数学华东师大版八年级上期中测试题

数学华东师大版八年级上期中测试题

期中测试题 一．选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分） 1．设 a 是 9 的平方根，B=（ ）2，则 a 与 B 的关系是（ ） A．a=±B B．a=B C．a=﹣B D．以上结论都不对 2．下面的计算不正确的是（ ） A．5a3﹣a3=4a3 B．2m•3n=6m+n C．2m•2n=2m+n D．﹣a2•（﹣a3）=a5 3．π、 ，﹣ ， ，3.1416，0. 中，无理数的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．如图，E，B，F，C 四点在一条直线上，EB=CF，∠ A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF 的 是（ ） A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE 5．等腰三角形一边长等于 5，一边长等于 10，它的周长是（ ） A．20 B．25 C．20 或 25 D．15 6．如图，数轴 A、B 上两点分别对应实数 a、b，则下列结论正确的是（ ） A．a+b＞0 B．ab=0 C． ﹣ ＜0 D． + ＞0 7．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ） A．﹣a2﹣4b2 B．﹣1+25a2 C． ﹣9a2 D．﹣a4+1 8．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角 的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点 到直线的距离．其中是真命题的个数有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 二．填空题（共 7 小题，满分 21 分，每小题 3 分） 9．若 =2﹣x，则 x 的取值范围是 ． 10．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 ． 11．比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“=”） 12．如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是 （填上你认为适当的一个条件即可）． 13．计算：已知：a+b=3，ab=1，则 a2+b2= ． 14．计算：（ ）2017×（﹣4）1009= ． 15．如图，点 A，B，C 在同一直线上，在这条 直线同侧作等边△ABD 和等边△BCE，连接 AE 和 CD，交点为 M，AE 交 BD 于点 P，CD 交 BE 于点 Q，连接 PQ、BM，有 4 个结论： ①△ABE≌△DBC， ②△DQB≌△ABP， ③∠EAC=30°， ④∠AMC=120°，请将所有正确结论的序号填在横线上 ． 三．解答题（共 8 小题，满分 75 分） 16．（8 分）分解因式： （1）5mx2﹣10mxy+5my2 （2）4（a﹣b）2﹣（a+b）2． 17．（10 分）计算： （1）2x2y•（﹣3xy）÷（xy）2 （2） ﹣ + （3）（x+3）（x+4）﹣（x﹣1）2． 18．（7 分）观察以下等式： 第 1 个等式： + + × =1， 第 2 个等式： + + × =1， 第 3 个等式： + + × =1， 第 4 个等式： + + × =1， 第 5 个等式： + + × =1， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第 6 个等式： ； （2）写出你猜想的第 n 个等式： （用含 n 的等式表示），并证明． 19．（9 分）若我们规定三角“ ”表示为：abc；方框“ ”表示为：（xm+yn）．例 如： =1×19×3÷（24+31）=3．请根据这个规定解答下列问题： （1）计算： = ； （2）代数式 为完全平方式，则 k= ； （3）解方程： =6x2+7． 20．（10 分）如图，已知△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC， D、E 是 BC 边上的点，将△ABD 绕点 A 旋转，得到△ ACD′． （1）当∠DAE=45°时，求证：DE=D′E； （2）在（1）得条件下，猜想：BD2、DE2、CE2 有怎样的 数量关系？请写出，并说明理由． 21．（10 分）分解因式：（a2+2a）2﹣7（a2+2a）﹣8． 22．（10 分）观察下列一组等式： （a+1）（a2﹣a+1）=a3+1 （a+2）（a2﹣2a+4）=a3+8 （a+3）（a2﹣3a+9）=a3+27 （1）以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空． ①（x﹣3）（x2+3x+9）= ； ②（2x+1）（ ）=8x3+1； ③（ ）（x2+xy+y2）=x3﹣y3． （2）计算：（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）． 23．（11 分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为 36°的等腰三角形纸片剪两刀， 分成 3 张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法． 我们有多少种剪法，图 1 是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成 3 个等 腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 请你在图 2 中用三种不同的方法画出顶角为 45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰 三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成 3 对全等三角形，则视为同一种） 参考答案： 一．选择题 1． 【分析】由于正数的平方根有两个，且互为相反数，所以在此题中有 a 两种情况，要考虑全 面． 【解答】解：∵a 是 9 的平方根， ∴a=±3， 又 B=（ ）2=3， ∴a=±b． 故选：A． 2． 【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质，对各选项分 析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、5a3﹣a3=（5﹣1）a3=4a3，正确； B、2m 与 3n 与底数不相同，不能进行运算，故本选项错误； C、2m•2n=2m+n，正确； D、﹣a2•（﹣a3）=a2+3=a5，正确． 故选：B． 3． 【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方 开不尽的数；以及 0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项． 【解答】解：在π、 ，﹣ ， ，3.1416，0. 中， 无理数是：π， 共 2 个． 故选：B． 4． 【分析】由 EB=CF，可得出 EF=BC，又有∠A=∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为 了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成 SSA，就 不能证明△ABC≌△DEF 了． 【解答】解：A、添加 DE=AB 与原条件满足 SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故 A 选项正确． B、添加 DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根据 AAS 能证明△ABC≌△DEF，故 B 选项错误． C、添加∠E=∠ABC，根据 AAS 能证明△ABC≌△DEF，故 C 选项错误． D、添加 AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根据 AAS 能证明△ABC≌△DEF，故 D 选项错误． 故选：A． 5． 【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 10，先根据三角形 的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长． 【解答】解：当 5 为腰，10 为底时， ∵5+5=10， ∴不能构成三角形； 当腰为 10 时， ∵5+10＞10， ∴能构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：10+10+5=25． 故选：B． 6． 【分析】本题要先观察 a，b 在数轴上的位置，得 b＜﹣1＜0＜a＜1，然后对四个选项逐一 分析． 【解答】解：A、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|b|＞|a|，∴a+b＜0，故选项 A 错误； B、∵b＜0＜a，∴ab＜0，故选项 B 错误； C、∵b＜0＜a，∴ ﹣ ＞0，故选项 C 错误； D、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴ + ＞0，故选项 D 正确． 故选：D． 7． 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【解答】解：不能用平方差公式分解的是﹣a2﹣4b2． 故选：A． 8． 【分析】①根据对顶角的定义进行判断；②根据同位角的知识判断；③一个角的两边与另一 个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；根据点到直线的距离的定义对④进行 判断． 【解答】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，①假命题； ②两直线平行，同位角相等；②假命题； ③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；③假命题； ④从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④假命题； 真命题的个数为 0， 故选：A． 二．填空题 9． 【分析】根据已知得出 x﹣2≤0，求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵ =2﹣x， ∴x﹣2≤0， x≤2 则 x 的取值范围是 x≤2 故答案为：x≤2． 10． 【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等， 应放在“那么”的后面． 【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么它们相等． 故答案为：如果两个角是等角的补角，那么它们相等． 11． 【分析】通分后做差，借助于平方差公式即可求出 9﹣4 ＞0，进而即可得出 ＞ ． 【解答】解：∵ = ， ∴ ﹣ = ． ∵（9﹣4 ）×（9+4 ）=81﹣80=1＞0，9+4 ＞0， ∴9﹣4 ＞0， ∴ ﹣ ＞0，即 ＞ ． 故答案为：＞． 12． 【分析】根据题意，易得∠AEB=∠AEC，又 AE 公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻 找添加条件． 【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC， 又 AE 公共， ∴当∠B=∠C 时，△ABE≌△ACE（AAS）； 或 BE=CE 时，△ABE≌△ACE（SAS）； 或∠BAE=∠CAE 时，△ABE≌△ACE（ASA）． 13． 【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把 a+b 与 ab 的值代入即可求出值． 【解答】解：∵a+b=3，ab=1， ∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2=9﹣2=7． 故答案为：7 14． 【分析】本题既可以运用负整数指数幂的公式，也可以运用幂的乘方法则即可求出答案． 【解答】解：（ ）2017×（﹣4）1009， =2﹣2017×（﹣22×1009）， =﹣2﹣2017+2018， =﹣2， 故答案为：﹣2． 15． 【分析】根据题意、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质可以判断各小题是否成立， 从而可以解答本题． 【解答】解：∵等边△ABD 和等边△BCE， ∴AB=BD，BE=BC，∠ABE=∠DBC=120°，∠DBQ=60°， ∴在△ABE 和△DBC 中， ， ∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确， ∴∠EAB=∠CDB， 即∠BAP=∠BDQ， 在△DQB 和△ABP 中， ， ∴△DQB≌△ABP（ASA），故②正确， 题目中没有说明 AP 平分∠DAB，故无法推出∠EAC=30°，故③错误， ∵∠EAB=∠CDB，∠AMC+∠MAC+∠MCA=180°， ∴∠MAC+∠MCA=∠CDB+∠DCB=∠DBA=60°， ∴∠AMC=120°，故④正确， 故答案为：①②④． 三．解答题 16． 【分析】（1）首先提公因式 5m，再利用完全平方公式进行分解即可； （2）直接利用平方差进行分解即可． 【解答】解：（1）原式=5m（x2﹣2xy+y2）=5m（x﹣y）2． （2）原式=[2（a﹣b）]2﹣（a+b）2=[2（a﹣b）+（a+b）][2（a﹣b）﹣（a+b）]=（3a﹣b） （a﹣3b）． 17． 【分析】（1）原式利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得 到结果； （2）原式利用平方根、立方根定义计算即可得到结果； （3）原式利用多项式乘多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：（1）原式=2x2y•（﹣3xy）÷（x2y2）=﹣6x； （2）原式=5﹣2+2=5； （3）原式=x2+7x+12﹣x2+2x﹣1=9x+11． 18． 【分析】以序号 n 为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在 n 的基础上依次加 1，每个分子分别是 1 和 n﹣1 【解答】解：（1）根据已知规律，第 6 个分式分母为 6 和 7，分子分别为 1 和 5 故应填： （2）根据题意，第 n 个分式分母为 n 和 n+1，分子分别为 1 和 n﹣1 故应填： 证明： = ∴等式成立 19． 【分析】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解； （2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解； （3）根据新定义运算代入数据得到关于 x 的方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1） =[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31] =﹣6÷4 =﹣ ． 故答案为：﹣ ； （2） =[x2+（3y）2]+xk•2y =x2+9y2+2kxy， ∵代数式 为完全平方式， ∴2k=±6， 解得 k=±3． 故答案为：±3； （3） =6x2+7， （3x﹣2）（3x+2）]﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]=6x2+7， 解得 x=﹣4． 20． 【分析】（1）利用旋转的性质得 AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，再计算出∠EAD′=∠ DAE=45°，则利用“SAS”可判断△AED≌△AED′，所以 DE=D′E； （2）由（1）知△AED≌△AED′得到 ED=ED′，∠B=∠ACD′，再根据等腰直角三角形的性 质得∠B=∠ACB=45°，则根据旋转的性质得 BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，所以∠BCD′= ∠ACB+∠ACD′=90°，于是根据勾股定理得 CE2+D′C2=D′E2，所以 BD2+CE2=DE2． 【解答】（1）证明：∵△ABD 绕点 A 旋转，得到△ACD′， ∴AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°， ∵∠DAE=45° ∴∠EAD′=∠DAD′﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠EAD′=∠DAE， 在△AED 与△AED′中 ， ∴△AED≌△AED′， ∴DE=D′E； （2）解：BD2+CE2=DE2．理由如下： 由（1）知△AED≌△AED′得到：ED=ED′， 在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠B=∠ACB=45°， ∵△ABD 绕点 A 旋转，得到△ACD′ ∴BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°， ∴∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=45°+45°=90°， 在 Rt△CD′E 中，CE2+D′C2=D′E2， ∴BD2+CE2=DE2． 21． 【分析】原式利用十字相乘法分解即可． 【解答】解：原式=（a2+2a﹣8）（a2+2a+1）=（a+4）（a﹣2）（a+1）2． 22． 【分析】（1）根据上述等式归纳总结得到规律，即可得到结果； （2）将第一个因式利用平方差公式分解，结合后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）①（x﹣3）（x2+3x+9）=x3﹣27； ②（2x+1）（4x2﹣2x+1）=8x3+1； ③（x﹣y）（x2+xy+y2）=x3﹣y3； 故答案为：①x3﹣27；②8x3+1；③x3﹣y3； （2）原式=[（a﹣b）（a2+ab+b2）][（a+b）（a2﹣ab+b2）]=（a3﹣b3）（a3+b3）=a6﹣b6． 23． 【分析】（1）先以底边为腰作顶角为 45°的等腰三角形，然后再作腰的垂线得到含顶角为 90°的等腰三角形和顶角为 135°的等腰三角形； （2）先过腰上的高得到顶角为 90°的等腰三角形，再作此高的垂直平分线得到顶角为 135° 的等腰三角形和顶角为 45°的等腰三角形． 【解答】解：（1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示：