新人教版数学初二(八年级)下总复习(知识点归纳+习题+期末测试卷3套
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新人教版数学初二(八年级)
下总复习(知识点归纳+习题+期末测试卷 3 套
新人教版八年级下册数学知识点归纳
二次根式
【知识回顾】
1.二次根式：式子 a （ a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：
（1）（ a）
2
= a （ a≥0）； （2）
5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根
代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式
到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积
（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab = a · b （a≥0，b≥0）；
b b
a a
（b≥0，a>0）．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的
乘法公式，都适用于二次根式的运算．
【典型例题】
a（ a＞0）
aa 2
a （a＜0）
0 （ a =0）；
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例 3、 在根式 1) 2 2 2;2) ;3) ;4) 27
5
xa b x xy abc ，最简二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
例 5、已知数 a，b，若
2( )a b =b－a，则 ( )
A. a>b B. a
0，b>0 时，则：
① 1
a
a b
b
； ② 1
a
a b
b
例 8、比较5 3 与 2 3 的大小。
【基础训练】
7.下列计算正确的是
A． B． C． D．
9．已知等边三角形 ABC 的边长为 33 ，则ΔABC 的周长是____________；
10. 比较大小：３ 10。
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13. 函数 中，自变量 的取值范围是 ．
15.下列根式中属最简二次根式的是
A. 2 1a B.
1
2
C. 8 D. 27
19.已知二次根式 与 是同类二次根式，则的α值可以是
A、5 B、6 C、7 D、8
21.若 2 3 0a b ，则
2a b ．
22．如图，在数轴上表示实数 15的点可能是
A．点 P B．点Q C．点M D．点 N
23.计算：
（1） （2）
25.若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
26.如图，数轴上 两点表示的数分别为 1和 ，点 关于点 的对称点为点 ，则点 所表
示的数是
A． B． C． D．
勾股定理知识总结
一．基础知识点：
1：勾股定理
直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方。（即：a2+b2
＝c2）
要点诠释：
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勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC 中， 90C ，则 2 2c a b ， 2 2b c a ，
2 2a c b ）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系 a2+b2
＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”
来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证 c2与 a2+b2
是否具有相等关系，若 c2＝a2+b2
，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形
（若 c2>a2+b2
，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若 c2b=c），那么 a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正确的
是（ ）
A、①② B、①③ C、①④ D、②④
A
B
第 8 题图
A
10
6
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13.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
14.如图一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同
时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距 （ ）
A、25 海里 B、30 海里 C、35 海里 D、40 海里
15. 已知等腰三角形的腰长为 10，一腰上的高为 6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ）
A、40 B、80 C、40 或 360 D、80 或 360
16．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种
草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A、450a 元 B、225a 元 C、150a 元 D、300a 元
三．解答题：
19．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出 1 尺，斜放就
恰好等于门的对角线长，已知门宽 4 尺， 求竹竿高与门高。
20．一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，（1）这个梯子的顶端距地面有
多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
平行四边形
150°
20m 30m
第 16 题图
北
南
A 东
第 14 题
A
A′
B
A
B′O
A
第 20 题图
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平行四边形
定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
表示：平行四边形用符号“□ ”来表示。
平行四边形性质：
平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分
平行四边形的面积等于底和高的积，即 S□ABCD=ah，其中 a 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是 a
边到其对边的距离，即对应的高。
平行四边形的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形
从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且
这条直线二等分平行四边形的面积。
知识巩固
4.如图， ABCD 的对角线 AC 和 BD 相较于点 O，如果 AC=10，BD=12，AB=m，那么 m的取值范围
是 。
1、已知 ABCD 的对角线交于 O，过 O 作直线交 AB、CD 的反向延长线于 E、F，求证：OE=OF.
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2、如图，在周长为 20cm 的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD 相交于点 O，OE⊥BD 交 AD 于 E，则△ABE 的
周长为 cm.
1.平行四边形的周长等于 56 cm，两邻边长的比为 3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为_______.
2、在□ABCD 中，∠A+∠C=270°，则∠B=______，∠C=______.
3.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点 O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形 BCEF 的周长为（ ）
A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6
4、如图，在□ABCD 中，AB=AC，若□ABCD 的周长为 38 cm，△ABC 的周长比□ABCD 的周长少 10 cm，
求□ABCD 的一组邻边的长.
A
B C
D
O
E
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1.在□ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的值的比可能是（ ）
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1
2、如图，在 ABCD 中，AB=10cm，AB 边上的高 DH=4cm，BC=6cm,则 BC 边上的高 DF 的长为 。
2、如图，在 ABCD 中， 13, 5, ,AB AD AC BC 则 ABCDS =
：如图，已知 ABCD 中，M 是 BC 的中点，且 AM=9，BD=12，AD=10，求 ABCDS
2、如图，在 ABCD 中，AE BC 于 E，AF CD 于 F ,若 AE=4，AF=6， ABCD 的周长为 40，
求 ABCD 的面积。
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3、国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如
图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫 6 种颜色的花．如果有 AB EF DC∥ ∥ ，BC GH AD∥ ∥ ，
那么下列说法中错误的是（ ）
A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等
黄
蓝
紫
橙
红
绿
A
G
E D
H
CFB
例 3
4、如图，在 ABCD 中， 32BAD ,分别以 BC、CD 为边向外作 BCE 和 DCF ，使 BE=BC，
DF=DC, EBC CDF ,延长 AB 交边 EC 于点 H，点 H 在 E、C 两点之间，连接 AE、AF。（1）求证：
ABE FDA ；（2）当 AE AF 时，求 EBH 的度数。
1．能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组邻角相等
C．一组对边平行，一组邻角相等 D．一组对边平行，一组对角相等
5、如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O，EF 过点 O 交 AD 于 E，交 BC 于 F，G 是 OA 的中点，H 是
OC 的中点，四边形 EGFH 是平行四边形，说明理由.
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例 1、如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 边的中点，BE 的延长线与 CD 的延长线相交于点 F，
求证：四边形 ABDF 是平行四边形．
21．如右图所示，在ABCD 中，BF⊥AD 于 F，BE⊥CD 于 E，若∠A=60°，AF=3cm，CE=2cm，求ABCD
的周长．
22．如图所示，在ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上的两点，且 BE=DF.
求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF．
F
C
DA
E
B
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［例 1］如图，已知 AC是 ABCD的一条对角线，BM⊥AC，ND⊥AC，垂足分别是 M、N.求证：四
边形 BMDN是平行四边形.
证法一：∵四边形 ABCD是平行四边形
∴AB=CD
∵AB∥CD，∴∠3=∠4
又∵BM⊥AC，DN⊥AC
∴∠1=∠2=90°
∴BM∥DN且△ABM≌△CDN
∴BM=DN，又 BM∥DN
∴四边形 ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
证法二：如图，连结 BD交 AC于 O.
∵四边形 ABCD是平行四边形
∴BO=DO(平行四边形对角线互相平分)
∵BM⊥AC，DN⊥AC
∴∠1=∠2=90°，
又∵∠3=∠4，∴△MOB≌△NOD
∴OM=ON
∴四边形 BMDN是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
2.已知如图：O是 ABCD的对角线 AC的中点，过点 O的直线 EF分别交 AB、CD于 E、F两点.
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求证：四边形 AECF是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，∴∠1=∠2
∵O是对角线 AC的中点，
∴OA=OC
又∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF，又 OA=OC
∴四边形 AECF是平行四边形.
2．如果等边三角形的边长为 3，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（ ）．
（A）9 （B）6 （C）3 （D）
9
2
3．平行四边形的两条对角线分别为 6 和 10，则其中一条边 x 的取值范围为（ ）．
（A）40 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k<0 时，
直线 y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随 x 增大 y反而减小．
9．解析式：y=kx（k 是常数，k≠0）
10． 必过点：（0，0）、（1，k）
11． 走向：k>0 时，图像经过一、三象限；k<0 时，图像经过二、四象限
12． 增减性：k>0，y 随 x的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小
13． 倾斜度：|k|越大，越接近 y 轴；|k|越小，越接近 x 轴
3、一次函数及性质
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一般地，形如 y=kx＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的一次函数.当 b=0 时，y=kx＋b即 y=kx，
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实数
一次函数 y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（-
k
b
，0）两点的一条直线，我们称它为直线 y=kx+b,
它可以看作由直线 y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k 0) （2）必过点：（0，b）和（-
k
b
，0）
（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
0
0
b
k
直线经过第一、二、三象限
0
0
b
k
直线经过第一、三、四象限
0
0
b
k
直线经过第一、二、四象限
0
0
b
k
直线经过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y 随 x 的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于 y 轴；|k|越小，图象越接近于 x轴.
（6）图像的平移： 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b个单位；
当 b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 b个单位.
一次
函数
0k kx b k
k，b
符号
0k 0k
0b 0b 0b 0b 0b
0b
图象
性质 y随 x的增大而增大 y随 x的增大而减小
4、一次函数 y=kx＋b的图象的画法.
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根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所
以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的
交点：（0，b）， .即横坐标或纵坐标为 0 的点.
b>0 b<0 b=0
k>0
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
图象从左到右上升，y随 x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
图象从左到右下降，y随 x的增大而减小
5、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数 y=kx＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线 y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当
b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）
6、正比例函数和一次函数及性质
正比例函数 一次函数
概 念 一般地，形如 y=kx(k 是常数，k≠0)
的函数叫做正比例函数，其中 k
叫做比例系数
一般地，形如 y=kx＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么
y 叫做 x 的一次函数.当 b=0 时，是 y=kx，所以
说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量
范 围
X 为全体实数
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图 象 一条直线
必过点 （0，0）、（1，k） （0，b）和（-
k
b
，0）
走 向 k>0 时，直线经过一、三象限；
k<0 时，直线经过二、四象限
k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限
k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限
k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限
k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限
增减性 k>0，y 随 x的增大而增大；（从左向右上升）
k<0，y 随 x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度 |k|越大，越接近 y 轴；|k|越小，越接近 x轴
图像的
平 移
b>0时，将直线y=kx的图象向上平移 b 个单位；
b<0时，将直线y=kx的图象向下平移 b 个单位.
6、直线 11 bxky （ 01 k ）与 22 bxky （ 02 k ）的位置关系
（1）两直线平行 21 kk 且 21 bb （2）两直线相交 21 kk
（3）两直线重合 21 kk 且 21 bb （4）两直线垂直 121 kk
巩固练习
一、选择题：
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1．已知 y与 x+3 成正比例，并且 x=1 时，y=8，那么 y 与 x 之间的函数关系式为（ ）
（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3
2．若直线 y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线 y=bx+k 不经过（ ）
（A）一象限 （B）二象限 （C）三象限 （D）四象限
3．直线 y=-2x+4 与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）16
4．若甲、乙两弹簧的长度 y（cm）与所挂物体质量 x（kg） 之间的函
数解析式分别为 y=k1x+a1和 y=k2x+a2，如图，所挂物 体质量均
为 2kg 时，甲弹簧长为 y1，乙弹簧长为 y2，则 y1与 y2的大小
关系为（ ）
（A）y1>y2 （B）y1=y2
（C）y1a，将一次函数 y=bx+a 与 y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组 a，b 的
取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）
6．若直线 y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线 y=bx+k 不经过第（ ）象限．
（A）一 （B）二 （C）三 （D）四
7．一次函数 y=kx+2 经过点（1，1），那么这个一次函数（ ）
（A）y随 x的增大而增大 （B）y 随 x 的增大而减小
（C）图像经过原点 （D）图像不经过第二象限
9．要得到 y=-
3
2
x-4 的图像，可把直线 y=-
3
2
x（ ）．
（A）向左平移 4个单位 （B）向右平移 4 个单位
（C）向上平移 4个单位 （D）向下平移 4 个单位
10．若函数 y=（m-5）x+（4m+1）x2（m 为常数）中的 y与 x成正比例，则 m 的值为（ ）
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（A）m>-
1
4
（B）m>5 （C）m=-
1
4
（D）m=5
11．若直线 y=3x-1 与 y=x-k 的交点在第四象限，则 k 的取值范围是（ ）．
（A）k<
1
3
（B）
1
3
1 （D）k>1 或 k<
1
3
12．过点 P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为 5，这样的直线可以作（ ）
（A）4条 （B）3条 （C）2条 （D）1 条
13．已知 abc≠0，而且
a b b c c a
c a b
=p，那么直线 y=px+p 一定通过（ ）
（A）第一、二象限 （B）第二、三象限
（C）第三、四象限 （D）第一、四象限
14．当-1≤x≤2 时，函数 y=ax+6 满足 y<10，则常数 a 的取值范围是（ ）
（A）-4y2>y3 B．y1y1>y2 D．y3
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