人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法课件

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第二十一章 一元二次方程 人教版 九年级数学上册 21.2.3 因式分解法 导入新课 情境引入 我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程 (x+1)(x－1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0 或x-1=0来解，你能求 (x+3)(x－5)=0的解吗？ 讲授新课 因式分解法解一元二次方程一 引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高 度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体 经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)? 分析：设物体经过 x s落回地面， 这时它离地面的高度为0，即 10x-4.9x2 =0 ① 解： 2 100 049x x  ， 2 2 2 100 50 50049 49 49x x                ， 2 250 50 49 49x            ， 50 50 49 49x    ， 50 50 49 49x    ， 2 0.x  解： ∵ a=4.9,b=-10,c=0. 2 4 2 b b acx a     10 10 2 4.9     ， ∴ b2－4ac = (－10)2－4×4.9×0 =100. 1 100 49x  ， 2 0.x  公式法解方程10x-4.9x2=0.配方法解方程10x-4.9x2=0. 10x-4.9x2=0. 1 100 49x  ， 因式分解 如果a · b = 0， 那么 a = 0或 b = 0. 1 0,x  2 100 2.0449x   两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 10x-4.9x2 =0 ① x(10-4.9x) =0 ② x =0 10-4.9x=0 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化 为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 要点归纳 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 试一试：下列各方程的根分别是多少？ (1) x(x-2)=0； (1) x1=0,x2=2； (2) (y+2)(y-3)=0； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (3) x1=-2,x2=2； (4) x2=x. (4) x1=0,x2=1. 例1 解下列方程：       2 21 31 2 2 0; 2 5 2 2 .4 4x x x x x x x         解：(1)因式分解，得 于是得 x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1. (2)移项、合并同类项，得 24 1 0.x   因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 于是得 2x＋1=0或2x－1=0, 1 2 1 1, .2 2x x   (x－2)(x＋1)=0. 典例精析 灵活选用方法解方程二 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1； 分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快. 解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. 5. , 3 5 21  xx 分析：方程一边以平方形式出现， 另一边是常数，可直接开平方法. 解：开平方,得 5x + 1 = ±1. 解得, x 1= 0 , x2= （3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1； 分析：二次项的系数为1，可用配 方法来解题较快. 解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得 x1= , x2= 分析：二次项的系数不为1，且不能直 接开平方，也不能直接因式分解，所 以适合公式法. 解：化为一般形式 3x2 - 4x + 1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0, 填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型. 拓展提升 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时， 用配方法也较简单. 要点归纳 解法选择基本思路 ① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 当堂练习 1.填空 ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ 2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请 改正过来. 解方程 (x-5)(x+2)=18. 解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ① 由x-5=3, 得x=8; ② 由x+2=6, 得x=4; ③ 所以原方程的解为x1=8或x2=4. 解: 原方程化为： x2 －3x －28= 0， (x－7)(x+4)=0， x1=7，x2=－4. 3.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为 ； 再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= , x2= . x2+x－2=0 －2 1    2 21 3 6 3 2 4 121 0.x x x    　　 ；　　　 　　 解：化为一般式为 因式分解，得 x2－2x+1 = 0. ( x－1 )( x－1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1. 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0， 1 2 11 11, .2 2x x   4.解方程： 5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地 面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为r， 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π. 因式分解，得   5 2 5 2 0.r r r r     于是得 2 +5 0 2 5 0.r r r r    或 1 2 5 5, ( ). 2 1 1 2 r r     舍去 答：小圆形场地的半径是 5 m. 2 1