八年级下数学课件复件 韦达定理_鲁教版

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一元二次方程根 与系数的关系 蛇窝泊中学王丹 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式： X1,2= a acbb 2 42  （1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0 解下列方程并完成填空： 方程 两根 两根和 X1+x2 两根积 x1x2x1 x2 x2-7x+12=0 x2+3x-4=0 2x2+3x-2=0 3 4 127 1 -3- 4 - 4 -1--2 2 1 2 3 学习目标 了解一元二次方程的根与系数的关系 利用一元二次方程的根与系数的关系解决 简单问题。 一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 , 那么X1+x2= , X1x2= a b- a c （韦达定理） 注：能用韦达定理的前提条件为△≥0 韦达（1540－1603） 韦达定理的证明： a acbbx 2 42 1  a acbbx 2 42 2  X1+x2= a acbb 2 42  a acbb 2 42  + = a b 2 2 = a b- X1x2= a acbb 2 42  a acbb 2 42  ● = 24 2)42(2)( a acbb  = 24 4 a ac = a c 说出下列各方程的两根之和与两根之积： 1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 - 3x + =0 3、 2x2 - 6x =0 4、 3x2 = 4 2 1 x1+x2=2 x1x2=-1 x1+x2= x1+x2=3 x1+x2=0 x1x2= x1x2=0 x1x2= - 2 3 4 1 3 4 例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。 求：(1) (2) x12+x22 2 1 1 1 xx  解：由题意可知x1+x2= - , x1 · x2=-33 2 (1) 2 1 1 1 xx  = 21 21 xx xx  = 3 3 2   = 9 2 (2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22 ＝(x1＋x2)2 -2x1x2 ＝(- )2 3 2 -2×(-3)＝69 4 例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 解：设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由韦达定理，得x1●2＝3k 即2 x1 ＝－6 ∴ x1 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。 例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 解二：设方程的另一个根为x1. 由韦达定理，得 x1 ＋2= k+1 x1 ●2= 3k 解这方程组，得 x1 =－3 k =－2 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。 已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根， 分别根据下列条件求出p和q的值: (1) x1 = 1, x2 =2 (2) x1 = 3, x2 = -6 (3) x1 = - , x2 = (4) x1 = -2+ , x2 = -2-7 7 5 5 由韦达定理，得解： x1+x2= - , x1 · x2=3 p 3 q ∴p= -3(x1+x2) q=3 x1 · x2 (1)p= -9 q= 6 (2)p= 9 q= -54 (3)p= 0 q= -21 (4)p= 12 q= -3 1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。 2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。 解：设方程的另一个根为x1, 3 19则x1+1= , ∴ x1= ,3 16 又x1●1= ,3 m ∴ m= 3x1 = 16 解：由韦达定理，得 x1+x2= - 2 , x1 · x2= 2 3 ∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=2 3 2 5 1、韦达定理 2、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意两个隐含条件： （1）二次项系数a≠0 （2）根的判别式△ ≥0 1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由韦达定理得x1+x2= , x1x2=2 1k 2 3k ∴ 12 342)2 1(  kk 解得k1=9,k2= -3 当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。 2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。 解：由方程有两个实数根，得 0242)1(4  kk 即-8k+4≥0 2 1 k 由韦达定理得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4 解得k1=0 , k2=4 经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0