人教版八年级数学上册第十三章13.4课题学习 最短路

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人教版八年级数学上册第十三章13.4课题学习 最短路

第十三章 轴对称 13.4课题学习 最短路 径问题 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.(难点) 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感悟转 化思想.(重点) 学习目标 导入新课 复习引入 1.如图,连接A、B两点的所有连线中,哪条最短? 为什么? A B ① ② ③ ②最短,因为两点之间,线段最短 2.如图,点P是直线l外一点,点P与该直线l上各点连 接的所有线段中,哪条最短?为什么? P lA B C D PC最短,因为垂线段最短 3.在我们前面的学习中,还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实? 三角形三边关系:两边之和大于第三边; 斜边大于直角边. 4.如图,如何做点A关于直线l的对称点? A l A ′ 讲授新课 “两点的所有连线中,线段最短”“连接直线外一点与直 线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称之为 最短路径问题. 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题,本节将利用数 学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址 问题”. A B ① ② ③ P lA B C D 牧人饮马问题 如图,牧马人从点A地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然后到B地,牧马人到河边的什么地方饮马,可 使所走的路径最短? C 抽象成 A B l 数学问题 作图问题:在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 实际问题 A B l 问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如 何在l上找到一个点,使得这个点到点A,点B的距离的 和最短? A l B C 根据是“两点之间,线段 最短”,可知这个交点即 为所求. 连接AB,与直线l相交于一点C. 问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,又应该 如何解决? 想一想:对于问题2,如何将 点B“移”到l 的另一侧B′处, 满足直线l 上的任意一点C, 都保持CB 与CB′的长度相等? A B l 利用轴对称,作出点B关于直线l的对称点B′. 方法揭晓 作法: (1)作点B 关于直线l 的对称点B′; (2)连接AB′,与直线l 相交于点C. 则点C 即为所求. A B l B ′ C 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗? 证明:如图,在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合), 连接AC′,BC′,B′C′.由轴对称的性质知, BC =B′C,BC′=B′C′. ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′, ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′. 在△AB′C′中, AB′<AC′+B′C′, ∴ AC +BC<AC′+BC′. 即 AC +BC 最短. A B l B ′ C C ′ 练一练:如图,直线l是一条河,P、Q是两个村庄.欲在l上的某 处修建一个水泵站,向P、Q两地供水,现有如下四种铺设方案, 图中实线表示铺设的管道,则所需要管道最短的是( ) P Q lAM P Q lB M P Q l C M P Q l D M D 例1 如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC 中BC、AB边的中点,AD=5,点F是AD边上的动 点,则BF+EF的最小值为(  ) A.7.5 B.5 C.4 D.不能确定 典例精析 解析:△ABC为等边三角形,点D是BC边的中点,即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上,故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值,故连接CE即可,线段CE的长 即为BF+EF的最小值. B 方法总结:此类求线段和的最小值问题,找准对 称点是关键,而后将求线段长的和转化为求某一 线段的长,而再根据已知条件求解. 例2 如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1, 4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点 不在同一条直线上,当△ABC的周长最小时点C的坐标是(   ) A.(0,3) B.(0,2) C.(0,1) D.(0,0) 解析:作B点关于y轴对称点B′,连接AB′, 交y轴于点C′,此时△ABC的周长最小, 然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、 AE的长,然后证明△B′C′O为等腰直角三 角形即可. B′ C′ E A 方法总结:求三角形周长的最小值,先确定动点 所在的直线和固定点,而后作某一固定点关于动 点所在直线的对称点,而后将其与另一固定点连 线,连线与动点所在直线的交点即为三角形周长 最小时动点的位置. 如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造 一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短 (假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)? B AA B N M 造桥选址问题 B A● ● ?N M N M N M 折 移 如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路 径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢? 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化 到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢? 思维火花 各抒己见 1.把A平移到岸边. 2.把B平移到岸边. 3.把桥平移到和A相连. 4.把桥平移到和B相连. B A M N B A M N A' B' 1.把A平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了 2.把B平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了 B A M N 3.把桥平移到和A相连. 4.把桥平移到和B相连. AM+MN+BN 长度有没有改 变呢? 问题解决 B A A1 M N 如图,平移A到A1,使AA1等于河 宽,连接A1B交河岸于N作桥MN, 此时路径AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1. N1 M1 由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1, AM1=A1N1. AM+MN+BN转化为AA1+A1B,而AM1+M1N1+ BN1转化为AA1+A1N1+BN1. 在△A1N1B中,因为A1N1+BN1>A1B. 因此AM1+M1N1+BN1> AM+MN+BN. A· B M N E C D 证明:由平移的性质,得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为 AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处,连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路 径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中,∵AC+CE>AE, ∴AC+CE+MN>AE+MN, 即AC+CD+DB >AM+MN+BN, 所以桥的位置建在MN处,A到B的路径最短. 方法归纳 解决最短路径问题的方法 在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对 称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题, 从而作出最短路径的选择. 当堂练习 1.如图,直线m同侧有A、B两点,A、A′关于直线m对称,A、 B关于直线n对称,直线m与A′B和n分别交于P、Q,下面的 说法正确的是(  ) A.P是m上到A、B距离之和最短的 点,Q是m上到A、B距离相等的点 B.Q是m上到A、B距离之和最短的 点,P是m上到A、B距离相等的点 C.P、Q都是m上到A、B距离之和最 短的点 D.P、Q都是m上到A、B距离相等 的点 A 2.如图,∠AOB=30°,∠AOB内有一定点P,且OP= 10.在OA上有一点Q,OB上有一点R.若△PQR周长 最小,则最小周长是(  ) A.10 B.15 C.20 D.30 A 3.如图,牧童在A处放马,其家在B处,A、B到河岸 的距离分别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD 的中点的距离为500米,则牧童从A处把马牵到河边饮 水再回家,所走的最短距离是 米. A C B D 河 1000 4.如图,边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上, 点A、B的坐标分别是A(3,2),B(1,3).点P在x轴上,当 PA+PB的值最小时,在图中画出点P. x y O B A B' P 5.如图,荆州古城河在CC′处直角转弯,河宽相同, 从A处到B处,须经两座桥:DD ′,EE ′(桥宽不计), 设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架 桥可使ADD ′E ′EB的路程最短? A D D ′ C C′ E E′ B 解:作AF⊥CD,且AF=河宽,作BG ⊥CE,且BG=河 宽,连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. 理由:由作图法可知,AF//DD′,AF=DD′, 则四边形AFD′D为平行四边形, 于是AD=FD′, 同理,BE=GE′, 由两点之间线段最短可知, GF最小. A D ′ C C′ E E′ B F G D 6.(1)如图①,在AB直线一侧C、D两点,在AB上找一点P,使C、D、P 三点组成的三角形的周长最短,找出此点并说明理由. (2)如图②,在∠AOB内部有一点P,是否在OA、OB上分别存在点E、F, 使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短,找出E、F两点,并说明理 由. (3)如图③,在∠AOB内部有两点M、N,是否在OA、OB上分别存在点 E、F,使得E、F、M、N,四点组成的四边形的周长最短,找出E、F两点, 并说明理由. 拓展提升 A B C D P O A B N O A B M 图① 图② 图③图① 图② 图③ P O A B N O A B M A B C D C' P P' P'' E F M' N' E F 图① 图② 图③ 课堂小结 原理 线段公理和垂线段最短 牧马人饮 马 问 题 解题方法 造 桥 选 址 问 题 关键是将固定线段 “桥”平移 最 短 路 径 问 题 轴对称知识+线段公理 解题方法
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