2020人教版八年级上数学第十五章分式单元全套课件

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[ 人教版 ] 八年级年级数学上册优质课件 [ 教育部审定教材 ] RJ· 数学 第五一 章 分 式 目 录 使用说明：点击对应课时，就会跳转到相应章节内容，方便使用。 15.1.1 从分数到分式 15.1.2 分式的基本性质 15.2.1 分式的乘除 15.2.2 分式的加减 15.2.3 整数指数幂 15.3 分式方程 人教 版 数学 八 年级 上册 15.1 分式 15.1.1 从分数到分式 8÷9 可以写成 分数 ，那么 y ÷ x 可以写成这样的形式吗？假如你认为 可以，那么 这个式子是我们以前学习的整式吗？那它是什么式子呢？通过今天的 学习，我们 会进一步认识它 . 导入新知 2. 能 熟练地求出 分式有意义 、 无意义 及 分式值为零 的条件 . 1. 理解 分式 的概念 . 素养目标 1 . 长方形的面积为 10cm² ，长 为 7cm. 宽应 为 ____cm ；长方形 的面积为 S ，长 为 a ，宽应为 ______ . S a ? 分式的概念 知识点 1 探究新知 2 . 把 体积为 200 cm ³ 的水倒入底面积 为 33 cm ² 的圆柱形容器 中，水面 高度 为 _____ cm ；把 体积为 V 的水倒入底面积为 S 的 圆柱形容器 中，水面 高度为 ____. V S 探究新知 3. 一 艘轮船在静水中的最大航速是 20 千米 / 时，它 沿江以最大船速顺流航行 100 千米所用 时间，与 以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间相等 . 江水的流速是多少 ? 如果设江水的流速为 v 千米 / 时 . = 最大船速顺流航行 100 千米所用时间 以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间 探究新知 请大家观察式子　 和 　　 ，有 什么特点？ 它 们 与分数有什么相同点和不同点？ 都具有分数的形式 相同点 不同点 ( 观察分母 ) 分母中 有字母 请大家观察式子　　　和　　　 ，有 什么特点？ 说一说 探究新知 一般地，如果 A 、 B 都表示 整式，且 B 中 含有 字母，那么 称 为分 式 . 其 中 A 叫做分式的 分子， B 为分式的分 母 . 类比 分数 、 分式 的概念及表达形式 : 整数 整数 分数 t 整式 ( A ) 整式 ( B ) 类比 ( v–v 0 ) ÷ t = v–v 0 3 ÷ 5 = 　 被除数 ÷ 除数 = 商数 如 : 被除式 ÷ 除式 = 商式 如 : A 分式 ( ) B 注意： 分式是不同于整式的另一类 式子，且 分母中含有字母是分式的一大特点 . 注意：由于字母可以表示不同的 数，所以 分式比分数更具有 一般性 . 探究新知 分式概念 你能说一说分数与分式的相同 点、不同点 吗？ 相同点 分子 分数线 分母 不同点 分数： 分子、 分母 都 为 数字 分式： 分子、分母都为 整式，且 分母中必须含有 字母；分子 中可以不含字母 探究新知 例 1 指 出下列代数式 中，哪些 是 整式，哪些 是分式？ 解： 整式 有 分式有 分式的识别 探究新知 素养考点 1 方法总结： 判断一个式子是分式的关键： 分母中含有字母 . 1. 判断 下列各式哪些是 整式，哪些 是分式？ 9 x +4 ， ， ， ， ， 解： 整式 有 9 x +4 ， ， ； 分式 有 ， ， . 巩固练习 1 . 分式 的 分母有什么条件限制？ 当 B =0 时，分式 无意义 . 当 B ≠ 0 时，分式 有意义 . 2 . 当 = 0 时分子和分母应满足什么条件？ 当 A =0 而 B ≠ 0 时，分式 的值为零 . 分式有意义、无意义及分式值为零的条件 知识点 2 探究新知 (2) 当 x 为何值 时，分式 有意义 ? (1) 当 x 为何值 时，分式 无意义 ? 例 2 已知 分式 ， ( 2 ) 由 ( １ ) 得 当 x ≠–2 时，分式 有 意义 . 　　　　 ∴ 当 x = –2 时分式 : 解： ( 1 ) 当 分母等于零 时，分式 无意义 . 无意义 . ∴ x = –2 即 x +2=0 素养考点 2 根据分式有意义、无意义的条件求字母的值 探究新知 方法点拨 ① 分式有意义的条件： 分母不为 零 ； ② 分式无意义的条件： 分母为 零 ； ③ 分式的值为零的条件： 分母不为 零，分子 为零 . 探究新知 ( 1 ) 当 x 时，分式 有 意义； ( 2 ) 当 x 时，分式 有 意义； ( 3 ) 当 b 时，分式 有 意义； ( 4 ) 当 x ， y 满足关系 时，分式 有意义 . 分母 3 x ≠ 0 ， 即 x ≠0 分母 x –1 ≠ 0 ， 即 x ≠1 分母 x – y ≠0 ，即 x ≠ y 分母 5 – 3 b ≠0 ，即 b ≠ 2. 完成下列 题目 . 巩固练习 例 3 当 时，分式 的值为零 . x =1 解： 要 使分式的值为 零，只需 分子为零且分母不为 零， ∴ 解得 x =1 . 素养考点 3 根据分式的值为零的条件求字母的值 探究新知 解析 ： 由 x 2 –1=0 得 x 2 =1 ， ∴ x =± 1 ， 又 ∵ x –1 ≠0 即 x ≠ 1 ， ∴ x = –1 . 3 . 若分式： 的 值为 0 ，则 ( 　　 ) A ． x =1 B ． x = –1 C ． x =±1 D ． x ≠1 B 巩固练习 连接中考 1. 若 分式 在 实数范围内有 意义 ， 则 实数 x 的取值范围 是 ( ) A． x ＞ – 2 B． x ＜ – 2 C． x = – 2 D． x ≠ – 2 解析： ∵分式 在 实数范围内有 意义， ∴ x +2≠ 0，解 得： x ≠ – 2． 2. 若 分 式 的 值为 0 ， 则 x 的值 为 ( 　　 ) A．3 B． – 3 C．3或 – 3 D．0 解析： 由分式的值为零的条件得 x – 3=0，且 x +3≠ 0， 解 得 x =3 ． D A 巩固练习 1. 列式表示下列各量 . (1) 某 村有 n 个人，耕地 40 公顷，人均 耕地面积为 公顷 . (2) △ ABC 的面积为 S ， BC 边长为 a ，高 AD 长 为 . (3) 一 辆汽车行驶 a 千米用 b 小时，它 的平均车速为 千米 / 小时；一 列火车行驶 a 千米比这辆汽车少用 1 小时，它 的平均车速为 千米 / 小时 . 基础巩固题 课堂检测 2. 下列各式 中，哪些 是分式？哪些是整式？ 解： 分式 ： 整式 ： 课堂检测 基础巩固题 3. 完成下列各 题 . (1) 要 使分式 有意义，则 x 的取值范围为　 ________ ． (2) 当 x = 1时，分式 的值是 　 ． (3) 若 分式 的 值为 0，则 x 的值 为 　 ． x ≠ – 2 – 3 课堂检测 基础巩固题 当 x 取何值 时，分式 有意义？ x 取何值 时，分式 的值为 0 ？ 解： 时，分式 有 意义； 时，分式 的值为 0. 能力提升题 课堂检测 ( 1 ) y 的值为 0 ； ( 2 ) 分式 无意义 ； ( 3 ) y 的值为 正数； ( 4 ) y 的值为负数 . 已知 ， x 取何值 时，满足 ： 拓 广探究题 解 ： (1) 当 x =1 时， y 的值为 0 ； (2) 当 x = 时，分式 无 意义； (3) 当 或 解得： ＜ x ＜ 1. (4) 当 或 解得： x ＞1 或 x ＜ x –1 ＞0 2–3 x ＞0 x –1 ＜0 2–3 x ＜0 x –1 ＞0 2–3 x ＜0 x –1 ＜0 2–3 x ＞0 课堂检测 ① 如果 A 、 B 表示两个整式，且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式 . ② 整式与分式的根本区别在于分母中含有字母 . 分 式 定义 分式有意 义的条件 分式无意 义的条件 B ≠0 B =0 B ≠ 0 ， A =0 课堂小结 分式的值为 0 的条件 15.1 分式 15.1.2 分式 的 基本性质 人教 版 数学 八 年级 上册 分数的约分与通分 1. 约分 约 去分子与分母的 最大公约数 ，化为 最简分数 . 2. 通分 先 找分子与分母的 最简 公分母 ，再 使分子与分母同乘 最简 公分母 ，计算 即可 . 如果 把分数换为 分式，又 会如何 呢？ 导入新知 温故知新 1. 能 说出 分式的基本性质 . 2. 能 利用分式的基本性质将 分式变形 . 3. 会 用分式的基本性质进行分式的 约分 和 通分 . 素养目标 下列 分数是否 相等？ 　 这些 分数相等的依据是 什么？ 　　分数的基本性质 . 　　相等 . 分式的基本性质 知识点 1 探究新知 问题1： 分数 的基本性质： 　 　 一个分数的 分子、分母 乘 ( 或 除 以 ) 同 一个不为 0 的数， 分数 的值 不变 ． 探究新知 你 能叙述分数的基本性质吗？ 问 题 2 ： 　　一般 地，对于 任意一个分数 ，有 其中 a ， b ， c 是数． 你 能用字母的形式表示分数的基本性质 吗？ 探究新知 问 题 3 ： 分式 的基本性质： 　　 分式的 分子与分母 乘 ( 或 除 以 ) 同 一个不等于 0 的整式 ，分式 的值 不变 ． 类比 分数的基本 性质，你 能想出分式有 什么性 质 吗？ 探究新知 问 题 4 ： 追问 1 如何用式子表示分式的基本 性质？ 其中 A ， B ， C 是整式 . 探究新知 ( 1 ) 分子 、分母应同时做 乘、除法中的同一种运算； ( 2 ) 所乘 ( 或 除 以 ) 的 必须是 同一个整式； ( 3 ) 所乘 ( 或 除 以 ) 的 整式应该 不等于零 . 追问 2 　 应用分式的基本性质时需要注意 什么？ 探究新知 例 1 下列 等式成立 吗？右边 是怎样从左边得到 的？ 解 : 1) 成立 . 因 为 所 以 素养考点 1 分式的基本性质的应用 探究新知 2) 成立 . 因 为 所 以 解 ： (1) 正确 ． 分子分母除以 x ； (2) 不 正确． 分子乘 x ，而 分母没乘； (3) 正确 ． 分子分母除 以 ( x - y ) ． (1) （ 2 ） （ 3 ） 1. 下列 变形是否 正确？如果正确，说出 是 如何 变形 的？如果 不 正确，说明 理由 . 巩固练习 2. 不 改变分式的 值，使 下列分式的分子和 分母 都不含“ -” 号： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 解： 分式 的变号法则： 分式的分子、分母及分式本身的 符号， 改变 其中任意两 个，分式 的值不变 . 巩固练习 填空 ： 知识点 2 约分 探究新知 　　像 这样，根据 分式的基本 性质，把 一个分式的分子与分母的公因式约 去，叫做 分式的 约分 ．经过约分后的分式如上例 ，其 分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的 式子，叫做 最简分式 ．　 观察 上例 中 ( 1 ) 中 的两个分式在变形 前后的 分子、分母有什么 变化？类比 分数的相应 变形，你联想 到 什么？ 分式 的分子、分母约去 公因式，值不变 . 探究新知 问 题 5 ： 解 ： 例 2 约分 : 素养考点 2 约 分的应 用 探究新知 确定公因式的方法： ①如果分式的分子、分母都是 单项式，直接 约去分子、分母的公因式； ②如果分子或分母是 多项式，就要 先对多项式进行 因式分解 ，以便 找出分母、分子的 公因式，最后 约分 . ③ 约分结果为 最简分式 或 整式 . 探究新知 归纳总结 3 . 下列 分式 中，是 最简分式的是 : 　　　 ( 填序号 ). ( 2 ) 巩固练习 ( 4 ) 解： 4. 约分 ： 巩固练习 通分 知识点 3 探究新知 填空 ： 分母乘以 2 abc ，根据 分式的基本 性质，分子 也乘以 2 ac . 分母乘以 3 b ，根据分式的基本性质，分子也乘以 3 b ，整理得 6 ab -3 b 2 像这样，根据 分式的基本 性质，把 几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母 的 分式，叫做 分式的 通分 . 1. 通 分的依据是 什么？ 2. 通 分的关键是 什么？ 3. 如 何确定 n 个分式的 公分母？ 分式 的基本性质： 分式的分子与分母 乘 ( 或 除 以 ) 同 一个不等于 0 的 整式，分式 的值不变 . 确定 各分式的 最简公分母 . 一般 取各分母的所有因式的 最高次幂的积 作公分母 . 探究新知 想一想 解 : ( 1 ) 最 简公分母是 2 a 2 b 2 c . ( 2 ) 最 简公分母 是 ( x + 5)( x － 5) . 例 3 通 分： 素养考点 3 通 分的应 用 探究新知 1. 通 分 的步 骤 ① 确定 最简 公分母 ，② 化 异分母分式 为 同分母分式 . 2. 确定最简公分母的方法 (1) 分母 为单项式：①取各分母系数的 最小公倍数 ，② 相同字母取 次数最高 的 ，③ 单独出现的字母连同它的指数一起作为最简公分母的一个因式 . (2) 分母 为多项式：①把各分母 分解 因式 ，② 把每一个因式看做一个 整体，按 系数 、 相同因式 、 不同因式 这三方面依分母是单项式的方法确定最简公分母 . 探究新知 归纳总结 5 . 通分 ： 巩固练习 解 ： ( 3 ) 最 简公分母是 (3) ， ， 巩固练习 连接中考 已知 =3 ， 则代数式 的值是 ( 　　 ) A ． B ． C ． D . 解析 ： ∵ =3，∴ =3，∴ x ﹣ y =﹣3 xy ， 则原式 = = = = . D 巩固练习 1. 化 简 的 结果 是 ( ) A . B . C . D . 基础巩固题 D 课堂检测 2. 下列说法 中，错误 的 是 ( ) A. 与 通分 后为 B . 与 通分后 为 与 的最简公分母为 m 2 - n 2 的 最简公分母为 ab ( x - y )( y - x ) D 课堂检测 基础巩固题 1 . 已知 则 的 值 是 ( ) A. B . – C.2 D . – 2 能力提升题 D 课堂检测 2 . 化简： = ． x +3 3. 化 简： x - y +1 分式的基本性质 约分 一般 地，对于 任意一个分数 ，有 其中 a ， b ， c 是数． 通分 课堂小结 15.2 分式 的 运算 15.2.1 分式 的乘除 人教 版 数学 八 年级 上册 第一课时 第二课时 第 一 课 时 分式乘除法法 则 通过 前面分式的 学习，我们 知道分式和分数有很多的 相似性，如 基本性质、约分和通分 . 那么在 运算上它们有相似性吗 ？ 导入新知 1. 知道 并熟记 分式乘除法法则 . 2. 能 准确地进行 分式的乘除法 的计算 . 素养目标 1. 一 个长方体容器的容积为 V ，底面 的长为 a ，宽 为 b ，当 容器内的水占容积 的 时，水 高多少 ? 解： 长方体 容器的高为 ， 水高为 知识点 1 分式的乘除法法则 探究新知 2. 大 拖拉机 m 天耕地 a 公顷，小 拖拉机 n 天耕地 b 公顷，大 拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍 ? 解： 大 拖拉机的工作效 率 是 公顷 / 天， 小 拖拉机 的工作效率 是 公顷 / 天， 大 拖拉机的工作效率是小拖拉机的 工作效率的 ( ) 倍 . 探究新知 和 ，其中涉及到分式的有哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？ 观察 上述两个问题中所列出的式子　　　 探究新知 【 思考 】 在 计算的过程 中，运 用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？ 如果 将分数换成 分式，那么 你能类比分数的乘除法 法则，说出 分式的乘除法法则吗？ 怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？　　　 3. 计算 ： 探究新知 乘法法则： 分式乘 分式，用 分子的积作为积的 分子，分母 的积作为积的分母 . 除法法则： 分式除以 分式，把 除式的分子、分母颠倒位置 后，与 被除式相乘 . 探究新知 分式的乘除法法则 例 1 计算： 2 2 素养考点 1 利用分式的乘除法法则进行单项式的计算 探究新知 2 解法一 : 解法二 : 2 分 式运算的结果通常要化成最简分式或整式 . 探究新知 ① 若分子分母都是 单项式，把 分子分母分别 相乘 ，约 去 公因式，最后 化为 最简分式或整式 ； ②分式 与分式相除 时，按照 法 则 先转 化为 乘法 ，再 运算 . 探究新知 归纳总结 解析： C 巩固练习 1 . 等于 ( ) A. B . C . D . 2 例 2 计算： 当分子分母是多项式 时，先 分解因式便于约分的进行 . 素养考点 2 利用分式的乘除法法则进行多项式的计算 探究新知 一定 要注意符号变化 呦！ 探究新知 ① 若 分子分母有 多项式，先 把 多项式分解 因式 ，看 能约分的 先 约分 ，然后 相乘 ； ② 分式 与分式相除 时，一定要 先转 化为 乘法 ，再按照乘法法则运算 . 探究新知 归纳总结 1 1 1 1 1 解： 原式 2. 计算 ( 1 ) 巩固练习 1 1 1 1 ( 2 ) 巩固练习 解： 原式 例 3 “ 丰收 1 号”小麦的试验田是边长为 a m 的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的 部分，“ 丰收 2 号”小麦的试验田是边长 为 ( a –1) m 的 正方形，两 块试验田的小麦都收获了 500kg. ( 1 ) 哪 种小麦的单位面积产量高？ ( 2 ) 高 的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 素养考点 3 分式的乘除法法则的实际应用 探究新知 ∵0 ＜ ( a– 1) 2 ＜ a 2 –1 ， ∴ “ 丰收 2 号 ” 小麦的单位面积产量高 . ∴ “ 丰收 2 号” 小麦的单位面积产量是 “丰收 1 号” 小麦的单位面积产量的 倍 . ∴ 解 ： (1) “ 丰收 1 号”小麦的试验田面积 是 ( a 2 –1)m² ，单位 面积产量 是 kg/m 2 ；“丰收 2 号”小麦的试验田面积 是 ( a –1) 2 m 2 ，单位 面积产量 是 kg/m 2 . (2) 探究新知 第一步，把 线段 AB 三 等分，以 中间的一段为边作 等边三角形，然后 去掉这 一段，就 得到由 4 条长度相等的线段组成的 折线，总长度 为 第二步，把 上述折线中每一条线段重复第一步的 做法，便 得到由长度相等的线段组成的 折线，总长度 为 3. 取一条长度为 1 个单位的线段 AB ，如 图 巩固练习 按照上述方法一步一步地继续进行 下去，在 图中画出了第一步至第五步所得到的折线的形状． 你 觉得第五步得到的折线漂亮吗？ 巩固练习 对于 任意一个正整数 n ，第 n 步得到的折线的总长度是多少？ 你 能推算出第五步得到的折线的总长度吗？ 巩固练习 连接中考 1. 老师 设计了接力 游戏 ， 用 合作的方式完成分式化 简 ， 规则 是：每人只能看到前一人给的 式子 ， 并 进行一步 计算 ， 再 将结果传递给下一 人 ， 最后 完成化简．过程如图所示： 接力中 ， 自己 负责的一步出现错误的 是 ( ) A . 只有 乙 B . 甲 和丁 C . 乙 和丙 D . 乙 和丁 2. 计算 (– a ) 2 • 的 结果 为 ( 　　 ) A . b B .– b C . ab D． D A 巩固练习 1 . 化 简 的 结果 是 ( ) A. B. a C. a –1 D . 基础巩固题 B 课堂检测 2. 计算 ： =__________________. 3. 计算： 课堂检测 基础巩固题 解 : 原式 解 : 原式 （ 1 ） （ 2 ） 先 化 简 然后从 –1 ， 1 ， 2 中选取一个数作为 x 的值代入求值 . 解 : ( 1 ) 原式 ＝ 因 为分母 x –1 ≠ 0 ， x +1 ≠ 0 ， 所 以 x ≠1 且 x ≠ – 1 ， 所 以取 x =2 ，所 以 能力提升题 课堂检测 一 条船往返于水路相距 100km 的 A ， B 两地 之间，已知水流的 速度是每小时 2km ，船 在静水中的速度是 每小时 x km( x >2) ，那么 船在往返一次过程 中，顺流 航行的时间与 逆流航行 的时间比是 ______. 拓广探索题 课堂检测 分式的乘除法法 则 课堂小结 ① 若分子分母都是 单项式，把 分子分母分别 相乘 ，约 去 公因式，最后 化为 最简分式或整式 ； ②若 分子分母有 多项式，先 把 多项式分解 因式 ，看 能约分的 先 约分 ，然后 相乘 ； ③分式 与分式相除 时，按照 法 则 先转 化为 乘法 ，再 运算 . 注意事项： 第二课 时 分式乘方的运算法则 我们 学习过分数的乘除混合运算，那么分式的乘除混合运算该如何进行呢？分式的乘方又与分数的乘方有何异同呢 ？ 导入新知 1. 熟练 掌握 分式的乘除混合运算顺序 和方法 . 2. 掌握 分式乘方的运算法则 ，并能灵活运用法则进行分式乘方的运算 . 素养目标 分式乘除混合运算的计算方法： ( 1) 分式乘除混合运算，先依据分式的乘除法法则，把分式乘除法统一成 乘法 . ( 2) 当分式的分子分母为多项式时，应先进行 因式分解 ，然后约去分子分母的公因式，计算结果应为 最简分式 或 整式 . 分式乘除的混合运算 知识点 1 探究新知 例 1 计算 ： 解 ： 素养考点 1 分式乘除的混合运算 探究新知 1. 计算： 解： 原式 巩固练习 　　猜想： n 为正整数时　　　　　　　　 你 能结合有理数乘方的概念和分式乘法的 法则 写出结果吗？ 知识点 2 分式的乘方 探究新知 你能写出推导过程吗？试试看 ． 你能用文字语言叙述得到的结论吗？　　　 这就是说 ， 分式乘方要把 分子、分母分别乘方 ． 即 一般 地，当 n 是正整数时 ，　　 探究新知 分式的乘方法则 解 ： 例 2 　 计算 ： 　　　 素养考点 2 分式乘方的运算 归纳总结： 分式的乘方，把分子分母分别乘方，再算积的乘方、幂的乘方 . 也可以先确定符号 ，再把 分子、分母分别乘方 . 探究新知 2. 计算 ： 巩固练习 解 : 原式 解 : 原式 解 ： 例 3 　计算 ：　　　 素养考点 3 分式乘方的混合运算 归纳总结 ： 分式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号先算括号内的 . 探究新知 3 . 计算 ： 巩固练习 解 : 原式 解 : 原式 连接中考 1. 计算 （1+ ）÷ 的 结果是（　　） A . x +1 B . C ． D ． 2. 化 简： ． 解 ： 原式 = = . B 巩固练习 1. 下列计算中，正确的是 ( ) A . B. C . D. 基础巩固题 课堂检测 2. 计算下列各题 . 课堂检测 基础巩固题 先 化简再求值 ： ，其中 a = . 当 a = 时 ， 能力提升题 课堂检测 计算 . 拓广探索题 课堂检测 分式混合运算 混合 运算 应用 关键是明确运算种类及运算顺序 明确 运算 顺序 1. 同级运算自左向右进行； 2. 运算律可简化运算 明确运算方法及运算技巧 技巧 注意 分式的乘方 分式 乘方的 法则 1. 掌握分式乘方的运算法则 ； 2. 熟练地进行分式乘方的运算 . 课堂小结 人教 版 数学 八 年级 上册 15.2 分式的运算 15.2.2 分式的加减 第一课时 第二课时 第 一 课 时 分式加减法的法则 你 还记得同分母分数加减法法则 吗？异 分母分数加减法法则又是怎样的 呢？想一想 分式的加减法又应如何去运算 呢？ 导入新知 1. 掌握 同分母的分式加减法的 法则 ，能 熟练地进行同分母的分式加减法的运算 . 2. 会 把 异分母的分式 通分 ，转化 成同分母的分式相加减 . 3. 在 学习过程中体会 类比思想 的 运用，学会知识 的迁移 . 素养目标 1. 甲 工程队完成一项工程需 n 天，乙 工程队要比甲工程队多用 3 天才能完成这项 工程，两 队共同工作一天完成这项工程的几分之 几？ 解： 甲 工程队一天完成这项工程的 ____ ， 乙工程队一天完成这项工程的 _______ ， 两队共同工作一天完成这项工程的 ____________. 知识点 1 同分母分式的加减法法则 探究新知 2. 2009 年， 2010 年， 2011 年 某地的森林 面积 ( 单位：公顷 ) 分别 是 S 1 ， S 2 ， S 3 ， 2011 年 与 2010 年相比，森林 面积增长率提高了 多少？ 解： 2011 年 的森林面积增长率是 ___________ ， 2010 年 的森林面积增长率是 __________ ， 2011 年 与 2010 年相比，森林 面积增长率 提高 ____________. 探究新知 1. 同分母分数加减法的法则如何 叙述？ 探究新知 2. 你认为 请计算： 分母 不变，把 分子相加减 . 【 同分母的分数加减法的法则 】 同分母的分数相加 减， 【 同分母的分式加减法的法则 】 同分母分式相加 减， 分母 不变，把 分子相加减 . 探究新知 同分母的分式加减法的法则 例 1 计算： 解： 原 式 素养考点 1 同 分母分式的加减的计 算 归纳 总结： 同 分母分式的加 减，分母不变，分子 相加 减，当 分子是多项式 时，先 加 括号，然后 进行 计算，结果 要化为最简分式或整式 . 探究新知 –1 1. 直接说出运算结果 . . . . . 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 2. 计算： 巩固练习 解： 原 式 解： 原 式 （ 1 ） （ 2 ） 异分母的分数如何加 减？ 通分， 将 异分母的分数化为同分母的 分数 . 知识点 2 异分母分式的加减法的法则 探究新知 想一想 异 分母分式的加减应该如何 进行？ 【 异分母的分数加减法的法则 】 先 通分 ，变为 同分母的 分数， 再 加减 . 【 异分母的分式加减法的法则 】 先 通分 ，变为 同分母的 分式， 再 加减 . 符号 表示： 探究新知 比如： 想一想 例 2 ( 1 ) 素养考点 2 异 分母分式的加减的计 算 归纳 总结 ： 异分母分式的加减分为两 步：第一 步 通分 ，化为 同分母分式； 第二步运用 同分母分式的加减法则 计算 . 探究新知 解： 原 式 ( 2 ) a 2 –4 能 分解： a 2 –4 =( a +2)( a –2) ， 其中 ( a –2) 恰好 为第二个分式的 分母 ，所以 ( a +2)( a –2 ) 即为最简公分母 . 分子相减 时， “ 减式 ” 要添 括号！ 探究新知 解： 原 式 3. 计算： = x + y 巩固练习 解： 原 式 = 解： 原 式 （ 1 ） （ 2 ） 巩固练习 4 . 计算： （ 1 ） （ 2 ） 解 : 原式 解 : 原式 连接中考 1. 计算 ， 结果 正确的 是 ( 　　 ) A．1 B． x C ． D ． 2. 化 简 + 结果 是 ． A 巩固练习 A. B ． C ． –1 D ． 2 基础巩固题 C C 课堂检测 2. 计算 的结果 为 ( ) 1. 计算 的 结果 为 ( 　　 ) A．1 B．3 C． D ． 阅读 下面题目的计算过程 . ① = 　　　 ② = ③ = ④ ( 1 ) 上述 计算 过程，从 哪一步开始 错误 ?_______ ； ( 2 ) 错误原因 _____ _ ___________ ； ( 3 ) 本题 的正确结果 为： . ② 漏掉了分母 能力提升题 课堂检测 先 化 简： 当 b = –1 时，再从 –2< a <2 的范围内选取一个合适的整数 a 代入求值 . 解 ： 原 式 = 在 –2< a <2 中， a 可取的整数 为 –1 ， 0 ， 1 ，而 当 b =–1 时， ①若 a =–1 ，分式 无意义； ②若 a =0 ，分式 无 意义； ③若 a =1 ，分式 无 意义 . 所以 a 在规定的范围内取 整数，原式 均无 意义 ( 或 所求值不 存在 ). 拓广探索题 课堂检测 分式的加减法 法则 课堂小结 注意事项： ① 若 分子是多项式，则 加上括号 ，然后再加减； ②计算结果一定要化成最简分式或整式 . 第二课 时 分式混合运算 你 还记得分数的四则混合运算顺序 吗？那么想一想，分式 的混合运算是否类似 呢 ？ 今天我们再来 探讨 一下！ 导入新知 2. 体会 类比方法在研究 分式混合运算 过程 中的重要价值 ． 1. 理解 分式混合运算 的顺 序； 会正确进行分式的混合运算． 素养目标 数 的混合运算的顺序是 什么？你 能将 它们推广，得出 分式的混合运算顺序 吗？ 分式 的混合运算顺序： “ 从高到低、从左到右、括号从小到大” ． 　　 知识点 1 分式的混合运算 探究新知 例 1 计算 ：　 这 道题的运算顺序是怎样 的？ 　　　 素养考点 1 较简单的分式的混合运算 探究新知 探究新知 解： 　　对于不带括号的分式混合运算： ( 1 ) 运算 顺序： 先 乘方，再乘除，然后 加减； ( 2 ) 计算 结果要化为 最简分式． 1. 化简 的 结果 是 ( ) A. a – b B. a + b C. D. B 巩固练习 2. 计算 ： = ( ) A. B. C. D . A 例 2 计算 ：　　 素养考点 2 较复杂的分式的混合运算 探究新知 解 : 原式 探究新知 解 : 原式 　 　对于带括号的分式混合运算： ( 1 ) 将 各分式的分子、分母 分解因式 后，再 进行计算； ( 2 ) 先 算 乘方 ， 再 算 乘除 ， 最后 算加 减 ，若 有 括号， 先 算括号内的 ； ( 3 ) 计算 结果要化为 最简分式或整式 ． 探究新知 归纳总结 3 . 用两种方法计算： = 解 ： ( 按 运算 顺序 ) 原式 = ( 利用 乘法 分配律 ) 原 式 巩固练习 例 3 根 据规划 设计，某 市工程队准备在开发区修建一条 长 1120 m 的 盲道，由于 采用新的施工 方式，实际 每天修建 盲道的 长度比原计划增加 10 m ，从而 缩短了 工期，假设 原计划 每天 修建盲道 x m ，那么， ( 2 ) 实际 修建这条盲道的工期比原计划缩短了 几天？ ( 1 ) 原计划 修建这条盲道需 多少天？实际 修建这条盲道用了 多少天？ 解析 ： (1) 原计划 修建 需 天， 实际修建需 天 . (2) 实际 修建比原计划缩短了 ( 天 ). 素养考点 3 利用分式的混合运算 解决问题 探究新知 4. 在一段坡 路，小 明骑自行车上坡的速度为每小时 v 1 km ，下坡 时的速度为每小时 v 2 km ，则 他在这段路上、下坡的 平均速度 是 每小时 ( ) A. km B . km C. km D . 无法确 定 C 巩固练习 连接中考 1. 化简 ( a – 1 ) ÷ ( – 1 ) • a 的结果 是 ( 　　 ) A .– a 2 B . 1 C . a 2 D .– 1 A 巩固练习 2. 化 简 ： . 计算 . 基础巩固题 课堂检测 课堂检测 基础巩固题 先 化 简，再 求值 ： 其中 m =2. 解： 当 m =2 代入 其中，得 原 式 =0 . 　　 课堂检测 能力提升题 运 算顺序 ： (1) 先乘方，再乘除，然后 加减 . 如果有 括号，先 算括号里面的 . (2) 分式 的加减、乘除都是分式的同级 运算，同级 运算是按从左往右的顺序运算 . 进行分式混合运算时注意 ： (1) 正确 运用运算法则 ； (2) 灵活 运用运算律； (3) 运算 结果要化 简，且 注意符号的 处理，使 结果为最简分式或整式 . 课堂小结 人教 版 数学 八 年级 上册 15.2 分式的运算 15.2.3 整数 指数幂 第一课时 第二课时 第 一 课 时 负整数指数幂 (1) ( m ， n 是 正整数 ) (2) ( m ， n 是 正整数 ) (3) ( n 是 正整数 ) (4) ( a ≠ 0 ， m ， n 是 正整数， m ＞ n ) (5) ( n 是 正整数 ) 正整数指数幂有以下运算 性质： 此外，还 学过 0 指数 幂，即 a 0 =1( a ≠ 0) 导入新知 如 果指数是负整数该如何计算 呢？ 1. 知道 负整数指数幂 的意义及表示法 . 2. 能 运用分式的有关知识推导 整数指数幂 的意义 . 素养目标 问题 1 将 正整数指数 幂的运算性质中指数的取值范围 由“正整数” 扩大到 “整数” ， 这些 性质还适用 吗 ？ 知识点 1 整数指数幂 探究新知 问题 2 a m 中指数 m 可以是负整数 吗？如果可以，那么 负整数指数 幂 a m 表示 什么 ？ 问题 3 根据 分式的 约分，当 a ≠ 0 时，如何计算 ？ 问题 4 如果 把正整数指数 幂的运算 性质 ( a ≠ 0 ， m ， n 是 正整数， m > n ) 中 的条件 m >n 去掉，即 假设这个性质对于像 的情形 也能 使用，如何计算？ a 3 ÷ a 5 = = a 3 ÷ a 5 = a 3-5 = a -2 探究新知 ( 1 ) ( 2 ) 数学 中 规定： 当 n 是正整数 时， 这就是说， 是 a n 的倒数．　　　 由 ( 1 )( 2 ) 想到，若 规定 a -2 = ( a ≠ 0) ，就 能使 a m ÷ a n = a m-n 这条性质也 适用于像 a 3 ÷ a 5 的 情形，因此： 探究新知 1 1 1 填空： ( 1 ) = ____ ， = ____ ； ( 2 ) = ____ ， = ____ ； ( 3 ) = ____ ， = ____ ( b ≠ 0) ． 探究新知 做一做 问题 5 引入 负整数指数和 0 指数 后， ( m ， n 是 正整数 ) ，这 条性质能否推广到 m ， n 是任意 整数 的情形 ？ 例如： a 5 · a -6 = a (5-6) = a -1 ( a ≠ 0) 探究新知 问题 6 类似地，你 可以用负整数指数幂或 0 指数幂 对于其他正整数指数幂的运算性质进行 试验，看看这些 性质在整数范围内是否还 适用？ 例如： a 0 · a -5 = a 0-5 = a -5 ， a -3 · a -7 = a -3+(-7) = a -10 ， a -2 ÷ a -5 = a -2-(-5) = a 3 ， a 0 ÷ a -4 = a 0-(-4) = a 4 探究新知 (1) ( m ， n 是 整数 ) ； (2) ( m ， n 是 整数 ) ； (3) ( n 是 整数 ) ； (4) ( m ， n 是 整数 ) ； (5) ( n 是 整数 ) ． 探究新知 归纳总结 试 说说当 m 分别是正整数、 0 、负整数 时， a m 各表示什么 意义？ 当 m 是正整数 时 ， a m 表示 m 个 a 相乘 . 当 m 是 0 时， a 0 表示一个数的 n 次方除以这个数的 n 次 方，所以 特别 规定，任何 除 0 以外的实数的 0 次方都是 1. 当 m 是负整数 时， a m 表示 | m | 个 相乘 . 探究新知 例 1 　 计算： 　　　 解 ： 　　 素养考点 1 整数指数幂的计算 探究新知 解 ： 　　 探究新知 1. 计算 ： 解： ( 1 ) 原式 = x 2 y -3 · x -3 y 3 = x 2-3 · y -3+3 = x -1 = ( 2 ) 原式 = a -2 b -4 c 6 ÷ a -6 b 3 = a 4 b -7 c 6 巩固练习 能否 将整数指数幂的 5 条性质进行适当 合并？ 　　根据整数指数幂的运算 性质，当 m ， n 为整数 时， 　　　　　　　 ， ，因此， ，即 同底数幂的除法 可以转化 为同底数幂 的乘法 ． 特别 地， 所以 ， 即商的乘方 可以 转化 为积 的乘方 知识点 2 整数指数幂的性质 探究新知 这样， 整数 指数幂的运算性质 可以归结 为 ： ( 1 ) ( m ， n 是 整数 ) ； ( 2 ) ( m ， n 是 整数 ) ； ( 3 ) ( n 是 整数 ) ． 探究新知 故等式正确 . 例 2 下列等式是否 正确？为什么？ ( 1 ) a m ÷ a n = a m · a - n ； ( 2 ) 解： ( 1 ) ∵ a m ÷ a n = a m - n = a m +(- n ) = a m · a - n ， ∴ a m ÷ a n = a m · a - n . 故 等式正确 . 素养考点 2 整数指数幂的性质的应用 探究新知 ( 2 ) 2. 填空： (-3) 2 ·(-3) - 2 = ( ) ； 10 3 ×10 -2 = ( ) ； a -2 ÷ a 3 = ( ) ； a 3 ÷ a -4 = ( ) . 3. 计算： ( 1 ) 0.1÷0.1 3 ( 2 ) (-5) 2 008 ÷(-5) 2 010 ( 3 ) 10 0 ×10 -1 ÷10 -2 ( 4 ) x -2 · x -3 ÷ x 2 1 10 a 7 巩固练习 连接中考 1. 下列 计算正确的 是 ( 　　 ) A ． ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 B ． a 2 +2 a 2 =3 a 4 C． x 2 y ÷ = x 2 ( y ≠ 0 ) D． ( 2 x 2 ) 3 = 8 x 6 2. 下列计算正确的是 ( 　　 ) A． a 2 • a = a 2 B． a 6 ÷ a 2 = a 3 C． a 2 b ﹣2 ba 2 =﹣ a 2 b D．( ) 3 = D C 巩固练习 1. 下列计算正确的 是 ( ) A.3 0 =0 B .-|-3|=- 3 C.3 -1 =-3 D . =±3 2 . 下列 计算 不正确的 是 ( ) A. B. C. D. 基础巩固题 B B 课堂检测 能力提升题 1. 若 0< x <1 ，则 x -1 ， x ， x 2 的大小关系 是 ( ) A. x -1 < x < x 2 B. x < x 2 < x -1 C. x 2 < x < x -1 D. x 2 < x -1 < x C 课堂检测 2. 计算 . 课堂检测 能力提升题 若 ，试求 的 值 . 拓广探索题 课堂检测 整数指数幂 零指数 幂：当 a ≠0 时， a 0 =1 负整数指数 幂：当 n 是正整数 时， a - n = ( a ≠ 0) 整数指数幂的性质 (1) a m · a n = a m+n ( m ， n 为 整数， a ≠ 0) (2)( ab ) m = a m b m ( m 为 整数， a ≠ 0 ， b ≠ 0) (3)( a m ) n = a mn ( m ， n 为 整数， a ≠ 0) 课堂小结 第 二 课 时 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 通过 上节课的 学习，大家 明确了整数指数幂具有正整数指数幂的运算 性质，这 节课我们来学习运用其性质进行有关计 算及负 整数指数幂在科学记数法中的运用 . 导入新知 2. 了解 负整数指数幂在科学记数法中的运用 . 1. 熟练 应用 整数指数幂的意义及性质 进行综合计算 . 素养目标 对于 一个小于1的正 小数，如果 小数点后至 第 一 个非0数字前有8个 0，用 科学记数法表示这个数 时，10 的指数是 多少？如果 有 m 个0 呢？ 用科学记数法表示绝对值小于 1 的小数 知识点 1 探究新知 0 . 1= 0 . 01 = 0 . 001 = = ； 0 . 000 1 = = ； 0 . 000 01 = = ． 归纳 ： 探究新知 填空： 0 . 000 098 2=9 . 82 × 0 . 000 01= 9 . 82 × 0 . 003 5=3 . 5 × 0 . 001 = 3 . 5 × 如何 用科学记数法表示 0 . 0035 和 0 . 0000982 呢？ 观察 这两个 等式，你 能发现 10 的指数与什么有关 呢 ？ 对 于一个小于 1 的正 小数，从 小数点前的第一个 0 算起至小数点后第一个非 0 数字前有几个 0 ，用 科学记数法表示这个数 时， 10 的指数就是负几 ． 探究新知 ( 1 ) 0.005 0.005 0.005 = 5 × 10 -3 小 数点 原本的位置 小 数点 最 后 的位 置 小 数点 向右 移了 3 位 例 1 用科学记数法表示下列各 数： 素养考点 1 用科学 记数法表示小于 1 的数 探究新知 ( 2 )0.0204 0.02 04 0.0204=2.04×10 -2 小 数点 原本的位置 小 数点 最 后 的位置 小 数点 向右 移了 2 位 探究新知 ( 3 )0.00036 0.0003 6 0.000 36=3.6×10 -4 小 数点 原本的位置 小 数点 最 后 的位置 小 数点 向右 移了 4 位 探究新知 解： ( 1 ) 0.3= 3×10 -1 ； 　　 ( 2 ) - 0.000 78= -7.8×10 -4 ； 　　 ( 3 ) 0.000 020 09= 2.009×10 -5 . 1. 用 科学记数法表示下列各 数： ( 1 ) 0.3 ； ( 2 ) - 0.000 78 ； ( 3 ) 0.00002009 . 巩固练习 素养考点 2 科学记数法有关计算 例 2 计 算下列各 题： ( 1 ) ( － 4×10 - 6 ) ÷ ( 2 × 10 3 ) ( 2 ) (1.6×10 -4 ) × (5×10 -2 ) 方法 总结： 科学 记数法的有关 计算，分别 把前边的数进行 运算， 10 的幂进行 运算，再 把所得结果相乘 . 解： ( 1 ) ( － 4×10 - 6 ) ÷ ( 2 × 10 3 ) =(-4÷2)(10 -6 ÷10 3 ) =- 2×10 -9 探究新知 ( 2 ) (1.6×10 -4 ) × (5×10 -2 ) =( 1.6×5) × (10 -4 ×10 -2 ) = 8×10 -6 2 . 计算 ： ( 1 ) ( 2 ×10 － 6 ) × ( 3 .2× 10 3 ) ( 2 ) ( 2 ×10 － 6 ) 2 ÷ ( 10 － 4 ) 3 解： ( 1 ) ( 2 ×10 － 6 ) × ( 3 .2× 10 3 ) = (2×3.2) × (10 -6 ×10 3 ) =6.4×10 -3 巩固练习 ( 2 ) ( 2×10 －6 ) 2 ÷ ( 10 －4 ) 3 =( 4×10 -12 ) ÷ 10 -12 = 4×10 -12-(-12 ) =4×10 0 =4×1 =4 例 3 纳米 (nm) 是 非常小的长度 单位， 1 nm=10 –9 m ，把 1 nm 的物体放到乒乓球 上，就 如同把乒乓球放到地球 上， 1 mm 3 的空间可以放多少个 1 nm 3 的 物体？ ( 物体 之间间隙忽略 不计 ) 解： 1 mm=10 － 3 m ， 1 nm=10 － 9 m. (10 － 3 ) 3 ÷ (10 － 9 ) 3 = 10 － 9 ÷ 10 － 27 = 10 18 ， 1 mm 3 的空间可以放 10 18 个 1 nm 3 的物体 . 素养考点 3 利用科学记数法解答实际问题 探究新知 3. 某种大肠杆菌的半径是 3.5×10 -6 m ，一 只苍蝇携带 这种细菌 1.4×10 3 个 . 如果把这种细菌近似地看成 球状，那么这 只苍蝇所携带的所有大肠杆菌的总体积是多少 立方米？ ( 结果 精确到 0.001 ，球 的体积公式 V = π R 3 ) 解： 每个 大肠杆菌的体积 是 · π ·(3.5×10 -6 ) 3 ≈1.796×10 -16 ( m 3 ) ， 总 体积 = 1.796×10 -16 ×1.4×10 3 ≈2.514×10 -13 ( m 3 ). 答： 这 只苍蝇共携带大肠杆菌的总体积是 2.514×10 -13 m 3 . 巩固练习 目前 世界上能制造的芯片最小工艺水平是5 纳米 ， 而 我国能制造芯片的最小工艺水平是16 纳米 ， 已知 1纳米=10 ﹣9 米 ， 用 科学记数法将16纳米表示为　 ______ __ _____ 米 ． 连接中考 1.6×10 ﹣8 巩固练习 基础巩固题 课堂检测 1. 斑 叶兰被列为国家二级保护植物 , 它 的 一 粒 种子重约 0.000 000 5 克将 0. 000 000 5 用科学记数法表示为 (  ) A.5×10 7 B.5 × 10 -7 C.0.5 × 10 -6 D.5 × 10 -6 B 2. 用 科学记数法表示下列各 数： ( 1 ) 0.001 = ； ( 2 ) - 0.000001 = ； ( 3 ) 0.001357 = ； ( 4 ) - 0.000504 = . 基础巩固题 课堂检测 3. 下列是用科学记数法表示的 数，试 写出它的原数 . ( 1 ) 4.5×10 -8 = ； ( 2 ) - 3.14×10 -6 = ； ( 3 ) 3.05×10 -3 = . 0.000000045 -0.00000314 -0.00305 课堂检测 基础巩固题 计算 ( 结果 用科学记数法 表示 ). ( 1 ) (6×10 -3 )×(1.8×10 -4 ) ； ( 2 ) (1.8×10 3 )÷(3×10 -4 ). 解： 原式 = 1.08×10 -6 解： 原式 = 0.6×10 7 =6×10 6 课堂检测 能力提升题 一 根约为 1 米长、直径为 80 毫米的光纤预制 棒，可 拉成至少 400 公里长的光纤 . 试问： 1 平方厘米是这种光纤的横截面积的多少 倍？ ( 用 科学记数法表示且保留一位 小数 ) 解： 这种 光纤的横截面积为 1÷(1.256×10 -4 ) ≈ 8.0×10 3 答 ： 1 平方厘米是这种光纤的横截面的 8.0×10 3 倍 . 拓广探索题 课堂检测 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 绝对值 小于 1 的数用科学记数法表示为 a ×10 - n 的 形式， 1 ≤│ a │ < 10 ， n 为原数第 1 个不为 0 的数字前面所有 0 的 个数 ( 包括 小数点前面那个 0). 课堂小结 人教 版 数学 八 年级 上册 15.3 分式方程 第一课时 第二课时 第一课时 分式方程 一艘轮船在静水中的最大航速为 20 km/h, 它沿江以最大航速顺流航行 100 km 所用时间 , 与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等 , 江水的流速为多少 ? 解 : 设江水的流速为 v km/h ， 根据 题意，得 导入新知 这样 的方程与以前学过的方程一样 吗 ？ 1. 了解 分式方程 的概念． 2. 会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会 化归思想 和 程序化思想 ． 素养目标 3 . 了解解分式方程 根 需要进行 检验 的原因． 为要解决导入中 的问题，我们得到了 方程 ． 仔细 观察这个方程，未知数的位置有 什么特点？ 分式方程的概念 探究新知 知识点 1 　 方程 　　　　　　　　　　　 与 上面的方程有什么共同特征？ 追问 1 ： 分母中都含有未知数 ． 分式方程 的概念： 　 　 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 ． 分式方程的特征 ： 分母 中含有未知数 . 注意 ： 我们 以前学习的方程都是整式方程，它们的 未知数不在 分母中 ． 探究新知 你 能再写出几个分式方程吗？　　 追问 2 ： 1. 下列 式子中，属于分式方程的是 ，属于 整式方程的是 　 （填序号）． （ 2 ） （ 1 ） 巩固练习 （ 3 ） 总结 ： 　　这些解法的共同特点是 先去分母 ，将分式方程转化为 整式方程 ，再解整式方程 ． 你 能试着解分式方程 吗？ 解分式方程 探究新知 知识点 2 问题 1 ： 这些 解法有什么共同特点？ 问题 2 ： （ 1 ）如何把分式方程转化为整式方程呢？ （ 2 ）怎样去分母？ （ 3 ）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个 分母都 约去呢？ （ 4 ）这样做的依据是什么？ 探究新知 想一想 （ 1 ）分母中含有未知数的方程，通过 去分母 就化为 整式 方程了． （ 2 ）利用等式的 性质 ， 可以 在方程两边都乘同一个 式子 —— 各分母的 最简公分母 ． 探究新知 归纳总结 例 　 解分式方程 即 解得 则得到， 方程 两边 同乘各分母的最简公分母 探究新知 你 得到的解 是分式方程 的解吗？　　　 检验： 把 v =6 代入分式方程得： 左边 = 右边 = 左边 = 右边 ，所 以 v =6 是原方程的解 . 探究新知 追问： 解 分式方程： 　　　　 是原分式方程 变形 后的 整式方程的解 ，但 不是 原 分式方程的解． 探究新知 问题 3 ： 你 得到的解 是分式方程 的解吗？该如何验证呢？　　 追问 1 ： 上面 两个分式方程的求解过程中，同样 是 去 分母将分式方程化为整式方程 ，为什么整式方程 的 解 是分式方程 的解，而整式 方程 x ＋ 5=10 的 解 　 却不是分式方程　 的解？ 探究新知 追问 2 ： 原因 ： 　　 在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形， 而这种 变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所 乘的 最简公分母是否为 0 ． 检验 的方法主要有两种 ： （ 1 ）将整式方程的解 代入原分式方程 ，看 左右两边 是否 相等 ； （ 2 ）将整式方程的解代入 最简公分母 ，看 是否为 0 ． 探究新知 显然，第 2 种方法比较简便！ 回顾 解分式方程 与 的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么 ？ 探究新知 问题 4 ： 基本思路 ： 将 分式方程化为整式 方程 . 一般 步骤 ： （ 1 ）去分母 ；（ 2 ）解整式方程 ；（ 3 ）检验． 注意 ： 由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程 的解，所以需要检验． 2. 指出 下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程 . ① ② 解： ①最简公分母 2 x ( x +3) ， 去分母得 x +3=4 x ； ②最简公分母 x 2 –1 ， 去分母得 2 ( x +1 ) =4 ； 巩固练习 例 1 　 解下列方程： 解分式方程 解： 方程的两边同乘 以 x ( x –2) ， 得 2 x =3 x –6 解 得： x =6 检验 ：当 x =6 时 ， x （ x –2 ） ≠ 0. 所以 ，原方程的解是 x =6. 探究新知 素养考点 1 3 . 解下列方程： 解： 方程的两边同乘以 2 x ( x +3) ， 得 ( x +3)=4 x 解 得： x = 1 检验 ：当 x =1 时， 2 x （ x +3 ）≠ 0. 所以 ，原方程的解是 x =1. 巩固练习 例 2 解方程　 解 ： 方程 两边同乘 得 = 3. 化 简，得 =3. 解 得 =1. 检验：当 = 1 时 ， =0 ， 因此 x = 1 不是原 分式方程的解 ， 所以原 分式方程无解 . 解含有整式项的分式方程 探究新知 素养考点 2 解分式方程的一般步骤 : 1. 在方程的两边都乘 最简公分母 ，约去分母，化成 整式方程 . 2. 解这个整式方程 . 3. 把整式方程的解代入 最简公分母 ，如果最简公分母的值 不为 0 ， 则整式方程的解是原分式方程的解； 否则 ，这个解不是原分式方程的解，必须舍去 . 4. 写出原方程的解 . 解分式方程的思路： 分式方程 整式方程 去分母 一化二解三检验 探究新知 解分式方程的一般步骤 ： 探究新知 归纳总结 分式方程 整式方程 x=a x=a 是分式方程的解 x=a 不是分式方程的解 最简公分母不为 0 最简公分母为 0 去分母 解整式方程 检验 4. 解分式方程 时，去分母 后得到 的整式方程是（ ） A. 2( x –8 )+ 5 x =16( x –7 ) B. 2( x –8 )+5 x =8 C. 2( x –8)–5 x =16( x –7 ) D. 2( x –8)–5 x =8 解析： 原方程可以变形 为 ， 两边都乘以 2 （ x –7 ） 得 2( x –8 ) +5 x =8×2( x –7 ), 即 2( x –8 ) +5 x =16( x –7) . A 巩固练习 易错易混点拨 ： (1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘． (2) 约去分母后，分子是多项式时， 没有添括号． ( 因分数线有括号的作用） (3) 把整式方程的解代入最简公分母后的值为 0 ，不舍掉 . 探究新知 方法点拨 连接中考 1. 分式方程 =1的解是（　　） A． x =1 B． x = – 1 C． x =3 D． x = – 3 A 2. 关于 x 的分式方程 解为 x =4，则常数 a 的值为（　 ） A． a =1 B． a =2 C． a =4 D． a =10 D 巩固练习 1. 若 关于 x 的分式方程 的 解为 x =2， 则 m 的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 B 基础巩固题 课堂检测 2. 方程 的解为（　　） A ． x =–1 B ． x =0 C ． x = D ． x =1 D 课堂检测 基础巩固题 已知 关于 x 的方程 有增根，求该方程的增根和 k 的值 . 解： 去分母，得 3 x +3– （ x –1 ） = x 2 + kx ， 整 理，得 x 2 + （ k –2 ） x –4=0 . 因为有增根，所以增根为 x =0 或 x =1. 当 x =0 时，代入方程 得 –4=0 ，所 以 x =0 不是方程的增根； 当 x =1 时，代入方程，得 k =5 ，所 以 k =5 时 , 方程 有增根 x =1. 能力提升题 课堂检测 解方程 : 拓广探索题 课堂检测 解 ：方程可化为： 课堂检测 得 解 得 x =–3 ， 经检验： x = – 3 是原方程的根 . 课堂小结 解分式方程 整式方程 x=a x=a 是分式方程的解 x=a 不是分式方程的解 最简公分母不为 0 最简公分母为 0 去分母 解整式方程 检验 分式方程 定义 分母中含有未知数的方程叫做 分式方程 . 第二课 时 列分式方程解应用题 1. 解分式方程的一般 步骤 . ( 1) 在方程的两边都乘以 最简公分母 ，约去分母，化成 整式方程 . ( 2) 解这个整式方程 . ( 3) 把整式方程的根代入 最简公分母 ，看结果是不是为零，使 最简公分母为零的根是原方程的增根 ，必须舍去 . ( 4) 写出原方程的根 . 利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗？ 导入新知 素养目标 1. 能找出实际问题中的 等量关系 ，熟练地列出相应的方程 . 2. 会解含有字母系数的 分式方程 . 3 . 知道列方程解应用题为什么必须 验根 ，掌握解题的基本步骤和要求 . 甲 、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个零件所用的时间和乙做 60 个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？ 请审题分析题意 设元 列分式方程解应用题的步骤 探究新知 知识点 1 解： 设甲每小时做 x 个零件，则乙每小时做（ x –6 ）个零件，依题意得： 经 检验 , x =18 是原分式方程的解 , 且符合题意 . 答： 甲每小时做 18 个，乙每小时做 12 个 . 由 x ＝ 18, 得 x –6=12 解得 探究新知 列分式方程解应用题的一般 步骤： 1 . 审 : 分析题意 , 找出数量关系和相等关系 . 2 . 设 : 选择恰当的未知数 , 注意单位统一 . 3 . 列 : 根据数量和相等关系 , 正确列出方程 . 4 . 解 : 解这个分式方程 . 5 . 验 : 检验 . 既要检验所 求 的 解是不是 分式 方程 的解，又要检验是否 符 合 实际意义 . 6 . 答 : 注意单位和语言完整 . 探究新知 归纳总结 例 1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成 . 哪个队的施工速度快 ? 分析 : 甲队 1 个月完成总工程的 , 设乙队 如果单独 施工 1 个月完成总工程的 , 那么甲 队半个月 完成总工程的 _____, 乙队半个月 完成 总工程的 _____, 两队半个月完成总工 程的 _______ . 利用分式方程解答工程问题 探究新知 素养考点 1 解 : 设乙队如果单独施工 1 个月完成总工程的 . 依题意得 方程两边同乘 6 x , 得 2 x + x +3=6 x ， 解得 x =1 . 检验 : x =1 时， 6 x ≠0, x =1 是原分式方程的 解 . 探究新知 答： 由上可知 , 若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务 , 而 甲队 1 个月完成总工程的 , 可知乙队施工速度快 . 1 . 为了 提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1 200 件新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍 . 根据 以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？ 巩固练习 解： 设甲工厂每天加工 x 件产品，则乙工厂每天加工 1.5 x 件产品，依题 意得 ， 解 得： x =40 . 经 检验 x =40 是原方程的解，所以 1.5 x =60. 答： 甲工厂每天加工 40 件产品，乙工厂每天加工 60 件产品 . 巩固练习 s km 所用的 时间 为 h ；提速 后列车的平均速度为 km/h ，提速后列车 运行 km ，所 用时间 为 h. 根据行驶时间的等量关系可以 列出方程 : 例 2 某列车平均提速 v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶 s km ，提速后比提速前多行驶 50 km ，提速前列车的平均速度为多少？ x x + v s +50 = s 解 ： 设 提速前列车的平均速度为 x km/h ，则 提速前列车行驶 （ s +50 ） x + v s +50 利用分式方程解答行程问题 探究新知 素养考点 2 （ x + v ） 去分母得： s ( x + v )= x ( s +50) 去括号， 得 sx + sv = sx +50 x . 移项、合并同类项， 得 50 x = xv . 解 得 检验 ：由于 v ， s 都是正数， 时， x （ x + v ）≠ 0 ， 是 原分式方程的解 . 答： 提速前列车的平均速度 为 km/h . 探究新知 2. 八 年级学生去距学校 s km 的博物馆参观 ，一部分 学生骑自行车先走，过了 t h 后 ，其余学生 乘汽车 出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是 学生 骑车速度的 2 倍，求学生骑车的速度． 解： 设学生骑车的速度是 x km/h ，由题意得， 方程两边同乘 2 x ，得 2 s – s =2 tx . 解得 x = ．　　 巩固练习 检验：由于 s ， t 都是正数， x = 时， 2 x ≠0 ， 所以， x = 是 原分式方程的解，且符合题意 . 答： 学生骑车的速度 是 km/h ．　　 例 3 关于 x 的 方程 无 解 , 求 k 的值 . 利用分式方程的根求字母的值或取值范围 探究新知 解： 方程的两边同时乘 ( x +3)( x –3 ) 得 x +3+ kx –3 k = k +3 整理 得 : ( k +1) x =4 k , 因为 方程无解 , 则 x =3 或 x = –3 当 x =3 时 ,( k +1) ·3=4 k , k =3 , 当 x = –3 时 ,( k +1 )(–3 )=4 k , 所以 当 k =3 或 时 , 原分式方程无解 . 素养考点 3 3. 如果关于 x 的方程 无 解 , 则 m 的值等于 （ ） A . –3 B. –2 C . –1 D. 3 B 解析 : 方 程的两边都 乘 x –3 , 得 2= x –3– m , 移项并合并同类项得 , x =5+ m ，由于方程无解 , 此时 x =3, 即 5+ m =3 , ∴ m = –2. 巩固练习 连接中考 甲 、乙两船从相距300km的 A 、 B 两地同时出发相向而行，甲船从 A 地顺流航行180km时与从 B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为 x km/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（　　） A ． B ． C ． D ． A 巩固练习 1 . 下列方程中属于分式方程的有 （ ） ; 属于一元分式方程的有 （ ） . ① ② ③ ④ x 2 + 2 x –1=0 ① ① 基础巩固题 课堂检测 ③ 2. 解方程 ： 得 ： （ x –1 ） +2 （ x +1 ） =4 ∴ 原方程无 解 . ∴ x =1 检验：当 x =1 时 ， （ x +1 ）（ x –1 ） =0 ， 所以 x =1 不是原方程的 根 . 解： 方程两边都乘以最简公分母 课堂检测 基础巩固题 某 公司购买了一批 A 、 B 型芯片，其中 A 型芯片的单价比 B 型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买 A 型芯片的条数与用4200元购买 B 型芯片的条数相等． （1）求该公司购买的 A 、 B 型芯片的单价各是多少元？ （2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条 A 型芯片？ 能力提升题 课堂检测 解 ： （1）设 B 型芯片的单价为 x 元/条，则 A 型芯片的单价为（ x – 9 ）元/条， 根 据 题意得： ， 解 得： x =35 ，经检验， x =35是原方程的解， ∴ x – 9=26 ． 答 ： A 型芯片的单价为26元/条， B 型芯片的单价为35元/条． （ 2）设购买 a 条 A 型芯片，则购买（ 200 – a ）条 B 型芯片， 根 据题意得： 26 a +35（200 – a ）=6280， 解 得： a =80 ． 答 ： 购买了80条 A 型芯片． 课堂检测 某 镇道路改造工程 , 由甲、乙两工程队合作 20 天可完成 . 甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用 30 天完成此项工程 . (1) 求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天 ? (2) 若甲 工程队单独 做 a 天后 , 再由甲、乙两工程队合作 ____ 天 ( 用含 a 的代数式表示 ) 可完成此项工程 ; (3) 如果甲工程队施工每天需付施工费 1 万元 , 乙工程队施工每天需付施工费 2.5 万元 , 甲工程队至少要单独施工多少天后 , 再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程 , 才能使施工费不超过 64 万元 ? 拓广探索题 课堂检测 解 :(1) 设乙单独做 x 天完成此项工程 , 则甲单独做 ( x +30) 天完成此项工程 . 由 题意得 : 20( )= 1 整 理得 x 2 –10 x –600=0 ， 解 得 x 1 =30, x 2 = –20 . 经 检验 : x 1 =30, x 2 =–20 都是分式方程的解 , 但 x 2 =–20 不符合题意舍去 . x +30=60 . 答 : 甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要 60 天， 30 天 . 课堂检测 (2) 设甲单独做 a 天后 , 甲、乙再合作 ( 20– ) 天 , 可以完成此项 工程 . (3) 由题意得 1× a +(1+2.5)( 20– )≤64 解 得 a ≥36 答 : 甲工程队至少要单独做 36 天后 , 再由甲、乙两队合作完成 剩下 的工程 , 才能使施工费不超过 64 万元 . 课堂检测 步骤 1. 审 ； 2 . 设 ； 3 . 列 ； 4. 解 ； 5 . 验 ； 6. 答 . 应用 工程问题：工作量 = 工作效率×工作时间 行程问题：路程 = 速度×时间 列分式方程解应用题 课堂小结