人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）二次根式的运算

人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）二次根式的运算

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 二次根式的 化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法 则 会进行二次根式的化简，会进行 二次根式的混合运算（不要求分 母有理化） 模块一 二次根式的加减运算 二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式 进行合并． 二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变． 二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式； （2）找出并合并同类二次根式． 【例 1】 计算：（1） 3 3 4 3 （2） 12 75 【巩固】 485127  ＝______． 【例 2】 计算： （1） 1 12 8 18 322 4   （2） 112 4 3 4827   【巩固】计算： （1） 6 3 0.12 48  （2） 3 31 18 182 ab a b aba b   【例 3】 如图，一架长为 10m 的梯子 AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m．如果梯子的 顶端下滑 1m，那么它的底端是否也下滑 1m？ 二次根式的运算 2 模块二 二次根式的混合运算 在进行二次根式的混合运算时，要注意几点： （1） 整式和分式的运算法则仍然适用．如 1( ) ( )a b a b aa b ab a a b a b         ； （2） 多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的． 乘法公式： 2 2( )( )a b a b a b    ； 2 2 2( ) 2a b a b ab    ． 【例 4】 计算： （1） 1 3 22 13 5 5   （2） 2 22 327 63 3 xx x x x   【例 5】 计算： （1） 2(3 2 4 3) （2） (2 3 5)(2 3 5)    （3） 2 2(2 3 5) (2 3 5)     （4） 2011 2012(3 8) (3 8)  【巩固】（1） (2 3 3 2 6)(2 3 3 2 6)    （2） 2 1 21 2 13 3 5   （3） (6 54 3 21 4 15) 3   （4） 3 3( 3 )a b ab ab ab   （ 0, 0a b  ） 3 【例 6】 解方程或不等式: （1）    6 1 7 1x x   （2） 2 2 21 3 3 xx   【巩固】已知 1018222  aa aa ，求 a 的值． 模块三 二次根式的化简求值 【例 7】 （2008 年西城二模）先化简，再求值： 2 2 2 1 4 1 2 2 1 1 m m m m m m       ，其中 3m  ． 【例 8】 （2009 年西城二模）先化简，再求值 2 2 2x y xy x y x y x y     ，其中 3 3x   ， 2 3y  ． 【巩固】（2011 年东城区一模）先化简，再求值： 2 2 3 2( )1 1 1 x x x x x x     ，其中 3 1x   ． 【巩固】（2011 年东城区二模）先化简，再求值： 2(2 1) ( 2)( 2) 4 ( 1)x x x x x      ，其中 3 3 2x  ． 4 【例 9】 已知 1 3 2 2 x   ， 1 3 2 2 y   ，求 2y x x y   的值． 【例 10】 已知 1 2 1x x  ， 1 2 1x x   ，求 1 2 x x 的值． 【例 11】 求 1 1 1 1 2 2 3 2011 2012       的值． 【例 12】 【巩固】求 2 2 2 1 2 2 3 2011 2012       的值． 【例 13】 当 1 2 5 a    ，求代数式 2 2 2 9 6 2 1 3 a a a a a a a      的值． 【巩固】已知 1 3a   ， 1 2b  ，求 3( ) 2 b a b  的值 5 模块四 二次根式的大小比较 通过平方比较大小 【例 14】 比较大小 （1）1 2 和 3 （2） 10 和 133  【巩固】比较大小： 7 48 ． 【巩固】实数 7 ， 2 2 ， 3 的大小关系是 ．（用“＞”表示） 通过做差比较大小 【例 15】 比较大小 6 5 和 8 5 通过取倒数比较大小 【例 16】 比较大小 （1） 6 5 3 2 和 （2） 2011 2010 和 2012 2011 模块五 非负数性质的综合应用 二次根式 a 具有双重非负性， 0a  且 0a  ，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中 必考的三个非负性． 【例 17】 若 21 ( 4) 0x y    ，则 yx 的值等于 ． 【例 18】 如果 2 3 3 2 2y x x     ，则 2x y  ． 6 【例 19】 当 2x  时，化简 2 2 2 1 2 x x x  ． 【巩固】已知 0a  ，求 2 21 14 ( ) 4 ( )a aa a      的值． 【例 20】 已知实数 x ， y ， z 满足 21 14 4 1 2 03 4x y y z z z        ，求 2( )x z y  的值． 【巩固】已知实数 a ，b ， c 满足 21 2 2 1 02 a b b c c c       ，求 ( )a b c 课堂检测 【练习 1】下列计算正确的是（ ） A 2 3 6  B 2 3 5  C 8 4 2 D 4 2 2  【练习 2】化简 2 24 4 1 ( 2 3)x x x    得（ ）． A 2 B  4 4x C 2 D 4 4x  【练习 3】先将 3 2 2 2 2 x x x x x    化简，然后自选一个合适的 x 值，代入化简后的式子求值． 7 【练习 4 】设 3 2, 2 3, 5 2a b c      ＝，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A a b c  B a c b  C c b a  D b c a  【练习 5】已知   2 2 3 9 0 3 x y x x      ，求 1 1 x y   的值． 总结复习 1.通过本堂课你学会了 ． 2.掌握的不太好的部分 ． 3.老师点评：① ． ② ． ③ ． 课后作业 1. 化简 3 5 2 时，甲的解法是： 3 3( 5 2) 5 2 ( 5 2)( 5 2)     5 2  ，乙的解法： 3 ( 5 2)( 5 2) 5 2 5 2     5 2  ，以下判断正确的是（ ）． A 甲的解法正确，乙的解法不正确 B 甲的解法不正确，乙的解法正确 C 甲、乙的解法都正确 D 甲、乙的解法都不正确 2. 计算： （1） 1 132 2 75 0.5 32 27    （2） a b a b ab b a b 4 4 2 2 2 3     8 3. 化简 1a a  4. 已知 2 5 2 x   ， 10 2 2y   ，求 2 22 18( )x xy y x y    的值． 5.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值． 2 1 1 1 x x x x    6. 设等式 ( ) ( )a x a a y a x a a y       在实数范围内成立，其中 a、x、y 是两两不同的实数， 求 2 2 2 2 3x xy y x xy y     的值．