- 2021-11-01 发布 |
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文档介绍
八年级上册数学人教版知识要点汇总
第十一章 三角形 1. 三角形的定义定义:不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻两边的公共端点 是三角形的顶点。 三角形 ABC 用符号表示为△ABC.三角形 ABC 的顶点 C 所对的边 AB 可用 c 表示,顶点 B 所对的边 AC 可用 b 表 示,顶点 A 所对的边 BC 可用 a 表示. 注意:(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接;(2)三角形是一个封闭的图形; (3)△ABC 是三角形 ABC 的符号标记,单独的△没有意义. 2、(1)三角形按边分类: (2)三角形按角分类: 3、三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。 注意: (1)三边关系的依据是:两点之间线段最短; (2)围成三角形的条件是:任意两边之和大于第三边. 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第1页 D CB A 2 1 D CB A D CB A 4、和三角形有关的线段: (1)三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段 表示法:1、AD 是△ABC 的 BC 上的中线. 2、BD=DC=0.5BC. 3、AD 是ABC 的中线; 注意:①三角形的中线是线段;②三角形三条中线全在三角形的内部; ③三角形三条中线交于三角形内部一点; ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形. (2)三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角与交点之间的线段。 表示法:1、AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2、∠1=∠2=0.5∠BAC. 3、AD 平分BAC,交 BC 于 D 注意:①三角形的角平分线是线段;②三角形三条角平分线全在三角形的内部; ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点; (3)三角形的高 三角形的高:从三角形的一顶点向它的对边作垂线, 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高, 表示法:1、AD 是△ABC 的 BC 上的高。 2、AD⊥BC 于 D。 3、∠ADB=∠ADC=90°。 4、AD 是△ABC 的高。 注意:①三角形的高是线段:高与垂线不同,高是线段,垂线是直线。 ②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在三角形外; ③三角形三条高所在直线交于一点.(而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部...................,.直角三角形三条高的交.......... 战在角直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。)............................. 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第2页 2 1 B A C M D 4、三角形的内角和定理 定理:三角形的内角和等于 180°. 推论:直角三角形的两个锐角互余。 5、三角形内角外角的关系: (1)三角形三个内角的和等于 180; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和; (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 6、三角形的外角的定义: 三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. 注意:每个顶点处都有两个外角,但这两个外角是对顶角. 如:∠ACD、∠BCE 都是△ABC 的外角,且∠ACD=∠BCE, 所以说一个三角形有六个外角,但我们每个一个 顶点处只选一个外角,这样三角形的外角就只有三个了. 7. 三角形外角的性质 (1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和. (2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角. 注意:(1)它不相邻的内角不容忽视; (2)作 CM∥AB 由于 B、C、D 共线 ∴∠A=∠1,∠B=∠2. 即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B. 那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B。 8、(1)多边形的定义:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第3页 多边形内角和公式:n 边形的内角和等于(n-2)·180° 多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 多边形的外角和:多边形的内角和为 360°。 多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。 多边形对角线的条数: (1)从 n 边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分词(n-2)个三角形。 (2)n 边形共有 2 3)-n(n 条对角线。 (2)正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。 平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面。 9、.三角形的稳定性: 三角形的三边长确定,则三角形的形状就唯一确定,这叫做三角形的稳定性. 注意:(1)三角形具有稳定性;(2)四边形没有稳定性。(3)多边形没有稳定性。 第十二章 全等三角形 一、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形有哪些性质 (1):全等三角形的对应边相等、对应角相等。 (2):全等三角形的周长相等、面积相等。 (3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3、全等三角形的判定 边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”) 边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”) 斜边.直角边:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”) 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第4页 4、证明两个三角形全等的基本思路: 二、角的平分线: 1、(性质)角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2、(判定)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 三、学习全等三角形应注意以下几个问题: (1):要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与 “对角”的不同含义; (2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上; (3):“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4):时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角” 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合 的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端 点的两边所成的角。 2、全等三角形的表示和性质 全等用符号“≌”表示,读作“全等于”。如△ABC≌△DEF,读作“三角形 ABC全等于三角形 DEF”。 注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理: (1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”) (2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”) (3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。 直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有 HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应 相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”) 4、全等变换 只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种: 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第5页 (1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 (2)对称变换:将图形沿某直线翻折 180°,这种变换叫做对称变换。 (3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。 第十二章 轴对称 一、轴对称图形 1. 把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。这条 直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。 2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。 这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系 4.轴对称的性质 ①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。 二、线段的垂直平分线 1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上 三、用坐标表示轴对称小结: 在平面直角坐标系中,关于 x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于 y轴对称的点横坐标互为相反数,纵 坐标相等. 点(x, y)关于 x轴对称的点的坐标为______. 点(x, y)关于 y轴对称的点的坐标为______. 2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第6页 四、(等腰三角形)知识点回顾 1.等腰三角形的性质 ①.等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角) ②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一) 2、等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边) 五、(等边三角形)知识点回顾 1.等边三角形的性质: 等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于 600 。 2、等边三角形的判定: ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是 600的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中,如果一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的性质定理及推论: 定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) 推论 1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高重合。 推论 2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于 60°。 (2)等腰三角形的其他性质: ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45° ②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。 ③等腰三角形的三边关系:设腰长为 a,底边长为 b,则 2 b 10的数则可以表示为 n10a ( 10a1 ,即 a的整数部分只有一位,n为整数)的形式,n 的确定 n=比整数部分的数位的个数少 1。如 120 000 000= 8101.2 知识点七分式方程的解的步骤 ⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程) 7个 0 9个数字 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第13页 ⑵解整式方程,得到整式方程的解。 ⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中: 如果最简公分母为 0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为 0,则是原方程的 解。 产生增根的条件是:①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为 0。 知识点八列分式方程 基本步骤 ① 审—仔细审题,找出等量关系。 ② 设—合理设未知数。 ③ 列—根据等量关系列出方程(组)。 ④ 解—解出方程(组)。注意检验 ⑤ 答—答题。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第14页查看更多