北师大版八上第7章平行线的证明测试卷（共3套含解析）

北师大版八上第7章平行线的证明测试卷（共3套含解析）

第七章 章末测试卷1‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．下列语句中，是命题的是（　　）‎ A．直线AB和CD垂直吗 B．过线段AB的中点C画AB的垂线 C．同旁内角不互补，两直线不平行 D．连接A，B两点 ‎2．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，则∠ABC的大小是（　　）‎ A．25° B．35° C．50° D．65°‎ ‎3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（　　）‎ A．90° B．100° C．130° D．180°‎ ‎4．如图，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是（　　）‎ A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC ‎5．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于（　　）‎ A．50° B．60° C．65° D．90°‎ ‎6．如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（　　）‎ A．150° B．130° C．120° D．100°‎ ‎7．如图，直线a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB的度数是（　　）‎ A．84° B．106° C．96° D．104°‎ ‎8．适合条件∠A=∠B=∠C的△ABC是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ‎9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（　　）‎ A．150° B．210° C．105° D．75°‎ ‎10．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠‎ ‎2等于（　　）‎ A．30° B．35° C．40° D．45°‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎11．命题“对顶角相等”的条件是　　，结论是　　．‎ ‎12．如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则x=　　．‎ ‎13．如图，已知AB∥CD，∠DEF=50°，∠D=80°，∠B的度数是　　．‎ ‎14．如图，已知∠A=∠F=40°，∠C=∠D=70°，则∠ABD=　　，∠CED=　　．‎ ‎15．已知如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，则∠BAC=　　．‎ ‎16．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为　　‎ 度．‎ ‎17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则该等腰三角形顶角为　　°．‎ ‎18．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A=　　度．‎ 三、解答题（共66分）‎ ‎19．（8分）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．‎ ‎21．（8分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．‎ ‎22．（10分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度数．‎ ‎23．（10分）如图，△ABC中，D，E，F分别为三边BC，BA，AC上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°，求∠EDF的度数．‎ ‎24．（10分）如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．‎ ‎25．（12分）【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC=　130°　；若∠A=n°，则∠BEC=　90°+n°　．‎ ‎【探究】‎ ‎（1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC=　60°+n°　；‎ ‎（2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；‎ ‎（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）‎ 参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．下列语句中，是命题的是（　　）‎ A．直线AB和CD垂直吗 B．过线段AB的中点C画AB的垂线 C．同旁内角不互补，两直线不平行 D．连接A，B两点 ‎【考点】命题与定理． ‎ ‎【分析】根据命题的定义，对一件事情做出判断的语句叫做命题，进行判断．‎ ‎【解答】解：A、是问句，不是命题；‎ B、是作图，没有对一件事情做出判断，所以不是命题；‎ C、对一件事情做出了判断，是命题；‎ D、是作图，没有对一件事情做出判断，所以不是命题．‎ 故选C．‎ ‎【点评】命题分为真命题和假命题，注意假命题也是命题．‎ ‎　‎ ‎2．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，则∠ABC的大小是（　　）‎ A．25° B．35° C．50° D．65°‎ ‎【考点】平行线的性质；垂线． ‎ ‎【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，然后根据两直线平行内错角相等即可求出∠ABC的大小．‎ ‎【解答】解：∵CB⊥DB，‎ ‎∴∠CBD=90°，‎ ‎∴∠C+∠D=90°，‎ ‎∵∠D=65°，‎ ‎∴∠C=25°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAC=∠C=25°．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．‎ ‎3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（　　）‎ A．90° B．100° C．130° D．180°‎ ‎【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．‎ ‎【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，‎ ‎∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，‎ ‎∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，‎ 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，‎ ‎∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，‎ ‎∴∠1+∠2=150°﹣∠3，‎ ‎∵∠3=50°，‎ ‎∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎　‎ ‎4．如图，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是（　　）‎ A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC ‎【考点】三角形的外角性质． ‎ ‎【分析】根据三角形外角的性质对各选项进行逐一判断即可．‎ ‎【解答】解：∵∠ADB是△BDC的外角，‎ ‎∴∠ADB＞∠DBC，∠ADB＞∠ACB，故B、C正确；‎ ‎∵∠ACB是△CDE的外角，‎ ‎∴∠ACB＞∠DEC，‎ ‎∵∠ADB＞∠ACB，‎ ‎∴∠ADB＞∠DEC，故D正确；‎ ‎∠DCE与∠ADB的大小无法比较．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角大于与之不相邻的任何一个内角是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于（　　）‎ A．50° B．60° C．65° D．90°‎ ‎【考点】平行线的性质；角平分线的定义． ‎ ‎【分析】由AB∥CD，∠1=50°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠BEF的度数，又由EG平分∠BEF，求得∠BEG的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BEF+∠1=180°，‎ ‎∵∠1=50°，‎ ‎∴∠BEF=130°，‎ ‎∵EG平分∠BEF，‎ ‎∴∠BEG=∠BEF=65°，‎ ‎∴∠2=∠BEG=65°．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．‎ ‎　‎ ‎6．如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（　　）‎ A．150° B．130° C．120° D．100°‎ ‎【考点】平行线的性质；角平分线的定义． ‎ ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】先根据平行线及角平分线的性质求出∠CDB=∠CBD，再根据平角的性质求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质求出∠C的度数即可．‎ ‎【解答】解：∵直线AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，‎ ‎∵∠CDB=180°﹣∠CDE=30°，‎ ‎∴∠ABD=30°，‎ ‎∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，‎ ‎∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠C=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题比较简单，考查的是平行线及角平分线的性质，比较简单．‎ ‎　‎ ‎7．如图，直线a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB的度数是（　　）‎ A．84° B．106° C．96° D．104°‎ ‎【考点】平行线的性质． ‎ ‎【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC=∠1，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵a∥b，‎ ‎∴∠ABC=∠1=46°，‎ ‎∵∠A=38°，‎ ‎∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣38°﹣46°=96°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．适合条件∠A=∠B=∠C的△ABC是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ‎【考点】三角形内角和定理． ‎ ‎【分析】此题隐含的条件是三角形的内角和为180°，列方程，根据已知中角的关系求解，再判断三角形的形状．‎ ‎【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，‎ ‎∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，‎ ‎∵∠A+∠B+∠C=180°，即6∠A=180°，‎ ‎∴∠A=30°，‎ ‎∴∠B=60°，∠C=90°，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（　　）‎ A．150° B．210° C．105° D．75°‎ ‎【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）． ‎ ‎【分析】先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，‎ ‎∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，‎ ‎∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，‎ ‎∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．‎ ‎　‎ ‎10．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（　　）‎ A．30° B．35° C．40° D．45°‎ ‎【考点】平行线的性质． ‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵∠3是△ADG的外角，‎ ‎∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，‎ ‎∵l1∥l2，‎ ‎∴∠3=∠4=55°，‎ ‎∵∠4+∠EFC=90°，‎ ‎∴∠EFC=90°﹣55°=35°，‎ ‎∴∠2=35°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎11．命题“对顶角相等”的条件是　两个角是对顶角　，结论是　这两个角相等　．‎ ‎【考点】命题与定理． ‎ ‎【分析】命题是判断一件事情，由条件和结论组成，都能写成“如果…那么…”的形式，此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．‎ ‎【解答】解：此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对顶角”结论是“这两个角相等”‎ 故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．‎ ‎【点评】本题考查找命题里面的条件和结论，写成“如果…那么…”的形式可降低难度．‎ ‎　‎ ‎12．如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则x=　64°　．‎ ‎【考点】平行线的性质． ‎ ‎【分析】两直线平行，内错角相等，据此进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴∠DAC=∠ACF，‎ 即70°+x=134°，‎ 解得x=64°．‎ 故答案为：64°．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．‎ ‎　‎ ‎13．如图，已知AB∥CD，∠DEF=50°，∠D=80°，∠B的度数是　50°　．‎ ‎【考点】平行线的性质；三角形内角和定理． ‎ ‎【分析】先根据三角形内角和定理，求得∠DFE度数，再根据平行线的性质，求得∠B的度数．‎ ‎【解答】解：∵∠DEF=50°，∠D=80°，‎ ‎∴∠DFE=50°，‎ 又∵AB∥CD，‎ ‎∴∠B=∠DFE=50°．‎ 故答案为：50°‎ ‎【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．‎ ‎　‎ ‎14．如图，已知∠A=∠F=40°，∠C=∠D=70°，则∠ABD=　70°　，∠CED=　110°　．‎ ‎【考点】平行线的判定与性质． ‎ ‎【分析】根据平行线的判定得出DF∥AC，根据平行线的性质求出∠D=∠ABD=70°，根据平行线的性质得出∠CED+∠C=180°，代入求出即可．‎ ‎【解答】解：∵∠A=∠F=40°，‎ ‎∴DF∥AC，‎ ‎∵∠D=70°，‎ ‎∴∠D=∠ABD=70°，‎ ‎∵DF∥AC，‎ ‎∴∠CED+∠C=180°，‎ ‎∵∠C=70°，‎ ‎∴∠CED=110°，‎ 故答案为：70°，110°．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②‎ 两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．‎ ‎　‎ ‎15．已知如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，则∠BAC=　120°　．‎ ‎【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质． ‎ ‎【分析】利用外角的性质可得∠3=∠4=2∠2，在△ADC中利用内角和定理可列出关于∠2的方程，可求得∠2，则可求得∠2+∠DAC，即∠A．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠3=∠4=∠1+∠2=2∠2，‎ ‎∵∠3+∠4+∠DAC=180°，‎ ‎∴4∠2+100°=180°，‎ ‎∴∠2=20°，‎ ‎∴∠BAC=∠2+∠DAC=20°+100°=120°，‎ 故答案为：120°．‎ ‎【点评】本题主要考查三角形内角和定理及外角的性质，由条件得到关于∠2的方程求出∠2是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为　22　度．‎ ‎【考点】平移的性质；同位角、内错角、同旁内角． ‎ ‎【分析】由平移的性质知，AO∥SM，再由平行线的性质可得∠WMS=∠OWM，即可得答案．‎ ‎【解答】解：由平移的性质知，AO∥SM，‎ 故∠WMS=∠OWM=22°；‎ 故答案为：22．‎ ‎【点评】本题利用了两直线平行，内错角相等，及平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．‎ ‎　‎ ‎17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则该等腰三角形顶角为　50或130　°．‎ ‎【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理． ‎ ‎【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．‎ ‎【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图，‎ 高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；‎ ‎②当为钝角三角形时可画图为，‎ 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，‎ 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，所以三角形的顶角为130°；‎ 故填50°或130°．‎ ‎【点评】此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A=　10　度．‎ ‎【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质． ‎ ‎【分析】设∠A=x．根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FCE=∠FEC=5x，则180°﹣5x=130°，即可求解．‎ ‎【解答】解：设∠A=x．‎ ‎∵AB=BC=CD=DE=EF=FG，‎ ‎∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得 ‎∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FGE=∠FEG=5x，‎ 则180°﹣5x=130°，‎ 解，得x=10°．‎ 则∠A=10°．‎ ‎【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质的运用；发现并利用∠CBD是△ABC的外角是正确解答本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共66分）‎ ‎19．（8分）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．‎ ‎【考点】平行线的判定． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．‎ ‎【解答】证明：∵BE⊥FD，‎ ‎∴∠EGD=90°，‎ ‎∴∠1+∠D=90°，‎ 又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ 又已知∠C=∠1，‎ ‎∴∠C=∠2，‎ ‎∴AB∥CD．‎ ‎【点评】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．‎ ‎【考点】三角形的外角性质． ‎ ‎【分析】根据邻补角定义求出∠1的邻补角的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠3﹣∠2等于∠1的邻补角的度数．‎ ‎【解答】解：小刚的答案为50°．‎ 理由如下：如图，‎ 设∠1的邻补角为∠4，‎ ‎∵∠1=130°，‎ ‎∴∠4=180°﹣130°=50°，‎ ‎∵∠3是人字架三角形的外角，‎ ‎∴∠3=∠2+∠4，‎ ‎∴∠4=∠3﹣∠2=50°，‎ ‎∴∠3比∠2大50°．‎ ‎【点评】本题主要利用两个邻补角的和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．‎ ‎【解答】证明：∵BE∥DF，‎ ‎∴∠ABE=∠D，‎ 在△ABE和△FDC中，‎ ‎∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F ‎∴△ABE≌△FDC（ASA），‎ ‎∴AE=FC．‎ ‎【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度数．‎ ‎【考点】等腰直角三角形． ‎ ‎【分析】根据已知求得∠ACB=45°，进而求得∠BDC=∠BCD=45°+∠1，根据三角形内角和定理求得2（45°+∠1）+∠1=180°，即可求得∠1=30°，然后根据三角形内角和180°，从而求得∠3的度数．‎ ‎【解答】解∵∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，‎ ‎∴∠ACB=45°，‎ ‎∵∠BDC=∠BCD，∠BCD=∠ACB+∠2，‎ ‎∴∠BDC=∠BCD=45°+∠2，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠BDC=∠BCD=45°+∠1，‎ ‎∵∠BDC+∠BCD+∠1=180°，‎ ‎∴2（45°+∠1）+∠1=180°‎ ‎∴∠1=30°，‎ ‎∴∠3==75°．‎ ‎【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）如图，△ABC中，D，E，F分别为三边BC，BA，AC上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°，求∠EDF的度数．‎ ‎【考点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理． ‎ ‎【分析】先根据三角形内角和定理，求得∠B+∠C=110°，再根据∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，求得∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220°，最后根据三角形内角和，求得∠EDF即可．‎ ‎【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，‎ ‎∴∠B+∠C=110°，‎ ‎∵∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，‎ ‎∴∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220°，‎ ‎∵∠B+∠DEB+∠C+∠DFC+∠EDB+∠FDC=360°，‎ ‎∴∠EDB+∠FDC=140°，‎ 即∠EDF=180°﹣140°=40°‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．‎ ‎【考点】平行线的性质． ‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】由图中题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明DE∥BC．题中说∠1+∠2=180°，而∠1+∠4=180°所以∠2=∠4，那么可得到BD∥EF，题中有∠3=∠B，所以应根据平行得到∠3与∠ADE之间的关系为相等．就得到了∠B与∠ADE之间的关系为相等，那么DE∥BC．‎ ‎【解答】证明：∵∠1+∠4=180°（邻补角定义）‎ ‎∠1+∠2=180°（已知）‎ ‎∴∠2=∠4（同角的补角相等）‎ ‎∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）‎ ‎∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）‎ 又∵∠B=∠3（已知），‎ ‎∴∠ADE=∠B（等量代换），‎ ‎∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）‎ ‎∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．‎ ‎【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手，得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC=　130°　；若∠A=n°，则∠BEC=　90°+n°　．‎ ‎【探究】‎ ‎（1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC=　60°+n°　；‎ ‎（2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；‎ ‎（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）‎ ‎【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． ‎ ‎【分析】问题：利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；将∠A的度数换成n°，然后求解即可；‎ 探究：（1）利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；‎ ‎（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，然后整理即可得解；‎ ‎（3）根据平角的定义以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式表示出∠BOC，然后整理即可得解．‎ ‎【解答】【问题】解：∵∠A=80°，‎ ‎∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣80°=100°，‎ ‎∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，‎ ‎∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，‎ ‎∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°，‎ ‎∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣50°=130°；‎ 由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣n°，‎ ‎∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，‎ ‎∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，‎ ‎∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣n°）=90°﹣n°，‎ ‎∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（90°﹣n°）=90°+n°；‎ 探究：解：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣n°，‎ ‎∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，‎ ‎∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，‎ ‎∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣n°）=120°﹣n°，‎ ‎∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（120°﹣n°）=60°+n°；‎ ‎（2）∠BOC=∠A．‎ 理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，‎ ‎∠OCD=∠BOC+∠OBC，‎ ‎∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，‎ ‎∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，‎ ‎∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC），‎ ‎∴∠A=2∠BOC，‎ ‎∴∠BOC=∠A；‎ ‎（3）∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，‎ ‎∴∠OBC=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠OCB=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，‎ 在△OBC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（90°﹣∠ABC）﹣（90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），‎ 由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，‎ ‎∴∠BOC=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．‎ 故答案为：130°，90°+n°；（1）60°+n°．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．‎ 第七章 章末测试卷2‎ 一、填空题（18分）‎ ‎1．命题“任意两个直角都相等”的条件是　　，结论是　　，它是　　（真或假）命题．‎ ‎2．已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，∠AOC的度数为　　．‎ ‎3．如图，如果∠B=∠1=∠2=50°，那么∠D=　　．‎ ‎4．如图，直线l1、l2分别与直线l3、l4相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4=125°，则∠3=　　．‎ ‎5．如图，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数为　　度．‎ ‎6．如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE 解：∵AB∥CD（已知）‎ ‎∴∠4=∠　 　（　 　）‎ ‎∵∠3=∠4（已知）‎ ‎∴∠3=∠　　（　 　）‎ ‎∵∠1=∠2（已知）‎ ‎∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（　 　）‎ 即∠　 　=∠　 　（　 　）‎ ‎∴∠3=∠　 　‎ ‎∴AD∥BE（　 　）．‎ 二、选择题（12分）‎ ‎7．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（　　）‎ A．4对 B．8对 C．12对 D．16对 ‎8．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（　　）‎ A．∠2=45° B．∠1=∠3‎ C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75°30′‎ ‎9．下列语言是命题的是（　　）‎ A．画两条相等的线段 B．等于同一个角的两个角相等吗？‎ C．延长线段AO到C，使OC=OA D．两直线平行，内错角相等．‎ ‎10．下列命题是假命题的是（　　）‎ A．对顶角相等 B．﹣4是有理数 C．内错角相等 D．两个等腰直角三角形相似 三、解答题（70分）‎ ‎11．（4分）已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正．‎ ‎（1）∵∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2，‎ ‎（2）∵∠1=∠2，∴AB∥CD（两直线平行，内错角相等）‎ ‎12．（6分）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．‎ ‎13．（6分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问EF是否与GH平行？‎ ‎14．（6分）如图写出能使AB∥CD成立的各种条件．‎ ‎15．（6分）如图，已知AB∥CD，∠1=∠3，试说明AC∥BD．‎ ‎16．（6分）已知：如图，∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求证：AB∥CD．‎ ‎17．（6分）如图，已知直线a，b，c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：a∥c．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD．‎ ‎19．（6分）已知：如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B=70°，求∠D的度数．‎ ‎　‎ ‎20．（6分）已知：BC∥EF，∠B=∠E，求证：AB∥DE．‎ ‎21．（6分）如图，已知AB∥CD，∠A=100°，CB平分∠ACD，求∠ACD、∠ABC的度数．‎ ‎22．（6分）如图，已知：DE⊥AO于点E，BO⊥AO于点O，∠CFB=∠EDO，‎ 证明：CF∥DO．‎ 参考答案 一、填空题（18分）‎ ‎1．命题“任意两个直角都相等”的条件是　两个角都是直角　，结论是　相等　，它是　真　（真或假）命题．‎ ‎【考点】命题与定理． ‎ ‎【分析】任何一个命题都是由条件和结论组成．‎ ‎【解答】解：“任意两个直角都相等”的条件是：两个角是直角，结论是：相等．‎ 它是真命题．‎ ‎【点评】本题考查了命题的条件和结论的叙述．‎ ‎　‎ ‎2．已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，∠AOC的度数为　60°　．‎ ‎【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义． ‎ ‎【分析】根据两直线相交，对顶角相等，可推出∠AOC=∠DOB，又根据OE平分∠BOD，∠AOE=150°，可求∠BOE，从而可求∠BOD．‎ ‎【解答】解：∵AB、CD相交于O，‎ ‎∴∠AOC与∠DOB是对顶角，即∠AOC=∠DOB，‎ ‎∵∠AOE=150°，‎ ‎∴∠BOE=180°﹣∠AOE=30°，‎ 又∵OE平分∠BOD，∠AOE=30°，‎ ‎∴∠BOD=2∠BOE=2×30°=60°，‎ ‎∴∠BOD=∠AOC=60°，‎ 故答案为：60°．‎ ‎【点评】本题主要考查对顶角的性质以及角平分线的定义、邻补角，解决本题的关键是求出∠BOE．‎ ‎　‎ ‎3．如图，如果∠B=∠1=∠2=50°，那么∠D=　50°　．‎ ‎【考点】平行线的判定与性质． ‎ ‎【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠D=∠1，代入求出即可．‎ ‎【解答】解：∵∠B=∠2=50°，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠D=∠1，‎ ‎∵∠1=50°，‎ ‎∴∠D=50°．‎ 故答案为：50°．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能推出AD∥BC是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．如图，直线l1、l2分别与直线l3、l4相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4=125°，则∠3=　55°　．‎ ‎【考点】平行线的判定与性质；余角和补角． ‎ ‎【分析】求出∠5的度数，根据∠1与∠3互余和∠3的余角与∠2互补求出∠1+∠2=180°，根据平行线的判定得出l1∥l2，根据平行线的性质求出即可．‎ ‎【解答】解：∵∠4=125°，‎ ‎∴∠5=180°﹣125°=55°，‎ ‎∵∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，‎ ‎∴∠1+∠2=180°，‎ ‎∴l1∥l2，‎ ‎∴∠3=∠5=55°，‎ 故答案为：55°．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能求出l1∥l2是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．‎ ‎　‎ ‎5．如图，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数为　50　度．‎ ‎【考点】平行线的性质；三角形的外角性质． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和作答．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BFE=∠C=75°，‎ 又∠A=25°，‎ ‎∴∠E=75°﹣∠A=50°．‎ ‎【点评】本题重点考查了平行线的性质及三角形的外角性质，是一道较为简单的题目．‎ ‎　‎ ‎6．如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE 解：∵AB∥CD（已知）‎ ‎∴∠4=∠　EAB　（　两直线平行，同位角相等　）‎ ‎∵∠3=∠4（已知）‎ ‎∴∠3=∠　EAB　（　等量代换　）‎ ‎∵∠1=∠2（已知）‎ ‎∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（　等式的性质　）‎ 即∠　BAE　=∠　CAD　（　角的和差　）‎ ‎∴∠3=∠　CAD　‎ ‎∴AD∥BE（　内错角相等，两直线平行　）．‎ ‎【考点】平行线的判定与性质． ‎ ‎【专题】推理填空题．‎ ‎【分析】由平行线的性质可得到∠4=∠EAB，由∠3=∠4可得到∠3=∠EAB，由等式的性质可知∠BAE=∠CAD，从而得到∠3=∠CAD由平行线的判定定理可得到AD∥BE．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD（已知）‎ ‎∴∠4=∠EAB（两直线平行，同位角相等）‎ ‎∵∠3=∠4（已知）‎ ‎∴∠3=∠EAB（等量代换）‎ ‎∵∠1=∠2（已知）‎ ‎∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式的性质）．‎ 即∠BAE=∠CAD（角的和差）‎ ‎∴∠3=∠CAD．‎ ‎∴AD∥BE （内错角相等，两直线平行）．‎ ‎【点评】本题主要考查的是平行线的性质和平行线的判定，掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、选择题（12分）‎ ‎7．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（　　）‎ A．4对 B．8对 C．12对 D．16对 ‎【考点】同位角、内错角、同旁内角． ‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手可知同旁内角共有对数．‎ ‎【解答】解：直线AB、CD被EF所截有2对同旁内角；‎ 直线AB、CD被GH所截有2对同旁内角；‎ 直线CD、EF被GH所截有2对同旁内角；‎ 直线CD、GH被EF所截有2对同旁内角；‎ 直线GH、EF被CD所截有2对同旁内角；‎ 直线AB、EF被GH所截有2对同旁内角；‎ 直线AB、GH被EF所截有2对同旁内角；‎ 直线EF、GH被AB所截有2对同旁内角．‎ 共有16对同旁内角．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了同旁内角的定义．注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角．‎ ‎　‎ ‎8．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（　　）‎ A．∠2=45° B．∠1=∠3‎ C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75°30′‎ ‎【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角． ‎ ‎【分析】根据角平分线性质、对顶角性质、互余、互补角的定义，逐一判断．‎ ‎【解答】解：A、由OE⊥AB，可知∠AOE=90°，OF平分∠AOE，则∠2=45°，正确；‎ B、∠1与∠3互为对顶角，因而相等，正确；‎ C、∠AOD与∠1互为邻补角，正确；‎ D、∵∠1+75°30′=15°30′+75°30′=91°，‎ ‎∴∠1的余角等于75°30′，不成立．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查邻补角以及对顶角的概念，和为180°的两角互补，和为90°的两角互余．‎ ‎　‎ ‎9．下列语言是命题的是（　　）‎ A．画两条相等的线段 B．等于同一个角的两个角相等吗？‎ C．延长线段AO到C，使OC=OA D．两直线平行，内错角相等．‎ ‎【考点】命题与定理． ‎ ‎【分析】根据命题的定义解答，命题是对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题，分别判断得出答案即可．‎ ‎【解答】解：根据命题的定义：‎ 只有答案D、两直线平行，内错角相等．对事情做出正确或不正确的判断，故此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了命题的定义，利用定义得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎10．下列命题是假命题的是（　　）‎ A．对顶角相等 B．﹣4是有理数 C．内错角相等 D．两个等腰直角三角形相似 ‎【考点】命题与定理． ‎ ‎【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据有理数的分类对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据等腰直角三角形的性质和相似的判定方法对D进行判断．‎ ‎【解答】解：A、对顶角相等，所以A选项的命题为真命题；‎ B、﹣4是有理数，所以B选项的命题为真命题；‎ C、两直线平行，内错角相等，所以C选项的命题为假命题；‎ D、两个等腰直角三角形相似，所以D选项的命题为真命题．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．‎ ‎　‎ 三、解答题（70分）‎ ‎11．（4分）已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正．‎ ‎（1）∵∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2，‎ ‎（2）∵∠1=∠2，∴AB∥CD（两直线平行，内错角相等）‎ ‎【考点】平行线的判定． ‎ ‎【分析】（1）内错角不一定相等，只有在平行线中才能推出相等；‎ ‎（2）根据平行线的判定得出此推理正确．‎ ‎【解答】解：（1）错误：内错角不一定相等，‎ 改正：∵∠1和∠2是内错角，DC∥AB，‎ ‎∴∠1=∠2；‎ ‎（2）正确，∵∠1=∠2，‎ ‎∴AB∥CD（两直线平行，内错角相等）．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的判定的应用，能正确根据平行线的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：内错角相等，两直线平行．‎ ‎　‎ ‎12．（6分）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．‎ ‎【考点】三角形内角和定理；平行线的性质． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】由AB∥CD，可知∠BEF与∠DFE互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得∠P=90°．‎ ‎【解答】证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BEF+∠DFE=180°．‎ 又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，‎ ‎∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DFE，‎ ‎∴∠PEF+∠PFE=（∠BEF+∠DFE）=90°．‎ ‎∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，‎ ‎∴∠P=90°．‎ ‎【点评】考查综合运用平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎13．（6分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问EF是否与GH平行？‎ ‎【考点】平行线的判定． ‎ ‎【分析】求出∠1=∠5，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠AEG=∠CGN，求出∠FEG=∠HGN，根据平行线的判定得出即可．‎ ‎【解答】解：EF∥GH，‎ 理由是：∵∠1=∠2，∠2=∠5，‎ ‎∴∠1=∠5，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠AEG=∠CGN，‎ ‎∵∠3=∠4，‎ ‎∴∠AEG﹣∠3=∠CGN﹣∠4，‎ ‎∴∠FEG=∠HGN，‎ ‎∴EF∥GH．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（6分）如图写出能使AB∥CD成立的各种条件．‎ ‎【考点】平行线的判定． ‎ ‎【分析】根据平行线的判定（平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行）得出即可．‎ ‎【解答】解：AB∥CD的条件为∠7=∠8或∠3=∠4或∠BAD+∠ADC=180°或∠ABC+∠BCD=180°或∠FAB=∠FDC或∠EDC=∠EAB．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了平行线的判定的应用，能熟记平行线的判定定理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．‎ ‎　‎ ‎15．（6分）如图，已知AB∥CD，∠1=∠3，试说明AC∥BD．‎ ‎【考点】平行线的判定与性质． ‎ ‎【专题】推理填空题．‎ ‎【分析】首先根据两直线平行内错角相等得到∠1=∠2，再根据∠1=∠3得到∠3=∠2，从而判定AC∥BD．‎ ‎【解答】证明：因为AB∥CD，‎ 所以∠1=∠2，‎ 又因为∠1=∠3，‎ 所以∠3=∠2．‎ 所以AC∥BD．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是牢记平行线的判定与性质定理．‎ ‎　‎ ‎16．（6分）已知：如图，∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求证：AB∥CD．‎ ‎【考点】平行线的判定． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据平行线的判定方法得出∠1=∠DBA的位置关系即可得出答案．‎ ‎【解答】证明：∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠2=∠DBA，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠1=∠DBA，‎ ‎∴AB∥CD．‎ ‎【点评】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定得出角之间的关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎17．（6分）如图，已知直线a，b，c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：a∥c．‎ ‎【考点】平行线的判定与性质． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】求出∠2=∠7，根据平行线的判定推出a∥b，b∥c，即可得出答案．‎ ‎【解答】证明：∵∠1=∠2，‎ ‎∴a∥b，‎ ‎∵∠2+∠3=180°，∠3+∠7=180°，‎ ‎∴∠2=∠7，‎ ‎∴b∥c，‎ ‎∴a∥c．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的判定的应用，能正确根据平行线的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行于同一直线的两直线平行．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD．‎ ‎【考点】平行线的判定与性质；角平分线的定义． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据BE∥CF，得∠1=∠2，根据BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，得∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，则∠ABC=∠BCD，从而证明AB∥CD．‎ ‎【解答】证明：∵BE∥CF，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ ‎∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，‎ ‎∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，‎ 即∠ABC=∠BCD，‎ ‎∴AB∥CD．‎ ‎【点评】此题综合运用了平行线的性质和判定以及角平分线的定义．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）已知：如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B=70°，求∠D的度数．‎ ‎【考点】平行线的性质． ‎ ‎【分析】根据平行线的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠C=∠B=70°，‎ ‎∵BC∥DE，‎ ‎∠C+∠D=180°，‎ ‎∴∠D=110°‎ ‎【点评】‎ 此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．‎ ‎　‎ ‎20．（6分）已知：BC∥EF，∠B=∠E，求证：AB∥DE．‎ ‎【考点】平行线的判定与性质． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据平行线的性质证得同位角∠E=∠1；然后由等量代换知同位角∠B=∠1；最后根据平行线的判定定理证得结论．‎ ‎【解答】证明：∵BC∥EF，‎ ‎∴∠E=∠1．‎ 又∵∠B=∠E，‎ ‎∴∠B=∠1，‎ ‎∴AB∥DE．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．‎ ‎　‎ ‎21．（6分）如图，已知AB∥CD，∠A=100°，CB平分∠ACD，求∠ACD、∠ABC的度数．‎ ‎【考点】平行线的性质． ‎ ‎【分析】根据平行线的性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出∠1、∠2，根据平行线的性质即可求出∠ABC．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，∠A=100°，‎ ‎∴∠ACD=180°﹣∠A=80°，‎ ‎∵CB平分∠ACD，‎ ‎∴∠1=∠2=∠ACD=40°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠ABC=∠2=40°．‎ ‎【点评】本题考查了平行线性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．‎ ‎　‎ ‎22．（6分）如图，已知：DE⊥AO于点E，BO⊥AO于点O，∠CFB=∠EDO，‎ 证明：CF∥DO．‎ ‎【考点】平行线的判定与性质． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】先由垂直的定义可得：∠AED=∠AOB=90°，然后根据同位角相等，两条直线平行，可得：DE∥BO，进而根据两直线平行，内错角相等，可得∠EDO=∠BOD，然后由等量代换可得：∠BOD=∠CFB，进而由同位角相等，两条直线平行可得：CF∥DO．‎ ‎【解答】证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO，‎ ‎∴∠AED=∠AOB=90°，‎ ‎∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行），‎ ‎∴∠EDO=∠BOD（两直线平行，内错角相等），‎ ‎∵∠EDO=∠CFB，‎ ‎∴∠BOD=∠CFB，‎ ‎∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行）．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，难度适中．‎ 第七章 章末测试卷3‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（　　）‎ A．①②③ B．①②⑤ C．①②④⑤ D．①②④‎ ‎2．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，有下列三个命题，①∠1+∠3=90°；②∠2+∠3=90°；③∠2=∠4，则（　　）‎ A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和③正确 D．①②③都正确 ‎3．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=63°，DE∥AB，则∠DEC等于（　　）‎ A．63° B．62° C．55° D．118°‎ ‎4．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（　　）‎ A．150° B．130° C．120° D．100°‎ ‎5．如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（　　）‎ A．17° B．34° C．56° D．124°‎ ‎6．如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC的大小为（　　）‎ A．17° B．62° C．63° D．73°‎ ‎7．如图，已知DE∥AB，那么表示∠3的式子是（　　）‎ A．∠1+∠2﹣180° B．∠1﹣∠2 C．180°+∠1﹣∠2 D．180°﹣2∠1+∠2‎ ‎8．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=BE，那么∠A等于（　　）‎ A．30° B．36° C．45° D．54°‎ ‎9．如图，把长方形ABCD沿EF对折后，使四边形ABFE与四边形HGFE重合，若∠1=50°，则∠AEF的度数为（　　）‎ A．110° B．115° C．120° D．130°‎ ‎10．根据如图与已知条件，指出下列推断错误的是（　　）‎ A．由∠1=∠2，得AB∥CD B．由∠1+∠3=∠2+∠4，得AE∥CN C．由∠5=∠6，∠3=∠4，得AB∥CD D．由∠SAB=∠SCD，得AB∥CD 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎11．如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=　　度．‎ ‎12．如图，a∥b，∠1+∠2=75°，则∠3+∠4=　　．‎ ‎13．如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4=　　．‎ ‎14．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=　　度．‎ ‎15．如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3=　　°．‎ ‎16．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：‎ ‎①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；‎ ‎③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．‎ 其中真命题的是　　．（填写所有真命题的序号）‎ ‎17．如图，AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，GH∥AE，则∠1=　　°．‎ ‎18．两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的4倍少30°，这两个角是　　．‎ 三、解答题（共66分）‎ ‎19．（10分）直线AB、CD与GH交于E、F，EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，∠BEF=∠DFH，‎ 求证：EM∥FN．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）如图，在△ABC中，∠B平分线和∠C的外角平分线相交于点P，求证：∠P=∠A．‎ ‎21．（10分）如图，已知：AB∥DE，∠1+∠3=180°，‎ 求证：BC∥EF．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图，BE，CD相交于点A，∠DEA，∠BCA的平分线相交于F．‎ ‎（1）探求∠F与∠B，∠D有何等量关系？‎ ‎（2）当∠B：∠D：∠F=2：4：x时，求x的值．‎ ‎23．（10分）已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足为D，F，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．‎ ‎24．（16分）已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．‎ 参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（　　）‎ A．①②③ B．①②⑤ C．①②④⑤ D．①②④‎ ‎【考点】命题与定理． ‎ ‎【分析】根据命题的定义对语句进行判断．‎ ‎【解答】解：钝角大于90°是命题；‎ ‎“两点之间，线段最短”是命题；‎ ‎“明天可能下雨”不是命题；‎ ‎“作AD⊥BC”不是命题；‎ ‎“同旁内角不互补，两直线不平行”是命题．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．‎ ‎　‎ ‎2．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，有下列三个命题，①∠1+∠3=90°；②∠2+∠3=90°；③∠2=∠4，则（　　）‎ A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和③正确 D．①②③都正确 ‎【考点】平行线的性质． ‎ ‎【分析】利用两直线平行，同位角相等与垂直的定义，对选项一一分析，排除错误答案．‎ ‎【解答】解：①正确，∵l1∥l2，‎ ‎∴∠2=∠3，∠1=∠4，‎ ‎∵l3⊥l4，‎ ‎∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，‎ ‎∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，‎ ‎∴只有①正确，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质和垂直的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=63°，DE∥AB，则∠DEC等于（　　）‎ A．63° B．62° C．55° D．118°‎ ‎【考点】平行线的性质；三角形内角和定理． ‎ ‎【分析】由在△ABC中，∠B=55°，∠C=63°，根据三角形的内角和定理，即可求得∠A的度数，又由DE∥AB，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠DEC的度数．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，∠B=55°，∠C=63°，‎ ‎∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣55°﹣63°=62°，‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴∠DEC=∠A=62°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．此题比较简单，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．‎ ‎　‎ ‎4．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（　　）‎ A．150° B．130° C．120° D．100°‎ ‎【考点】多边形内角与外角． ‎ ‎【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得．‎ ‎【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，‎ ‎∴∠ADC=∠AEB=90°，‎ ‎∴∠BPC=∠DPE=180°﹣50°=130°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360度．注意∠BPC与∠DPE互为对顶角．‎ ‎　‎ ‎5．如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（　　）‎ A．17° B．34° C．56° D．124°‎ ‎【考点】平行线的性质；直角三角形的性质． ‎ ‎【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠A，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠DCE=∠A=34°（两直线平行，同位角相等），‎ ‎∵∠DEC=90°，‎ ‎∴∠D=90°﹣∠DCE=90°﹣34°=56°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC的大小为（　　）‎ A．17° B．62° C．63° D．73°‎ ‎【考点】平行线的性质． ‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】首先根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC=∠C=28°，再根据三角形内角与外角的性质可得∠AEC=∠A+∠ABC．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠ABC=∠C=28°，‎ ‎∵∠A=45°，‎ ‎∴∠AEC=∠A+∠ABC=28°+45°=73°，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．‎ ‎　‎ ‎7．如图，已知DE∥AB，那么表示∠3的式子是（　　）‎ A．∠1+∠2﹣180° B．∠1﹣∠2 C．180°+∠1﹣∠2 D．180°﹣2∠1+∠2‎ ‎【考点】平行线的性质． ‎ ‎【分析】过点C作CG∥AB，因为AB∥EF，所以CG∥EF，利用两直线平行，同旁内角互补，内错角相等求出∠1+∠BCG=180°，∠3=∠DCG，再利用角之间的和差关系求解．‎ ‎【解答】解：过点C作CG∥AB，‎ ‎∵AB∥EF，‎ ‎∴CG∥EF，‎ ‎∴∠1+∠BCG=180°，∠3=∠DCG，‎ 又∵∠2=∠BCG+∠GCD，‎ ‎∴∠3=∠DCG=∠1+∠2﹣（∠1+∠BCG）=∠1+∠2﹣180°．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查作辅助线构造三条互相平行的直线，然后利用平行线的性质和角的和差关系求解．‎ ‎　‎ ‎8．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=BE，那么∠A等于（　　）‎ A．30° B．36° C．45° D．54°‎ ‎【考点】等腰三角形的性质． ‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质及等边对等角性质进行分析，从而求得∠A的度数．‎ ‎【解答】解：设∠A=x°‎ ‎∵AB=AC，BD=BC ‎∴∠ABC=∠C=∠BDC=90°﹣∠DBC=∠A=x°‎ ‎∵AD=DE=BE ‎∴∠A=∠AED=2∠EBD=2∠EDB ‎∴∠EBD=‎ ‎∵∠ABC=∠C ‎∴90°﹣=x°+‎ ‎∴x=45°‎ 即∠A等于45°．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查等腰三角形的性质，等边对等角，以及三角形的内角和定理的运用．‎ ‎　‎ ‎9．如图，把长方形ABCD沿EF对折后，使四边形ABFE与四边形HGFE重合，若∠1=50°，则∠AEF的度数为（　　）‎ A．110° B．115° C．120° D．130°‎ ‎【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）． ‎ ‎【分析】根据折叠的性质及∠1=50°可求出∠2的度数，再由平行线的性质即可解答．‎ ‎【解答】解：∵四边形EFGH是四边形EFBA折叠而成，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∵∠2+∠3+∠1=180°，∠1=50°，‎ ‎∴∠2=∠3=（180°﹣50°）=×130°=65°，‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴∠AEF+∠EFB=180°，‎ ‎∴∠AEF=180°﹣65°=115°，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．根据如图与已知条件，指出下列推断错误的是（　　）‎ A．由∠1=∠2，得AB∥CD B．由∠1+∠3=∠2+∠4，得AE∥CN C．由∠5=∠6，∠3=∠4，得AB∥CD D．由∠SAB=∠SCD，得AB∥CD ‎【考点】平行线的判定． ‎ ‎【分析】根据题意，结合图形，由平行线的判定方法对选项一一分析，选择正确答案．‎ ‎【解答】解：A、由∠1=∠2，得AB∥CD，同位角相等两直线平行，符合平行线判定方法，故选项正确；‎ B、由∠1+∠3=∠2+∠4，得AE∥CN，同位角相等两直线平行，符合平行线判定方法，故选项正确；‎ C、因为∠5、∠6、∠3、∠4，不是AB、CD的同位角，不能判定AB∥CD，故选项错误；‎ D、由∠SAB=∠SCD，得AB∥CD，同位角相等两直线平行，符合平行线判定方法，故选项正确．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查平行线的判定方法．同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎11．如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=　360　度．‎ ‎【考点】平行线的性质． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先根据AB∥CD求出∠BAC+∠ACD的度数，再由CD∥EF求出∠CEF+∠ECD的度数，把两式相加即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAC+∠ACD=180°…①，‎ ‎∵CD∥EF，‎ ‎∴∠CEF+∠ECD=180°…②，‎ ‎①+②得，‎ ‎∠BAC+∠ACD+∠CEF+∠ECD=180°+180°=360°，‎ 即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°．‎ ‎【点评】此题比较简单，考查的是平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．‎ ‎　‎ ‎12．如图，a∥b，∠1+∠2=75°，则∠3+∠4=　105°　．‎ ‎【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质． ‎ ‎【分析】根据平行线的性质和等量代换可以求得∠3+∠4=∠5+∠4，所以根据三角形内角和是180°进行解答即可．‎ ‎【解答】解：如图，∵a∥b，‎ ‎∴∠3=∠5．‎ 又∠1+∠2=75°，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，‎ ‎∴∠5+∠4=105°，‎ ‎∴∠3+∠4=∠5+∠4=105°．‎ 故答案是：105°．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理．解题的技巧性在于把求（∠3+∠4）的值转化为求同一三角形内的（∠5+∠4）的值．‎ ‎　‎ ‎13．如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4=　121°　．‎ ‎【考点】平行线的判定与性质． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由∠1=∠3，利用同位角相等两直线平行，得到AB与CD平行，再利用两直线平行同旁内角互补得到∠5与∠4互补，利用对顶角相等得到∠5=∠2，由∠2的度数求出∠5的度数，即可求出∠4的度数．‎ ‎【解答】‎ 解：∵∠1=∠3，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠5+∠4=180°，又∠5=∠2=59°，‎ ‎∴∠4=180°﹣59°=121°．‎ 故答案为：121°‎ ‎【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=　40　度．‎ ‎【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质． ‎ ‎【分析】首先利用∠ACD=110°求得∠ACB与∠BAC的度数，然后利用三角形内角和定理求得∠B的度数，然后利用平行线的性质求得结论即可．‎ ‎【解答】解：∵AB=BC，‎ ‎∴∠ACB=∠BAC ‎∵∠ACD=110°‎ ‎∴∠ACB=∠BAC=70°‎ ‎∴∠B=∠40°，‎ ‎∵AE∥BD，‎ ‎∴∠EAB=40°，‎ 故答案为40．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，题目相对比较简单，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3=　65　°．‎ ‎【考点】平行线的性质． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由l1∥l2，利用两直线平行，同位角相等得到一对角相等，由∠1的度数求出∠4的度数，再由对顶角相等，由∠2的度数求出∠5的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠3的度数．‎ ‎【解答】解：∵l1∥l2，∠1=40°，‎ ‎∴∠1=∠4=40°，‎ 又∠2=∠5=75°，‎ ‎∴∠3=180°﹣（∠4+∠5）=65°．‎ 故答案为：65‎ ‎【点评】此题考查了平行线的性质，平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．‎ ‎　‎ ‎16．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：‎ ‎①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；‎ ‎③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．‎ 其中真命题的是　①②④　．（填写所有真命题的序号）‎ ‎【考点】命题与定理；平行线的判定与性质． ‎ ‎【专题】推理填空题．‎ ‎【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．‎ ‎【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故①正确；‎ ‎②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故②正确；‎ ‎③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故③错误；‎ ‎④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故④正确．‎ 故答案为：①②④．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，难度适中．‎ ‎　‎ ‎17．如图，AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，GH∥AE，则∠1=　145　°．‎ ‎【考点】平行线的性质． ‎ ‎【分析】由平行线的性质得出同位角相等∠DFE=∠A=60°，由三角形的外角性质求出∠E，再由平行线的性质得出∠GHC=∠E=35°，由平角的定义即可求出∠1的度数．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠DFE=∠A=60°，‎ ‎∴∠E=∠DFE﹣∠C=60°﹣25°=35°，‎ ‎∵GH∥AE，‎ ‎∴∠GHC=∠E=35°，‎ ‎∴∠1=180°﹣35°=145°；‎ 故答案为：145°．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、平角的定义；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的4倍少30°，这两个角是　42°，138°或10°，10°　．‎ ‎【考点】平行线的性质． ‎ ‎【分析】设另一个角为α，则这个角是4α﹣30°，然后根据两边分别平行的两个角相等或互补列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：设另一个角为α，则这个角是4α﹣30°，‎ ‎∵两个角的两边分别平行，‎ ‎∴α+4α﹣30°=180°或α=4α﹣30°，‎ 解得α=42°或α=10°，‎ ‎∴4α﹣30°=138°或4α﹣30°=10°，‎ 这两个角是42°，138°或10°，10°．‎ 故答案为：42°，138°或10°，10°．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质，熟记两边分别平行的两个角相等或互补是解本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共66分）‎ ‎19．（10分）直线AB、CD与GH交于E、F，EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，∠BEF=∠DFH，‎ 求证：EM∥FN．‎ ‎【考点】平行线的判定． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】首先根据角平分线定义可得∠BEF=2∠MEF，∠DFH=2∠NFH，再根据∠BEF=∠DFH可得∠MEF=∠NFH，然后根据同位角相等，两直线平行可得EM∥FN．‎ ‎【解答】证明：∵EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，‎ ‎∴∠BEF=2∠MEF，∠DFH=2∠NFH，‎ ‎∵∠BEF=∠DFH，‎ ‎∴∠MEF=∠NFH，‎ ‎∴EM∥FN．‎ ‎【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是证明出∠MEF=∠NFH．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）如图，在△ABC中，∠B平分线和∠C的外角平分线相交于点P，求证：∠P=∠A．‎ ‎【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质． ‎ ‎【分析】首先证明∠DCP=∠P+∠CBP，进而证明∠P=β﹣α，β﹣α=，问题即可解决．‎ ‎【解答】解：∵∠B平分线和∠C的外角平分线相交于点P，‎ ‎∴∠ABP=∠CBP（设为α），∠ACP=∠DCP（设为β）‎ ‎∵∠DCP=∠P+∠CBP，‎ ‎∴∠P=β﹣α，而2β=2α+∠A，‎ ‎∴2（β﹣α）=∠A，‎ ‎∴β﹣α=，‎ ‎∴∠P=．‎ ‎【点评】该题以三角形为载体，以三角形的内角和定理、三角形外角的性质为考查的核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）如图，已知：AB∥DE，∠1+∠3=180°，‎ 求证：BC∥EF．‎ ‎【考点】平行线的判定与性质． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】由AB与DE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，由已知两个角互补，等量代换得到一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到BC与EF平行．‎ ‎【解答】证明：∵AB∥DE，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵∠1+∠3=180°，‎ ‎∴∠2+∠3=180°，‎ ‎∴BC∥EF．‎ ‎【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图，BE，CD相交于点A，∠DEA，∠BCA的平分线相交于F．‎ ‎（1）探求∠F与∠B，∠D有何等量关系？‎ ‎（2）当∠B：∠D：∠F=2：4：x时，求x的值．‎ ‎【考点】三角形内角和定理． ‎ ‎【分析】（1）由三角形内角和外角的关系可知∠D+∠1=∠3+∠F，∠2+∠F=∠B+∠4，由角平分线的性质可知∠1=∠2，∠3=∠4，故∠F=（∠B+∠D）．‎ ‎（2）设∠B=2α，则∠D=4α．利用（1）中的结论和已知条件来求x的值．‎ ‎【解答】解：（1）∠F=（∠B+∠D）；‎ 理由如下：‎ ‎∵∠DHF是△DEH的外角，∠EHC是△FCH的外角，∠DHF=∠EHC，‎ ‎∴∠D+∠1=∠3+∠F ①‎ 同理，∠2+∠F=∠B+∠4 ②‎ 又∵∠DEA，∠BCA的平分线相交于F ‎∴∠1=∠2，∠3=∠4‎ ‎∴①﹣②得：∠B+∠D=2∠F，即∠F=（∠B+∠D）．‎ ‎（2）∵∠B：∠D：∠F=2：4：x，‎ ‎∴设∠B=2α，则∠D=4α，‎ ‎∴∠F=（∠B+∠D）=3α，‎ 又∠B：∠D：∠F=2：4：x，‎ ‎∴x=3．‎ ‎【点评】本题考查了三角形外角的性质及角平分线的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足为D，F，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．‎ ‎【考点】平行线的判定与性质；垂线． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】先根据垂直的定义得∠ADF=∠EFC=90°，则可判断AD∥EF，根据平行线的性质得∠2=∠DAC，再根据平行线的判定方法，由∠4=∠C可得DG∥AC，则利用平行线的性质得∠1=∠DAC，然后根据等量代换即可得到结论．‎ ‎【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，‎ ‎∴∠ADF=∠EFC=90°，‎ ‎∴AD∥EF，‎ ‎∴∠2=∠DAC，‎ 又∵∠4=∠C，‎ ‎∴DG∥AC，‎ ‎∴∠1=∠DAC，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．也考查了垂线的定义．‎ ‎　‎ ‎24．（16分）已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．‎ ‎【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义． ‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．‎ ‎【解答】解：∠C的大小保持不变．理由：‎ ‎∵∠ABY=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，‎ ‎∴∠ABE=∠ABY=（90°+∠OAB）=45°+∠OAB，‎ 即∠ABE=45°+∠CAB，‎ 又∵∠ABE=∠C+∠CAB，‎ ‎∴∠C=45°，‎ 故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．‎ ‎【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：‎ ‎①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；‎ ‎②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．‎