问题转化为数学问 题，即： “停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？” 由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小。此时我首先引导学生观看转盘 动画，同学们会发现这个游戏涉及 A、B 两转盘， 即涉及 2 个因素，与前一课所讲授单转 盘概率问题（教材 P148 例 2）相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复 或遗漏。怎样避免这个问题呢？ 实际上，可以将这个游戏分两步进行。 于是，指导学生构造表格 （3）指导学生构造表格 A B 4 5 7 1 6 8 首先考虑转动 A 盘：指针可能指向 1，6，8 三个数字中的任意一个，可能出现的结果 就会有 3 个。接着考虑转动 B 盘：当 A 盘指针指向 1 时，B 盘指针可能指向 4、5、7 三个数 字中的任意一个，这是列举法的简单情况。当 A 盘指针指向 6 或 8 时，B 盘指针同样可能指 向 4、5、7 三个数字中的任意一个。一共会产生 9 种不同的结果。 【设计意图】 这样既分散了难点，又激发了学生兴趣，渗透了转化的数学思想。 （4）学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论（即列表法） A B 4 5 7 1 （1，4） （1，5） （1，7） 6 （6，4） （6，5） （6，7） 8 （8，4） （8，5） （8，7） 从表中可以发现：A 盘数字大于 B 盘数字的结果共有 5 种。 ∴P(A 数较大)= 9 5 , P(B 数较大)= 9 4 . ∴P(A 数较大)＞ P(B 数较大) ∴选择 A 装置的获胜可能性较大。 在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性。 由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举。即先转动Ａ盘，可能出现 1， 6，8 三种结果；第二步考虑转动Ｂ盘，可能出现 4，5，7 三种结果。 （5）解法二： 由图知：可能的结果为： （1，4），（1，5），（1，7）， （6，4），（6，5），（6，7）， 1 6 8 开始 A 装置 4 5 7 4 5 7 4 5 7B 装置 （8，4），（8，5），（8，7）。共计 9 种。 ∴P(A 数较大)= 9 5 , P(B 数较大)= 9 4 . ∴P(A 数较大)＞ P(B 数较大) ∴选择 A 装置的获胜可能性较大。 然后，引导学生对所画图形进行观察：若将图形倒置，你会联想到什么？这个图形很像 一棵树，所以称为树形图（在幻灯片上放映）。列表和树形图是列举法求概率的两种常用的 方法。 【设计意图】自然地学生感染了分类计数和分步计数思想。 2.自主分析，再探新知 通过引例的分析，学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练 掌握这两种方法，我选用了下列两道例题（本节教材 P151—P152 的例 5 和例 6）。 例 1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1) 两个骰子的点数相同； (2) 两个骰子的点数的和是 9； (3) 至少有一个骰子的点数为 2。 例 1 是教材上一道“掷骰子”的问题，有了引例作基础，学生不难发现：引例涉及两个 转盘，这里涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。于是，学生通过类比列出下列表。 第 2 个 第 1 个 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有 36 个，它们出现的可能性相等。 由所列表格可以发现： （1）满足两个骰子的点数相同（记为事件 A）的结果有 6 个，即（1，1），（2，2），（3， 3），（4，4），（5，5），（6，6），所以 P(A)= 36 6 = 6 1 。 [满足条件的结果在表格的对角线上] （2）满足两个骰子的点数的和是 9（记为事件 B）的结果有 4 个，即（3，6），（4，5）， （5，4），（6，3），所以 P(B)= 36 4 = 9 1 。 [满足条件的结果在（3，6）和（6，3）所在的斜线上] （3）至少有一个骰子的点数为 2（记为事件 C）的结果有 11 个，所以 P(C)= 36 11 。 [满足条件的结果在数字 2 所在行和 2 所在的列上] 接着，引导学生进行题后小结： 当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。运用列 表法求概率的步骤如下： ①列表 ； ②通过表格计数，确定公式 P(A)= n m 中 m 和 n 的值； ③利用公式 P(A)= n m 计算事件的概率。 分析到这里，我会问学生：“例 1 题目中的“掷两个骰子”改为“掷三个骰子”，还可以 使用列表法来做吗？”由此引出下一个例题。 例 2： 甲口袋中装有 2 个相同的球，它们分别写有字母 A 和 B；乙口袋中 3 个相同的 球，它们分别写有字母 C、D 和 E；丙口袋中 2 个相同的球，它们分别写有字母 H 和 I。从三 个口袋中各随机地取出 1 个球。 （1）取出的三个球上恰好有 1 个、2 个和 3 个元音字母的概率分别为多少？ （2）取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？ 例 2 与前面两题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到 3 个因素。此时同学 们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树形图法。 本游戏可分三步进行。分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键。 从图形上可以看出所有可能出现的结果共有 12 个，即： （幻灯片上用颜色区分） 这些结果出现的可能性相等。 （1）只有一个元音字母的结果（黄色）有 5 个，即 ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以 12 5P （一个元音） ； 有两个元音的结果（白色）有 4 个，即 ACI，ADI，AEH，BEI，所以 3 1 12 4P )( 两个元音 ； 全部为元音字母的结果（绿色）只有 1 个，即 AEI ，所以 12 1P )( 三个元音 。 （2）全是辅音字母的结果（红色）共有 2 个，即 BCH，BDH，所以 6 1 12 2P )( 三个辅音 。 通过例 2 的解答，很容易得出题后小结： 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。运用树形图法 求概率的步骤如下：（幻灯片） ①画树形图 ； ②列出结果，确定公式 P(A)= n m 中 m 和 n 的值； ③利用公式 P(A)= n m 计算事件概率。 接着我向学生提问：到现在为止，我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况？ 列 表法和画树形图法求概率有什么优越性？什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树 形图法”更好呢？ A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C H B D H B D I B E H B E I B C I A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I 甲 乙 丙 【设计意图】 通过对上述问题的思考，可以加深学生对新方法的理解，更好的认识到 列表法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息，有利于学 生根据实际情况选择正确的方法。 3.应用新知，深化拓展 为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况，提高应用所学知识解决问题的能力， 在此我选择了教材 P154 课后练习作为随堂练习。 （1）经过某十字路口的汽车，它可能继续前行，也可能向左或向右，如果这三种可能 性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率： ①三辆车全部继续前行； ②两辆车向右转，一辆车向左转； ③至少有两辆车向左转。 [随堂练习（1）是一道与实际生活相关的交通问题，可用树形图法来解决。] （2）在 6 张卡片上分别写有 1——6 的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一 张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？ 通过解答随堂练习（2），学生会发现列出的表格和例 1 的表格完全一样。不同的是：变 换了实际背景，设置的问题也不一样。这时，我提出：我们是否可以根据这个表格再编一道 用列举法求概率的题目来呢？ 为了进一步拓展思维，我向学生提出了这样一个问题，供学生课后思考： 在前面的引例中，转盘的游戏规则是不公平的，你能把它改成一个公平的游戏吗？ 【设计意图】 以上问题的提出和解决有利于学生发现数学问题的本质，做到举一反三， 融会贯通。 4.归纳总结，形成能力 我将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。要求每个学生在组内 交流，派小组代表发言。 【设计意图】 通过这个环节，可以提高学生概括能力、表达能力，有助于学生全面地 了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，增强自信，也为教师全面了解学生的学习状 况、因材施教提供了重要依据。 5.布置作业，巩固提高 考虑到学生的个体差异，为促使每一个学生得到不同的发展，同时促进学生对自己的学 习进行反思，在第五个环节“布置作业，巩固提高”里作如下安排： （1）必做题：书本 P154/ 3，P155/ 4，5 （2）选做题： ①请设计一个游戏，并用列举法计算游戏者获胜的概率。 ②研究性课题：通过调查学校周围道路的交通状况，为交通部门提出合理的建议等。 【设计意图】 通过教学实践作业和社会实践活动，引导学生灵活运用所学知识，让学生 把动脑、动口、动手三者结合起来，启发学生的创造性思维，培养协作精神和科学的态度。