2020年八年级数学下册18微专题特殊平行四边形中的动手操作问题—折叠、剪切、拼接习题

2020年八年级数学下册18微专题特殊平行四边形中的动手操作问题—折叠、剪切、拼接习题

微专题：特殊平行四边形中的动手操作问题——折叠、剪切、拼接【河北热点】‎ ‎【河北中考分布：河北2017T11考查正方形的剪切，河北2016T13考查平行四边形的折叠，河北2015T16考查矩形的剪拼】‎ 类型一　折叠问题中求角度和长度 ‎1．如图，将矩形ABCD折叠，AE是折痕，点D恰好落在BC边上的点F处，如果∠BAF＝50°，那么∠DEA等于(　　)‎ A．40°‎ B．50°‎ C．60°‎ D．70°‎ ‎2．(2017·舟山中考)已知一张矩形纸片ABCD，AB＝3，AD＝2，小明按如图所示的步骤折叠纸片，则线段DG的长为(　　)‎ A. B．‎2 C．1 D．2‎ ‎3．(2017·河北模拟)如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(　　)‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎ ‎ 第3题图 第4题图 ‎4．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合．如果∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数为________．‎ ‎5．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长为________．‎ ‎　　‎ 6． ‎(唐山乐亭县模拟)如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，且BE＝EC，将△‎ 6‎ DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，则BG的长是________．‎ ‎7．(2017·定州期中)如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E.‎ ‎(1)求证：△BEA≌△DEF；‎ ‎(2)若AB＝2，AD＝4，求AE的长．‎ 类型二　特殊四边形的剪切与拼接 ‎8．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎ ‎ 第8题图 第9题图 ‎9．(河北中考)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n不可能是(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎10．(河北中考)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼成一个与原来面积相等的正方形，则(　　)‎ 6‎ A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以 ‎11．(2017·保定二模)如图，五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接A、B两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D.“十字”形被分割为了①、②、③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的长与宽的比为(　　)‎ ‎　‎ A．2∶1 B.∶‎1 C．3∶1 D．2∶1‎ ‎12．(2017·廊坊文安县期中)请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图甲，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中的每一个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．‎ 小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)，依题意，割补前后图形的面积相等，有x2＝5，解得x＝.由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图乙所示的分割线，拼出如图丙所示的新的正方形．‎ 请你参考小东同学的做法，解决如下问题：‎ 现有10个边长为1的小正方形，排列形式如图丁，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图丁中画出分割线，并在图戊的正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形(直接画出图形，不需写过程)．‎ ‎13．★(2016·张家口宣化县模拟)如图，长方形纸片ABCD中，AB＝‎8cm，AD＝‎6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：‎ 6‎ 第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；‎ 第二步：如图②，沿三角形纸片EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；‎ 第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．‎ 求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值．‎ 6‎ 参考答案与解析 ‎1．D　2.A　3.B　4.56°‎ ‎5．2－　解析：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，∴AE＝.由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，∴BB′＝＝2，∴CB′＝BB′－BC＝2－2.∵AB∥CD，∴∠FCB′＝∠B＝45°.又由折叠的性质知，∠B′＝∠B＝45°，∴△B′CF为等腰直角三角形，∴CF2＋B′F2＝B′C2，即2B′F2＝B′C2，∴B′F＝2－.‎ ‎6．8　解析：由折叠可知EF＝EC＝BC＝6，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°.在Rt△ADG和Rt△FDG中，∴Rt△ADG≌Rt△FDG(HL)，∴AG＝FG.设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x，由勾股定理得EG2＝BE2＋BG2，即(x＋6)2＝62＋(12－x)2，解得x＝4，∴AG＝4，∴BG＝8.‎ ‎7．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°.由折叠得FD＝CD，∠F＝∠C＝90°，∴AB＝FD，∠A＝∠F.在△BEA和△DEF中∴△BEA≌△DEF.‎ ‎(2)解：∵△BEA≌△DEF，∴BE＝DE＝AD－AE＝4－AE.设AE＝x，则BE＝4－x.在Rt△BAE中，由勾股定理得AB2＋AE2＝BE2，∴22＋x2＝(4－x)2，解得x＝，∴AE＝.‎ ‎8．B ‎9．A　解析：如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n可以为3，4，5，故n不可能为2.‎ ‎10．A　解析：所拼图形如图所示，甲、乙都可以拼成一个与原来面积相等的正方形．故选A.‎ ‎11．A　解析：如图，易知四边形ACBE是正方形，AB与CE是正方形的对角线，则CD＝DE＝AD＝BD，则组成的这个矩形的长与宽的比为2∶1，故选A.‎ 6‎ ‎12．解：如图所示．‎ ‎13．解：如图①为第三步剪拼之后的四边形M1N1N‎2M2‎的示意图．‎ N1N2＝EN1＋EN2＝NB＋NC＝BC，M‎1M2‎＝M‎1G＋GM＋MH＋M2H＝2(GM＋MH)＝2GH＝BC(三角形中位线定理)．∵M‎1M2‎∥N1N2，∴四边形M1N1N‎2M2‎是平行四边形，其周长为2N1N2＋‎2M1N1＝2BC＋2MN.∵BC＝6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小．如图②是剪拼之前的完整示意图，过点G，H作BC边的平行线，分别交AB，CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即＝＝2.四边形M1N1N‎2M2‎的周长为2BC＋2MN＝12＋2MN，∴四边形M1N1N‎2M2‎周长的最小值为12＋2×4＝20，最大值为12＋2×2＝12＋4.故拼成的四边形纸片的周长的最小值为20，最大值为12＋4.‎ 6‎