8年级数学教案第3讲：常见辅助性的作法

8年级数学教案第3讲：常见辅助性的作法

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 常见辅助线的作法 教学内容 ‎1．了解添置辅助线的基本方法，会添置几类常见的辅助线；‎ ‎2．逐步培养数学语言运用能力和逻辑表达能力。‎ ‎（此环节设计时间在10-15分钟）‎ 说明：结合上次课的预习思考部分内容，让学生总结“倍长中线”法作辅助线的基本特征并对以下两题进行分析总结。‎ ‎1．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是( ) A.2＜AB＜12 B.4＜AB＜12 C.9＜AB＜19 D.10＜AB＜19 ‎ 答案：C ‎2．如图，点E是BC的中点，∠BAE＝∠CDE，延长DE到点F使得EF＝DE，联结BF，则下列说法正确的是（ ）‎ ‎①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB＝BF ④△ABE为等腰三角形 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ ‎ 答案：A ‎（此环节设计时间在50-60分钟）‎ 案例一：“倍长中线”法作辅助线 例1：已知，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，‎ 求证：AF＝EF ‎ ‎ 解析：延长中线AD到点G，使得DG＝AD，联结BG，可证∆DBG≌∆DCA（SAS），‎ 得到BG＝AC，∠G＝∠CAD，因为BE＝AC，所以BE＝BG，从而得等腰三角形BEG，利用角的等量代换，得到∠FAE＝∠AEF从而得证。‎ 试一试：已知，如图，在中，，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作交AE于点F，DF＝AC． 求证：AE平分 解析：延长中线AE到点G，使得GE＝AE，联结DG，可证∆DEG≌∆CEA（SAS），‎ 得到DG＝AC，∠G＝∠CAE，因为DF＝AC，所以DF＝DG，从而得等腰三角形DGF，利用角的等量代换，得到∠CAE＝∠BAE从而得证。‎ 案例二：“截长补短”法作辅助线 例2：已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD平分∠BAC，求证：AB＝AC+CD. ‎ 方法一：补短法 ‎ 解：延长AC到E，使CE＝CD，联结DE，‎ ‎∵DC＝CE∴∠CDE＝∠E，∴∠ACB＝2∠E，‎ ‎∵∠ACB＝2∠B，‎ ‎∴∠B＝∠E，‎ 在△ABD与△AED中， ‎ ‎∴△ABD≌△AED（AAS）‎ ‎∴AB＝AE 又∵AE＝AC+CE＝AC+DC，‎ ‎∴AB＝AC+DC．‎ 方法二：截长法 解：在AB上截取AF＝AC，联结DF，‎ 在△AFD与△ACD中，‎ ‎∴△AFD≌△ACD（SAS），‎ ‎∴DF＝DC，∠AFD＝∠ACB 又∵∠ACB＝2∠B，‎ ‎∴∠FDB＝∠B，‎ ‎∴FD＝FB ‎∵AB＝AF+FB＝AC+FD，‎ ‎∴AB＝AC+CD．‎ 试一试：如图，已知BC > AB，∠A+∠C＝180º，BD平分∠ABC。 求证：AD＝CD ‎ ‎ 教法指导：本题中的条件BC > AB，就意味着可以用“截长补短”法来作辅助线。‎ 要求学生用“截长”和“补短”两种方法来证明 方法一：截长法 在BC上截取BE＝BA，连结DE，‎ ‎∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，‎ ‎∴△BAD≌△BED． ‎ ‎∴∠A＝∠DEB，AD＝DE．‎ ‎∵∠A+∠C＝180º，∠BED+∠DEC＝180º， ‎ ‎∴∠C＝∠DEC．‎ ‎∴DE＝DC．‎ ‎∴AD＝CD． ‎ 方法二：补短法 略 思考：讲本题中的条件∠A+∠C＝180º和结论AD＝CD对调，能否证明？‎ 案例三：其它构造X型全等 例3：如图，AB∥CD，M是BC的中点，DM平分∠ADC，DM⊥AM。‎ 求证：AM平分∠DAB。‎ ‎ ‎ 证明：延长DM和AB交于点N，证明△DCM≌△BNM（ASA或AAS），‎ 得到DM＝MN再证明△ADM≌△ANM（SAS）‎ 试一试：如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，F是AC延长线上一点，连DF交BC于E，‎ 若DB＝CF，求证：DE＝EF．‎ ‎ ‎ 方法一：‎ 证明：作FH∥AB交BC延长线于H， ∵FH∥AB，∴∠FHC＝∠B． 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB． 又∠ACB＝∠FCH， ∴∠FHE＝∠FCH． ∴CF＝HF． 又∵BD＝CF， ∴HF＝BD． 又∵FH∥AB， ∴∠BDE＝∠HFE，∠DBE＝∠FHE． ∴△DBE≌△FHE（ASA）． ∴DE＝EF．‎ 方法二：作DG∥AC交BC于G，其它略 此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习+10分钟互动讲解）。‎ ‎1．已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE ‎ ‎ 证明：延长AE到F，使EF＝AE，联结DF， ∵AE是△ABD的中线 ∴BE＝ED， 在△ABE与△FDE中，BE＝DE，∠AEB＝∠DEF ，AE＝EF ‎∴△ABE≌△FDE（SAS）， ∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，‎ ‎∵∠ADB是△ADC的外角， ∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，‎ ‎∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD， ∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD， ∴∠ADF＝∠ADC， 在△ADF与△ADC中，AD＝AD，∠ADF＝∠ADC， FD＝DC ‎∴△ADF≌△ADC（SAS） ∴∠C＝∠AFD＝∠BAE ‎2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB+BD＝CD，求证：∠B＝2∠C。‎ ‎ ‎ 解析：在CD上取一点E，使得ED＝BD，联结AE，可证明△ABD≌△AED，∠B＝∠AED，AB＝AE，在根据外角定理可得∠AED ＝∠C+∠CAE＝2∠C 补充类拓展试题：‎ ‎1．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，∠EAF＝45°，求证：BE+DF＝EF。‎ ‎ ‎ 解析：延长CB至G，使得BG＝DF，证明△ADF≌△ABG，△AEF≌△AEG即可 ‎2．已知，如图，中，AB＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BE， BD平分∠ABC。‎ ‎ 求证：‎ ‎ ‎ 解析：延长AE和 BC交于点F，证明△ACF≌△BCD（ASA或AAS），得到AF＝BD，‎ 在证明△ABE≌△FBE（ASA），得到AE＝FE，即，所以 ‎（此环节设计时间在5-10分钟内）‎ 让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾 倍长中线法作辅助线的基本方法：‎ 截长补短法作辅助线的基本方法：‎ 构造X型全等：‎ ‎1．如图，在四边形ABDC中，点E是线段CD上的一点，∠CAE＝∠EAB，‎ ‎（1）若∠DBE＝∠EBA，AD//BC，求证：AB＝AC+BD； ‎ ‎（2）若点E为CD中点，AB＝AC+BD，求证：∠DBE＝∠EBA。‎ 证明：（1）在AB上截取AC＝AF，联结EF，‎ ‎∵在△CAE和△FAE中, AC＝AF，∠CAE＝∠FAE，AE＝AE ‎∴△CAE≌△FAE（SAS），∴∠C＝∠AFE，‎ ‎∵AC∥BD， ∴∠C+∠D＝180°，‎ ‎∵∠EFB+∠AFE＝180°，∴∠D＝∠EFB，‎ ‎∵在△BEF和△BED中，∠D＝∠EFB，∠FBE＝∠DBE，BE＝BE ‎∴△BEF≌△BED（AAS），∴BF＝BD，‎ ‎∴AB＝AC+BD．‎ ‎（2）在AB上截取AC＝AF，联结EF，‎ ‎∵在△CAE和△FAE中, AC＝AF，∠CAE＝∠FAE，AE＝AE ‎∴△CAE≌△FAE（SAS），∴CE＝EF，‎ ‎∵CE＝ED， ∴ED＝EF，‎ ‎∵AB＝AC+BD，AC＝AF ∴BD＝BF，‎ ‎∵在△BEF和△BED中，BD＝BF，DE＝EF，BE＝BE ‎∴△BEF≌△BED（SSS） ∴∠DBE＝∠EBA ‎2．如图1，△ABC ≌△DBE,且∠ACB＝∠DEB＝90°, ∠A＝∠D，直线DE与直线AC交于点F.‎ ‎（1）求证：AF+EF＝DE；‎ ‎（2）若将△DBE绕点B旋转到如图2所示的位置，请写出此时AF、EF、DE的数量关系，并证明．‎ A B C D E F ‎（图1）‎ ‎ ‎A B C D E F ‎（图2）‎ 答案：（1）证明：联结BF ‎ ∵△ABC≌△DBE， ∴BC＝BE,DE＝AC ‎ ‎∵∠ACB＝∠DEB＝900, BF＝BF, ∴△FBC≌△FBE， ‎ ‎∴CF＝EF ∴AF+EF＝AF+CF＝AC, ∴AF+EF＝DE ‎ ‎（2）AF-EF＝ED ‎ 证明：联结BF ‎ ∵△ABC≌△DBE， ∴BC＝BE,DE＝AC ‎ ‎∵∠ACB＝∠DEB＝900, BF＝BF,∴△FBC≌△FBE ，∴CF＝EF ‎∵AC＝AF-CF, ∴AC＝AF-EF， ∴DE＝ AF-EF 预习思考：‎ 一线三直角模型：‎ 在下图中有，AB＝BC， 垂直关系已在图中标出；‎ ‎ ‎ 全等的三角形有： ；‎ 其中DE、AE、CD之间的数量关系是： 。‎ 答案：△ABE≌△BCD；DE＝AE+CD。‎ 二、手拉手模型：‎ 如下图，△ABE和△ACF均为等边三角形，‎ 其中全等的三角形有： ；观察图形，∠BOE＝ ；‎ 答案：△ABF≌△AEC；∠BOE＝60°‎