2020八年级数学上册第13章全等三角形专题训练（五）三种特殊的等腰三角形的运用练习

2020八年级数学上册第13章全等三角形专题训练（五）三种特殊的等腰三角形的运用练习

专题训练(五)　三种特殊的等腰三角形的运用 有三种等腰三角形比较特殊：等腰直角三角形、等边三角形和含36°角的等腰三角形．下面分类进行训练，帮助同学们进一步掌握这些特殊的等腰三角形的性质和判定．‎ ‎►　类型一　等腰直角三角形 定义：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．‎ 性质：(1)两条直角边相等；(2)顶角是90°，底角是45°.‎ 判定：利用定义．‎ ‎1．如图5－ZT－1，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE.‎ 图5－ZT－1‎ ‎2．如图5－ZT－2，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BE⊥AC，垂足为E，∠ABE的平分线交AD于点F.判断△DBF的形状，并证明你的结论．‎ 10‎ 专题训练(五)　三种特殊的等腰三角形的运用 有三种等腰三角形比较特殊：等腰直角三角形、等边三角形和含36°角的等腰三角形．下面分类进行训练，帮助同学们进一步掌握这些特殊的等腰三角形的性质和判定．‎ ‎►　类型一　等腰直角三角形 定义：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．‎ 性质：(1)两条直角边相等；(2)顶角是90°，底角是45°.‎ 判定：利用定义．‎ ‎1．如图5－ZT－1，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE.‎ 图5－ZT－1‎ ‎2．如图5－ZT－2，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BE⊥AC，垂足为E，∠ABE的平分线交AD于点F.判断△DBF的形状，并证明你的结论．‎ 10‎ 图5－ZT－2‎ ‎3．如图5－ZT－3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角尺ADE按如图所示的方式放置，使三角尺斜边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．‎ 图5－ZT－3‎ ‎►　类型二　等边三角形 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形．‎ 性质：(1)三边都相等；(2)三个角都是60°.‎ 判定：(1)定义；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．‎ ‎ 　 　　 　　　 　　 　　　　　 　‎ 图5－ZT－4‎ ‎4．如图5－ZT－4，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为(　　)‎ A．60° 　　B．45°‎ C．40° 　　D．30°‎ ‎5．如图5－ZT－5，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝‎6 cm，DE＝‎2 cm，求BC的长．‎ 10‎ 图5－ZT－5‎ ‎6．如图5－ZT－6，B是AC上一点，△ABD和△DCE都是等边三角形，求证：AC＝BE.‎ 图5－ZT－6‎ ‎7．如图5－ZT－7，△ABC是等边三角形，E是BC边上任意一点，∠AEF＝60°，EF交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.‎ 求证：AE＝EF.‎ 图5－ZT－7‎ ‎►　类型三　有一角是36°的等腰三角形 有一角是36°的等腰三角形包括两种情况：(1)顶角是36°的等腰三角形，此时底角是72°；(2)底角是36°的等腰三角形，此时顶角是108°.这两类等腰三角形具有一些共性．‎ ‎8．如图5－ZT－8，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为(　　)‎ A．30° B．36° C．38° D．45°‎ 图5－ZT－8‎ ‎　　　　图5－ZT－9‎ 10‎ ‎.如图5－ZT－9，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝________°.‎ ‎10．如图5－ZT－10，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为________．‎ 图5－ZT－10‎ ‎　　　图5－ZT－11‎ ‎11．如图5－ZT－11所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且AB＝BD，AD＝DC，则∠BAC＝________°.‎ ‎12．如图5－ZT－12，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：(画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形的个数均不包括△ABC)‎ ‎(1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是________度和________度；‎ ‎(2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；‎ ‎(3)继续按以上操作发现：在图③中画n条线段，使图中有2n个等腰三角形，其中有________个黄金等腰三角形．‎ 图5－ZT－12‎ 10‎ 10‎ 详解详析 ‎1．证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，‎ ‎∴AD＝AE，AB＝AC.‎ ‎∵∠EAC＝90°＋∠CAD，∠DAB＝90°＋∠CAD，‎ ‎∴∠DAB＝∠EAC.‎ 在△ADB和△AEC中，‎ ‎∵AD＝AE，∠DAB＝∠EAC，AB＝AC，‎ ‎∴△ADB≌△AEC(S.A.S.)，‎ ‎∴BD＝CE.‎ ‎2．解：△DBF是等腰直角三角形．‎ 证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，‎ ‎∴AD⊥BC，AD平分∠BAC.‎ ‎∵BF平分∠ABE，AC⊥BE，‎ ‎∴∠DFB＝∠DAB＋∠ABF＝(∠BAE＋∠ABE)＝(180°－∠AEB)＝45°，‎ ‎∴∠DBF＝90°－∠DFB＝45°，‎ ‎∴DB＝DF，‎ ‎∴△DBF是等腰直角三角形．‎ ‎3．解：数量关系：BE＝EC，位置关系：BE⊥EC.‎ 证明：∵△AED是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AED＝90°，∠EAD＝∠EDA＝45°，AE＝DE.‎ ‎∵∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠EAB＝∠EAD＋∠BAC＝45°＋90°＝135°，∠EDC＝180°－∠EDA＝180°－45°＝135°，‎ 10‎ ‎∴∠EAB＝∠EDC.‎ ‎∵D是AC的中点，‎ ‎∴AC＝2CD.‎ 又∵AC＝2AB，‎ ‎∴AB＝CD，‎ ‎∴△EAB≌△EDC，‎ ‎∴EB＝EC，且∠AEB＝∠DEC，‎ ‎∴∠BEC＝∠BED＋∠DEC＝∠BED＋∠AEB＝∠AED＝90°，即BE⊥EC.‎ ‎4．C ‎5．解：延长AD交BC于点M，由AB＝AC，AD平分∠BAC可得AM⊥BC，BM＝MC＝BC.‎ 延长ED交BC于点N，则△EBN是等边三角形，‎ 故EN＝BN＝BE＝6，∴DN＝6－2＝4.‎ 过点D作DF∥BE，则∠DFN＝∠EBC＝60°，∠FDN＝∠E＝60°，‎ ‎∴△DFN为等边三角形，‎ ‎∴MN＝FN＝DN＝2，‎ ‎∴BM＝6－2＝4，‎ ‎∴BC＝2BM＝8.‎ ‎6．证明：∵△ABD和△DCE都是等边三角形，‎ ‎∴∠ADB＝∠CDE＝60°，AD＝BD，CD＝DE，‎ ‎∴∠ADB＋∠BDC＝∠BDC＋∠CDE，‎ 即∠ADC＝∠BDE，‎ ‎∴△ADC≌△BDE，‎ ‎∴AC＝BE.‎ ‎7．证明：如图，在AB上截取AG＝CE，连结EG.‎ 10‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，则BG＝BE.‎ ‎∴△BEG是等边三角形，‎ ‎∴∠BGE＝60°，‎ ‎∴∠AGE＝120°.‎ ‎∵CF平分∠ACD，‎ ‎∴∠ACF＝(180°－∠ACB)＝60°，‎ ‎∴∠ECF＝120°，‎ ‎∴∠AGE＝∠ECF.‎ ‎∵∠AEC＝∠B＋∠GAE＝∠AEF＋∠CEF，且∠AEF＝∠B＝60°，‎ ‎∴∠GAE＝∠CEF.‎ 又∵AG＝EC，‎ ‎∴△AGE≌△ECF(A.S.A.)，‎ ‎∴AE＝EF.‎ ‎8．B ‎9．18‎ ‎10．72°‎ ‎11．108‎ ‎12．解：(1)如图①所示(画图不唯一)．空格处分别填108，36.‎ 提示：当AE＝BE时，∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，∠EBC＝36°，‎ ‎∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108°和36°.故填108和36.‎ 10‎ ‎(2)答案不唯一，如图②所示：‎ ‎(3)空格处填n.‎ 提示：画1条线段可得到2个等腰三角形；‎ 画2条线段可得到4个等腰三角形；‎ 画3条线段可得到6个等腰三角形……‎ ‎∴在△ABC中画n条线段，使图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．‎ 10‎