【精品】人教版 八年级下册数学 16 二次根式的性质

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16.1 二根次式 第十六章 二次根式 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 八年级数学下（RJ） 教学课件 第2课时 二次根式的性质 学习目标 1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想 的思想方法.（重点） 2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点） 导入新课 情景引入 问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？ 1 4 算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 a 2( )aa a≥0 1 1 2 1 4 我们都是 非负数哟 问题2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过 两扇门出来呢？ 算术平方根之门 平方之门 1 40 -4 -1 1 16 4 1 1 1 4 2a 2aa a为任意数 我们都是非负数， 可出来之前我们有 正数，零和负数. 思考 你发现了什么？ 正方形的边长为 ， 用边长表示正方形的面积为 ， 又∵面积为a， 即 . （a≥0）的性质一 2( )a 讲授新课 活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积 为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积， 你发现了什么？ a  2 a a  2 a 这个式子是不是对所有 的二次根式都成立呢？ 活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面 根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？ ... 算术平 方根 平方 运算 0 2 4 ... 0 0 4 2 1 3 a(a≥0) a 2)( a 02 = 0 ... 1 3 2 1 1 3 3       观察两者有什么关系？ 2 22 = 4  2 2 2 2 ________ 1 . 3        2 2 _____;  2 4 _______;  2 0 _____; 4 1 3 20 根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究 过程说明理由： 是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于2的非负数.因此 . 同理， 分别是0,4， 的算术平方根，即 得上面的等式. 2 2  2 2 2 10 , 4 , 3 1 3 归纳总结 的性质：2( ) ( 0)a a  一般地， ＝a (a ≥0).2( )a 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根 式 有意义的前提条件.a 典例精析 例1 计算： 2(1) ( 1.5) ; 2(2) (2 5) ； 解： 2(1) ( 1.5) 1.5. 2 2 2(2) (2 5) 2 ( 5) 4 5 20.     (2)可以用到幂 的哪条基本性 质呢？ 积的乘方： （ab）2=a2b2 例2 在实数范围内分解因式： 4 2(2) 4 4.y y  解：         2224 2 2 2 2 2 (2) 4 4 2 2 2 2 . y y y y y y             2(1) 3;x    2(1) 3 3 3 .x x x    本题逆用了 在实数范围内分解因式. 在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解 因式的方法和公式仍然适用. 归纳  2( ) 0a a a ≥ 练一练 计算： 2 2(1) ( 5) (2) (2 2) . ； 解: 2(1) ( 5 ) 5 . 2 2 2( 2 ) ( 2 2 ) = 2 ( 2 ) = 4 2 =8 .  ... 平方 运算 算术平 方根 2 0.1 0 ... 4 4 9 a(a≥0) 2a 2a 2 ... 2 3 观察两者有什么关系？ 0.01 0.1 0 2 3 0 的性质二 2a 填一填： ＝a (a≥0).2a ... 平方 运算 算术平 方根 -2 -0.1 ... 4 4 9 2a 2a 2 ... 2 3  观察两者有什么关系？ 0.01 0.1 2 3 a(a＜0) 思考：当a＜0时， =2a ？-a 归纳总结 a (a≥0) 2a a     -a (a＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的 绝对值. 的性质：2 ( 0)a a  例3 化简： (1) 16; 2(2) ( 5) ； 解： 2(1) 16 4 4.  2 2(2) ( 5) 5 5.   2(3) 10 ; 2(4) (3.14 ) .π  22 1 1 1(3) 10 = 10 = 10 =10 .    2(4) (3.14 ) = 3.14 = 3.14.  π π π ，而3.14＜π，要注意a的正负性.注意 2a a 计算： 2 2(1) ( -2) (2) ( -1.2) . ； 练一练 解: 22 1 (-2) = 2 =2 ( ) . 2 2 2 (-1.2) = 1.2 = 1.2 ( ) . 辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错． （ ） （ ） （ ） （ ） × × √ √         2 2 2 2 (1) 2 2 (2) 2 2 (3) 2 2 (4) 2 2              议一议：如何区别 与 ？2a2( )a 2( )a 2a 从运算 顺序看 从取值 范围看 从运算 结果看 先开方,后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a |a| 意义 表示一个非负 数a的算术平 方根的平方 表示一个实数 a的平方的算 术平方根 例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示， 请你化简:  22 2 .a b a b    解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a.  a b 【变式题】 实数a、b在数轴上的对应点如图所 示，化简： .2 24 4a ab b a b    解：根据数轴可知b＜a＜0， ∴a+2b＜0，a-b＞0， 则 =|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b． 2 24 4a ab b a b    利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要 要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号. 注意 例5 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：      2 2 2 .a b c b c a c b a        解：∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c， ∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a| =a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） =a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c． 分析： 利用三角形 三边关系 三边长均为正数，a+b+c＞0 两边之和大于第三边，b+c-a ＞0，c-b-a＜0 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方 和开方）把 或 连接起来的 式子，我们称这样的式子为代数式. 概念学习 数 表示数的字母 想一想 到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有 哪几类？ 代数式 整式 分式 二次根式 代数式的定义 三 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中 的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水 行驶和逆水行驶时的速度； 例6 解：（1）船在这条河中顺水行驶的 速度是 km/h，逆水行驶的速度 是 km/h． ( 2.5)v ( 2.5)v （2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的 长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长. （2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S， 所以 所以它的长为, 15 Sx  5 . 15 S 列代数式的要点： ①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之 间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、 倍、分、倒数、相反数等； ②理清语句层次明确运算顺序； ③牢记一些概念和公式． 归纳总结 1.在下列各式中，不是代数式的是（　　） A.7 B.3＞2 C. D．2 x 2 22 3 x y B 练一练 2.如图是一圆形挂钟，正面面积 为S，用代数式表示出钟的半径 为__________. S π 方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式 中不能含有“=”“＞”或“＜”等. 当堂练习 1.化简 得（ ） A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4 16 C 2. 当1

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