2019-2020学年江苏省泰州中学附中八年级下学期期末数学试卷 （解析版）

2019-2020学年江苏省泰州中学附中八年级下学期期末数学试卷 （解析版）

‎2019-2020学年江苏省泰州中学附中八年级第二学期期末数学试卷 一、选择题 ‎1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．我市教育系统为了解本地区15000名初中生的体重情况，从中随机抽取了500名初中生的体重进行统计．以下说法正确的是（　　）‎ A．15000名初中生是总体 ‎ B．500名初中生是总体的一个样本 ‎ C．每名初中生的体重是个体 ‎ D．500名初中生是样本容量 ‎3．矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（　　）‎ A．对角相等 B．对角线相等 ‎ C．对角线互相平分 D．对边相等 ‎4．在有理式：①；②；③；④中，分式有（　　）个．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎5．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（　　）‎ A．14 B．‎15 ‎C．16 D．25‎ ‎6．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（　　）‎ A．2 B．‎3‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎7．如果代数式有意义，那么x的取值范围是　 　．‎ ‎8．当a＝　 　时，最简二次根式与是同类二次根式．‎ ‎9．已知y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是　 　．‎ ‎10．一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、15、8，则第5组的频率是　 　．‎ ‎11．质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1﹣6的点数，抛掷这枚骰子，把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列　 　．‎ ‎（1）向上一面的点数大于0‎ ‎（2）向上一面的点数是7‎ ‎（3）向上一面的点数是3的倍数 ‎（4）向上一面的点数是偶数 ‎12．设函数y＝与y＝x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则的值为　 　．‎ ‎13．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是　 　．‎ ‎14．如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k＝　 　．‎ ‎15．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，且C点的坐标为（5，3），则这个旋转中心的坐标是　 　．‎ ‎16．如图，在△ABC中，AC＝，∠CAB＝30°，D为AB上的动点，连接CD，以AD ‎、CD为边作平行四边形ADCE，则DE长的最小值为　 　．‎ 三、解答题（本大题共10小题，共102分）‎ ‎17．计算（或解方程）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）2x2﹣4x＝1（配方法）‎ ‎18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝5+．‎ ‎19．为阻断新冠疫情向校园蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部通知，2020年春季学期延期开学，利用网上平台，“停课不停学”，我市某校对初二全体学生数学线上学习情况进行调查，随机抽取部分学生的3月月诊断性测试成绩，按由高到低分为A，B，C，D四个等级，根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）该校共抽查了　 　名同学的数学测试成绩，扇形统计图中A等级所占的百分比a＝　 　；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）若该校初二共有1180名同学，请估计该校初二学生数学测试成绩优秀（测试成绩B级以上为优秀，含B级）约有多少名？‎ ‎20．某中学组织学生到离学校‎15km的东山游玩，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h ‎，先遣队的速度是多少？大队的速度是多少？‎ ‎21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E．‎ ‎（1）求证：△FCE≌△BOE；‎ ‎（2）当∠ADC＝90°时，判断四边形OCFD的形状？并说明理由．‎ ‎22．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0．‎ ‎（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；‎ ‎（2）若以方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．‎ ‎23．如图，一次函数y＝x+b与反比例函数y＝的图象交于点A（4，a）、B（﹣8，﹣2）．‎ ‎（1）求k、a、b的值；‎ ‎（2）求关于x的不等式x+b＞的解集；‎ ‎（3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数y＝的图象上，且A、B、P、Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，试求点P的坐标．‎ ‎24．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．‎ ‎（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；‎ ‎（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；‎ ‎（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．‎ ‎25．在平面直角坐标系中，过点P（0，a）作直线l分别交y＝（m＞0、x＞0）、y＝（n＜0、x＜0）于点M、N，‎ ‎（1）若m＝2，MN∥x轴，S△MON＝6，求n的值；‎ ‎（2）若a＝5，PM＝PN，点M的横坐标为4，求m﹣n的值；‎ ‎（3）如图，若m＝4，n＝﹣6，点A（d，0）为x轴的负半轴上一点，B为x轴上点A右侧一点，AB＝4，以AB为一边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD与y＝（m＞0、x＞0）、y＝（n＜0、x＜0）都有交点，求d的范围．‎ ‎26．如图，四边形ABCO是平行四边形且点C（﹣4，0），将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点A，D在反比例函数y＝的图象上，过A作AH⊥x轴，交EF于点H．‎ ‎（1）证明：△AOF是等边三角形，并求k的值；‎ ‎（2）在x轴上找点G，使△ACG是等腰三角形，求出G的坐标；‎ ‎（3）设P（x1，a），Q（x2，b）（x2＞x1＞0），M（m，y1），N（n，y2）是双曲线y＝‎ 上的四点，m＝，n＝，试判断y1，y2的大小，说明理由．‎ 参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．‎ 解：A、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；‎ B、不是轴对称图形，也不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；‎ D、是轴对称图形，也是中心对称的图形，故本选项符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎2．我市教育系统为了解本地区15000名初中生的体重情况，从中随机抽取了500名初中生的体重进行统计．以下说法正确的是（　　）‎ A．15000名初中生是总体 ‎ B．500名初中生是总体的一个样本 ‎ C．每名初中生的体重是个体 ‎ D．500名初中生是样本容量 ‎【分析】根据①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；‎ ‎②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；‎ ‎③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；‎ ‎④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量分别进行分析即可．‎ 解：A、15000名初中生是总体，说法错误，应为15000名初中生的体重是总体，故此选项不合题意；‎ B、500名初中生是总体的一个样本，说法错误，应为500名初中生的体重是总体的一个样本，故此选项不合题意；‎ C、每名初中生的体重是个体，说法正确，故此选项符合题意；‎ D、500名初中生是样本容量，说法错误，应为500是样本容量，故此选项不合题意．‎ 故选：C．‎ ‎3．矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（　　）‎ A．对角相等 B．对角线相等 ‎ C．对角线互相平分 D．对边相等 ‎【分析】举出矩形和平行四边形的所有性质，找出矩形具有而平行四边形不具有的性质即可．‎ 解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；‎ 平行四边形的性质有：①平行四边形的对边分别相等且平行，②平行四边形的对角分别相等，③平行四边形的对角线互相平分；‎ ‎∴矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，‎ 故选：B．‎ ‎4．在有理式：①；②；③；④中，分式有（　　）个．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．‎ 解：①与③是分式，‎ ‎②与④是整式，‎ ‎∴分式有2个．‎ 故选：B．‎ ‎5．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（　　）‎ A．14 B．‎15 ‎C．16 D．25‎ ‎【分析】根据第一天患病的人数为1+1×传播的人数，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，再根据等量关系：第一天患病的人数+第二天患病的人数＝225，列出方程求解即可．‎ 解：设平均每天一人传染了x人，‎ 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225，‎ ‎（1+x）2＝225，‎ 解得：x1＝14，x2＝﹣16（舍去）．‎ 答：平均每天一人传染了14人．‎ 故选：A．‎ ‎6．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（　　）‎ A．2 B．‎3‎ C． D．‎ ‎【分析】如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．‎ 解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．‎ ‎∵AH＝EF，AH∥EF，‎ ‎∴四边形EFHA是平行四边形，‎ ‎∴EA＝FH，‎ ‎∵FA＝FC，‎ ‎∴AE+AF＝FH+CF＝CH，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，∵AH∥DB，‎ ‎∴AC⊥AH，‎ ‎∴∠CAH＝90°，‎ 在Rt△CAH中，CH＝＝2，‎ ‎∴AE+AF的最小值2，‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎7．如果代数式有意义，那么x的取值范围是　x≠1　．‎ ‎【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．‎ 解：∵代数式有意义，‎ ‎∴x﹣1≠0，解得x≠1．‎ 故答案为：x≠1．‎ ‎8．当a＝　﹣4　时，最简二次根式与是同类二次根式．‎ ‎【分析】根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a的方程，再由被开方数为非负数可得出a的值．‎ 解：∵最简二次根式与是同类二次根式，‎ ‎∴a2﹣3＝1﹣‎3a，a2﹣3≥0，1﹣‎3a≥0，‎ 解得：a＝﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎9．已知y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是　k＞　．‎ ‎【分析】利用反比例函数的性质，y随x的增大而减小，2k﹣3＞0，求解不等式即可．‎ 解：∵y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，‎ ‎∴2k﹣3＞0，‎ ‎∴k＞．‎ 故答案为：k＞．‎ ‎10．一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、15、8，则第5组的频率是　0.1　．‎ ‎【分析】根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．‎ 解：根据题意得：50﹣（12+10+15+8）＝50﹣45＝5，‎ 则第5组的频率为5÷50＝0.1，‎ 故答案为：0.1．‎ ‎11．质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1﹣6的点数，抛掷这枚骰子，把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列　（2）（3）（4）（1）　．‎ ‎（1）向上一面的点数大于0‎ ‎（2）向上一面的点数是7‎ ‎（3）向上一面的点数是3的倍数 ‎（4）向上一面的点数是偶数 ‎【分析】根据概率公式先求出各自的概率，再进行比较即可．‎ 解：（1）向上一面的点数大于0的可能性为1；‎ ‎（2）向上一面的点数是7的可能性为0；‎ ‎（3）向上一面的点数是3的倍数的可能性为；‎ ‎（4）向上一面的点数是偶数的可能性为，‎ 所以把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列（2）（3）（4）（1），‎ 故答案为：（2）（3）（4）（1）．‎ ‎12．设函数y＝与y＝x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则的值为　﹣1　．‎ ‎【分析】把A的坐标代入两函数得出ab＝1，b﹣a＝﹣1，把化成，代入求出即可．‎ 解：∵函数y＝与y＝x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），‎ ‎∴ab＝1，b﹣a＝﹣1，‎ ‎∴＝＝＝﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎13．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是　0　．‎ ‎【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．‎ 解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，‎ 把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，‎ 解得，k1＝1，k2＝0‎ 当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，‎ 方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．‎ 所以k的值是0．‎ 故答案为：0‎ ‎14．如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k＝　﹣12　．‎ ‎【分析】先设D（a，b），得出CO＝﹣a，CD＝AB＝b，k＝ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE＝12，最后根据AB∥OE，得出＝，即BC•EO＝AB•CO，求得ab的值即可．‎ 解：设D（a，b），则CO＝﹣a，CD＝AB＝b，‎ ‎∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，‎ ‎∴k＝ab，‎ ‎∵△BCE的面积是6，‎ ‎∴×BC×OE＝6，即BC×OE＝12，‎ ‎∵AB∥OE，‎ ‎∴＝，即BC•EO＝AB•CO，‎ ‎∴12＝b×（﹣a），即ab＝﹣12，‎ ‎∴k＝﹣12，‎ 故答案是：﹣12．‎ ‎15．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），线段AB 绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，且C点的坐标为（5，3），则这个旋转中心的坐标是　（1，1）　．‎ ‎【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点J，点J即为旋转中心．‎ 解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是J点，J（1，1）．‎ 故答案为（1，1）．‎ ‎16．如图，在△ABC中，AC＝，∠CAB＝30°，D为AB上的动点，连接CD，以AD、CD为边作平行四边形ADCE，则DE长的最小值为　　．‎ ‎【分析】取AC的中点O，当OD⊥AB时，DE的长最小，根据含30°的直角三角形的性质可求OD，即可得出DE的最小值．‎ 解：如图，取AC的中点O，当OD⊥AB时，DE的长最小，‎ ‎∵AC＝，‎ ‎∴AO＝2，‎ ‎∵∠CAB＝30°，‎ ‎∴OD＝，‎ ‎∴DE长的最小值为．‎ 故答案为：2．‎ 三、解答题（本大题共10小题，共102分）‎ ‎17．计算（或解方程）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）2x2﹣4x＝1（配方法）‎ ‎【分析】（1）先根据二次根式的除法法则和二次根式的性质进行计算，再算加减即可；‎ ‎（2）方程两边都乘以x（x+1）得出5x+2＝3x，求出x，再进行检验即可；‎ ‎（3）系数化成1，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．‎ 解：（1）原式＝﹣++‎ ‎＝3﹣+2+‎ ‎＝5；‎ ‎（2）方程两边都乘以x（x+1）得：5x+2＝3x，‎ 解得：x＝﹣1，‎ 检验：当x＝﹣1时，x（x+1）＝0，‎ 所以x＝﹣1是增根，‎ 即原方程无解；‎ ‎（3）2x2﹣4x＝1，‎ x2﹣2x＝，‎ x2﹣2x+1＝+1，‎ ‎（x﹣1）2＝，‎ x﹣1＝，‎ x1＝1+，x2＝1﹣．‎ ‎18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝5+．‎ ‎【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可得．‎ 解：原式＝（﹣）÷‎ ‎＝•‎ ‎＝，‎ 当x＝5+时，‎ 原式＝‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ ‎19．为阻断新冠疫情向校园蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部通知，2020年春季学期延期开学，利用网上平台，“停课不停学”，我市某校对初二全体学生数学线上学习情况进行调查，随机抽取部分学生的3月月诊断性测试成绩，按由高到低分为A，B，C，D四个等级，根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）该校共抽查了　100　名同学的数学测试成绩，扇形统计图中A等级所占的百分比a＝　20%　；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）若该校初二共有1180名同学，请估计该校初二学生数学测试成绩优秀（测试成绩B级以上为优秀，含B级）约有多少名？‎ ‎【分析】（1）C级所占的部分占整体的，C级的频数为40，可求出调查人数；进而求出a的值；‎ ‎（2）求出“B组”频数即可补全条形统计图；‎ ‎（3）样本估计总体，样本中，“优秀”等级占调查人数的，因此估计总体1180人的是“优秀”人数．‎ 解：（1）40÷＝100（名），a＝20÷100＝20%，‎ 故答案为：100，20%；‎ ‎（2）100﹣20﹣40﹣10＝30（名），补全条形统计图如图所示：‎ ‎（3）1180×＝590（名），‎ 答：该校初二1180名同学中测试成绩优秀（测试成绩B级以上为优秀，含B级）约有590名．‎ ‎20．某中学组织学生到离学校‎15km的东山游玩，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队的速度是多少？大队的速度是多少？‎ ‎【分析】首先设大队的速度为x千米/时，则先遣队的速度是1.2x千米/时，由题意可知先遣队用的时间+0.5小时＝大队用的时间．‎ 解：设大队的速度为x千米/时，则先遣队的速度是1.2x千米/时，‎ ‎＝+0.5，‎ 解得：x＝5，‎ 经检验x＝5是原方程的解，‎ ‎1.2x＝1.2×5＝6．‎ 答：先遣队的速度是‎6千米/时，大队的速度是‎5千米/时．‎ ‎21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E．‎ ‎（1）求证：△FCE≌△BOE；‎ ‎（2）当∠ADC＝90°时，判断四边形OCFD的形状？并说明理由．‎ ‎【分析】（1）证明四边形OCFD是平行四边形，得出OD＝CF，证出OB＝CF，即可得出△FCE≌△BOE（AAS）；‎ ‎（2）证出四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得出OC＝OD，即可得出四边形OCFD为菱形．‎ ‎【解答】证明：（1）∵CF∥BD，DF∥AC，‎ ‎∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE＝∠CFE，‎ ‎∴OD＝CF，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OB＝OD，‎ ‎∴OB＝CF，在 ‎△FCE和△BOE中，，‎ ‎∴△FCE≌△BOE（AAS）；‎ ‎（2）当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形；理由如下：‎ ‎∵∠ADC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，‎ ‎∴OC＝OD，‎ ‎∴四边形OCFD为菱形．‎ ‎22．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0．‎ ‎（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；‎ ‎（2）若以方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．‎ ‎【分析】（1）根据△的意义得到4（k﹣3）2﹣4（k2﹣4k﹣1）≥0，然后解不等式得到k≤5；‎ ‎（2）设方程的两根分别为x1、x2，根据根与系数的关系得到x1•x2＝k2﹣4k﹣‎ ‎1，再根据反比例函数图象上点的坐标特点得m＝x1•x2＝k2﹣4k﹣1，配方得到m＝（k﹣2）2﹣5，再根据非负数的性质得到（k﹣2）2﹣5≥0，于是m的最小值为﹣5．‎ 解：（1）根据题意得4（k﹣3）2﹣4（k2﹣4k﹣1）≥0，解得k≤5，‎ 所以k的取值范围为k≤5；‎ ‎（2）设方程的两根分别为x1、x2，‎ 则x1•x2＝k2﹣4k﹣1，‎ ‎∵方程两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，‎ ‎∴m＝x1•x2＝k2﹣4k﹣1＝（k﹣2）2﹣5，‎ ‎∵（k﹣2）2≥0，‎ ‎∴（k﹣2）2﹣5≥﹣5，‎ 即m的最小值为﹣5．‎ ‎23．如图，一次函数y＝x+b与反比例函数y＝的图象交于点A（4，a）、B（﹣8，﹣2）．‎ ‎（1）求k、a、b的值；‎ ‎（2）求关于x的不等式x+b＞的解集；‎ ‎（3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数y＝的图象上，且A、B、P、Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，试求点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）由点B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，可求出k，b的值，由点A的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出a值；‎ ‎（2）观察两函数图象的上下位置关系，由此可得出不等式x+b＞的解集；‎ ‎（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，），分AB为边及AB为对角线两种情况考虑：①AB为边，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可得出关于m，n的方程组，解之即可得出点P的坐标；②AB为对角线，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可得出关于m，n的方程组，解之即可得出点P的坐标．综上，此题得解．‎ 解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象过点B（﹣8，﹣2），‎ ‎∴﹣2＝﹣4+b，‎ ‎∴b＝2．‎ ‎∵反比例函数y＝的图象过点B（﹣8，﹣2），‎ ‎∴k＝（﹣8）×（﹣2）＝16．‎ 当x＝4时，a＝＝4，‎ ‎∴点A的坐标为（4，4）．‎ ‎（2）观察函数图象，可知：‎ 当﹣8＜x＜0或x＞4时，一次函数y＝x+2的图象在反比例函数y＝的图象上方，‎ ‎∴不等式x+b＞的解集为﹣8＜x＜0或x＞4．‎ ‎（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，）．‎ 分两种情况考虑：‎ ‎①AB为边，如图2所示．‎ 当四边形AP1Q1B为平行四边形时，，‎ 解得：，‎ ‎∴点P1的坐标为（0，）；‎ 当四边形ABP2Q2为平行四边形时，，‎ 解得：，‎ ‎∴点P2的坐标为（0，﹣）；‎ ‎②AB为对角线，如图3所示．‎ ‎∵四边形APBQ为平行四边形，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴点P的坐标为（0，6）．‎ 综上所述：当A，B，P，Q恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点P的坐标为（0，），（0，﹣）或（0，6）．‎ ‎24．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．‎ ‎（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；‎ ‎（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；‎ ‎（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．‎ ‎【分析】（I）过点D作DG⊥x轴于G，由旋转的性质得出AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，由直角三角形的性质得出DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，得出OG＝OA﹣AG＝6﹣3，即可得出点D的坐标为（6﹣3，3）；‎ ‎（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，则GA＝DH，HA＝DG，由勾股定理得出AE＝＝＝10，由面积法求出DH＝，得出OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝，由勾股定理得出DG＝，即可得出点D的坐标为（，）；‎ ‎（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，由旋转的性质得出∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，由等腰三角形的性质得出∠AOC＝∠ADO，得出∠DAE＝∠ADO，证出AE∥OC，由平行线的性质的∠GAE＝∠AOD，证出∠DAE＝∠GAE，证明△AEG≌△AED（AAS ‎），得出AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，得出OG＝OA+AG＝12，即可得出答案．‎ 解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：‎ ‎∵点A（6，0），点B（0，8）．‎ ‎∴OA＝6，OB＝8，‎ ‎∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，‎ ‎∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，‎ 在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，‎ ‎∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，‎ ‎∴点D的坐标为（6﹣3，3）；‎ ‎（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：‎ 则GA＝DH，HA＝DG，‎ ‎∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，‎ ‎∴AE＝＝＝10，‎ ‎∵AE×DH＝AD×DE，‎ ‎∴DH＝＝＝，‎ ‎∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝，‎ ‎∴点D的坐标为（，）；‎ ‎（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：‎ 由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，‎ ‎∴∠AOC＝∠ADO，‎ ‎∴∠DAE＝∠ADO，‎ ‎∴AE∥OC，‎ ‎∴∠GAE＝∠AOD，‎ ‎∴∠DAE＝∠GAE，‎ 在△AEG和△AED中，，‎ ‎∴△AEG≌△AED（AAS），‎ ‎∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，‎ ‎∴OG＝OA+AG＝12，‎ ‎∴点E的坐标为（12，8）．‎ ‎25．在平面直角坐标系中，过点P（0，a）作直线l分别交y＝（m＞0、x＞0）、y＝（n＜0、x＜0）于点M、N，‎ ‎（1）若m＝2，MN∥x轴，S△MON＝6，求n的值；‎ ‎（2）若a＝5，PM＝PN，点M的横坐标为4，求m﹣n的值；‎ ‎（3）如图，若m＝4，n＝﹣6，点A（d，0）为x轴的负半轴上一点，B为x轴上点A右侧一点，AB＝4，以AB为一边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD与y＝（m＞0、x＞0）、y＝（n＜0、x＜0）都有交点，求d的范围．‎ ‎【分析】（1）点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（，a）、（，a），则S△MON＝6＝×MN×OP＝×（﹣）×a，即可求解；‎ ‎（2）点M、N的坐标分别为（，a）、（，a），PM＝PN，则＝﹣，解得：m＝﹣n，即可求解；‎ ‎（3）若正方形ABCD与y＝（m＞0、x＞0），y＝（n＜0，x＜0）都有交点，则HD≥0且CG≥0，即可求解．‎ 解：（1）点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（，a）、（，a），‎ 则S△MON＝6＝×MN×OP＝×（﹣）×a，‎ 解得：n＝﹣10；‎ ‎（2）点M、N的坐标分别为（，a）、（，a），‎ ‎∵PM＝PN，则＝﹣，解得：m＝﹣n，‎ 若a＝5，点M的横坐标为4，则点M（4，5），故m＝4×5＝20＝﹣n，‎ 故m﹣n＝40；‎ ‎（3）点A（d，0），则点B（d+4，0），点D、C的坐标分别为（d，4）、（d+4，4），‎ 设正方形交两个反比例函数于点G、H，则点G、H的坐标分别为（d，﹣）、（d+4，），‎ 若正方形ABCD与y＝（m＞0、x＞0），y＝（n＜0，x＜0）都有交点，‎ 则HD≥0且CG≥0，即，且d＜0，d+4＞0，‎ 解得：﹣3≤d≤﹣，‎ 故d的范围为：﹣3≤d≤﹣．‎ ‎26．如图，四边形ABCO是平行四边形且点C（﹣4，0），将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点A，D在反比例函数y＝的图象上，过A作AH⊥x轴，交EF于点H．‎ ‎（1）证明：△AOF是等边三角形，并求k的值；‎ ‎（2）在x轴上找点G，使△ACG是等腰三角形，求出G的坐标；‎ ‎（3）设P（x1，a），Q（x2，b）（x2＞x1＞0），M（m，y1），N（n，y2）是双曲线y＝上的四点，m＝，n＝，试判断y1，y2的大小，说明理由．‎ ‎【分析】（1）由旋转的性质可知AO＝AF，且∠AOF＝∠BAO，可证得△AOF为等边三角形，由题意可知A、D关于原点对称，则可求得OA的长，设AH交x轴于点K，则可中求得OK和AK的长，可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；‎ ‎（2）设G（x，0），由A、C的坐标可分别表示出AG、CG和AC的长，分AG＝CG、AG＝AC和CG＝AC三种情况分别得到关于x的方程，可求得x的值，则可求得G点坐标；‎ ‎（3）把P、Q的坐标代入反比例函数解析式可用x1、x2分别表示出a、b，则可比较m、n的大小关系，利用反比例函数的性质可求得y1，y2的大小．‎ 解：‎ ‎（1）由旋转的性质可得AO＝AF＝DE＝BC，∠BAO＝∠OAF，‎ ‎∵AB∥OC，‎ ‎∴∠BAO＝∠AOF，‎ ‎∴∠AOF＝∠OAF，‎ ‎∴AF＝OF，‎ ‎∴AF＝OF＝OA，‎ ‎∴△AOF为等边三角形，‎ ‎∵点A，D在反比例函数y＝的图象上，‎ ‎∴A、D关于原点对称，‎ ‎∴AO＝OD＝AD＝OC＝2，‎ 如图1，设AH交x轴于点K，‎ 在Rt△AOK中，可得∠OAK＝30°，‎ ‎∴OK＝OA＝1，AK＝OA＝，‎ ‎∴A（1，），‎ ‎∴k＝1×＝；‎ ‎（2）设G（x，0），且A（1，），C（﹣4，0），‎ ‎∴AG＝＝，CG＝|x+4|，AC＝＝2，‎ ‎∵△ACG是等腰三角形，‎ ‎∴有AG＝CG、AG＝AC和CG＝AC三种情况，‎ ‎①当AG＝CG时，则＝|x+4|，解得x＝﹣，此时G点坐标为（﹣，0）；‎ ‎②当AG＝AC时，则＝2，解得x＝﹣4（与C点重合，舍去）或x＝6，此时G点坐标为（6，0）；‎ ‎③当CG＝AC时，则|x+4|＝2，解得x＝﹣4+2或x＝﹣4﹣2，此时G点坐标为（﹣4+2，0）或（﹣4﹣2，0）；‎ 综上可知G点坐标为（﹣，0）或（6，0）或（﹣4+2，0）或（﹣4﹣2，0）；‎ ‎（3）y1＜y2．理由如下：‎ 由（1）可知反比例函数解析式为y＝，‎ ‎∵P（x1，a），Q（x2，b）（x2＞x1＞0）在反比例函数图象上，‎ ‎∴a＝，b＝，‎ ‎∴m＝＝＝，‎ ‎∴m2﹣n2＝﹣＝＝，‎ ‎∵x2＞x1＞0，‎ ‎∴＞0，即m2﹣n2＞0，‎ ‎∴m2＞n2，‎ 又由题意可知m＞0，n＞0，‎ ‎∴m＞n，‎ ‎∵M（m，y1），N（n，y2）在反比例函数y＝的图象上，且在第一象限，‎ ‎∴y1＜y2．‎