人教版八年级数学上册第十三章小结与复习PPT

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小结与复习 第十三章 轴对称 人教版 · 八年级上册 要点梳理 一、轴对称相关定义和性质 (1) 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作 ____________ ，这条直线就是它的 _________. (2) 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称 , 这条直线就是它的对称轴 . 轴对称图形 对称轴 1. 定义 (3) 轴对称图形的 ________ ，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 . 2. 性质 (1) 关于某直线对称的两个图形是 全等图形 ; (2) 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 __________ ； 垂直平分线 对称轴 三、平面直角 坐标 系中轴对称 ( x ,- y ) 点（ x , y ）关于 x 轴对称的点的坐标为 . 点（ x , y ）关于 y 轴对称的点的坐标为 . (- x , y ) 四、等腰三角形的性质及判定 1. 性质 (1) 两腰相等 ; 二、垂直平分线的性质和判定 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 ______. 相等 判定：与线段两个 ______ 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 端点 (4)___________ 、底边上的中线和底边上的高互相重合 ， 简称“三线合一” 顶角平分线 2. 判定 (1) 有两边相等的三角形是等腰三角形 ; (2) 如果一个三角形中有两个角相等 , 那么这两个角所对的边也相等 （简写成“ ____________ ”） . 等角对等边 (3) 两个 _______ 相等，简称“ 等边对等角 ” ; 底角 (2) 轴对称图形 , 等腰三角形的 顶角平分线所在的直线 是它的对称轴 ; 五、等边三角形的性质及判定 1. 性质 ⑴ 等边三角形的三边都相等 ; ⑵ 等边三角形的三个内角都相等 , 并且每一个角都等于 ________; ⑶ 是 轴对称图形 ，对称轴是三条高所在的直线 ; ⑷ 任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一” . 60° 2. 判定 ⑴ 三条边都相等的三角形是等边三角形 . ⑵ 三个角都相等的三角形是等边三角形 . ⑶ 有一个角是 60° 的 ___________ 是等边三角形 . 等腰三角形 六、有关作图 1. 过已知直线外的一点作该直线的垂线 2. 作线段的垂直平分线 3. 最短路径： (1) 牧人饮马问题； (2) 造桥选址马问题 考点讲练 考点一 轴对称及轴对称图形 例 1 下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速60”四个交通标志图中，为轴对称图形的是（　　） A B C D B 针对训练 1. 在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中，一定是轴对称图形的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 2. 如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为 ______. 6 0° 考点二 关于坐标轴对称的点的坐标 例 2 按要求完成作图： (1) 作△ABC关于 y 轴对称的△A 1 B 1 C 1 ； (2) 在 x 轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标： 解析： (1) 先找出点 A 、 B 、 C 关于 y 轴的对称点，再依次连线即可 . (2) 找出点 A 关于 x 轴的对称点 A' ，连接 A'C ， A'C 与 x 轴的交点即是点 P 的位置 . x y O A B C A 1 B 1 C 1 A 1 P 3. 在直角坐标系中，点 P ( a ,2) 与点 A (-3, m ) 关于 y 轴对称，则 a,m 的值分别为（ ） A. 3 ， -2 B. -3 ， -2 C. 3 ， 2 D. -3 ， 2 C 针对训练 方法总结 坐标轴中作轴对称图形，一般先根据点关于坐标轴对称的点的特征，找出对称点，而后连线即可 . 点 ( x , y ) 关于 x 轴对称的点的坐标为 ( x ,- y ) ，关于 y 轴对称的点的坐标为 (- x , y ). 考点三 线段垂直平分线的性质和判定 例 3 在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC . 求证：E点在线段AC的垂直平分线上． 解析：要证明点 E 在线段 AC 的垂直平分线上，即要证明 AE=EC. 根据题意及线段垂直平分线的定义，得出 AB=AE. 而后根据AB+BD= DC，进行等量变换，可到 AE=EC. 证明：∵AD是高，∴AD⊥BC， 又∵BD=DE， ∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线， ∴AB=AE， ∴AB+BD=AE+DE， 又∵AB+BD=DC， ∴DC=AE+DE， ∴DE+EC=AE+DE ∴EC=AE， ∴点E在线段AC的垂直平分线上． 针对训练 方法总结 线段的垂直平分线一般会与中点、 90 °角、等腰三角形一同出现，在求角度、三角形的周长，或证明线段之间的等量关系时，要注意角或线段之间的转化 . A B C M N 4. 如图： △ ABC 中， MN 是 AC 的垂直平分线，若 CM =3cm ，△ ABC 的周长是 22cm ，则 △ ABN 的周长是 . 16cm 考点四 等腰三角形的性质和判定 例 4 如图所示，在 △ ABC 中， AB=AC,BD ⊥ AC 于 D . 求证 ： ∠ BAC =2∠ DBC . 解析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角 ∠ BAC 的平分线，来获取角的数量关系 . A B C D ) ) 1 2 E 解：作 ∠ BAC 的平分线 AE , 交 BC 于点 E , 如图所示，则 ∵ AB=AC , ∴ AE ⊥ BC . ∴ ∠ 2+ ∠ ACB =90 °. ∵ BD ⊥ AC , ∴ ∠ DBC + ∠ ACB =90 °. ∴ ∠ 2= ∠ DBC . ∴ ∠ BAC = 2∠ DBC . A B C D ) ) 1 2 E 方法总结 在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常用的作辅助线的方法是作顶角的角平分线，而后利用等腰三角形三线合一的性质，可以实现线段或角之间的相互转化 . 例 5 等腰三角形的一个内角是另一个内角的 2 倍，求该等腰三角形的顶角的度数 . 解：设该等腰三角形中，小角的度数为 x , 则大角的度数为 2 x . 当 x 为底角时， x + x + 2 x =180 ° 解得 x =45 °，则 2 x =90 ° . 当 x 为顶角时， x +2 x + 2 x =180 ° 解得 x =36 ° . 故该等腰三角形顶角的度数为 90 °或 36 ° . 方法总结 在等腰三角形中，常用到分类讨论思想，一般有如下情况： (1) 在求角度时，未指明底角和顶角； (2) 在求三角形周长时，未指明底边和腰； (3) 未给定图形时，有时需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论 . 针对训练 5. 如图， △ ABC 中， ∠ A =36 ° ， AB=AC, BD 平分 ∠ ABC 交 AC 于点 D , 则图中的等腰三角形共有 个 . 3 6. 如图，已知等边 △ ABC 中，点 D 、 E 分别在边 AB 、 BC 上，把 △ BDE 沿直线 DE 翻折，使点 B 落在 B 1 处 ， DB 1 , EB 1 分别交边 AC 于 M 、 H 点，若 ∠ ADM =50 °, 则 ∠ EHC 的度数为 . 70 ° B C D A A B C D E B 1 M H 7. 如图 , 在 △ABC 中 ,AD 是角平分线 ,AC=AB+BD. 求证 ∠B=2∠C. 证明：在 AC 上截取 AE=AB ，连结 DE. E ∵AD 是角平分线， ∴∠EAD=∠BAD. 又 ∵AD=AD ， ∴ △ EAD ≌ △ BAD ， ∴DE=DB ， ∠AED=∠B. ∵AC=AB+BD=AE+DE=AE+EC ， ∴CE=ED. ∴∠AED=∠C+∠CDE=2∠C ，即 ∠B=2∠C. 想一想：还有别的证明方法吗？ 提示：延长 AB 至 F ，使 BF=BD ，连结 DF 8. 如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F． 求证：BF=2CF． 证明：连接AF， ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F， ∴CF=AF， ∴∠FAC=∠C=30°， ∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°， 在Rt△ABF中，∠B=30°， ∴BF=2AF， ∴BF=2CF． 课堂小结 轴对称 等腰三角形 轴对称图形 垂直平分线 等腰三角形 等边三角形 轴对称的性质 关于坐标轴对称的点的坐标 轴对称作图 性质和判定 性质 判定 性质 判定 含 30 °角的直角三角形的性质 轴对称