重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）12

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12.3 角的平分线的性质 第十二章 全等三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 1 课时 角平分线的性质 八年级数学上（RJ） 学习目标 1. 通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理 . （难点） 2. 能运用角的平分线性质解决简单的几何问题 . （重点） 挑战第一关 情境引入 问题 1 ： 在纸上 画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 导入新课 用量角器度量，也可用折纸的方法 ．　　 问题 2 ： 如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 提炼图形 问题 3 ： 如图，是一个角平分仪，其中 AB = AD , BC = DC . 将点 A 放在角的顶点 , AB 和 AD 沿着角的两边放下 , 沿 AC 画一条射线 AE,AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗 ? A B C ( E ) D 其依据是 SSS ，两全等三角形的 对应角相等 . 挑战第二关 探索新知 问题： 如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ A B O 尺规作角平分线 一 做一做： 请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系 . 提示： (1) 已知什么？求作什么？ (2) 把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢 ? (3) 在平分角的仪器中， BC=DC ，怎样在作图中体现这个过程呢？ (4) 你能说明为什么 OC 是 ∠AOB 的平分线吗？ A B M N C O 已知 : ∠ AOB . 求作： ∠ AOB 的平分线 . 仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图 , 大家一定要掌握噢 ! 作法： （ 1 ）以点 O 为圆心，适当 长为半径画弧，交 OA 于 点 M ，交 OB 于点 N . （ 2 ）分别以点 MN 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在 ∠ AOB 的内部相交于点 C . （ 3 ）画射线 OC . 射线 OC 即为所求 . 已知：平角∠ AOB . 求作：平角∠ AOB 的角平分线 . 结论： 作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法 . A B O C 1. 操作测量 ：取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P 作 PD⊥OA ， PE ⊥OB, 点 D 、 E 为垂足，测量 PD 、 PE 的长 . 将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段 PD 与 PE 的大小关系，写出结： __________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 实验： OC 是 ∠AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的 任意一点 猜想： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角平分线的性质 二 验证猜想 已知：如图， ∠ AOC = ∠ BOC , 点 P 在 OC 上， PD ⊥ OA,PE ⊥ OB , 垂足分别为 D,E . 求证： PD=PE . P A O B C D E 证明： ∵ PD ⊥ OA , PE ⊥ OB ， ∴ ∠ PDO = ∠ PEO =90 °. 在 △ PDO 和△ PEO 中， ∠ PDO = ∠ PEO ， ∠ AOC= ∠BOC ， OP= OP ， ∴ △ PDO ≌ △ PEO (AAS). ∴ PD=PE . 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程 . 方法归纳 性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 应用所具备的条件： （ 1 ） 角的平分线； （ 2 ） 点在该平分线上； （ 3 ） 垂直距离 . 定理的作用： 证明线段相等 . 应用格式： ∵ OP 是 ∠ AOB 的平分线， ∴ PD = PE 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个 . 知识要点 PD ⊥ OA , PE ⊥ OB ， B A D O P E C 判一判： （ 1 ） ∵ 如下左图， AD 平分 ∠ BAC （ 已知）， ∴ = ， ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图 ， DC ⊥ AC ， DB ⊥ AB （已知） . ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 例 1 ： 已知：如图，在 △ ABC 中， AD 是它的角平分线，且 BD=CD , DE ⊥ AB, DF ⊥ AC . 垂足分别为 E , F . 求证： EB=FC . A B C D E F 证明： ∵ AD 是 ∠ BAC 的角平分线， DE ⊥ AB, DF ⊥ AC ， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC =90 °. 在 Rt △ BDE 和 Rt △ CDF 中， DE=DF ， BD=C D ， ∴ Rt △ BDE ≌ Rt △ CDF (HL). ∴ EB=FC . 典例精析 例 2 : 如图， AM 是 ∠ BAC 的平分线，点 P 在 AM 上， PD⊥AB，PE⊥AC， 垂足分别是 D 、 E，PD=4cm， 则 PE=______cm. B A C P M D E 4 温馨提示： 存在两条垂线段———直接应用 典例精析 A B C P 变式： 如 图，在 Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90 ° ，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. D 4 温馨提示： 存在一条垂线段———构造应用 A B C P 变式： 如图，在 Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90 0 ，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4， AB=14. （ 2 ）求△ APB 的面积 . D （ 3 ）求∆PDB的周长 . · AB ·P D =28. 由垂直平分线的性质，可知， PD=PC=4 ， = 1. 应用角平分线性质： 存在 角平分线 涉及 距离问题 2 . 联系角平分线性质： 面积 周长 条件 知识与方法 利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解 当堂练习 2. △ ABC 中 , ∠C=90 ° , AD 平分 ∠ CAB , 且 BC =8, BD =5, 则 点 D 到 AB 的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图， DE ⊥ AB ， DF ⊥ BG ， 垂足分别是 E ， F ， DE =DF ， ∠ EDB = 60° ， 则 ∠ EBF = 度， BE = . 60 BF E B D F A C G 3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明 ∠ AOC =∠ BOC 的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M N C O A 4. 如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S △ABC ＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 D B C E A D 解析： 过点 D 作 DF⊥AC 于 F ， ∵ AD 是 △ ABC 的角平分线， DE⊥AB ， ∴DF ＝ DE ＝ 2 ， 解得 AC ＝ 3. F 方法总结： 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． E D C B A 6 8 10 5.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长. 解： (1) DC=DE. 理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等 . （ 2 ）在 Rt△ CDB 和 Rt△ EDB 中， DC = DE ， DB = DB ， ∴Rt△ CDB ≌ Rt△ EDB (HL) ， ∴ BE ＝ BC= 8. ∴ AE ＝ AB-BE= 2. ∴ △ AED 的周长 = AE+ED+DA= 2+6=8. 6. 如图，已知 AD ∥ BC ， P 是∠ BAD 与 ∠ ABC 的平分线的交点， PE ⊥ AB 于 E ，且 PE =3 ，求 AD 与 BC 之间的距离 . 解：过点 P 作 MN ⊥ AD 于点 M ，交 BC 于点 N . ∵ AD ∥ BC ， ∴ MN ⊥ BC ， MN 的长即为 AD 与 BC 之间 的距离 . ∵ AP 平分∠ BAD , PM ⊥ AD , PE ⊥ AB ， ∴ PM = PE. 同理， PN = PE. ∴ PM = PN = PE= 3 . ∴ MN= 6. 即 AD 与 BC 之间的距离为 6. 7. 如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF. 证明： ∵ CD 是 ∠ ACG 的平分线， DE ⊥ AC ， DF ⊥ CG ， ∴ DE ＝ DF . 在 Rt△ CDE 和 Rt△ CDF 中， ∴Rt△ CDE ≌ Rt△ CDF (HL) ， ∴ CE ＝ CF . 课堂小结 角平分线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定理 一个点： 角平分线上的点； 二距离： 点到角两边的距离； 两相等： 两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段