北师大版八年级数学上册期末复习综合练习题+数学全册教案教学设计(最新精编版)

北师大版八年级数学上册期末复习综合练习题+数学全册教案教学设计(最新精编版)

北师大版八年级数学上册 期末复习综合练习题+数学全册教案教学设计(最新精编版) 北师大版八年级数学上册期末复习综合练习题 1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）. A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1， 2 ，3 2．在实数 0， ， 22 7 ， 2 ，- 9 中，无理数的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 3．若一个正数的两个平方根分别是 1a 和 3a ，则 a 的值为 （ ） A．－2 B．2 C．1 D．4 4．一个正方形的面积是 15，估计它的边长大小在（ ）. A．2 与 3 之间 B．3 与 4 之间 C．4 与 5 之间 D．5 与 6 之间 5．下列计算结果，正确的是（ ） A． 2( 6) 6   B． 2 5 7  C． 22 3 3  D． 2( 5) 5 6．若点 A（n,2）与点 B（－3，m）关于原点对称，则 n－m＝（ ） A．－1 B．－5 C．1 D．5 7．小手盖住的点的坐标可能为（ ） A．（3，-4） B．（-6，3） C．（5，2） D．（-4，-6） 8．如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是（ ） 9．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修 好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程 S 关于时间 t 的函数图象， 那么符合上明行驶情况的图象大致是（ ） 10．已知函数 2 3( 1) my m x   是正比例函数，且图像在第二、四象限内，则 m 的值是（ ）． A．2 B． 2 C． 2 D． 1 2  11．直线 y=2x+2 沿 y 轴向下平移 6 个单位后与 x 轴的交点坐标是（ ） A．（-4，0） B．（-1，0） C．（0，2） D．（2，0） 12．方程组 2 3 x y k x y k       的解适合方程 x+y=2，则 k 值为（ ） A．2 B．-2 C．1 D．- 1 2 13．为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地抽查了 10000 人，并进行统计分析．结果显示： 在吸烟者中患肺癌的比例是 2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是 0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者 患肺癌的人数多 22 人．如果设这 10000 人中，吸烟者患肺癌的人数为 x，不吸烟者患肺癌的人数为 y，根 据题意，下面列出的方程组正确的是（ ） A． 22 2.5% 0.5% 10000 x y x y        B． 22 100002.5% 0.5% x y x y     C． 10000 2.5% 0.5% 22 x y x y        D． 10000 222.5% 0.5% x y x y     14．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校 10 名学生参赛成绩统计如图所示．对于这 10 名学生 的参赛成绩，下列说法中错误的是（ ） A．众数是 90 B．中位数是 90 C．平均数是 90 D．极差是 15 15．如图，直线 a 与直线 b 交于点 A，与直线 c 交于点 B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线 b 与直线 c 平行， 则可将直线 b 绕点 A 逆时针旋转（ ） A.15° B.30° C.45° D.60° 16．定义新运算“☆”：a☆b= 1ab  ，则 2☆（3☆5）= ． 17．如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为（-2，2），黑棋（乙）的坐标为 （-1，-2），则白棋（甲）的坐标是 ． 18．已知 P1（1，y1），P2（2，y2）是一次函数 y＝ 1 3 x－1 的图象上的两点，则 y1 y2．（填“>”“<” 或“＝”） 19．若方程组 3 5 2 2 7 18 x y a x y a       的解 x、y 互为相反数，则 a= ． 20．如图，在 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，点 F 在 BC 的延长线上，DE∥BC，  44A ，  571 ， 则 2 ____________. 21．计算： 22．解方程组：      13 73 yx yx 23．直线 AB：y=-x-b 分别与 x，y 轴交于 A（6，0）、B 两点，过点 B 的直线交 x 轴负半轴于 C，且 OB：OC=3： 1． （1）求点 B 的坐标； （2）求直线 BC 的解析式； （3）直线 EF：y=2x-k（k≠0）交 AB 于 E，交 BC 于点 F，交 x 轴于点 D，是否存在这样的直线 EF，使得 S△EBD=S△FBD？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由． 24．四川地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷 16800 顶，该商家备有 2 辆大货车、8 辆小货车 运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷 200 顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完． （1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ （2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运 200m 顶，每辆小货车每次比 原计划少运 300m 顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑 1 2 m 次，小货车每天比原计 划多跑 m 次，一天恰好运送了帐篷 14400 顶，求 m 的值． 25．如图，已知：DE⊥AO 于点 E， BO⊥AO 于点 O，∠CFB=∠EDO，证明：CF∥DO . 参考答案 1．A． 2．B 3．B 4．B． 5．D． 6．D． 7．A． 8．B 9．D 10．B． 11．D． 12．C． 13．B. 14．C 15．A 16．3． 17．（2，1）． 18．＜ 19．8． 20．101° 21． ． 22．10 23．(1) B 点坐标为：（0，6）．(2) y=3x+6．(3) k=-2．4 24．（1）小货车每次运送 800 顶，大货车每次运送 1000 顶；（2）m 的值为 2． 25．试题分析：先根据 DE⊥AO， BO⊥AO 证明 DE∥BO，易证∠BOD=∠CFB 就得到 CF∥ DO . 试题解析：证明：∵DE⊥AO，DO⊥AO（已知） ∴ （垂直定义） ∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行） ∴∠EDO=∠BOD（两直线平行，内错角相等） 又∵∠EDO=∠CFB（已知） ∴∠BOD=∠CFB（等量代换） ∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行） 考点：平行线的判定，性质. 第一章 勾股定理 §1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力 意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理 和简单的推理的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、 创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影 1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的 贡献，并结合课本 p5 谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍 商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影 2 （书中的 P2 图 1—2）并回答： 1、 观察图 1-2，正方形 A 中有_______个小方格，即 A 的面积为______个单 位。 正方形 B 中有_______个小方格，即 A 的面积为______个单位。 正方形 C 中有_______个小方格，即 A 的面积为______个单位。 2、 你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、 图 1—2 中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图 1—1 中的 A.B,C 的关系 呢？ 二、 做一做 出示投影 3（书中 P3 图 1—4）提问： 1、图 1—3 中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图 1—4 中，A,B,C 之间有什么关系? 3、 从图 1—1，1—2，1—3，1|—4 中你发现什么？ 学生讨论、交流形成共识后，教师总结： 以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、 议一议 1、 图 1—1、1—2、1—3、1—4 中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a,b,斜边为 c 那么 222 cba  我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是 勾股定理的由来。 3、 分别以 5 厘米和 12 厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度 （学生测量后回答斜边长为 13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍 然成立吗？（回答是肯定的：成立） 四、 想一想 这里的 29 英寸（74 厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？ 那他指什么呢？ 五、 巩固练习 1、 错例辨析： △ABC 的两边为 3 和 4，求第三边 解：由于三角形的两边为 3、4 所以它的第三边的 c 应满足 222 43 c =25 即：c=5 辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件， 可本题 △ ABC 并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。 （2）若告诉△ABC 是直角三角形，第三边 C 也不一定是满足 222 cba  ，题目中 并为交待 C 是斜边 综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。 2、 练习 P7 §1.1 1 六、 作业 课本 P7 §1.1 2、3、4 §1.1 探索勾股定理（二） 教学目标： 1． 经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学 生的探究意识和合作交流的习惯。 2． 掌握勾股定理和他的简单应用 重点难点： 重点： 能熟练运用拼图的方法证明勾股定理 难点：用面积证勾股定理 教学过程 一、 创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例， 是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请 大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、 摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边 c 为边长的正方形，并与同学交流。在 同学操作的过程中，教师展示投影 1（书中 p7 图 1—7）接着提问：大正方形的 面积可表示为什么？ （同学们回答有这几种可能：（1） )( 22 ba  （2） 242 1 cab  ） 在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接 起来。 22 ba  = 242 1 cab  请同学们对上面的式子进行化简，得到： 222 22 cabbaba  即 22 ba  = 2c 这就可以从理论上说明勾股定理存在。请同学们去用别的拼图方法说明勾股定 理。 二、 讲例 1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方 4000 多 米处，过 20 秒，飞机距离这个男孩头顶 5000 米，飞机每时飞行多少千米？ 分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC 的 4000,90  ACc 米，AB=5000 米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞 机在 20 秒的时间里的飞行路程，即图中的 CB 的长，由于直角△ABC 的斜边 AB=5000 米，AC=4000 米，这样的 CB 就可以通过勾股定理得出。这里一定要注 意单位的换算。 解：由勾股定理得 千米）(945 22222  ACABBC 即 BC=3 千米 飞机 20 秒飞行 3 千米，那么它 1 小时飞行的距离 为： 小时）千米 /(540320 3600  答：飞机每个小时飞行 540 千米。 三、 议一议 展示投影 2（书中的图 1—9） 观察上图，应用数格子的方法判断图中的三角形的三边长是否满足 222 cba  同学在议论交流形成共识之后，老师总结。 勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。 四、 作业 P11§1.2 1 、2 §1.2 一定是直角三角形吗 教学目标： 知识与技能 1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用； 2.进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问 题的能力，建立数学模型． 3.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个 结论． 情感态度与价值观 敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经 验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极 参与数学活动的意识． 教学重点 运用身边熟悉的事物，从多种角度发展数感，会通过边长判断一个三角形是否 是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论;会辨析哪些问题应用哪个结 论． 课前准备 标有单位长度的细绳、三角板、量角器 教学过程： 复习引入： 请学生复述勾股定理；使用勾股定理的前提条件是什么？ 已知△ABC 的两边 AB=5，AC=12，则 BC=13 对吗？ 创设问题情景：由课前准备好的一组学生以小品的形式演示教材第 9 页古埃及 造直角的方法． 这样做得到的是一个直角三角形吗？ 提出课题：能得到直角三角形吗 讲授新课： ⒈如何来判断？（用直角三角板检验） 这个三角形的三边分别是多少？（一份视为 1）它们之间存在着怎样的关系？ 就是说，如果三角形的三边为 a ，b ，c ，请猜想在什么条件下，以这三边组成 的三角形是直角三角形？（当满足较小两边的平方和等于较大边的平方时） ⒉继续尝试：下面的三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c： 5，12，13； 6, 8, 10； 8，15，17. （1）这三组数都满足 a2 +b2=c2 吗？ （2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角 形吗？ ⒊直角三角形判定定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 +b2=c2 ，那么这 个三角形是直角三角形． 满足 a2 +b2=c2 的三个正整数，称为勾股数． ⒋例 1 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中 ∠A 和∠DBC 都应为 直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ A B C D A B C D 4 5 3 12 13 随堂练习： ⒈下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由． ⑴9，12，15； ⑵15，36，39； ⑶12，35，36； ⑷12，18，22． ⒉已知∆ABC 中 BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角. ⒊四边形 ABCD 中已知 AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=900，求这个四边 形的面积．A B C D 4 3 12 13 ⒋习题 1.3 课堂小结： ⒈直角三角形判定定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 +b2=c2 ，那么这 个三角形是直角三角形． ⒉满足 a2 +b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾 股数． §1.3.勾股定理的应用 教学目标 教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理) 解决简单的实际问题. 能力训练要求： 1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念. 2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗 透数学建模的思想. 情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. 2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数 学. 教学重点难点： 重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活 实际问题. 难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决 实际问题. 教学过程 1、创设问题情境，引入新课： 前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？ 例如：欲登 12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物 5 米，至少 需多长的梯子？ 根据题意，(如图)AC 是建筑物，则 AC=12 米，BC=5 米，AB 是梯子的长度.所以 在 Rt△ABC 中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13 米. A B A B 所以至少需 13 米长的梯子. 2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近 出示问题：有一个圆柱，它的高等于 12 厘米，底面半径等于 3 厘米．在圆行柱 的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处的食物，需要 爬行的的最短路程是多少？(π的值取 3)． （1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从 A 点到 B 点沿圆柱的侧面画出几条路线， 你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论） （2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从 A 点到 B 点的最短路线是什 么?你画对了吗? （3）蚂蚁从 A 点出发，想吃到 B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是 多少？（学生分组讨论，公布结果） 我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线 AA′ 将圆柱的侧面展开(如下图). 我们不难发现，刚才几位同学的走法： (1)A→A′→B； (2)A→B′→B； (3)A→D→B； (4)A—→B. 哪条路线是最短呢？你画对了吗？ 第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”. ②、做一做：教材 14 页。李叔叔随身只带卷尺检测 AD，BC 是否与底边 AB 垂直， 也就是要检测 ∠DAB=90°，∠CBA=90°.连结 BD 或 AC，也就是要检测△DAB 和 △CBA 是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实 际问题. ③、随堂练习 出示投影片 1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨 8∶00 甲先出发，他 以 6 千米/时的速度向东行走.1 时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向 北行进.上午 10∶00，甲、乙两人相距多远？ 2.如图，有一个高 1.5 米，半径是 1 米的圆柱形油桶，在靠近边的地 方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是 0.5 米， 问这根铁棒应有多长？ 1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型. 解：(如图)根据题意，可知 A 是甲、乙的出发点，10∶00 时甲到达 B 点，则 AB=2 ×6=12(千米)；乙到达 C 点，则 AC=1×5=5(千米). 在 Rt△ABC 中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以 BC=13 千米.即甲、乙两人相 距 13 千米. 2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个 取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的 A 点处，铁棒 最短时是垂直于底面时. 解：设伸入油桶中的长度为 x 米，则应求最长时和最短时的值. (1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5 所以最长是 2.5+0.5=3(米). (2)x=1.5，最短是 1.5+0.5=2(米). 答：这根铁棒的长应在 2~3 米之间(包含 2 米、3 米). 3.试一试(课本 P15) 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思 是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形.在水池正中央有一根新生 的芦苇，它高出水面 1 尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸 边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 我们可以将这个实际问题转化成数学模型. 解：如图，设水深为 x 尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求 得 (x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25 解得 x=12 则水池的深度为 12 尺，芦苇长 13 尺. ④、课时小结 这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从 中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模 型. ⑤、课后作业 课本 P25、习题 1.5 2 第二章 实数 §2.1 认识无理数(一) 教学目标 (一)知识目标: 1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由. (二)能力训练目标: 1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家 的动手能力和合作精神. 2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为 有理数，训练他们的思维判断能力. (三)情感与价值观目标: 1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情. 2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精 神. 3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的 精神. 教学重点 1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.会判断一个数是否为有理数. 教学难点 1.把两个边长为 1 的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是否为有理数. 教学方法 教师引导，主要由学生分组讨论得出结果. 教学过程 一、创设问题情境,引入新课 ［师］同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? ［生］在小学我们学过自然数、小数、分数. ［生］在初一我们还学过负数. ［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即 把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有 理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问 题. 二、讲授新课 1.问题的提出 ［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为 1 的正方形和剪刀， 认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？ ［生］好.(学生非常高兴地投入活动中). ［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一 下. 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. ［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下： 下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为 a，则 a 应满足什么条件 呢？ ［生甲］a 是正方形的边长，所以 a 肯定是正数. ［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积 公式可知 a2=2. ［生丙］由 a2=2 可判断 a 应是 1 点几. ［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么 a 是整数吗？a 是分数吗？请大家分组讨论后回答. ［生甲］我们组的结论是：因为 12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所 以 a 应在 1 和 2 之间，故 a 不可能是整数. ［生乙］因为 9 1 3 1 3 1,9 4 3 2 3 2,4 1 2 1 2 1  ，…两个相同因数的乘积都为分数，所以 a 不可能是分数. ［师］经过大家的讨论可知，在等式 a2=2 中，a 既不是整数，也不是分数，所 以 a 不是有理数，但在现实生活中确实存在像 a 这样的数，由此看来，数又不 够用了. 2.做一做 投影片§2.1.1 A (1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为 b，则 b 应满足什么条件？b 是有理数吗？ ［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容. ［生］在直角三角形中，若两条直角边长为 a，b，斜边为 c，则有 a2+b2=c2. ［师］在这题中，两条直角边分别为 1 和 2，斜边为 b，根据勾股定理得 b2=12+22， 即 b2=5，则 b 是有理数吗？请举手回答. ［生甲］因为 22=4，32=9，4＜5＜9，所以 b 不可能是整数. ［生乙］没有两个相同的分数相乘得 5，故 b 不可能是分数. ［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为 5，所以 5 不是有理数. ［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数 a，b 都不是有理数，而是另一类数 ——无理数.关于无理数的发现是付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数 学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整 数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希 伯索斯的成员发现边长为 1 的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表 示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海， 他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视 了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的 a2=2 中的 a 不是有理数. 我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这 些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远 停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于 献身的精神. 三、课堂练习 (一)课本 P35 随堂练习 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，高为 h，h 可能是整数吗？可能是分数吗？ 解：由正三角形的性质可知 BD=1，在 Rt△ABD 中，由勾股定理得 h2=3.h 不可能 是整数，也不可能是分数. (二)补充练习 为了加固一个高 2 米、宽 1 米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木 板长为 a 米，则由勾股定理得 a2=12+22，即 a2=5，a 的值大约是多少？这个值可 能是分数吗？ 解：a 的值大约是 2.2，这个值不可能是分数. 四、课堂小结 1.通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，让学生感受有理数又不够用了. 2.能判断一个数是否为有理数. 五、课后作业：见作业本。 §2.1 认识无理数(二) 教学目标 (一) 知识目标： 1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想. 2.会判断一个数是有理数还是无理数. (二)能力训练目标： 1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并 在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力. 2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理 数还是有理数，训练大家的思维判断能力. (三)情感与价值观目标： 1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力. 2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力. 教学重点 1.无理数概念的探索过程. 2.用计算器进行无理数的估算. 3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断. 教学难点 1.无理数概念的建立及估算. 2.用所学定义正确判断所给数的属性. 教学方法 老师指导学生探索法 教学过程 一、创设问题情境，引入新课 ［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一 些数，如 a2=2,b2=5 中的 a，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么 数呢？本节课我们就来揭示它的真面目. 二、讲授新课 1.导入：［师］请看图 大家判断一下 3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由. ［生］因为 3 个正方形的面积分别为 1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以 面积大的正方形边长就大. ［师］大家能不能判断一下面积为 2 的正方形的边长 a 的大致范围呢？ ［生］因为 a2 大于 1 且 a2 小于 4，所以 a 大致为 1 点几. ［师］很好.a 肯定比 1 大而比 2 小，可以表示为 1＜a＜2.那么 a 究竟是 1 点几 呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如 1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而 a2=2，故 a 应比 1.4 大且比 1.5 小，可以写成 1.4＜a＜1.5，所以 a 是 1 点 4 几，即十分位上是 4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字. ［生］因为 1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以 a 应比 1.41 大且比 1.42 小，所 以百分位上数字为 1. ［生］因为 1.4112=1.990921，1.4122=1.993744，1.4132=1.996569， 1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以 a 应比 1.414 大而比 1.415 小，即千 分位上的数字为 4. ［生］因为 1.41422=1.99996164，1.41432=2.00024449，所以 a 应比 1.4142 大 且比 1.4143 小，即万分位上的数字为 2. ［师］大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式 反映出来. ［生］我的探索过程如下. 边长 a 面积 S 1＜a＜2 1＜S＜4 1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25 1.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.0164 1.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.002225 1.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449 ［师］还可以继续下去吗？ ［生］可以. ［师］请大家继续探索，并判断 a 是有限小数吗？ ［生］a=1.41421356…，还可以再继续进行，且 a 是一个无限不循环小数. ［师］请大家用上面的方法估计面积为 5 的正方形的边长 b 的值.边长 b 会不会 算到某一位时，它的平方恰好等于 5？请大家分组合作后回答.(约 4 分钟) ［生］b=2.236067978…，还可以再继续进行，b 也是一个无限不循环小数. ［生］边长 b 不会算到某一位时，它的平方恰好等于 5，但我不知道为什么. ［师］好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能 把知识学扎实，学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果 b 算 到某一位时，它的平方恰好等于 5，即 b 是一个有限小数，那么它的平方一定是 一个有限小数，而不可能是 5，所以 b 不可能是有限小数. 2.无理数的定义 请大家把下列各数表示成小数. 3， 11 2,45 8,9 5,5 4 ，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数. 大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间. ［生］3=3.0， 5 4 =0.8， 9 5 =  5.0 ，   71.045 8 ，   818.111 2 ［生］3， 5 4 是有限小数， 11 2,45 8,9 5 是无限循环小数. ［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数 表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 像上面研究过的 a2=2,b2=5 中的 a，b 是无限不循环小数. 无限不循环小数叫无理数(irrational number). 除上面的 a，b 外，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数， 0.5858858885…(相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1)也是一个无限不循环小数， 它们都是无理数. 3.有理数与无理数的主要区别 (1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能. 4.例题讲解 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，－ 3 4 ，  75.0 ，0.1010010001…(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1). 解：有理数有 3.14，－ 3 4 ，  75.0 . 无理数有 0.1010010001…. 三、课堂练习 (一)随堂练习 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0.4583，  7.3 ，－π，－ 7 1 ，18. 解：有理数有 0.4583，  7.3 ，－ 7 1 ，18. 无理数有－π. (二)补充练习 投影片(§2.1.2 A) 判断题 (1)有理数与无理数的差都是有理数. (2)无限小数都是无理数. (3)无理数都是无限小数. (4)两个无理数的和不一定是无理数. 解：(1)错.例π－1 是无理数. (2)错.例  5.1 是有理数. (3)对.因为无理数就是无限不循环小数，所以是无限小数. (4)对.因为两个符号相反的无理数之和是有理数.例π－π=0. 投影片(§2.1.2 B) 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0.351，－  69.4,3 2 ，3.14159，－5.2323332…，123456789101112…(由 相继的正整数组成). 解：有理数有 0.351，－  69.4,3 2 ，3.14159， 无理数有－5.2323332…，123456789101112…. 投影片(§2.1.2 C) 在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数. ［生］有理数集合填 0， 11 5 ，－3. 无理数集合填－π，－ 2 3 π，0.323323332…. 四、课时小结 本节课我们学习了以下内容. 1.用计算器进行无理数的估算. 2.无理数的定义. 3.判断一个数是无理数或有理数. 五、课后作业：见作业本。 §2.2 平方根（一） 教学目标： 1、了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。 2、会求一个正数的算术平方根。 3、了解算术平方根的性质。 教学重点：算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。 教学难点：算术平方根的概念、性质。 教学过程： 一、问题引入 1.教师活动：回顾上节课的拼图活动及探索无理数的过程，提出问题：面积为 13 的正方形的边长究竟是多少？ 学生活动： （1）完成课本 P32 的填空： a2=_____b2=____， c2=_____d2=_____e2=______，f2=______ （2）a，b，c，d，e，f 中哪些是有理数，哪些是无理数？你能表示它们吗？ 2.师生互动 集体交流后，说明无理数也需要一种表示方法。 二、讲授新课： 算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x 的平方等于a ，即 ax 2 ，那么， 这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。记为：“ a ”读做根号 a 。特别地，0 的算术 平方根是 0。 那么 22 a ，则a = 2 b2=3，则 b= 3 ；…… 这样的话，一个非负数的算术平方根就可以表示为 a 。 例 1 分别写出下列各数的算术平方根 （要求一个数的算术平方根，一般的方法是先按平方的概念来找哪个数的平方 等于这个数。） 例 2 自由下落物体的高度 h（米）与下落时间 t(秒)的关系为 h=4.9t2.有一铁球 从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间 ？ 学生活动：一个同学在黑板上板演，其他同学在练习本上做，然后交流。 师生互动：完成引例中的 132 x ，则 x 13 ，以后我们可以利用计算器求出 这个数的近似值。 三、随堂练习：P39 1 四、小结： （1）内容总结： ①算术平方根的定义、表示； ② a 的双重非负性。 （2）方法归纳：转化的数学方法：即将陌生的问题转化为熟悉的问题解决。 五、作业： P40 习题 2.3 1 2 §2.2 平方根（二） 教学目标： 1、了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。 2、会求一个正数的平方根。 3、了解平方根和算术平方根的性质。 4、了解乘方和开方是互逆运算，会利用这个互逆运算求某些非负数 的算术平方根和平方根。 教学重点：了解平方根和开平方的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术 平方根和平方根。 教学难点：平方根和算术平方根的区别。负数没有平方根，即负数不能进行开 平方运算。 教学过程： 一、复习提问 1、算术平方根的概念，任何一个有理数都有算术平方根吗？算术平方根有什么 性质。 2、9 的算术平方根是 ，3 的平方是 ， 还有其他的数的平方是 9 吗？ 二、讲授新课： 1.想一想 平方等于 25 4 的数有几个？平方等于 0.64 的数呢？ 学生活动：学生思考，然后交流，得出平方根的定义。 2.教师活动： 一般地，如果一个数 x 的平方等于a ，即 ax 2 ，那么，这个数 x 就叫做 a 的平方 根。也叫做二次方根。 3 和—3 的平方都是 9，即 9 的平方根有两个 3 和—3；9 的算术平方根只有—个， 是 3。 3.学生活动： 求出下列各数的平方根。 16，0， 9 4 ，—25， 三、议一议： （1）一个正数的有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？ ★教师活动： 一个正数有两个平方根，0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。 ☆学生活动： 正数的两个平方根有什么关系吗？ 讨论，交流得出： 一个正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根，“ a ”，另一个是“ a ”， 它们互为相反数。这两个平方根合起来，可以记做“ a ”，读作“正、负根号 a ”。 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。其中 a 叫做被开方数。（已 知指数和幂，求底数的运算是开方运算） ★教师活动 开平方和平方互为逆运算，我们可以利用平方运算来求平方根。 四、例题精析： 例 1 求下列各数的平方根： （1）64，（2） 121 49 ，（3）0.0004, (4)(-25)2, (5)11 五、随堂练习：P36 1、2 例 2 若 xx ，求222 4140  ； ★教师活动： 通过例 2，要学生进一 步明白平方根与算术平 方根在应用上的区别。 六、想一想 师生互动，讨论交流得 出： aaa （）（ 2 ≥0） 七、小结： 1. 平方根的定义、表示方法、求法、性质。平方根和算术平方根的区别和联系。     ？aa ， ？ ？？ 等于多少对于正数 等于多少 等于多少等于多少 2 2 2 2 )3( 2.7)2( 121 49)64)(1(       2.使学生学到由特殊到一般的归纳法。 八、作业： P36 习题 2.4 和试一试 P53 3 §2.3 立方根 教学目标 1.使学生了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根； 2.理解开立方的概念； 3.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别. 教学重点和难点 重点：立方根的概念及求法. 难点：立方根与平方根的区别. 教学过程设计 一、复习：请同学回答下列问题： (1)什么叫一个数 a 的平方根?如何用符号表示数 a(≥0)的平方根? (2)正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0 平方根是 什么? (3)当 a≥0 时，式子 a，－a，±a，的意义各是什么? 二、引入新课 1.计算下列各题： (1) 31.0 ； (2) 33 )2( ； (3) 30 . 2.立方根的概念. 一般地，如果一个数的立方等于 a，这个数就叫做 a 的立方根(也叫做三次方根). 用式子表示，就是，如果 3x =a，那么 x 叫做 a 的立方根.数 a 的立方根用符号 “ 3 a ”表示，读作“三次根号 a，其中 a 是被开方数，3 是根指数.(注意：根指 数 3 不能省略). 3.开立方. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方也是互为逆运算，因此求 一个数的立方根可以通过立方运算来求. 三、讲解例题： 例 1 求下列各数的立方根： (1)8；(2)－8；(3)0.125；(4)－27125；(5)0. 分析：求一个数的立方根，我们可以通过立方运算来求. (2)因为 3)2( =8，所以－8 的立方根是－2 即 3 8 =－2 (3)因为 35.0 =0.125，所以 0.125 的立方根是 0.5，即 3 125.0 =0.5. (4)因为(－ 5 3 )3=－125 27 ，所以－27 125 的立方根是－35，即 3 125 27 =－ 5 3 . (5)因为 30 =0，所以 0 的立方根是 0，即 3 0 =0. 例 2 求下列各式的值： (1) 3 27 ； (2) 3 64 ； (3) 3 1000 27 . 四、随堂练习 1.判断题： (1)4 的平方根是 2；(2)8 的立方根是 2；(3)－0.064 的立方根是－0.4；(4)127 的立方根是±13 (5)－16 1 的平方根是±4；(6)－12 是 144 的平方根 2.选择题： (1)数 0.000125 的立方根是 . A.0.5 B.±0.5 C.0.05 D.0.005 (2)下列判断中错误的是( ) A.一个数的立方根与这个数的乘积为非负数 B.一个数的两个平方根之积负 数 C.一个数的立方根未必小于这个数 D.零的平方根等于零的立方根 3.求下列各数的立方根： (1)27；(2)－38；(3)1；(4)0. 4.求下列各式的值： (1)100； (2) 3 1000 ； (3) 3 729 1000 ； (4) 3 64 125 ；(5) 3 1 ； 五、小结 请思考下面的问题： 1.什么叫一个数的立方根?怎样用符号表示数 a 的立方根?a 的取值范围是什么? 2.数的立方根与数的平方根有什么区别? 3.正数只有一个正的立方根，但有两个互为相反数的平方根；负数有一个负的 立 方根，但没有平方根. 4.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求. §2.4 估算 教学目标 1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通 过估算比较两个数的大小. 2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感. 教学重点 1.让学生理解估算的意义，发展学生的数感. 2.掌握估算的方法，提高学生的估算能力. 教学难点 掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小. 教学过程 一.导入新课 同学们，请大家说出咱们班男生和女生的平均身高.你又是怎样得出结果的呢？ （我猜的.） “猜”字的意思就是根据自己的判断而估计得出的结果，它并不是准确值，但 也不是无中生有，是有一定的理论根据的，本节课我们就来学习有关估算的方 法. 二.讲授新课 问题：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这 块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400000 米 2. (1)公园的宽大约是多少？它有 1000 米吗？ (2)如果要求误差小于 10 米，它的宽大约是多少？ (3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 米 2，你能估计它的半径吗？(误 差小于 1 米) 提示：要想知道公园的宽大约是多少，首先应根据已知条件求出已知量与未知 量的关系式，那么它们之间有怎样的联系呢？ （因为已知长方形的长是宽的 2 倍，且它的面积为 40000 米 2，根据面积公式就 能找到它们的关系式.可设公园的宽为 x 米，则公园的长为 2x 米，由面积公式 得： 2x2=400000 ∴x2=200000。所以公园的宽 x 就是面积 200000 的算术平方 根）. 在估算时我们首先要大致确定数的范围，因此有必要做一些准备工作.请大家先 计算出 20 以内正整数的平方和 10 以内正整数的立方.并加以记忆，对我们的估 算很有帮助. 12=1；22=4；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；82=64；92=81；102=100；112=121； 122=144；132=169；142=196；152=225；162=256；172=289；182=324；192=381； 202=400. 13=1；23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；83=512；93=729；103=1000. 下面我们可以进行估算，请同学们分组讨论而后回答. （1）公园的宽没有 1000 米，因为 1000 的平方是 1000000，而 200000 小于 1000000，所以它没有 1000 米宽. 大家能不能具体确定一下公园的宽是几位数呢？ 因为 100 的平方是 10000，1000 的平方是 1000000，而 200000 大于 10000 小于 1000000，所以公园的宽比 100 大而比 1000 小，是三位数. 大家在估算时就可用这样的方法大致估算一下是几位数，这样使范围缩小，为 下一步的估算作准备.由此看来公园的宽大约是几百米，下面请大家继续讨论做 (2)题. 因为 400 的平方等于 160000，500 的平方为 250000，所以公园的宽 x 应比 400 大比 500 小. 所以 x 应为 400 多，再继续估算，估计十位上的数字是几. 因为 440 的平方为 193600，450 的平方为 202500，所以 x 应比 440 大比 450 小， 故十位上的数为 4. 因为题目要求误差小于 10 米，好应精确到十位，所以我们估算出十位上的数就 行了，即公园的宽 x 应为 440 米，现在我们可以根据刚才的估算来总结一下步 骤. 1.估计是几位数. 2.确定最高位上的数字(如百位). 3.确定下一位上的数字.(如十位) 4.依次类推，直到确定出个位上的数，或者按要求精确到小数点后的某一位. 在以后的估算中我们就可按这样的步骤进行.再看(3)题，先列出关系式. （设半径为 x 米，则有πx2=800∴x2= 14.3 800800  ≈255.即 x2≈255 因为 102=100，1002=10000，所以 x 应是两位数，又因为 152=255，162=256，所 以 x 就比 15 大比 16 小，应为 15 点几，所以应为 15 米.） 在题目中要求误差小于 1，而不是精确到 1，所以 15 米和 16 米都满足要求，即 x 应为 15 米或 16 米. 二、议一议 (1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流. 43.0 ≈0.066； 3 900 ≈96； 2536 ≈60.4 (2)你能估算 3 900 的大小吗？(误差小于 1). 三、例题讲解 ［例 1］（课本 40 页例 1） ［例 2］通过估算，比较 2 1 2 15 与 的大小 分析：因为这两个数的分母相同，所以只需比较分子即可. 四、课堂练习 (一)随堂练习 (二)补充练习：比较 12 与 3.4 的大小. 解：因为 3.4 的平方为 11.56，所以 12 大于 11.56，即 12 ＞3.4. 五.课堂小结 本节课主要是让学生掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感，并 能用估算来比较大小. 六.课后作业：习题 2.6 §2.5 用计算器开方 教学目标 (一)知识目标 1.会用计算器求平方根和立方根. 2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力. 教学重点 1.探索计算器的用法. 2.用计算器探求数学规律. 教学过程 一、新课导入 我们在前几节课分别学习了平方根和立方根的定义，还知道乘方与开方是互为 逆运算. 比如 23=8，2 叫 8 的立方根，8 叫 2 的立方，有时可以根据逆运算来求 方根或平方、立方.对于 10 以内数的立方，20 以内数的平方要求大家牢记在心， 这样可以根据逆运算快速地求出这些特殊数的平方根或立方根，那么对于不特 殊的数我们应怎么求其方根呢？可以根据估算的方法来求，但是这样求方根的 速度太慢，这节课我们就学习一种快速求方根的方法，用计算器开方. 二、新课讲解 ［师］请大家互相看一下计算器，拿类型相同的计算器的同学请坐到一起.这样 便于大家互相讨论问题.如果你的计算器的类型与书中的计算器的类型相同，请 你按照书中的步骤熟悉一下程序，若你的计算器的类型不同于书中的计算器， 请拿相同类型计算器的同学先要探索一下如何求平方根、立方根的步骤，把程 序记下来，好吗？给大家 8 分钟时间进行探索. ［师］现在根据自己掌握的程序计算 89.5 ， ,1285,7 2 33  5 +1， 76 －π，然 后和书中的数据相对照，检查自己做的是否正确. 三、做一做 利用计算器，求下列各式的值(结果保留 4 个有效数字)： (1) 800 ；(2) 3 5 22 ；(3) 58.0 ；(4) 3 432.0 . ［例题］利用计算器比较 3 3 和 2 的大小. 刚才我们练习了 10 个小题，对于求平方根或者立方根的程序已基本熟练，在此 基础上，下面我们来做一个判断题，看看题中已经求出的立方根与平方根是否 正确. 投影片：(§2.5 B) 下列计算结果正确吗？ (1) 1234 ≈35.1； (2) 3 1200 ≈10.6；(3) 8955 ≈9.5；(4) 3 12345 ≈ 231. 四、议一议 (1)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结 果再进行开平方运算……随开方次数的增加，你发现了什么？ 五、课堂练习 1.利用计算器，比较下列各组数的大小. (1) 5,113 ； (2) 2 15,8 5  . 2.用计算器求下列各式的值. (1) 2116.0 ；(2)－ 56169 ；(3) 0121.0 ；(4) 25 8 ；(5) 8.790 ；(6) 0006705.0 ； (7)－ 3 3.7456 ；(8) 3 84521.0 ；(9) 3 7 22 ；(10) 3 9 58 ；(11) 3 400000 ； 六、课时小结 1.探索用计算器求平方根和立方根的步骤，并能熟练地进行操作. 2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力. 课后作业:习题 2.5(作为测验试卷) §2.6 实数（一） 教学目标 1.了解无理数及实数的意义，并用类比的方法引入实数的相关概念等； 2.了解实数的相反数和绝对值的意义，并会求一个实数的相反数和绝对值； 3.灵活运用开方的有关知识解决问题；体现从有理数运算到实数运算的自然过 渡。 教学重难点 1. 无理数和实数的概念； 2. 对无理数相反数和绝对值的求法。 教学方法 1. n 次方根 求 a 的 n 次方根的运算，叫做把 a 开 n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数。 2. 奇次方根和偶次方根 将一个数开奇次方时，求得的方根叫做奇次方根； 将一个非负数开偶次方时，求得的方根叫做偶次方根。 3. 开方：求一个数的方根的运算，叫做开方。 开 n 次方与 n 次乘方互为逆运算。 4. 有理数 整数和分数统称为有理数，有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数。 5. 无理数 无限不循环小数叫做无理数（即开不尽方的数）无理数不能表示成分数的形式。 任何一个无理数，都可以用给定精确度的有理数来近似地给予表示。 6. 实数 有理数和无理数统称为实数。 每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之，数轴上的每点又都可以表示 一个实数。（一一对应） 7. 实数的相反数 如果 a 表示一个实数，－a 叫 a 的相反数，0 的相反数是 0。 8. 实数的绝对值 §2.6 实数(二) 教学目标 1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用. 2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在 实数范围内正确计算. 3.正确运用公式 );0,0(  bababa )0,0(  bab a b a . 教学重点 1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行 运算. 2.发现规律： );0,0(  bababa )0,0(  bab a b a .并能用规律进行计算. 教学过程 一.新课导入 上节课我们学习了实数的定义、实数的两种分类，还有在实数范围内如何求相 反数、倒数、绝对值，它们的求法和在有理数范围内的求法相同.那么在有理数 范围内的运算法则、运算律等能不能在实数范围内继续用呢？本节课让我们来 一起进行探究. 二.新课讲解 1.有理数的运算法则在实数范围内仍然适用. 大家先回忆一下我们在有理数范围内学过哪些法则和运算律. （加、减、乘、除运算法则，加法交换律，结合律，分配律.） 下面我们就来验证一下这些法则和运算律是否在实数范围内适用.我们知道实 数包括有理数和无理数，而有理数不用再考虑，只要对无理数进行验证就可以 了. 如： 2332  ， .252)32(2322 ,3) 2 12(3 2 123   所以说明有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.下面看一些例题. 例：计算： (1) 1 3 13  ； (2) 77  ；(3)(2 5 )2；(4) 2) 2 12(  . 2.做一做（书上 48 页） 请同学们先计算，然后分组讨论找出规律. 通过上面计算的结果，大家认真总结找出规律. 如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？ 总结： baba  (a≥0,b≥0)； b a b a  (a≥0,b＞0) 化简： (1) 3 26  ； (2) 327  －4；(3)( 3 －1)2；(4) 3 26  ；(5) 54 6 . 3.例题讲解 ［例题］化简：（书上 49 页例题） 三、课堂练习 (一)随堂练习 (二)补充练习 1.化简： (1) 250580  ；(2)(1+ 5 )( 5 －2)；(3) )82(2  ；(4) 3 721 ； (5) 2) 3 13(  ；(6) 10 405104  . 2.一个直角三角形的两条直角边长分别为 5 cm 和 45 cm，求这个直角三角形 的面积. 四、小结 五、课后作业：习题 2.9 §2.7 二次根式 教学目标 1.式子 baba  (a≥0,b≥0)； b a b a  (a≥0,b＞0)的运用. 2.能利用化简对实数进行简单的四则运算. 教学重点 1.两个法则的逆运用. 2.能运用实数的运算解决简单的实际问题. 教学过程 一.导入新课 请大家先回忆一下算术平方根的定义. （若一个正数 x 的平方等于 a，则 x 叫 a 的算术平方根.） 下面我们用算术平方根的定义来求下列两个正方形的边长，以及边长之间的关 系. 问：设大正方形的边长为 a，小正方形的边长为 b.请同学们互相讨论后得出结 果. （由正方形面积公式得 a2=8,b2=2.所以大正方形边长 a= 8 ，小正方形边长 b= 2 .） 问：那么 a 与 b 之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的虚线. （大正方形的面积为小正方形面积的 4 倍，大正方形的边长是小正方形边长的 2 倍.所以 8 =2 2 .）那么 8 根据什么法则就能化成 2 2 呢？这就是本节课的任 务. 二.新课讲解 请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么？ （ baba  (a≥0,b≥0)； b a b a  (a≥0,b＞0) ） 请大家根据上面法则化简下列式子. (1) 33  ； (2) 42  ；(3) 27 3 ；(4) 12 253 . 请大家思考一下，刚才这位同学的步骤反过来推是否成立？即从右往左推 （.因为从左到右是等式的推导，而从右向左也是等式的推导，只不过是反过来 推也应成立.） 确实成立.下面再分析这些式子： .12 25312 253)4(; 27 3 27 3)3( ;224242)2(;3333)1(   并和上节课的两个法则相比较，有什么不同吗？请大家交流后回答.大家能否用 式子表示出来？ 小结： baba  （ a≥0,b≥0） b a b a  （a≥0,b＞0.） 化简：(1) 27 ； (2) 45 ；(2) 128 ；(4) 54 ；(5) 9 32 ；(6) 16 125 . .大家能不能总结一下刚才化简的这些式子有何规律呢？ 这说明根号里面的数有一部分移到了根号外面，那么什么数能往外移呢？它们 又具备什么条件呢？ （是平方数.如(1)中根号内的 9 移到外面变成了 3；(2)、(4)中也是，(3)中有 64 移到外面成了 8.(5)中 16 移到外面变成 4，(6)中分母 16，分子 25 移到外面 变成 4，5.） 也就是说被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化 简.那么像下面的式子 2 2 4 2 4 2 2 1  叫不叫化简呢？（化简） 能否说一下它的特征呢？ 如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一 个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.这也叫化简. 根据刚才我们的讨论，对于两种情形可通过法则的逆运算进行化简，那么究竟 是哪两种情形呢？ （.如果被开方数中含有分母，或者含有开得尽的因数，则可通过逆运算进行化 简.） 上节课和本节课我们做的工作都是化简，并且用的是相同的两个公式，那么究 竟什么情况下用法则、什么情况下又用法则的逆运算呢？ 一般地，当被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数时，用法则的逆运算； 当两个含有根号的数相乘或相除，它们的被开方数单独开不出来，但是通过相 乘或相除能出现开得尽的因数时用法则. 例题讲解 ［例 1］化简：（书上 50 页例 2） ［例 2］化简： (1)－2 30310  ； (2)－ aba 10186 1  ； (3)－ yxy 1 ； (4) 16 15 ； (5) 013.0 39.0 ； (6) . mn 2 nm 14 2 三.课堂练习 （1）随堂练习 （2）化简：(1) 22 1   x x ;(2) 765125.0 cba ;(3) 2 2 2 4 3 2 y x y x x y  ;(4) 23 164 aa  . 四.课堂小结 第三章 位置与坐标 §3.1 确定位置 一、教学目标设计： 1.在现实情景中感受物体定位的多种方法 2.能较灵活的运用不同的方式对物体定位 3.体会生活中位置的确定,离不开数据, 离不开数学及数学与生活的密切关系。 4 突出在平面上确定物体位置的方法多样性和实质统一性：都需要两个数据。 二、教学重点： 突出在平面上确定物体位置的方法多样性和实质统一性：都需要两个数据。 三、教学难点： 灵活运用不同方式确定物体的位置。（需要学生的一定生活经验） 四、教学过程： 1、引言：美伊战争美军从地中海，红海，波斯湾三艘航空母舰上对巴格达发射 了战斧式巡航导弹，当时巴格达一片火海，美国的导弹为何会打的那么准？ 2、最近有一件令全中国人骄傲和自豪的大事大家知道是什么吗？回顾一下这 一激动人心的时刻：从发射到返回到杨利伟成功着陆？大家思过吗：我们在茫 茫草原上是怎样找到杨利伟的，他的位置是怎样确定的？（板书确定位置） 3、实际上这都有赖于“卫星全球定位仪”——GPS，因为全球任何一个地方都 存在唯一的经度和纬度。我们可以通过目标物如神州五号飞船的返回仓发出的 信号，利用 GPS“卫星全球定位仪”测得它的经纬度，顺利的找到我们的英雄杨 利伟。板书 GPS 定位（经度，纬度） 4、举几个实例： 1) 在电影院内如何找到电影票上所指的位置？ 2) 在电影票上，“6 排 3 号”与“3 排 6 号”中的 6 的含义有什么不同？ 3) 如果将“8 排 3 号”简记作（8，3），那么“3 排 8 号”如何表示？（5， 6）表示什么含义？ 5、（1）电影院确定一个座位，需要几个数，怎样确定？ （2）如果老师要点一名同学回答问题，又不知道同学们的姓名，请大家帮忙设 计一种方法，让老师站在讲台上就能让同学知道老师在叫自己 6、 （1）正门北偏东 27 度的方向上有那些动物景点？要想确定蝴蝶馆的位置，还 需要有什么数据？ （2）据正门图上的距离 1cm 处的景点又有哪些？ （3）要 确定每个景点的位置，各需要几个数据？ 7、请用图上街道或十字路口为参照， 说出莲花中学位置 8、在生活中，你想确定什么物体的位置？用怎样的方法？与同伴交流。 （假定我是位游客，我知道钟楼的位置和附近主要街道的位置，你是位小导游， 请你为我介绍西安的风景名胜如南城门，大雁塔，碑林，等的位置，） 9.小结 在平面上确定物体位置的方法多样性和实质统一性：都需要两个数据。 在平面上确定物体的位置一般需要几个数据？每个数椐代表什么量？在平面上 确定物体的位置，一般方式： 用两个数据 a 和 b 记（a ，b），a 表示: 排、行、经度、角度、距离……b 表示: 号、列、纬度、距离、 角度…… §3.1 确定位置（二） 教学目标 1、体会极坐标和直角坐标思想，并能解决一些 简单的 问题； 2、能利用比例尺计算实际距离。 教学重点：会根据已知条件正确表示物体的位 置。 教学过程： 一、创设情境，引入新课 师：如图，如果用（0，0）表示点A，（1，0） 表示点 B，（1，2）表示点F。想一想：按照这个规律 该如何 表示其它点的位置： 二、新授： 1、学生分小组讨论，找出规律，然后回答交流： {C（2，0）,D（2，1）,E（2，2）,G（0，2）,H（0，1）} 2、做一做：（投影P126，图5-3） 如果用（0，0）表示点A的位置，用（2，1）表示点B的位置，那么 （1）图①中五角星五个顶点的位置如何表示？ （2）图②中五枚黑棋子的位置如何表示？ （3）图②中（6，1），（10，8）位置上的棋子分别是哪一枚？ 师：这里的数据有两个，一个表示水平方向与A点距离，另一个表示竖直方向上 到A点的距离。 3、例2（投影图5-4） 借助刻度尺，量角器解决如下问题： （1）教学楼位于校门的北偏东多少度的方向上？到校门的图上距离约是多少厘 米？实际距离呢？ （2）某楼位于校门的南偏东约75°的方向，到校门的实际距离约240米，说出 这一地点的名称。 （3）如果用（2，5）表示图上校门的位置，那么图书馆的位置如何表示？（10， 5）表示哪个地点的位置？ 同桌学生合作，利用刻度尺，量角器等工具，在书上测量并计算。 （1）北偏52°，图上距离为2.5cm，实际距离为250米（注意单位的换算） （2）240米=24000厘米，24000÷10000=2.4（厘米）,经测量位于校门的南偏东 70°的方向上，到校门的距离240米的地点是实验楼。 （3）图书馆的位置表示为（2，9）、（10，5）表示旗杆的位置。 4、想一想：上例中，分别是通过何种方式表示一物体的位置呢？仅有一个数据， 能准确确定教学楼的位置吗？ 让学生发表自己的看法后，师总结： 两种方式：①方位角和距离。②与0点的水平距离及与0点的竖直距离的两个数 据。仅用一个数据不能准确地确定教学楼的位置。 5、做一做，投影图5-5 如果用（1，2）表示“怪兽”按图中箭头所指路线经过的第3个位置，那么你能 用同样的方式表示出图中“怪兽”经过的其他几个位置吗？ 让学生思考后，分别让若干个学生说出其他几个位置的表示方法：（0，0）、 （1，0）、（3、2）、（3、4）、（5、4）、（5、6）、（7、6）、（7、8） 师：这里我们习惯上把表示水平上的距离的数据写在前面，表示竖直距离的数 据写在后面，组成的一对数表示某点的位置。 三、随堂练习：P128、1、2 T1，四人小组合作，在图中画出条路线，写出表达方式。 T2，先引导学生选择确定位置的方法，再利用工具测量。 四、小结：确定位置的两种方式。 五、作业：（1）习题5、2 教后感：本节课是使学生在现实情景中体会极坐标和直角坐标思想，并能解决 一些简单的问题；通过学生自己的观察、发现、总结、归纳，能较灵活的运用 能利用比例尺计算实际距离,发展学生的识图能力。进一步体会数学与现实生活 的紧密联系。 §3.2 平面直角坐标系（一） 教学目标： 【知识目标】1、理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等的概念。 2、认识并能画出平面直角坐标系。 3、能在给定的直角坐标系中，由点的位置 写出它的坐标。 展的作用，提高学生参加数学学习活动的积 极性和好奇心。 教学重点： 1、 理解平面直角坐标系的有关知识。 2、在给定的平面直角坐标系中，会根据点 的位置写出它的坐标。3、由点的坐标观察， 纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与 两坐标轴之间的关系，说明坐标轴上点的坐 标有什么特点。 教学难点： 1、 横（或纵）坐标相同的点的连线与坐标轴的关系的探究。 2、 坐标轴上点的坐标有什么特点的总结。 教学过程设计： 一、导入新课 同学们，你们喜欢旅游吗？假如你到了某一个城市旅游，那么你应怎样确定旅 游景点的位置呢？下面给出一张某市旅游景点的示意图，根据示意图，回答以 下问题：（图 5－6） （1） 你是怎样确定各个景点位置的？ （2） “大成殿”在“中心广场”南、西各多少个格？“碑林”在“中心广场” 北、东各多少个格？ （3） 如果以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴、分别取向右、向上 的方向为数轴的正方向，一个方格的边长看做一个单位长度，那么你能表示“碑 林”的位置吗？“大成殿”的位置呢？ 在上一节课，我们已经学习了许多确定位置的方法，主要学习用反映极坐标思 想的定位方式，和用反映直角坐标思想的定位方式。在这个问题中大家看用哪 种方法比较合适？ 1、 例题讲解 （出示投影）例 1 书 P131。 例 1 写出图中的多边形 ABCDEF 各各顶点的 坐标。 让学生回答。 『师』 ：上图中各顶点的坐标是否永远不变？ 『生甲』 ：是。 『生乙』 ：不是。当坐标轴的位置发生变动时，各 点的坐标相应地变化。 『师』 ：你能举个例子吗？ A B C D EF O 1 1 x y 『生』 ：可以，若以线段 BC 所在的直线为 x 轴，纵轴（y 轴位置不变，则六个 顶点的坐标分别为：A（－2，3），B（0，－3），C（3，0），D（4，3），E（3，6）， F（0，6） 『师』 ：那大家再思考这位同学的结论是否是永恒的呢？『生』 ：不是。还 能再改变坐标轴的位置，得出不同的坐标。『师』 ：请大家在课后继续进行坐 标轴的变换，总结以一下共有多少种。 3、想一想 在例 1 中，（1）点 B 与点 C 的纵坐标相同，线段 BC 的位置有什么特点？ （2）线段测定位置有什么特点？ （3）坐标轴上点的坐标有什么特点？ 『师』 ：由 B（0，－3），C（3，－3）可以看出它们的纵坐标相同，即 B、C 两 点到 X 轴的距离相等，所以线段 BC 平行于横轴（x 轴），垂直于纵轴（y 轴）。 请大家讨论第（2）题。 4、做一做（出示投影） 书 P131 请大家先独立思考，然后再进行交流。 三、随堂练习 补充：1、在下图中，确定 A、B、C、D、E、F、G 的坐标。 A B C D E F 1 y x G x y 1 FE D C BA 2、如右图，求出 A、B、C、D、E、F 的坐标。 四、本课小结 1、 认识并能画出平面直角坐标系。 2、 在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。 3、 能适当建立直角坐标系，写出直角坐标系中有关点的坐标。 4、 横（纵）坐标相同的点的直线平行于 y 轴，垂直于 x 轴；连接纵坐标相 同的点的直线平行于 x 轴,垂直于 y 轴。 5、 坐标轴上点的纵坐标为 0；纵坐标轴上点的坐标为 0。 6、各个象限内的点的坐标特征是：第一象限（＋，＋）， 第二象限（－， ＋）， 第三象限（－，－）， 第四象限（＋，－）。 五、课后作业 书 P134 习题 5.3 教后感：通过画坐标系，对一些点的坐标进行观察，探索坐标轴上点的坐标有 什么特点，由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识，合作交流意识。让 学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加 数学学习活动的积极性和好奇心。 §3.2 平面直角坐标系（二） 教学目标： 1、在给定的直角坐标系下，会根据坐标描出点的位置。 2、通过找点、连线、观察，确定图形的大致形状的问题，能进一步掌握平面直 角坐标系的基本内容。 教学重点： 在已知的直角坐标系下找点、连线、观察，确定图形的大致形状。 在已知的直角坐标系下找点、连线、观察，确定图形的大致形状 教具准备：方格纸若干张 教学过程设计： 一、 导入新课 『师』 ：在上节课中我们学习了平面直角坐标系的定义，以及横轴、纵轴、点 的坐标的定义，练习了在平面直角坐标系中由点找坐标，还探讨了横坐标或纵 坐标相同的点的连线与坐标轴的关系，坐标轴上点的坐标有什么特点。 练习：指出下列各点所在象限或坐标轴： A（－1，－2.5），B（3，－4），C（ 4 1 ，5），D（3，6），E（－2.3，0），F（0， 3 2 ）， G（0，0） （抽生答） 『师』 ：由点找坐标是已知点在直角坐标系中的位置，根据这点在方格纸上对 应的 x 轴、y 轴上的数字写出它的坐标，反过来，已知坐标，让你在直角坐标系 中找点，你能找到吗？这就是本节课的内容。 二、 新知学习 1、『师』 ：请同学们拿出准备好的方格纸，自己建立平面直角坐标系，然后按 照我给出的坐标，在直角坐标系中描点，并依次用线段连接起来。 （－9，3），（－9，0），（－3，0），（－3，3） （学生操作完毕后） 『师』 ：下面大家看和我画的一样吗？ 『生』 ：一样。 『师』 ：这是一个什么图形？ 『生』 ：长方形。 2、（出示投影）还是在这个平面直角坐标系中，描出下列 各组内的点用线段依次连接起来。 （1）（－6，5），（－10，3），（－9，3），（－3，3），（－2， 3），（－6，5）； （2）（3.5，9），（2，7），（3，7），（4，7），（5，7），（3.5，9）； （3）（3，7），（1，5），（2，5），（5，5），（6，5），（4，7）； （4）（2，5），（0，3），（3，3），（3，0），（4，0），（4，3），（7，3），（5，5）。 观察所得的图形，你觉得它象什么？ 分成 4 人小组，大家合作在刚才建立的平面直角坐标系中（选出小组中最好的） 添画。各人分工，每人画一小题。看哪个小组做得最快？（学生操作） （出示学生的作品）画出是这样的吗？这幅图画很美， 你们觉得它像什么？ 3、做一做 （出示投影）书 P134 『师』 ：在书上已建立的直角坐标系画，要求每位同 学独立完成。 （学生描点、画图）（拿出一位做对的学生的作品投影） 你们观察所得的图形和它是否一样？若一样，你能判 断出它像什么呢？ 三、随堂练习 （补充）1、在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段顺次连接起 来。 （1）（0，3），（－4，0），（0，－3），（4，0），（0，3）； O-1-2-3-4-5-6-7-9 -8-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 x y O-1-2-3-4-5-6-7-9 -8-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 x y （2）（0，0），（4，－3），（8，0），（4，3），（0，0）； （3）（2，0） 观察所得的图形，你觉得它像什么？ 2、在直角坐标系中，设法找到若干个点使得连接各点所得的封闭图形是如下 图所示的“十”字。 （选取的坐标系不同，得出的坐标也不同。） 『师』 ：现独立完成，然后小组讨论是否正确？ 四、本课小结 本节课在复习上节课的基础上，通过找点、连线、观察，确定图形 的大致形状，进一步掌握平面直角坐标系的基本内容。 五、课后作业 书 P137 习题 5.4 教后感：本节课是使学生经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等 过程，发展学生的数形结合思想，由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程， 培养学生的合作交流能力及转化意识，发展学生的合情推理能力和丰富的情感、 态度，提高学生学习数学的兴趣。 §3.2 平面直角坐标系（三） 教学目标： 1、进一步巩固画平面直角坐标系，在给定的直角坐标系中，会根据坐标轴描出 点的位置，由点的位置写出它的坐标。 2、能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。 3、能结合具体情景灵活运用多种方式确定物体的位置。 教学重点：根据实际问题建立适当的坐标系，并能写出各点的坐标。 教学过程设计： 一、 创设问题情境，引入新课 『师』 ：在前两节课中，我们学习了在直角坐标系下由点找坐标， 和根据坐标找点，并把点用线段连接起来组成不同的图形，还自己设计出了不 少漂亮的图案。这些都是在已知的直角坐标系下进行的，如果给出一个图形， 要你写出图中一些点的坐标，那么你必须建立直角坐标系，直角坐标系应如何 建立？是惟一的情形还是多种情况，这就是本节课的内容。 二、 探索新知 1、【例】如图，矩形 ABCD 的长与宽分别是 6，4，建立适当的直角坐标系，并 写出各个顶点的坐标。 『师』 ：在没有直角坐标系的情况下师不能写出各个顶点的坐标的， 所以应先建立直角坐标系，那么应如何选取直角坐标系呢？请大家思 考。 『生 1』 ：如图所示，以点 C 为坐标原点，分别以 CD、 y x1 2 3 4 1 B AC D O-1-2-3-4-5-6 CB 所在直线为 x 轴、y 轴，建立直角坐标系。 由CD的长为6， CB 长为 4，可得 A、B、C、D 的坐标 分别为 A（6，4），B（0，4），C（0，0）， D（6，0）。 如下图所示，以点 D 为坐标原点，分别以 CD、 AD 所在直线为 x 轴、y 轴，建立直角坐标系。 『师』 ：这两位同学选取坐标系的方式都是以矩形的某一个顶点为坐标原点， 4 6 y x1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 B AC D O 举行的相邻两边所在直线分别作为 x 轴、y 轴，建立直角坐标系的。这样建立直 角坐标系的方式还有两种，即以 A、B 为原点，矩形两邻边分别为 x 轴、y 轴建 立直角坐标系。除此之外，还有其他方式吗？ 『生 3』 ：有，如右图所示，以矩形的中心（即 对角 线的交点）为坐标原点，平行于矩形相邻两边 的直 角为 x 轴，y 轴，建立直角坐标系。则 A、B、C、 D 的 坐标分别为 A（3，2），B（－3，2），C（－3， － 2），D（3，－2）。 『生 4』 ：把上图中的横坐标逐渐向上、下移 动， 纵坐标左、右移动，则可得到不同的坐标系， 从而 得到 A、B、C、D 四点的不同坐标。 『师』 ：从刚才我们讨论的情况看，大家能发现什么？ 2、【例】对于边长为 4 的整三角形 ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点 的坐标。正三角形的边长已经确定是 4，则它一边上的高是不是会因 所处位置的不同而发生变化？ 3、【议一议】在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，2）和（3， －2）的两个标志点，并且知道葬保地点的坐标为（4，4），除此外不知道其他 信息。如何确定直角坐标系找到“宝藏”？与同伴进行交流。 三、 随堂练习 书 P138 页 随堂练习 （体现建立直角坐标系的多样性） 四、 本课小结 本节课的目的是在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。 五、 活动与探究 书 P139 页 试一试 六、 课后作业 书 P139 页 习题 5.5 教后感：本节课是进一步巩固画平面直角坐标系，能结合具体情景灵活运用多 种方式确定物体的位置。通过学习建立直角坐标系有多种方法，让学生体验数 学活动充满着探索与创造，通过确定旅游景点的位置，让学生认识数学与人类 生活的密切联系，提高他们学习数学的兴趣。 §3.3 轴对称与坐标变化（一） 教学目标： 1、经历图形坐标变化与图形的平移，轴对称，伸长，压缩之间的关系的探索过 程，发展学生的形象思维能力和数 形结合意识。 2、在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的变化（平移，轴对 称，伸长，压缩）之间的关系。 教学重点： 经历图形坐标变化与图形的平移，轴对称，伸长，压缩之间关系的探索过程， 发展学生的形象思维能力和数形结合意识。 教学难点： 由坐标的变化探索新旧图形之间的变化。 教学过程设计： -3 -2 -1 O D C A B 32 1 3 2 1 x y -2 -1 -3 一、 创设问题情境，引入新课 在前几节课中我们学习了平面直角坐标系的有关知识，会画平面直角坐标系； 能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；在给定的直角坐标系 下，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。 我们知道点的位置不同写出的坐标就不同，反过来，不同的坐标确定不同的点。 如果坐标中的横（纵）坐标不变，纵（横）坐标按一定的规律变化，或者横纵 坐标都按一定的规律变化，那么图形是否会变化，变化的规律是怎样的，这将 是本节课中我们要研究的问题。 练习：拿出方格纸，并在方格纸上建立直角坐标系，根据我读出的点 的坐标在纸上找到相应的点，并依次用 线段将这些点 连接起来。坐标是（0，0），（5，4），（3， 0），（5，1）， （5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）。 『师』 ：你们画出的图形和我 这里的图形 （挂图）是否相同？ 题） 二、 新课学习 1、【例 1】将上图中的点（0，0），（5，4）， （3，0），（5， 1），（5，－1），（3，0）， （4，－2），（0，0）做以下变化： （1）纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的 2 倍，再将所得的点用线段依次 连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？ （2）纵坐标保持不变，横坐标分别加 3，再将所得的点用线段依次连接起来， 所得的图案与原来的图案相比有什么变化？ 先根据题意把变化前后的坐标作一对比。根据变化后的坐标，把变化后的图形 在自己准备的方格纸上画出来。 你们画出的图形与下面的图形相同吗？ 2、【例 2】将第一个图形中的点（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1）， （3，0），（4，－2），（0，0）做如下变化： （1）横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，所得的图案与原来的图案相比有什 么变化？ （2）横、纵坐标分别变成原来的 2 倍，所得的图案与原来的图案相比有什么变 化？ （指导学生先做第（1）题：描述坐标的变化，再画图） 『师』 ：图形应变成什么图形？ 『生』 ：图形和原来图形相比，好像鱼沿 x 轴翻了个身。 『师』 ：是的，所得的图案与原图案关于横 轴成轴对称。 （指导学生做第（2）题，方法同上） 『师』 ：图形应变成什么样了？ 『生』 ：所得的图案与原图案相比，形状不 变、大小放大了一倍。 『师』 ：即鱼长大长胖了。 -2 -1 O 1 4 3 2 1 x y 2 3 4 5 6 -4 -3 -2 -1 O 1 4 3 2 1 x y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 6 7 8 3、 分小组讨论：当坐标如何变化时，鱼就长大了；什么情况下，鱼就 向右移动了；什么情况下，鱼就翻身了；什么情况下，鱼既长长又长胖。 『师』 ：当坐标如何变化时，鱼就长胖了？当坐标如何变化时，鱼就关于原点 对称了？当坐标如何变化时，鱼就向上移动了？当坐标如何变化时，鱼就关于 y 轴成轴对称？-4 -3 -2 -1 O 1 4 3 2 1 x y 2 3 4 5 6 7 5 6 7 -1-2-3-4-5 -4 -3 -2 -1 O 1 4 3 2 1 x y 2 3 4 5 6 7 5 6 7 -1-2-3-4-5 -4 -3 -2 -1 O 1 4 3 2 1 x y 2 3 4 5 6 7 5 6 7 -1-2-3-4-5 三、 随堂练习 （1）将右图中的各个点的纵坐标不变，横坐标都乘－1，与原图案相比，所得 的图案有什么变化？ （2）将右图中的各个点的横坐标不变，纵坐标都乘－1，与原图案相比，所得 的图案有什么变化？ （3）将上图中各个点的横坐标都乘－2，纵坐标都乘－2，与原图形相比，所得 的图案有什么变化？ 四、 本课小结 本节课主要研究横坐标或纵坐标发生变化时，新图案与旧图案相比有什么变化。 五、 课后作业 书 P141 习题 5.6 教后感：通过“变化的鱼”，经历图形坐标变化与图形的平移，轴对称，伸长， 压缩之间的关系的探索过程， 掌握空间与图形的基础知识和基本技能，丰富对 现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维，激发学生对数 学学习的好奇心与求知欲，能积极参与数学学习活动。体验数学活动充满着探 索与创造。发展学生的形象思维能力和数形结合意识。 §3.3 轴对称与坐标变化（二） 教学目标： 1、进一步巩固图形坐标变化与图形定的平移，轴对称，伸长，压缩之间的探索 过程，发展学生的形象思维能力和数形结合意识。 2、根据轴对称图形的特点，已知轴一边的图形或坐标确定另一边的图形或坐标。 教学重点： 作某一图形关于对称轴的对称图形，并能写出所得图形相应各点的坐标。作某 一图形关于对称轴的对称图形。 教学过程设计： 一、 创设问题情境，导入新课 在日常生活中，你们见到过哪些轴对称图形？中心对称图形？ 节课，我们已经知道，把一个图形的横坐标都乘以－1，纵坐标不变时，所得的 图形与原图形关于 y 轴对称；把一个图形的纵坐标都乘以－1，横坐标不变时， 所得的图形与原图形关于 x 轴对称。把一个图形的横坐标、纵坐标都乘以－1 时， 所得的图形与原图形关于原点对称。 那么如果已知一个图形，你能否求出这个图形中的某些点关于 x 轴或 y 轴或原 点对称的对称点的坐标呢？或者已知轴对称图形（或者中心对称图形）的一半， 你能否画出另一半呢？ 二、 新课学习 1、 例题讲解 如图中，左右两幅图案关于 y 轴对称， 右图中的左右眼睛的坐标分别是（2， 3）， （4，3）。嘴角左右端点的坐标分别是 （2，1），（4，1）。 （1）试确定左图案中的左右 眼睛和嘴角左右端点的坐标。 （2）你是怎样得到的？与同 伴交流。 （此题较为简单。抽学生解答） 2、 议一议 （1）如果将上图中的右图案沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，那么左右眼睛的 坐标将发生什么变化？ （2）如果作图中的右图案关于 x 轴的轴对称图形，那么左右眼睛的坐标将发生 什么变化？ （3）如果图中的右图案沿 y 轴正方向平移 2 个单位长度，那么左右眼睛的坐标 将发生什么变化？ （先独立思考，再小组交流，发表） 『师』：如果再上面的问题中右图案不是沿 x 轴正方向或 y 轴正方向移动，而是 沿 x 轴负方向或 y 轴负方向移动，那么左、右眼睛的坐标又该如何变化？ 3、 做一做 如右图，正方形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，1），B（3，1），C（3，3）， D（1，3）。 （1）再同一直角坐标系中，将 正方形向左平移 2 个单位，画出你相应 的图形，并写出各点的坐标。 （2）将正方形向下平移 2 个单位，画出 相应的图形，并写出各点的坐标。 （3）在（1）（2）中，你发现各点的横、 纵坐标发生了哪些变化？ 4、 如右下图，作字母 H 关于坐标 原点的中心对称图形，并写出所得图形 相应各点的坐标。 三、 随堂练习 书 P143 随堂练习 四、 本课小结 1、 会作出某一图形关于 x 轴、y 轴、原点的对称图形，并能写出相应点 的坐标。 2、 把整个图形整体向上、向下、向 -2 -1 432 y x1 2 3 4 1 O-1-2-3-4 A B CD -2 -1 432 y x1 2 3 4 1 O-1-2-3-4 A B C D E F 左、向右移动几个单位长度后，图形有何变化，变化的规律是怎样的。 五、 课后作业 书 P144 习题 5.7 教后感：通过研究有趣的图形，根据轴对称图形的特点，学生能进行探索和创 造，把学到的知识灵活地运用现实生活中。进一步巩固图形坐标变化与图形定 的平移，轴对称，伸长，压缩之间的探索过程，发展学生的形象思维能力和数 形结合意识。 第四章 一次函数 §4.1 函数 教学目标： 1、初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。 2、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值。 3、会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题。 教学重点： 1、 掌握、并理解函数概念。 2、 判断两个变量之间的关系是否可看作函数。 3、 能把实际问题抽象概括为函数问题。 教学过程设计： 一、创设问题情境，导入新课 『师』：同学们，你们看下图上面那个像车轮状的物体是什么？当你坐在摩天轮 上时，人的高度随时在变化，那么变化是否有规律呢？ 分析有道理。摩天轮上一点的高度 h 与旋转时间 t 之间有一定的关系。请看下 图，反映了旋转时间 t（分）与摩天轮上一点的高度 h（米）之间的关系。 大家从图上可以看出，每过 6 分钟摩天轮就转一圈。高度 h 完整地变化一次。 而且从图中大致可以判断给定的时间所对应的高度 h。下面根据图 5－1 进行填 表： t/分 0 1 2 3 4 5 …… h/米 t/分 0 1 2 3 4 5 …… h/米 3 11 37 45 37 11 …… 生活中充满着许许多多变化的量，你了解这些变量之间的关系吗？如：弹簧的 长度与所挂物体的质量，路程的距离与所用时间……了解这些关系，可以帮助 我们更好地认识世界。下面我们就去研究一些有关变量的问题。 二、新课学习 1、 做一做 （1）瓶子或罐子盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放，随着层数的增加， 物体的总数是如何变化的？ 填写下表： 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y 1 3 6 10 15 … 『师』：在这个问题中的变量有几个？分别师什么？ 『生』：变量有两个，是层数与圆圈总数。 （2）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行 S 米，一般地有经验公 式 300 2VS  ,其中 V 表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时） ①计算当 fenbie 为 50，60，100 时，相应的滑行距离 S 是多少？ ②给定一个 V 值，你能求出相应的 S 值吗？ 2、 议一议 在上面我们研究了三个问题。下面大家探讨一下，在这三个问题中的共同点是 什么？不同点又是什么？ 不同点是：在第一个问题中，是以图象的形式表示两个变量之间的关系；第二 个问题中是以表格的形式表示两个变量间的关系；第三个问题是以关系式来表 示两个变量间的关系的。通过对这三个问题的研究，明确“给定其中某一个变 量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共性。 3、 函数的概念 在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一各变量（自变量）的值，相应地 就确定另一个变量（因变量）的值。一般地，在某个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定一个 x 值，相应地就确定了一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数， 其中 x 是自变量，y 是因变量。 三、随堂练习 书 P152 页 随堂练习 1、2、3 四、本课小结 1、 初步掌握函数的概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。 2、 在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，给定自变量的值， 相应地会求出函数的值。 3、 函数的三种表达式： （1） 图象；（2）表格；（3）关系式。 五、探究活动 为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用 水不超过 10 吨时，水价为每吨 1.2 元；超过 10 吨时，超过的部分按每吨 1.8 元收费，该市某户居民 5 月份用水 x 吨（x >10），应交水费 y 元，请用方程的 知识来求有关 x 和 y 的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数？ （参考答案：Y=1.8x-6 或 3 10 9 5  yx ） 六、课后作业 习题 6.1 教后感：1、经历函数概念的抽象概括过程，初步掌握函数概念，通过函数概念， 初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。一个具体实例进行 概括抽象成为数学问题。体会函数的模型思想，让学生主动地从事观察、操作、 交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。 §4.2 一次函数与正比例函数 教学目标 1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。 2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。 教学重点 1、一次函数、正比例函数的概念及关系。 2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。 教学过程 1、新课导入 有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度 内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的 重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看： 某弹簧的自然长度为 3 厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 千克、 弹簧长度 y 增加 0.5 厘米。 （1）计算所挂物体的质量分别为 1 千克、2 千克、3 千克、4 千克、5 千克时弹 簧的长度，并填入下表： x/千克 0 1 2 3 4 5 y/厘米 3 3.5 4 4.5 5 5.5 （2）你能写出 x 与 y 之间的关系式吗？ 分析：当不挂物体时，弹簧长度为 3 厘米，当挂 1 千克物体时，增加 0.5 厘米， 总长度为 3.5 厘米，当增加 1 千克物体，即所挂物体为 2 千克时，弹簧又增加 0.5 厘米，总共增加 1 厘米，由此可见，所挂物体每增加 1 千克，弹簧就伸长 0.5 厘米，所挂物体为 x 千克，弹簧就伸长 0.5x 厘米，则弹簧总长为原长加伸 长的长度，即 y=3+0.5x。 2、做一做 某辆汽车油箱中原有汽油 100 升，汽车每行驶 50 千克耗油 9 升。 （1）完成下表： 汽车行驶路程 x/千 米 0 50 100 150 200 300 油箱剩余油量 y/升 你能写出 x 与 y 之间的关系吗？（y=100-0.18x 或 y=100- 50 9 x） 3、一次函数，正比例函数的概念 上面的两个函数关系式为 y=0.5x+3，y=100-0.18x，都是左边是因变量 y，右边 是含自变量 x 的代数式。并且自变量和因变量的指数都是一次。若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b（k，b 为常数 k≠0）的形式，则称 y 是 x 的一次 函数（x 为自变量，y 为因变量）。特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数。 4、例题讲解 例 1：下列函数中，y 是 x 的一次函数的是（ ） ①y=x-6；②y= x 2 ；③y= 8 x ；④y=7-x A、①②③ B、①③④ C、①②③④ D、②③④ 例 2：写出下列各题中 x 与 y 之间的关系式，并判断，y 是否为 x 的一次函数？ 是否为正比例函数？ ①汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中 y（千米）与行驶时间 x（时） 之间的关系式； ②圆的面积 y（厘米 2）与它的半径 x（厘米）之间的关系； ③一棵树现在高 50 厘米，每个月长高 2 厘米，x 月后这棵树的高度为 y（厘米） [（1）y=60x，y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数；（2）y=πx2，y 不是 x 的正比例函数，也不是 x 的一次函数；（3）y=50+2x，y 是 x 的一次函数，但不 是 x 的正比例函数]。 例 3：我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入低于 800 元但低于 1300 元的部分征收 5%的所得税……如某人某月收入 1160 元，他应缴个人工资薪金所 得税为（1160-800）×5%=18（元） ①当月收入大于 800 元而又小于 1300 元时，写出应缴所得税 y（元）与月收入 x（元）之间的关系式。 ②某人某月收入为 960 元，他应缴所得税多少元？ ③如果某人本月缴所得税 19.2 元，那么此人本月工资薪金是多少元？ 分析：（1）当月收入大于 800 元而小于 1300 元时， y=0.05×(x-800)； （2）当 x=960 时，y=0.05×(960-800)=8(元)； （3）当 x=1300 时，y=0.05×(1300-800)=25（元），25>19.2，因此本月工资少 于 1300 元，设此人本月工资是 x 元，则 0.05×(x-800)=19.2，x=1184。 5、课堂练习 随堂练习 （1）解：y=2.2x，y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数。 （2）解：y=100+8x，y 是 x 有一次函数。 补充练习 1、见下表： x -2 -1 0 1 2 …… y -5 -2 1 4 7 …… 根据上表写出 y 与 x 之间的关系式是：________________，y 是否为 x 一的次函 数？y 是否为 x 有正比例函数？ 2、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下： 每户每月用水量不超过 6 米 3 时，水费按 0.6 元/米 3 收费；每户每月用水量超过 6 米 3 时，超过部分按 1 元/米 3 收费。设每户每月用水量为 x 米 3，应缴水费 y 元。（1）写出每月用水量不超过 6 米 3 和超过 6 米 3 时，y 与 x 之间的函数关系 式，并判断它们是否为一次函数。（2）已知某户 5 月份的用水量为 8 米 3，求该 用户 5 月份的水费。[①y=0.6x，y=x-2.4，y 是 x 的一次函数。②y=8-2.4=5.6 （元）] 六、课后小节 1、一次函数、正比例函数的概念及关系。 2、能根据已知简单信息，写出一次函数的表达式。 七、课后作业 P 161 习题 6.2 教后感：经历利用一次函数探索一般规律解决实际问题, 通过由已知信息写一 次函数表达式的过程，理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关 系。发展学生的数学应用能力及数学思维。 §4.3.一次函数的图象（一） 一、教学目标 1、理解函数图象的概念。 2、经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤。 3、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。 4、能较熟练作出一次函数的图象。 二、教学重点 1、能熟练地作出一次函数的图象。 2、归纳作函数图象的一般步骤。 3、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。 三、教学过程 1、新课导入 上节课我们学习了一次函数及正比例函数的概念,正比例函数与一次函数的关系, 并能根据已知信息列出 x 与 y 的函数关系式,本节课我们研究一下一次函数的图 象及性质。 2、讲授新课 （1）函数图象的概念 把一个函数的自变量 x 与对应的因变量 y 的值作为点的横坐标和纵坐标，在直 角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 假设在代数表达式 y=2x 中，自变量 x 取 1 时，对应的因变量 y=2，则我们可在 直角坐标系内描出表示（1，2）的点，再给 x 的另一个值，对应又一个 y，又可 知道直角坐标系内描出另一个点，所有这些点组成的图形叫该函数 y=2x 的图象， 由此看来，函数图象是满足函数表达式的所有点的集合。 （2）作一次函数的图象 例 1：作出一次函数 y=2x+1 的图象 解：列表： x … -2 -1 0 1 2 … y=2x+1 … -3 -1 1 3 5 … 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。 连线：把这些点依次连接起来，得到 y=2x+1 的图象（如图 6-4），它是一条直线。 小结：从刚才作图的情况来总结一下作一次函数图象有哪些步骤：（1）列表；（2） 描点；（3）连线。 做一做 （1）作出一次函数 y=-2x+5 的图象， （2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否 满足关系式 y=-2x+5。 列表： x … -2 -1 0 1 2 … y=-2x+ 5 … 9 7 5 3 1 … 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标第内描出相应的点。 连线：把这些点依次连接起来，得到 y=-2x+5 的图象，它是一条直线。 图象如下： 在图象上找点 A（3，-1）B（4，-3），当 x=3 时，y=-2×3+5=-1；当 x=4 时，y=-2 ×4+5=-3。（3，-1），（4，-3）满足关系式 y=-2x+5。 3、议一议 （1）满足关系式 y=-2x+5 的 x、y 所对应的点（x,y）都在一次函数 y=-2x+5 的 图象上吗？ （2）一次函数 y=-2x+5 的图象上的点（x,y）都满足关系式 y=-2x+5 吗？ （3）一次函数 y=kx+b 的图象有什么特点？ 请大家分组讨论，然后回答。 （1）满足关系式 y=-2x+5 的 x，y 所对应的点（x，y）都在一次函数 y=-2x+5 的图象上。 （2）一次函数 y=-2x+5 的图象上的点（x,y）都满足关系式 y=-2x+5。 由此看来，满足函数关系式 y=-2x+5 的 x,y 所对应的点（x,y）都在一次函数 y=-2x+5 的图象上；反过来，一次函数 y=-2x+5 的图象上的点(x,y)都满足关系 式 y=-2x+5。 所以，一次函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足一次函数的代数表 达式的点在图象上，图象上的每一点的横坐标 x，纵坐标 y 都满足一次函数的代 数表达式。 小结：一次函数的图象是一条直线，由直线的公理可知：两点确定一条直线， 所以作一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了， 一次函数 y=kx+b 的图象也称为直线 y-kx+b。 4、课堂练习 分别作出一次函数 y= 3 1 x 与 y=-3x+9 的图象。 六、课后小结 1、函数图象的概念。 2、作一次函数的步骤。 3、明确一次函数的图象是一条直线，因此在作图时，不需要列表，只要确定两 点就可以了。 七、课后作业 P 163 习题 6.3 教后感：经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤。归纳总结作函数图 象的一般步骤，发展学生的总结概括能力，培养学生数形结合的意识和能力。 在探究活动中发展学生的合作意识和能力。 §4.3.一次函数的图象（二） 一、教学目标 1、了解正比例函数 y=kx 的图象的特点。 2、会作正比例函数的图象。 3、理解一次函数及其图象的有关性质。 4、能熟练地作出一次函数的图象。 二、教学重点 1、正比例函数的图象的特点。 2、一次函数的图象的性质。 三、教学过程 1、新课导入 上节课我们学习了如何画一次函数的图象，步骤为①列表；②描点；③连线。 经过讨论我们又知道了画一次函数的图象不需要许多点，只要找两点即可，还 明确了一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。 本节课我们进一步来研究一次函数的图象的其他性质。 2、讲授新课 （1）首先我们来研究一次函数的特例——正比例函数有关性质。 请大家在同一坐标系内作出正比例函数 y= 2 1 x，y=x，y=3x，y=-2x 的图象。 3、议一议 （1）正比例函数 y=kx 的图象有什么特点？（都经过原点） （2）你作正比例函数 y=kx 的图象时描了几个点？（至少两点） （3）直线 y= 2 1 x，y=x，y=3x 中，哪一个与 x 轴正方向所成的锐角最大？哪一与 x 轴正方向所成的锐角最小？ 4、小结：正比例函数的图象有以下特点： （1）正比例函数的图象都经过坐标原点。 （2）作正比例函数 y=kx 的图象时，除原点外，还需找一点，一般找（1,k）点。 （3）在正比例函数 y=kx 图象中，当 k>0 时，k 的值越大，函数图象与 x 轴正方 向所成的锐角越大。 （4）在正比例函数 y=kx 的图象中，当 k>0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；当 k<0 时，y 的值随 x 值的增大而减小。 5、做一做 在同一直角坐标系内作出一次函数 y=2x+6,y=-x,y=-x+6,y=5x 的图象。 一次函数 y=kx+b 的图象的特点：分析：在函数 y=2x+6 中，k>0，y 的值随 x 值 的增大而增大；在函数 y=-x+6 中，y 的值随 x 值的增大而减小。 由上可知，一次函数 y=kx+b 中，y 的值随 x 的变化而变化的情况跟正比例函数 的图象的性质相同。对照正比例函数图象的性质，可知一次函数的图象不过原 点，但是和两 个坐标轴相交。在作一次函数的图象时，也需要描两个点。一般选取（0，b）， （- k b ，0）比较简单。 6、想一想 （1）x 从 0 开始逐渐增大时，y=2x+6 和 y=5x 哪一个值先达到 20？这说明了什 么？（y=5x 的函数值先达到 20，这说明随着 x 的增加，y=5x 的函数值比 y=2x+6 的函数值增加得快） （2）直线 y=-x 与 y=-x+6 的位置关系如何？（平行,一次函数 k 相同就平行） （3）直线 y=2x+6 与 y=-x+6 的位置关系如何？（相交） 7、课堂练习 1、下列一次函数中，y 的值随 x 值的增大而增大的是（ ） A、y=-5x+3 B、y=-x-7 C、y= x3 - 5 D、y=- x7 +4 2、下列一次函数中，y 的值随 x 值的增大而减小的是（ ） A、y= 3 2 x-8 B、y=-x+3 C、y=2x+5 D、y=7x-6 四、课后小结 1、正比例函数 y=kx 的图象的特点。2、一次函数 y=kx+b 的图象的特点。 五、作业 P 165 习题 6.4 教后感：通过议一议，培养学生的探索精神和合作交流意识。让学生全身心地 投入教学活动中，能积极与同伴合作交流，并能进行探索的活动，发展实践能 力与创新精神。 §4.4 一次函数的应用（一） 一、教学目标 1、能通过函数图象获取信息，发展形象思维。 2、能利用函数图象解决简单的实际问题， 3、初步体会方程与函数的关系。 二、教学重点 一次函数图象的应用 三、教学过程 1、新课导入 在前几节课里，我们分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的 特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛，和我们日常生活密切相关，因此 本节课我们一起来学习一次函数图象的应用。 2、讲授新课 （1）由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，干旱 持续时间 t（天）与蓄水量 V（万米 3）的关系如下图所示，回答下列问题： ①干旱持续 10 天，蓄水量为多少？连续干旱 23 天呢？ ②蓄水量小于 400 万米 3 时，将发生严重干旱警报。干旱多少天后将发出严重干 旱警报？ ③按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？ 请大家根据图象回答问题，有困难的同学，请与同伴互相交流。 分析： （1）求干旱持续 10 天时的蓄水量，也就是求 t 等于 10 时所对应的 V 的值。当 t=10 时，V 约为 1000 万米 3。同理可知当 t 为 23 天时，V 约为 750 万米 3。 （2）当蓄水量小于 400 万米 3 时,将发出严重干旱警报,也就是当 V 等于 400 万 米 3 时，求所对应的 t 值。t 约为 40 天。 （3）水库干涸也就是 V 为 0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求。 当 V 为 0 时，所对应的 t 的值约为 60 天。 练一练 某种摩托车的油箱最多可储油 10 升，加满油后，油箱中的剩余油量 y（升）与 摩托车行驶路程 x (千米)之间的关系如图所示。 根据图象回答下列问题： （1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ （2）摩托车每行驶 100 千米消耗多少升汽油？ （3）油箱中的剩余油量小于 1 升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩 托车将自动报警？ 分析：（1）函数图象与 x 轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长路程。 （2）x 从 0 增加到 100 时，y 从 10 开始减少，减少的数量即为消耗的数量。 （3）当 y 小于 1 时，摩托车将自动报警。 3、课堂练习 1、看图填空 （1）当 y=0 时，x=_____________；（2）直线对应的函数表达式是_______。 4、议一议 一元一次方程 0.5x+1=0 与一次函数 y=0.5x+1 有什么联系？（当一次函数 y=0.5x+1 的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程 0.5x+1=0 的解。函数 y=0.5x+1 与 x 轴交点的横坐标即为方程 0.5x+1=0 的解。 5、补充练习 全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十 分紧迫的任务，某地区现有土地面积 100 万千米 2，沙漠面积 200 万千米 2，土 地沙漠化的变化情况如下图所示。 （1）如果不采取任何措施，那么到第 5 年底，该地区沙漠面积将增加多少万千 米 2？ （2）如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后， 该地区将丧失土地资源？ （3）如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造 4 万千米 2 沙漠，那么到第 几年底，该地区的沙漠面积减少到 176 万千米 2。 四、课后小结 1、通过函数图象获取信息。 2、利用函数图象解决简单的实际问题。 3、初步体会方程与函数的关系。 五、课后作业 P 172 习题 6.6 教后感：通过函数图象获取信息，解决实际问题，培养学生的形象思维及数学 应用能力，同时培养学生良好的环保意识和热爱生活的意识及利用函数图象解 决简单的实际问题通过方程与函数关系的研究，建立良好的知识联系。 §4.4 一次函数图象的应用（二） 一、教学目标 1、进一步训练学生的识图能力 2、能利用函数图象解决简单的实际问题。 二、教学重点 一次函数图象的应用。 三、教学过程 1、新课导入 上节课我们学习了一次函数在水库蓄水量与干旱持续时间方面的应用，还有一 次函数在摩托车油箱中的剩余油量与行驶路程方面的应用，一次函数的应用不 仅仅是在这两个方面，本节课我们继续学习它的应用。 2、讲授新课 （一）例题讲解 如上图，L1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系， L 2 反映了该公司产 品的销售量的关系，根据图象填空。 ①当销售量为 2 吨时，销售收入=_______元，销售成本=_____元； ②当销售量为 6 吨时，销售收入=________元，销售成本=_____元； ③当销售量等于______时，销售收入等于销售成本； ④当销售量________时，该公司赢利（收入大于成本）；当销售量_______时， 该公亏损（收入小于成本）； ⑤L1 对应的函数表达式是_______；L2 对应的函数表达式是________________。 例 2：我边防局接到情报，近海外有一可疑船只 A 正向公海方向行驶，边防局迅 速派出快艇 B 追赶，如下图： 在下图中，L1，L2 分别表示两船相对于海岸的距离 S（海里）与追赶时间 t（分） 之间的关系。根据图象回答下列问题： （1）哪条线表示 B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系？ （2）A、B 哪个速度快？ （3）15 分内 B 能否追上 A？ （4）如果一直追下去，那么 B 能否追上 A？ （5）当 A 逃到离海岸 12 海里的公海时，B 将无法对其进行检查。照此速度，B 能否在 A 逃入公海前将其拦截？ （二）课堂练习 如图，AC、BC 分别表示甲、乙两人的运动图象，请根据图像回答下列问题： （1）谁先出发？先出发者提前几小时？ （2）甲出发多长时间后，后出发的人追上提前出发的人？此时，他们距离乙出 发地点多少千米？ （3）甲、乙两人各自的运动速度是多少？ 分析：（1）乙先出发，先出发 1 小时；（2）甲出发 4 小时后，追上乙，此时， 他们距离乙出发地点 15 千米；（3）速度：甲 20÷4=5 千米/小时，乙 15÷5=3 千米/小时。 四、课后作业 P 178 习题 6.7 教后感：通过函数图象来解决实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密 切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，进一步训练 学生的识图能力, 利用函数图象解决简单的实际问题。使他们能积极参与数学活 动，进而更好地解决实际问题。 第五章 二元一次方程组 §5.1 认识二元一次方程组 【教学目标】 1. 了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数 是不是某 个二元一次方程组的解。 2.通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。 3.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学 模型， 培养学生良好的数学应用意识。 【重点】二元一次方程组的含义 【难点】判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应 用意识。 【教学过程】 一、 引入、实物投影（P181 图） 1、师：在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行 走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才 比我多驮 2 个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你 的 2 倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮 助小马解决问题呢？ 2、请每个学习小组讨论（讨论 2 分钟，然后发言） 这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮 x 个包 裹，小马驮 y 个包裹，老牛的包裹数比小马多 2 个，由此得方程 x-y=2，若老牛 从小马背上拿来 1 个包裹，这时老牛的包裹是小马的 2 倍，得方程：x+1=2(y-1) 师：同学们能用方程的方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未 知数？含未知数的项的次数是多少？ （含有两个未知数，并且所含未知数项 的次数是 1） 师：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程 注意：这个定义有两个地方要注意 ①、含有两个未知数，②、含未知数的次数是一次 练习：（投影） 下列方程有哪些是二元一次方程 x 1 +2y=1 xy+x=1 3x- 2 y =5 x2-2=3x xy=1 2x(y+1)=c 2x-y=1 x+y=0 二、 议一议、 师：上面的方程中 x-y=2，x+1=2(y-1)的 x 含义相同吗？y 呢？ （两个方程中 x 的表示老牛驮的包裹数，y 表示小马的包裹数，x、y 的含义分 别相同。） 师：由于 x、y 的含义分别相同，因而必同时满足 x-y=2 和 x+1=2(y-1)，我们把 这两个方程用大括号联立起来，写成 x-y=2 x+1=2(y-1) 像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程 组。 如： 2x+3y=3 5x+3y=8 x-3y=0 x+y=8 三、 做一做、 1、 x=6,y=2 适合方程 x+y=8 吗？x=5,y=3 呢？x=4,y=4 呢？你还能找到其他 x,y 值适合 x+y=8 方程吗？ 2、 X=5,y=3 适合方程 5x+3y=34 吗？x=2,y=8 呢？ 3、 你能找到一组值 x,y 同时适合方程 x+y=8 和 5x+3y=34 吗？各小组合作完 成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到 3 题的结论.由 学生回答上面 3 个问题，老师作出结论 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解 x=6,y=2 是方程 x+y=8 的一个解，记作 x=6 同样， x=5 y=2 y=3 也是方程 x+y=8 的一个解，同时 x=5 又是方程 5x+3y=34 的一个解， y=3 二元一次方程各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 四、 随堂练习、（P184） 五、 小结： 1、 含有两未知数，并且含有未知数的项的次数是一次的整式方程叫做二元一 次方程。 2、 二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解。 3、 含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程 组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值。 6.作业 P 188 习题 7.1。 教后感：通过对实际问题的分析、讨论和练习，了解二元一次方程、二元一次 方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。 进一步培养学生的观察、比较、分析的能力，体会方程是刻画现实世界的有效 数学模型，培养学生良好的数学应用意识 。 § 5.2 求解二元一次方程组（一） 【教学目标】 1.会用代入消元法解二元一次方程组 2.了解解二元一次方程组的消元思想,初步体现数学研究中“化未知为已知” 的化归 思想,从而“变陌生为熟悉” 3.利用小组合作探讨学习,使学生领会朴素的辩证唯物主义思想 【重点】用代入法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元. 【难点】用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归——化陌生为熟悉. 【教学过程】 一、 引入 上节课我们的老牛和小马的包裹谁的多的问题,经过大家的共同努力,得出了二 元一次方程组 x-y=2 ① 到底谁的包裹多呢? x+1=2(y-1) ② 这就需要解这个二元一次方程组. 二、 一元一次方程我们会解,二元一次方程组如何解呢? 我们大家知道二元一次方程只需要消去一个未知数就可变为一元一次方程,那 么我们发现： 由①得 y=x-2 由于方程组相同的字母表示同一个未知数,所以方程②中的y也等于x-2,可以用 x-2 代替方程②中的 y.这样就得到大家会解的一元一次方程了. 三、 做一做 我们知道了解二元一次方程组的一种思路,下面我们来做一做 例 1、 解方程组 3x+ 2y=8 ① x= 2 3y ② 例 2、解方程组 2x+3y=16 ① x+4y=13 ② 教师先分析：此题不同于例 1, (即用含有一个未知数的代数式表示另一个未知 数)，②式不能直接代入①,那么我们应当怎样处理才能转化为例 1②式这样的形 式呢? 请同学回答 (应先对②式进行恒等变化,把它化为例 1 中②式那样的形式.) 分小组合作完成上述例题,请两个小组的代表上黑板上来板演 四、 议一议、 上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？ 上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。主要步骤是： ①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，② 将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为 一元一次方程式。③解这个一元一次方程。④把求得的一次方程的解代入方程 中，求得另一个未知数值，组成方程组的解。这种解方程组的方法称为代入消 元法。简称代入法。 五、 练一练、 1、已知 x+3y-6=0，用含 x 的代数式表示 y 为 ，用含 y 的代数式 表示 x 为 . 2、书本 P188 随堂练习 六、 小结、 1、今天我们学习了二元一次方程组的解法，你有什么体会？ 2、解二元一次方程组的思路是消元，把二元变为一元 3、解题步骤概括为三步即：①变、②代、③解、 4、方程组的解的表示方法，应用大括号把一对未知数的值连在一起，表示同时 成立，不要写成 x=？y=？ 5、由一个方程变形得到的一个含有一个未知数的代数式必须代入另一个方程中 去，否则会出现一个恒等式。 七、 作业、 1、已知 x=1 是方程组 ax+by=2 的解，则 a、b 的值是多少？ y=1 x-by=3 2、若方程组 4x+3y=1 的解 x 与 y 相等，则 a 的值是多少？ ax+(a-1)y=3 教后感：本节课是利用小组合作探讨学习,使学生正确掌握用代入消元法解二元 一次方程组的方法下，通过学生自己的观察、发现,初步体现数学研究中“化未 知为已知”的化归思想,从而“变陌生为熟悉”,使学生领会朴素的辩证唯物主 义思想. § 5.2 求解二元一次方程组（二） 一、教学目标设计： 1. 了解并会用加减消元法解二元一次方程组。 2. 了解解二元一次方程组的消元思想，体会数学中“化未知为已知”的化归思 想。 3. 初步体验二元一次方程组解法的多样性和选择性。 教学重点和难点： 二、教学重点： 1. 会用加减消元法解二元一次方程组。 2. 会用加减消元法解二元一次方程组。 三、教学难点： 掌握解二元一次方程组的“消元”思想。 四、教学过程设计： 1、创设情境： 怎样解下面的二元一次方程组呢？      11-52 125y3x yx分析：观察方程组中的两个方程，未知数 y 的系数互为相反数，把这两个方程 两边分别相加，就可以消去未知数 y，得到一个一元一次方程； （3x ＋ 5y）+（2x － 5y）＝21 + (－11) ①左边 + ②左边 = ①左边 + ②左边 3X+5y +2x － 5y＝10 5x+0y ＝10 5x=10 2、探索尝试: 参考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？ 例 1 解下列方程组．      132 75y2x yx分析：观察方程组中的两个方程，未知数 x 的系数相等，都是 2．把这两个方程 两边分别相减，就可以消去未知数 x，同样得到一个一元一次方程． 3. 随堂练习: 指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正：      245 44y-7x yx      445 144y-3x yx解:①－②，得 解 ①－②，得 －2x＝12 2x＝4－4， x ＝－6 x＝0 4.议一议: 上面这些方程组的特点是什么?解这类方程组基本思路是什么？主要步骤有哪 些？ 这些方程组的特点是同一个未知数的系数相同或互为相反数 这类方程组基本思路：加减消元----二元---- 一元主要步骤： 加减----消去一个元 求解----分别求出两个未知数的值 写解----写 出方程组的解 5.做一做 例 2．用加减法解下列各方程组      1743 123y2x yx分析：(1)用加减消元法解方程组时，若哪个未知数系数的绝对值正好相等，就 可先消哪个未知数；若两个未知数的系数绝对值均不等，则可选定一个未知数， 通过变形使其绝对值相等，再进行消元． (2)运用加减消元法解方程组的条件是方程组中两个方程的某个未知数的系数 的绝对值相等，当方程组中两方程不具备这种特点时，必须用等式性质 2 来改 变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值已 经相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件． 说明：1．加减消元法的依据是等式性质 1，即在一个方程左右两边分别加上或 减去另一个方程的左右两边，所得的结果仍是等式．经过这样的运算，其中一 个未知数被消去了，原来的“二元”化为“一元”，转化为一元一次方程，从 而可求出原方程组的解来． 2.对于不是标准的二元一次方程组，可先通过去分母或去括号，将其变为标准 的二元一次方程组后再消元 5.试一试: 运用加减消元法解下列方程组： （3）        24 1 2 x 12 y 3 1x y      547 965)2( yx yx      52 534)1( ts ts 6.探索与思考：在解方程组      53c 2b yx yax 时，小张正确的解      2 1x y ,小李由于看错了 方程组中的 C 得到方程组的解为      1 3 y x ，试求方程组中的 a、b、c 的值。 7.小结 ： 加减消元法解方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些？ 加减消元法解方程组基本思路：加减消元----二元---一元 主要步骤有： 变形----同一个未知数的系数相同或互为相反数 加减----消去一个元 求解----分别求出两个未知数的值 写解----写出方程组的解 8.作业 教后感：1.本节课是使学生正确掌握用加减法解二元一次方程组的方法下，通 过学生自己的观察、发现、总结、归纳，探索加减法解二元一次方程组的过程， 进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生 活的紧密联系。 §5.3 应用二元一次方程组---鸡兔同笼 【教学目标】 1.使学生初步掌握列二元一次方程组解应用题 2.通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练，培养学生分析问题、解决问 题的能力。 【教学重点】根据等量关系列二元一次方程组解应用题。 【教学难点】根据题意找出等量关系，列出方程。 【教学过程】 一、 我们伟大祖国具有五千年的文明史，在历史的长河中，为科学知识的创 新和发展作出了巨大的贡献，特别在数学领域有[九章算术]、[孙子算经]等古 代名著流传于世，普及趋于民众，许多问题浅显易懂，趣味性强，如[九章算术] 下卷第三题目“雉兔同笼”等，漂洋过海传到了日本等国，对中国古代文明史 的传播起了很大作用。 “雉兔同笼”题为：“今有雉兔同笼，上有三十五关，下有九十四足，问雉兔各 几何？” 问题 1、“上有三十五头”指的意思是什么？“下有九十四足”呢？ 问题 2、你能根据问题 1 中的的数量关系列出方程吗？并能解决这个有趣的问题 吗？ （分小组进行讨论，然后请两个小组的代表到黑板上板演） 这个古老的数学问题，用今天的方程解决，体现了古为今用的原则，为后人理 解了数学的过去和现在，当代的著名的数学家陈省生教授在说起“鸡兔同笼” 时，曾另有一番别有风趣的延伸：“全体鸡兔立正，兔子提起前面的两只脚，请 问现在共有几只脚？”…… 二、 中国是一个伟大的四大文明古国，像这样浅显有趣的数学题目还有很多， 我们的书上就提供了这样的一个例题 例 1、 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺， 绳长、井深各几何？ 接下来老师看一下，那位同学的古文水平好，那位同学能自告奋勇地解释一下， 这段古文的意思？ （用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等分，一份绳子长比井深多 5 尺； 如果将绳折成四等份，一份绳子比井深多 1 尺，绳子、井深各是多少尺？） （分小组进行讨论，然后请两个小组的代表到黑板上板演） 三、 议一议 从上面的两个问题的解决中，你得到了什么感悟，有什么收获？请与同学们交 流。 用方程组解决实际问题时应该注意下列几个问题： 1、 认真读题和审题，弄清古代问题的现实意义 2、 正确设出未知数 3、 找出相等关系，并列出方程组。 4、 解此方程组 5、 写出答案 四、 练一练 1、 古代有一个马快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一 群人，在分脏，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证： 隔壁听到人分银，不知人数不知银。只知每人五两多六两，每人六两少五两， 问你多少人数多少银？ 2、 列方程组解古算题： “今有牛五、羊二、直金十两，牛二、羊五，直金八两，牛、羊各直金几何？” 题目大意是：5 头牛、2 只羊共价值 10 两“金”、2 头牛、5 只羊共价值 8 两“金”、 每头牛、每只羊共价值多少“金”？ 五、 小结 经过本节课的学习，你有什么收获和体会？ 六、 作业 P 199 习题 7.4。 教后感： 通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练，使学生根据等量关系列二元一 次方程组解应用题。初步掌握列二元一次方程组解应用题培养学生分析问题、 解决问题的能力。 §5.4 应用二元一次方程组---增收节支 【教学目标】 1.会正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元 一次方程组这类问题。 2.培养学生分析问题和解决问题的能力。 3.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是 刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。 【教学过程】 一、 议一议 增长（亏损）率问题的公式？ 原量（1+增长率）=新量，或原量（1—亏损率）=新量， 2、银行利率问题中的公式？ 利息=本金×利率×期数，本息和本金+利息 二、 新授、 某工厂去年的利润（总产值—总支出）为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元，去年的总产值、总支 出各是多少万元？ 设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则有 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 x y 200 今年 （小组讨论，完成上表） 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 x y 200 今年 （1+20%）x （1—10%）y 780 根据题意得： x－y =200 ，解之得： x=2000 120%－90%y=780 y=1800 答：去年的总产值为 2000 万元，总支出 1800 万元， 变式：若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？ 简析：如果设今年的总产值为万元，总支出为万元，则 200%90%120 780   yx yx 让学生动手解这个方程组， 体验这种解法的繁琐，再让 学生探索，受上例的启发，应该设间接未知数，设去年的总产值勤 x 万元，总 支出为 y 万元，计算方便。 三、做一做 例 1、 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质，若 病人每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少 克恰好满足病人的需要？ 解：设每餐需甲、乙两种原料各 x、y 克，则有下表： 甲原料各 x 克 乙原料各 y 克 所配制营养品 其中所含营养 品 0.5x 单位 0.7y 单位 (0.5x+0.7y)单 位 其中所含铁质 x 单位 0.4y 单位 (x+0.4y)单位 解此题需要注意以下两点： 1、 甲（乙）原料所含蛋白质（铁质）=甲（乙）原料的质量×每克所含蛋 白质（铁质）的含量。 2、 甲原料所含蛋白质（铁质）+乙原料所含蛋白质（铁质）=营养品所含蛋 白质（铁质。 例 2、甲、乙两相距 6 千米，两人同时出发，同向而行，甲 3 小时可追上乙；相 向而行，1 小时相遇，两人的平均速度各是多少？ 四、 练一练 1、一、二班共有 100 名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为 81%， 如果一班的学生的体育达标率为 87.%，二班的达标率为 75%，那么一、二班的 学生数各是多少？ 2、甲、乙两相距 36 千米两地相向而行，如果甲比乙先走 2 时，那么他们在 乙出发 2.5 时后相遇；如果乙比甲先走 2 时，那么他们在甲出发 3 时后相遇， 甲、乙两人每时各走多少千米？ 五、 小结 1、做应用题时应强调列表分析数量关系的重要性。 2、设未知数有两种方法： （1）直接设元 （2）间接设元，当直接设元较繁时应间接设元。 六、 作业 P202 习题 7.5。 教后感：让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组） 是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。正确地运用表格 分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。 §5.5 应用二元一次方程组---里程碑上的数 【教学目标】 1、用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行 程问题 2、归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。 【教学重点】用二元一次方程组刻画学问题和行程问题，初步体会列方程组解 决实际问题的步骤。 【教学难点】将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。 【教学过程】 一、 想一想，忆一忆 ：解二元一次方程组的基本思路各基本方法是什么？ （解二元一次方程组的基本思路是通过“消元”把“二元”化为“一元”，基本 方法是代入法和加减法 二、 创设情景，引入新课 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一小时看到的里程 碑上的数字情况如下：12∶00 时，这是两位数，它的两个数字之和为 7，13∶ 00 时，十位与个位数字与 12∶00 时看到的正好颠倒了；14∶00 时，比 12∶00 时看到的两位数中间多了个 0，你能确定小明在 12∶00 时看到的里程碑上的数 字吗？ 如果设小明在 12∶00 时看到的十位数字是 x，个位数字是 y，那么 1、 12∶00 时小明看到的数可表示为 根据两个数字和是 7，可列出方程 （10x+y； x+y=7） 2、 13∶00 时小明看到的数可表示为 12∶00~13∶00 间摩托车行驶的路程是 [10y+x；(10y+x)-(10x+y)] 3、 14∶00 时小明看到的数可表示为 13∶00~14∶00 间摩托车行驶的路程是 [10x+y；(100x+y)-(10x+y)] 4、 12∶00~13∶00 与 13∶00~14∶00 两段时间内摩托车的行驶路程有什么关 系？你能列出相应的方程吗？ 三、 练一练 例 1、 两个两位数的和是 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数， 得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位 数，已知前一个四位数比后一个四位数大 2178，求这两个两位数。 设较大的两位为 x，较小的两位数为 y。 分析： 问题 1：在较大数的右边写上较小的数，所写的数可表示为 [100x+y] 问题 2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示 为 [100 y + x] 四、 做一做 1、 一个两伯数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23；这个两位数 除以它的各位数字之和，商是 5，余数是 1，这个两位数是多少？ 五、 议一议 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？ 1、“设”：弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数； 2、“列”：找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系，根据这两个相等关系 列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 3、“解”：解这个方程组，求出未知数的值； 4、“验”：检验这个解是否正确，并看它是否符合题意； 5、“答”：与设前后呼应，写出答案，包括单位名称； 六、 小结 通过这节课的学习你有什么收获？ （学生分小组讨论，并相互补充交流） 1、 本节课主要研究有关数字问题，解题的关键是设各位数字为未知数，用这 些未知数表示相关数量，再列出方程。 2、 用二元一次方程组解应用题一般步骤有五步：设、列、解、验、答 七、 作业 P205 习题 7.6。 教后感：1.在本节课上让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生 克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。 2.用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行 程问题，让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，归纳出用二 元一次方程组解决实际问题的一般步骤。体会方程（组）是刻画现实世界的有 效数学模型 §5.6 二元一次方程与一次函数 【教学目标】 1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系 2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 3、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 【教学重点】1、二元一次方程和一次函数的关系 2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解 【教学难点】方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力 【教学过程】 一、 忆一忆 1、 同学们:什么叫二元一次方程的解? x y 2、 一次函数的图像是什么? 3、 如图,求一次函数的图像的解析式 二、 试一试 1、 问题：方程 x+y=5 的解有多少个？写出其中的几个解来 [方程 x+y=5 的解有无数多个，如： x=-1 x=0 x=1 x=2 x=3 y=6 y=5 y=4 y= 3 y=2 等 2、 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y=5－x 的图像上吗？ 3、 在一次函数 y=5－x 的图像上任取一点，它的坐标适合方程 x+y=5 吗？ 4、 以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y=5－x 的图像 相同吗？ 三、 做一做 在同一直角坐标系内分别作出一次函数 y=5－x 和 y=2x－1 的图像，这两个图像 有交点吗？交点的坐标与方程组 x+y=5 2x－ y=1 的解有什么关系？你能说明理由吗？ [一次函数 y=5－x 和 y=2x－1 的图像的交点为（2，3），因此， x=2 就是方程 组 y=3 x+y=5 2x － y=1 的解。] 例 1、 用作图象的方法解方程组 x-2y= - 2 2x – y=2 解：由 x-2y= - 2 可得 y= 12 x ，同理， 由 2x – y=2 可得 y=2x – 2，在同坐标系中作出 一次函数 y= 12 x 的图像和 y=2x – 2 的图像， 观察图像，得两直线交于点（2，2），所以方程组 x-2y= - 2 2x – y=2 的解是 x = 2 y= 3 同学们你从本题中感悟到什么？ 原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法 外还可以用图像法，那么用作 图法来解方程组的步骤如下： 1、 把二元一次方程化成一次函数的形式 2、 在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点。 3、 交点坐标就是方程组的解。 四、 练一练 1、用作图象的方法解方程组 2x+y=4 2x-3y=12 [由 2x+y=4 得 y= -2x+4 由 2x-3y=12 可得 y= 43 2 x 在同一直角坐标系中 作出函数 y= -2x+4 和函数 y= 43 2 x 的图像，观察图像可得交点为（3，-2），所 以方程组 2x+y=4 的解是 x =3 x y o 1 2x-3y=12 y= - 2 2、在图中的两直线 l1、l2 的交点坐标可以看作 的解。 [答案： y=1+2x y=4 - x 五、 试一试 1、有一组数同时适合方程 x+y=2 和 x+y=5 吗？ 2、一次函数 y=2 –x，y=5 - x 的图像之间有何关系？你能从中“悟”出 些什么吗？ [没有一组数同时适合方程 x+y=2 和 x+y=5；一次函数 y=2 –x，y=5 - x 的图像是两条平等的直线。 我们可以得到：二元一次方程组无解<=>一次函数的图像平行（无交点） 二元一次方程组有一解<=>一次函数的图像相交（有一个交点） 二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图像重合（有无数个交点） 六、 小结 1、 二元一次方程的图像实际上就是一次函数的图像 2、用图像法可以解二元一次方程组，原来我们还可以用几何的图像法来解代数 问题。 七、作业 P205 习题 7.6。 教后感： 1.通过学生的思考和操作、自主探索,力图提示出方程与图象之间的关系,引入 二元一次方程组图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.使学 生初步理解二元一次方程与一次函数的关系并能根据一次函数的图象求二元一 次方程组的近似解 2.通过学生的提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联系,培养 了学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣. §5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式 【教学目标】 1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系 2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 3、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 【教学重点】1、二元一次方程和一次函数的关系 2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解 【教学难点】方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力 【教学过程】 一、 忆一忆 a) 同学们:什么叫二元一次方程的解? b) 一次函数的图像是什么? c) 如图,求一次函数的图像的解析式 二、 试一试 a) 问题：方程 x+y=5 的解有多少个？写出其中的几个解来 [方程 x+y=5 的解有无数多个，如： 1 6 x y     0 5 x y    1 4 x y    2 3 x y    3 2 x y    等 x y O 2 4 6 -4 x y o 1 b) 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y=5－x 的图像上吗？ c) 在一次函数 y=5－x 的图像上任取一点，它的坐标适合方程 x+y=5 吗？ d) 以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y=5－x 的图像 相同吗？ 三、 做一做 在同一直角坐标系内分别作出一次函数 y=5－x 和 y=2x－1 的图像，这两个图像 有交点吗？交点的坐标与方程组 5 2 1 x y x y      的解有什么关系？你能说明理由 吗？ [一次函数 y=5－x 和 y=2x－1 的图像的交点为（2，3），因此， 2 3 x y    就是方程 组 5 2 1 x y x y      的解。] 例 1、用作图象的方法解方程组 2 2 2 2 x y x y      观察图像，得两直线交于点（2，2），所以方程组 2 2 2 2 x y x y       的解是 2 3 x y   同学们你从本题中感悟到什么？ 原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法 外还可以用图像法，那么用作 图法来解方程组的步骤如下： 4、 把二元一次方程化成一次函数的形式 5、 在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点。 6、 交点坐标就是方程组的解。 四、 练一练 1、用作图象的方法解方程组 2 4 2 3 12 x y x y     2、在图中的两直线 l1、l2 的交点坐标可以看作 的解。 五、 试一试 1、有一组数同时适合方程 x+y=2 和 x+y=5 吗？ 2、一次函数 y=2－x，y=5－x 的图像之间有何关系？你能从中“悟”出些 什么吗？ [没有一组数同时适合方程 x+y=2 和 x+y=5； 一次函数 y=2 –x，y=5 - x 的图像是两条平等的直线。 我们可以得到：二元一次方程组无解 一次函数的图像平行（无交点） 二元一次方程组有一解 一次函数的图像相交（有一个交点） 二元一次方程组有无数个解 一次函数的图像重合（有无数个交点） 六、 小结 a) 二元一次方程的图像实际上就是一次函数的图像 2、用图像法可以解二元一次方程组，原来我们还可以用几何的图像法来解代数 问题。 第六章 数据的分析 §6.1 平均数（一） 教学目标： 1、掌握算术平均数，加权平均数的概念。 2、会求一组数据的算术平均数和加权平均数。 教学重点：算术平均数，加权平均数的概念及计算。 教学难点：加权平均数的概念及计算。 教学过程： x y o 1 x y O 2 4 6 -4 一、引入新课： 在某次数学测试后，你想了解自己与班级平均成绩的比较，你先想了解该 次数学成绩什么量呢？（引入课题） 二、讲授新课： 1、引例：下面是某班 30 位同学一次数学测试的成绩，各小组讨论如何 求出它们的平均分： 95、99、87、90、90、86、99、100、95、87、88、86、94、92、90、 95、 87、86、88、86、90、90、99、80、87、86、99、95、92、92 甲小组：X= =91（分） 甲小组做得对吗？有不同求法吗？ 乙小组：X= × × × × × × × = 91（分） 乙小组的做法可以吗？还有不同求法吗？ 丙小组：先取一个数 90 做为基准 a，则每个数分别与 90 的差为： 5、9、-3、0、0、-4、……、2、2 求出以上新的一组数的平均数 X'=1 所以原数组的平均数为 X=X'+90=91 想一想，丙小组的计算对吗？ 2、议一议：问：求平均数有哪几种方法？ （1）X= （X1+X2+…+Xn） ——算术平均数 （2）X= (f1+f2+…fk=n) ——利用加 权求平均数 （3）X=X'+a ——利用基准求平均数 问：以上几种求法各有什么特点呢？ 公式（1）适用于数据较小，且较分散。 公式（2）适用于出现较多重复数据。 公式（3）适用于数据较为接近于某一数据。 3、练习：P213 利用计算器 （1）计算两支球队的平均身高，哪支球队队员的身材更为高大？ （2）计算两支球队的平均年龄，哪支球队队员的年龄更为年轻？ 4、加权平均数： 例 1，某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对 A，B，C 三名候选人进 行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示： （1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？ （2）根据实际需要，公司将创新，综合知识和语言三项测试得分按 4:3:1 的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ 小结：实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同， 因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”，如例 1 中 4，3， 1 分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的权，而称 为 A 的三项测试成绩的加权平均数。 三、练一练：P216 随堂练习 四、小结：通过本节课的学习，你有哪些收获与体会？ 五、作业： 书 P220 习题 8.1 教后感：通过小组合作的活动，让学生体会数学与生活的密切联系, 掌握算术 平均数，加权平均数的概念,培养学生的合作意识和能力。 §6.1 平均数（二） 教学目标： 1、会求加权平均数，并体会权的差异对结果的影响。 2、理解算术平均数和加权平均数的联系与区别，并能利用它们解决一些现 实问题。 教学重点：加权平均数中权对结果的影响及与算术平均数的联系与区别。 教学难点：探索算术平均数和加权平均数的联系和区别。 教学方法：探讨教学 教学过程： 一、引入新课： 1、什么是算术平均数？加权平均数？ 2、算术平均数与加权平均数有什么联系与区别吗？（引入） 二、讲授新课： 1、例题讲解： 我校对各个班级的教室卫生情况的考查包括以下几项：黑板、门窗、桌椅、 地面。 一天，三个班级的各项卫生成绩分别如下： （1）小明将黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按 15%、10%、35%、40% 的比例计算各班的卫生成绩，那么哪个班的成绩最高？ （2）你认为上述四项中，哪一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评 分方案，根据你的方案，哪一个班的卫生成绩最高？与同伴进行交流。 解：（1）一班的卫生成绩为： 95×15%+90×10%+90×35%+85×40%=88.75 二班的卫生成绩为： 90×15%+95×10%+85×35%+90×40%=88.75 三班的卫生成绩为： 85×15%+90×10%95×35%+90×40%=91 因此，三班的成绩最高。 （2）分组讨论交流 小结：以上四项所占的比例不同，即权有差异，得出的结果就会不同，也 就是说权的差异对结果有影响。 2、议一议： 小颖家去年的饮食支出为 3600 元，教育支出为 1200 元，其他支出为 7200 元，小颖家今年的这三项支出依次比去年增长 39%，3%，6%，小颖家今年的总支 出比去年增长的百分数是多少？ 问：如何求今年的总支出比去年总支出的百分比呢？ 百分比=今年总支出—去年总支出 去年总支出 以下是小明和小亮的两种解法？谁做得对？ 小明： （9%+30%+6%）=15% 小亮： =9.3% 由于小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等，因此，饮食、教 育和其他三项支出的增长率“地位”不同，它们对总支出增长率的“影响”不 同，不能简单地用算术平均数计算总支出的增长率，而应将这三项支出金额 3600，1200，7200 分别视为三项支出增长率的“权”，从而总支出的增长率为小 美的求法是对的。 三、课堂练习： 1、小明骑自行车的速度是 15 千米/时，步行的速度是 5 千米/时。 （1）如果小明先骑自行车 1 小时，然后又步行了 1 小时，那么他的平均速度 是多少？ （2）如果小明先骑自行车 2 小时，然后步行了 3 小时，那么他的平均速度是 多少？ 2、某市七月中旬各天的最高气温统计如下： 求该市七月中旬的最高气温的平均数。 四、小结 1、加权平均数受什么因素的影响？ 权的差异对结果有影响。 2、算术平均数与加权平均数有哪些联系与区别？ 五、作业： P223 习题 8.2 试一试 教后感：过解决实际问题，体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学 的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。会求加权平均数，并体会权的 差异对结果的影响。 §6.2 中位数和众数 一、教学目标： 1.掌握中位数、众数等数据代表的概念，能根据所给信息求出相应的数据代表。 2.合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的差别，能初步选择恰当的数据 代表对数据做出自己的判断。 3.培养学生对统计数据从多角度进行全面的分析，从而避免机械的、片面的解 释。 二、教学重点和难点： 重点：掌握中位数、众数等数据代表的概念。 难点：选择恰当的数据代表对数据做出判断。 三、教学过程： （一）创设情景，引出课题 师：在当今信息时代，信息的重要性不言而喻，而人们又经常要求一些信息“用 数据说话”，所以对数据做出恰当的分析是很重要的。今天我们一起来学习数 据的代表以及如何选择恰当的数据代表对数据做出判断。 我们一起来看下列一组数据： 课件显示： 问题 1：数据误导： 某次数学考试，婷婷得到 78 分。 全班共 30 人, 其他同学的成绩为 1 个 100 分，4 个 90 分, 22 个 80 分,以及一个 2 分和一个 10 分。 婷婷计算出全班的平均分为 77 分，所以婷婷告诉妈妈说，自己这次成绩在班上 处于“中上水平”。 师：婷婷有欺骗妈妈吗？ 【板书：平均数：对于 n 个数 x1,x2,…,xn,我们把 n 1 (x1+x2+…+xn)叫做这 n 个数 的算术平均数(mean)，简称平均数。】 生：没有。 师：平均数是我们常用的一个数据代表，但是在这里，利用平均数把倒数第三 的分数说成处于班级的“中上水平”显然有投机取巧之嫌，大家思考：那么问 题出在哪里呢？ 生：平均分受两个极端数据 2 分和 10 分的影响。 师：你对此有何评价？ 生：… （复习了平均数的概念，同时说明有些数据利用平均数是反应不出问题的，为 引入其他数据代表奠定基础。另外新课伊始，力求创设一种引人入胜的教学情 景，挖掘出趣味因素，最大限度地吸引学生的课堂投入，符合学生的心理特征 和认识规律。） 师：类似的受平均数误导例子还是很多的。婷婷的爸爸的公司在一次招聘时就 出现了如下的情景。 问题 2 阿冲应聘 先请一位同学给画面编一段话。 然后提问： 经理所说的公司的平均月薪 2000 元是否欺骗了阿冲？ 平均月薪 2000 元能客观反映公司员工的平均收入吗？ 若不能，你认为用哪个数据表示该公司员工收入的平均水平更合适？ （二）交流对话，探究新知 提出一个真实的问题，揭示学生认识上的矛盾，产生新的疑点，引起学生对“平 均水平”的认知冲突，从而引入中位数和众数的概念. 板书：中位数——把 n 个数据按大小、顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或) 叫做这组数据的中位数（median）. 众数——组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这批数据的众数（mode）. 教师提问：大家对这两个概念还有什么疑问吗？ 练习 1、数据 1 2 8 5 3 9 5 4 5 4 的众数、中位数分别为（ ） A．4.5、 5 B．5、 4.5 C．5、 4 D．5、 5 武汉市初中毕业（升学）考试数学试题 答：B 2、对于数据组 3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2 ①这组数据的众数是 3； ②这组数据的众数与中位数的数值不等； ③这组数据的中位数与平均数的数值相等； ④这组数据的平均数与众数的数值相等。 其中正确的结论有（ ）。 （A）1 个；（B）2 个；（C）3 个（D）4 个。 (2000 年天津市数学中考试题) 答：A 3、婷婷的妈妈是一位校鞋经销部的经理，为了解鞋子的销售情况，随机调查了 9 位学生的鞋子的尺码，由小到大是： 20，21，21，22，22，22，22，23，23。 对这组数据的分析中，婷婷的妈妈最感兴趣的数据代表是（ ） (A)平均数 (B)中位数 (C)众数 答：C （三）梳理概括，形成结构 师：通过刚才的练习，我们基本掌握了数据三个代表的概念。 （结合课件画面）在实际生活中针对同一份材料，同一组数据，当人们怀着不 同的目的，选择不同的数据代表，从不同的角度进行分析时，看到的结果可能 是截然不同的。婷婷同学利用自己的分数正好高出平均分的优势，采用了平均 数作为数据代表来向她妈妈汇报，从而得出自己的分数还是处于班级中上水平 的结论。婷婷爸爸也是利用自己公司的平均工资较高的优势，拿平均工资来吸 引应聘者。 作为信息的接受者，分析数据应该从多角度对统计数据作出较全面的分析，从 而避免机械的，片面的解释. （四）应用新知，体验成功 下面我们自己也试着把学过的知识应用到实际中。 （课件显示例 1） 例 1 某班的教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论，他们的五次数 学成绩分别是： 小玲： 62，94，95，98，98. 小明：62，62，98，99，100. 小丽：40，62，85，99，99. 他们都认为自己的成绩比另两位同学的好，请你结合各组数据的三个数据代 表，谈谈你的观点。 （教师把班级学生分为 4 大组，分别代表小玲、小明、小丽和裁判组。让学生 充分利用本组数据中的优势数据代表进行讨论。教师适当点评） （六）变式练习，扩展新知 师：刚才大家知识的应用得很好。 （结合课件）议一议：平均数、中位数与众数都有哪些自己的特点？ 教师引导学生围绕以下内容展开： 平均数:充分利用数据所提供信息,应用最为 广泛，但… 中位数:计算简单,受极端值影响较小,但… 众数:当一组数据中有些数据多次重复出现时,众数往往是人们尤为关心的一个 量. 下面由我们自己去收集一组生活中的数据，然后再选择恰当的数据代表来说明 本组数据的特征。 全班每个学习小组分别测出一组和本组同学相关的生活数据（例如每分钟心跳 的次数，每分钟呼吸的次数，同学眼镜近视的度数、中指的长度、身高等等）， 然后由各组选择一位代表上来发布本组同学的所得数据的平均数、中位数和众 数，并选择其中一个数据代表来说明本组数据的特征。 （教师发给每个小组一张《活动报告单》，深入到学生活动中，适当答疑） （教师视课堂具体的时间的情况选择是否讲解：假如你是一名厂长……） （五）反馈评价，提示作业 平均数、中位数和众数各有所长，也各有其短。请你分别结合具体实例，说明 平均数、中位数和众数各自的现实意义。 1. 用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个 数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因而其应用最为广泛， 特别是在进行统计推断时有重要的作用；但计算时比较烦琐，并且容易受到极 端数据的影响。 2. 用众数作为一组数据的代表，着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小只 与这组数据中的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响．当 一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量。 3. 用中位数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，但中位数也不受极端数据 的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。 总结： 今天我们都学到哪些知识？ 1.根据不同的实际需要，确定用平均数、中位数还是众数反映数据的特征。 2.平均数是最常用的指标。但在实际问题中，不能一味的使用平均数来确定数 据的特征。 补充练习： 想一想： 高一级学校录取新生主要是依据考生的总分，这与平均数、中位数和众数中的 哪一个关系较大？ 答：和平均数的关系较大。 计算平均数时用到了每一个数据，所以它对数据的变化比较敏感。平均数是最 常用的指标。与中位数和众数相比，它有时能够获得更多的信息。 思考题： 随着汽车的日益普及，越来越多的城市发生了令人头疼的交通堵塞问题。你认 为衡量某条交通主干道的路况用过往车辆一天车速的平均数合适吗？ 分析： 人们上下班的时候是一天中最繁忙的两个时段，其他时段车流量明显减少，因 此，如果用一天车速的平均数来衡量道路的路况，那么上下班交通堵塞的问题 就给掩盖了。所以，较为合理的是按道路繁忙的不同程度，将一天分为几个时 段分别计算平均车速。 课后练习 简答题，请说明理由： （1）河水的平均深度为 2。5 米，一个身高 1。5 米但不会游泳的人下水后肯定 会淹死吗？ （2）某学校录取新生的平均成绩是 535 分，如果某人的考分是 531 分，他肯定 没有被这个学校录取吗？ （3）5 位学生在一次考试中的得分分别是：18，73，78，90，100 考分为 73 的 同学是在平均分之上还是之下？你认为他在 5 人中考分属 “ 中上 ” 水平 吗？ 五、作业： P227 习题 8.3 §6.3 从统计图分析数据的集中趋势 教学目标： 1、根据给定信息，会利用计算器求一组数据的平均数。 2、会进行数据的收集、加工与整理。 教学难点：会进行数据的收集、加工与整理。 教学过程： 一、引入新课： 在前几节课里我们分别学习了求算术平均数与加权平均数，在计算过程中， 你们体会到有什么困难吗？（引入） 二、讲授新课： 1、探一探：（新 6 人为小组） （1）自己课桌的宽度，并将各组员的估计结果统计出来（精确 0.1 厘米）。 （2）用计算器求出估计结果的平均值，你是怎么做的？互相交流。 计算器求一组数据平均数的一般步骤是：（以科学计算器为例） 大家的做法与以上步骤一致吗？量一量，与实际是否符合？ 2、例 1，观察图 8-1，利用计算器计算上海东方大鲨鱼篮球队队员的平均年龄。 问：分别指出图中各年龄的人数？如何用计算器求出他们的平均年龄呢？ 三、课堂练习： 1、P225 随堂练习 1.2 2、补充练习： （1）下面是某空调专卖店在今年七月份 10 天的销售数量：90，83，83，75， 71，69，68，67，65，64 求这组数据的平均数。 （2）有人对展览馆七天中每天对馆参观的人数做了记录，情况如下：180，176， 173，176，176，181，182，求这组数据的平均数。 §6.4 数据的离散程度 学习目标： (1) 经历数据的收集、整理、描述和分析的过程；能根据数据处理的结果，做 出合理的判断和预测。 (2) 增强应用数学的意识和综合运用所学知识解决问题的能力。 学习重点： 熟悉数据的收集、整理、描述和分析，做出合理的判断和预测 学习难点：对 数据的收集、整理、描述和分析学习过程： 一、自主学习.阅读课本 92 页图 10-1 回答下面问题： 1.甲、乙两名运动员的训练成绩的平均数 ，众 数 中位数 2.观察图 10-1，你发现那名运动员的成绩波动范围较大？谁的成绩比较稳 定？ 3.通常用 来描述一组数据的波动范围和偏离平均数的差 异程度 二、合作交流 这两组数据的平均数、中位数、众数是否一致？仅关心数据的平均数、中位数、 众数就能得到全面的结论吗？ 三、巩固练习： 1、课本 93 页练习 2、A 组的 2 题 四、小结反思 处理数据时，我们不但要了解一组数据的平均水平，还需要了解这组数据的离 散程度。 五、达标检测： 综合能力训练 88 页课堂练习 第七章 平行线的证明 §7.1 为什么要证明 一、学习目标 1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否． 2.经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑， 以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识． 3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等． 二、教学过程 第一环节：验证活动（1） 活动内容： 某学习小组发现，当 n=0，1，2，3 时，代数式 n2-n+11 的值都是质数，于 是得到结论：对于所有自然数 n， n2-n+11 的值都是质数．你认为呢？与同伴交 流． 参考答案：列表归纳为 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n2-n+11 1 1 11 13 17 23 31 41 53 67 83 10 1 121 是否为 质数 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 不是 第二环节：猜想并验证活动（2） 活动内容： 如图，假如用一根比地球的赤道长 1 米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁 丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？ 能放进一个拳头吗？ 参考答案：设赤道周长为 c，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ： )(16.02 1 22 1 mcc   它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个 拳头． 第三环节：猜想并验证活动（3） 活动内容： 如图，四边形 ABCD 四边的中点 E、F、G、H，度量四边形 EFGH 的边和角， 你能发现什么结论？改变四边形 ABCD 的形状，还能得到类似的结论吗？ 参考答案：连接 AC． ∵E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 四边中点， ∴EF∥AC，EF= 2 1 AC；GH∥AC，GH= 2 1 AC； ∴EF 平行且等于 GH， ∴四边形 EFHG 为平行四边形． 第四环节：归纳与总结 活动内容： ① 通过以上三个数学活动，使学生对每一个问题的结论的正确性有了怀 疑，从而知道了由观察、猜想等渠道得到的结论还必须经过有效的证明才能对 其进行肯定．也即：要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够， 必须经过一步一步， 有根有据的推理． ②举例说明“推理意识”与推理方法． 第五环节：反馈练习 活动内容：1.如图中两条线段 a 与 b 的长度相等吗？请你先观察，再度量一 下.，答案：a 与 b 的长度相等. 第 1 小题图 第 2 小题图 2.如图中三条线段 a、b、c,哪一条线段与线段 d 在同一直线上？请你先观察，再 用三角尺验证一下. 答案：线段 b 与线段 d 在同一直线上. 3.当 n 为正整数时，n2+3n+1 的值一定是质数吗？答案：经验证：当 n 为正整数 时，n2+3n+1 的值一定是质数. 第六环节：课堂小结 活动内容：今天这节课你学到了什么知识？ ① 要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例子，也无法保证其 正确性． ②要确定一个数学结论的正确性，必须进行一步一步、有根有据的推理． 第七环节 巩固练习 课本第 217 页习题 6.1 第 2，3 题． §7.2 定义与命题（一） 一、教学目标 1.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题． 2.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征． 3.通过对某些语句特征的判断学会严谨的思考习惯． 三、教学过程 第一环节：情景引入（由学生表演） 活动内容： 小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》. 小亮说：…… A B E C D F G H 小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便， 但……” 小亮说：“……” 小刚说：“……” 小亮说：“哈！，这个黑客终于被逮住了.”…… 坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着： 一人说：“这黑客是个小偷吧？” 另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼.”…… 一人说：“那因特网肯定是一张很大的网.” 另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网.”……（表演结束） 教师提出问题：在这个小品中，你得到什么启示？ （人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为 此，我们需要给出它们的定义.） ① 关于“黑客”对话的片断来引入生活中交流时必须对某些名称和术语有共同 的认识才能进行； ② 对定义含义的解释； ③ 举例说明生活中和数学学习中所熟知的定义（学生举例，看哪个小组的举 例又多又好）； 第二环节：命题含义（情景引入） 活动内容： ① 师：如果 B 处水流受到污染， 那么____ 处水流便受到污染; 如果 C 处水流受到污染，那么____ 处水流便 受到污染； 如果 D 处水流受到污染，那么____ 处水流便 受到污染； 2 学生自编自练：如果____ 处水流受 到污染，那么____处水流便受到污 染． 学生讨论，老师归纳：同学们在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了 判断.像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题. 即：命题是判断一件事情的句子.如：熊猫没有翅膀.；对顶角相等.。大家能举出 这样的例子吗？ 这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题.一般情况下： 疑问句不是命题.图形的作法不是命题.） 第三环节：反馈练习 活动内容： 1.你能列举出一些命题吗？ 2.举出一些不是命题的语句. 第四环节：课堂小结 活动内容： ① 定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的 定义； ② 命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件 事情作出任何判断，那么它就不是命题． 第五环节 课后练习 学习小组搜集八年级数学课本中的新学的部分定义、命题，看谁找得多． 四、教学反思 本节课的设计具有如下特点： （1）采用了“小品表演”的形式引入新课，意在激起学生对数学的兴趣，让学 生知道，数学不是枯燥无味的。并能从表演中不同的人对“黑客”这个名词的 不同理解更好地悟出“定义”的含义。 （2）在教学设计中，充分展示学生的语言表达能力，力图通过学生的自主学习 来体现学生的主体地位，教师则通过对学生的启发、调整、激励来实现自己的 主导地位。 （3）“什么是定义？什么是命题？”，关于这方面的教学更象是文科的教学，但 我们注重的不是让学生去死记硬背这些名词的解释，而应侧重于对这些名词的 理解。 §7.2 定义与命题（二） 一、教学目标 在上一节课的学习中，学生对命题的概念有了清楚的认识，但学生对于命题的 构造，什么是真命题，什么是假命题还不甚了解，本节课旨在让学生对真假命 题有一个清楚的认识，从而进一步了解定理、公理的概念，为此，本节课的教 学目标是： 1.了解命题中的真命题、假命题、定理的含义； 2.解命题的构成，能区分命题中的条件和结论。 3.经历实际情境，初步体会公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理． 4.培养学生的语言表达能力。 二、教学过程第一环节：回顾引入 活动内容：①什么叫做定义？举例说明．②什么叫命题？举例说明． 第二环节：探索命题的结构 活动内容：① 探讨命题的结构特征 观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？ （1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等． （2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等． （3）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形． （4）如果一个四边的对角线相等，那么这个四边形是矩形． （5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形． ② 总结命题的结构特征 （1）上述命题都是“如果……，那么……”的形式． （2）“如果……”是已知的事项，“那么……”是由已知事项推断出的结论． （3）一般地命题都可以写成“如果……,那么……”的形式，其中“如果”引出 的部分是条件，“那么”引出的结论，每个命题都有条件和结论． 第三环节：课堂反思与小结 活动内容： 本节课的重点是了解命题中的真假命题、公理、定理的含义，通过学习学会区 分命题的条件、结论，学会判别真、假命题，理解反例、证明等概念． 四、教学反思 本节课的教学看似很容易，但要让学生真正弄清命题的含义，理清命题的构成 并不容易，更多的学生只是能机械地将一个命题改写成“如果……那么……” 的形式，往往改写的语句不够通顺、完整。因此，在教学中，进行适当的巩固 练习是必要的，但要注意，应允许部分学生在课余时间自行消化。 在探讨命题的结构特征和修改命题形式时，有的学生可能会说出比较幼稚、甚 至可笑的语句，尽管如此，也应让学生大胆说出自己的意见，避免学生机械模 仿，要允许学生有错误，并能在自行改正错误中调整前进。 §7.3 平行线的判定 一、教学目标 1.熟练掌握平行线的判定公理及定理； 2.能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中． 通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力，逐步掌握 规范的推理论证格式． 3.通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想． 二、教学过 第一环节：情景引入 活动内容：回顾两直线平行的判定方法 师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下 互相平行呢？ 这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的． 上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都 需要通过推理的方法证实． 我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直 线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其 他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨． 第二环节：探索平行线判定方法的证明 活动内容： ① 证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直 线平行． 师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号 语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式： 如图，已知，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内 角，且∠1 与∠2 互补，求证：a∥b． 如何证明这个题呢？我们来分析分析． 师生分析：要证明直线 a 与 b 平行，可以想到 应用平行线的 判定公理来证明．这时从图中可以知道：∠1 与∠3 是同位 角，所以只需证明∠1=∠3，则 a 与 b 即平行． 因为从图中可知∠2 与∠3 组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180° －∠2．又因为已知条件中有∠2 与∠1 互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180° －∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3． 师：好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说 明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”） 1 2 3 a b c 证明：∵∠1 与∠2 互补（已知） ∴∠1+∠2=180°（互补定义） ∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义） ∴∠3=180°－∠2（等式的性质） ∴∠1=∠3（等量代换） ∴a∥b（同位角相等，两直线平行） 这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为： 直线平行的判定定理． 这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行． 注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证 明新定理．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据， 可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要 求把根据写在每一步推理后面的括号内． ② 证明：内错角相等,两直线平行． 师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相 关动画） 生：我认为他的作法对．他的作法可用上图来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°．因 为∠BEF 与∠FEA 组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45° =135°．而∠CFE 与∠FEA 是同旁内角．且这两个角的和为 180°，因此可知： CD∥AB． 师：很好．从图中可知：∠CFE 与∠FEB 是内错角．因此可知：“内错角相等， 两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程． 师生分析：已知，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角，且∠1=∠2． 求 证：a∥b 证明：∵∠1=∠2（已知） ∠1+∠3=180°（平角定义） ∴∠2+∠3=180°（等量代换） ∴∠2 与∠3 互补（互补的定义） ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）． 这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行． ③ 借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？ 生 1：已知，如图，直线 a⊥c,b⊥c．求证：a∥b． 证明：∵a⊥c,b⊥c（已知） ∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义） ∴∠1=∠2（等量代换） ∴b∥a（同位角相等，两直线平行） 生 2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平 行”的结论． 师：同学们讨论得真棒．下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理． 第三环节：反馈练习 活动内容：课本第 231 页的随堂练习第一题 第四环节：学生反思与课堂小结 活动内容： ① 这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来 归纳一下完成下表： ② 由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关 系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角． ③ 注意：证明语言的规范化．推理过程要有依据． §7.4 平行线的性质 一、教学目标 1、认识平行线的三条性质，.能熟练运用这三条性质证明几何题，进一步理 解和总结证明的步骤、格式、方法． 2、了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程。进一步发展 学生的合情推理能力，培养学生的逻辑思 维能力。 三、教学过程第一环节：情境引入 活动内容： 一条公路两次拐弯后，和原来的方向 相同，第一次拐的 角∠B 是 130°，第二次拐的角∠C 是多少度？ 说明：这是一个实际问题，要求出∠C 的度数，需要我们研究与判定相反的问题， 即已知两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线 的性质． 第二环节：探索与应用 活动内容： ① 画出直线 AB 的平行线 CD，结合画图过程思考画出的平行线，被第三条 直线所截的同位角的关系是怎样的？ ② 平行公理：两直线平行同位角相等． ③ 两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内 角有什么关系呢？ ∵a∥b(已知)， ∴∠1＝∠2(两条直线平行，同位角相等) ∵∠1＝∠3(对顶角相等)， ∴∠2=∠3(等量代换)． 由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢？学生活动：同学们积极举手回答问 题．教师根据学生叙述，给出板书：两条平行线被第三条直线所截，内错角相 等． 师：下面请同学们自己推导同旁内角是互补的．并归纳总结出平行线的第 三条性质．请一名同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成．师生共同订 正推导过程并写出第三条性质，形成正确板书． ∵a∥b(已知) ∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等) ∵∠1＋∠4=180°(邻补角定义) ∴∠2+∠4＝180°(等量代换) 即：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成，两直线平行， 同旁内角互补 师：我们知道了平行线的性质，在今后我们经常要用到它们去解决、论述一些 问题，所需要知道的条件是两条直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同 旁内角互补，即它们的符号语言分别为： ∵a∥b， ∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)． ∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)． ∵a∥b(已知)， ∴∠2+∠4＝180°．(两直线平行，同旁内角互补) (板书在三条性质对应位置上) 第三环节：课堂练习 活动内容： ① 已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截 (1)若∠1=110°,可以知道∠2 是多少度吗？为什 么？ (2)若∠1=110°，可以知道∠3 是多少度吗？为什 么？ (3)若∠1=110°，可以知道∠4 是多少度吗，为什 么？ ② 变式训练：如图是梯形有上底的一部分，已知量 得∠ A=115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？ 解：∵AD∥BC(梯形定义)， ∴∠A+∠B＝180°．∠C＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠B=180°-∠A＝180°-115°=65°． ∴∠C＝180°-∠D＝180°-100°=80°． ③ 变式练习：如图，已知直线 DE 经过点 A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57° (1)∠DAB 等于多少度？为什 么？ (2)∠EAC 等于多少度？为什 么？ (3)∠BAC、∠BAC＋∠B＋∠C 各 等于多少 度？ ④ 如图，A、B、C、D 在同一直 线上，AD∥ EF． (1)∠E＝78°时，∠1、∠2 各等于多少度？为什么？ (2)∠F=58°时，∠3、∠4 各等于多少度？为什么？ 第四环节：课堂反思与小结 活动内容： ① 归纳两直线平行的判定与性 质 ② 总结证明的一般思路及步骤 §7.5 三角形内角和定理（一） 一、教学目标 1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用，灵活运用三角形内角和定理解决相 关问题。 2 用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力.，比过去撕纸等探索过程， 体会思维实验和符号化的理性作用． 二、教学过程第一环节：情境引入 活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理． 实验 1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边 平行（图 6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌 合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果 （1） （2） （3） （4） 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折 法吗？ （2）实验 2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪 下一个角呢？ 第二环节：反馈练习 活动内容： （1）△ABC 中可以有 3 个锐角吗？ 3 个直角呢？ 2 个直角呢？若有 1 个直角 另外两角有什么特点？ （2）△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？ （3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC 中∠B=？ （4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角． （5）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角． （6）三角形中三角之比为 1∶2∶3，则三个角各为多少度？ （7）已知：△ABC 中，∠C=∠B=2∠A。(a)求∠B 的度数；(b)若 BD 是 AC 边上的 高，求∠DBC 的度数？ 第三环节：课堂小结；内容： 3 证明三角形内角和定理有哪几种方法？ 4 辅助线的作法技巧. 5 三角形内角和定理的简单应用. §7.5 三角形内角和定理（二） 一、教学目标 1.掌握三角形外角的两条性质；进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、 技巧． 2.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题，一步培养学生的逻辑思 维能力和推理能力，培养学生的几何意识。 3.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有 条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣． 二、教学过程 第一环节：情境引入 活动内容：在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC 的一边 BC 延长得到∠ ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质． 第二环节：探索新知 活动内容：① 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角， 叫做三角形的外角， 结合图形指明外角的特征有三： (1)顶点在三角形的一个顶点上 (2)一条边是三角形的一边． (3)另一条边是三角形某条边的延长线． ② 两个推论及其应用 由学生探讨三角形外角的性质： 问题 1：如图，△ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角， 能由∠A、∠B 求出∠ACD 吗？如果能，∠ACD 与∠A、∠B 有什么关系？ 问题 2：任意一个△ABC 的一个外角∠ACD 与∠A、∠B 的大小会有什么关系呢？ 由学生归纳得出： 推论 1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 例 1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE 是△ABC 的三个外角． 求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360° 分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证． 证明：(略)． 例2、已知：D是AB上一点,E是AC上一点，BE、CD相交于F,∠A=62°，∠ACD=35°， ∠ABE=20°．求：(1)∠BDC 度数；(2)∠BFD 度数． 解：(略)． 第三环节：课堂练习 活动内容： （1） 已知，如图，在三角形 ABC 中，AD 平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD ∥BC 分析：要证明 AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠B= 2 1 ∠EAC（等式的性质）∵AD 平分∠EAC（已知） ∴∠DAE= 2 1 ∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换） ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行） 想一想，还有没有其他的证明方法呢？ 这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C（已知）∴∠C= 2 1 ∠EAC（等式的性质） ∵AD 平分∠EAC（已知）∴∠DAC= 2 1 ∠EAC（角平分线的定义） ∴∠DAC=∠C（等量代换）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行） 还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠C= 2 1 ∠EAC（等式的性质）∵AD 平分∠EAC（已知） ∴∠DAC= 2 1 ∠EAC ∴∠DAC=∠C（等量代换） ∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴∠B+∠BAC+∠ DAC=180° 即：∠B+∠DAB=180° ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） ② 已知：如图，在三角形 ABC 中，∠1 是它的一个 外 角，E 为边 AC 上一点，延长 BC 到 D，连接 DE．求证：∠1>∠2． 证明：∵∠1 是△ABC 的一个外角（已知） ∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵∠ACB 是△CDE 的一个外角（已知） ∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1>∠2（不等式的性质） ③.如图，求证：（1）∠BDC>∠A. A B C D E 1 F 2 B A C D E （2）∠BDC=∠B+∠C+∠A. 如果点 D 在线段 BC 的另一侧，结论会怎样？ ［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理 解掌握三角形的内角和定理及推论. 证法一：（1）连接 AD，并延长 AD，如图， 则∠1 是△ABD 的一个外角，∠2 是△ACD 的一个外角. ∴∠1>∠3. ∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质） 即：∠BDC>∠BAC. （2）连结 AD，并延长 AD，如图. 则∠1 是△ABD 的一个外角，∠2 是△ACD 的一个外角. ∴∠1=∠3+∠B ∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC 证法二：（1）延长 BD 交 AC 于 E（或延长 CD 交 AB 于 E），如图. 则∠BDC 是△CDE 的一个外角. ∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵∠DEC 是△ABE 的一个外角（已作） ∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠BDC>∠A（不等式的性质） （2）延长 BD 交 AC 于 E，则∠BDC 是△DCE 的一个外角. ∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵∠DEC 是△ABE 的一个外角 ∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换） 第四环节：课堂反思与小结 活动内容： 由学生自行归纳本节课所学知识： 推论 1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．