人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程解一元二次方程一元二次方程的根与系数的关系课件

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程解一元二次方程一元二次方程的根与系数的关系课件

第二十一章 一元二次方程 人教版 九年级数学上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 导入新课 复习引入 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 2 24 ( 4 0)2 b b acx b aca      想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？ 2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根. 讲授新课 探索一元二次方程的根与系数的关系一 算一算 解下列方程并完成填空： （1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0. 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 2x2+3x+1=0 -4 1 2 3 1 2  -1 x1+x2=-3 x1 · x2=-4 x1+x2=5 x1 · x2=6 2 3 1 02 2x x   1 2 3 2x x   1 2 1 2x x g 猜一猜 （1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0, 且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数） 的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能 看出x1,x2与p,q之间的关系吗？ u重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q. (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 猜一猜 （2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你 可以发现什么结论？ 1 2 bx x a    1 2 cx x a g 2 2 1 2 4 4 2 2 b b ac b b acx x a a         2 24 4 2 b b ac b b ac a       2 2 b a  .b a  证一证： 2 2 1 2 4 4 2 2 b b ac b b acx x a a          2 2 2 4 4 b b ac a    2 4 4 ac a  .c a  一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么 1 2 bx + x = a  1 2 cx x a g 注意 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系的应用二 例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、 两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .2 3 例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个 根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 · x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=－7. 答：方程的另一个根是 ，k=－7. ,5 k 3.5  3( )5  3 5  6 ,5  变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它 的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1·x2=1×5= 得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. ,3 m 例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、 倒数和. 1 2 1 2 3 1, .2 2x x x x      解：根据根与系数的关系可知：    2 2 2 1 2 1 1 2 21 2 ,x x x x x x∵      22 2 1 2 1 2 1 22x x x x x x     23 1 132 ;2 2 4                  1 2 1 2 1 2 1 1 3 12 3.2 2 x x x x x x                  设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , (2)x1·x2= , (3) , (4) . 4 1 14 12 2 21 )( xx  2 2 2 1 xx 练一练 例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根， 且x12 +x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 2 1 k u 总结常见的求值: 1 2 1 11. x x   1 2 1 2 ;x x x x  1 24 .( 1)( 1)x x   1 2 1 2( ) 1;x x x x   1 2 2 1 3. x x x x  2 2 1 2 1 2 x x x x  2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 ;x x x x x x   1 25. x x  2 1 2( )x x 2 1 2 1 2( ) 4 .x x x x   2 2 2 1 2 1 2 1 22. ( ) 2 ;x x x x x x    求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的 代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 归纳 当堂练习 1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个 根是___，m =____. 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .1 -2 3 2 -3 3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一 个根及m的值. 解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 = ∴x1 = 16 .3 c a  16 .3 4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且 （x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 解：(1)根据根与系数的关系 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7； 1 2 ,x x k   1 2 1.2 kx x  1 ( ) 1 4,2 k k     （2）因为k=-7,所以 则： 1 2 4.xx 1 2 7,x x  2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 7 4 ( 4) 65.x x x x xx         5.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间 的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2) . 2 1 1 2 x x x x  解:根据根与系数的关系得： （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1= （2） 1 2 1 2 4 , 1.3 b cx x x xa a          4 4(-1) 1 ;3 3      .)( 9 342 21 21 2 21 21 2 2 2 1 2 1 1 2  xx xxxx xx xx x x x x 6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1. 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 拓展提升 由根与系数的关系，得 ,221 kxx  ,2 1 21  xx ,12 142 2    k ,32 2    k .32k 7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足∣ x1-x2∣ = 1 求m的值. 解：(1)方程有实数根     08 844 242 4 22 2 2     m mmm mmm acb ∴m的取值范围为m＞0 (2)∵方程有实数根x1,x2  .2,2 2121 m mxxxx  ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 .12422  m m 解得m=8. 经检验m=8是原 方程的解．