八年级数学上册第二章实数2-7二次根式第1课时二次根式及其化简教学课件新版北师大版

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2.7 二次根式 第二章 实数 第1课时 二次根式及其化简 八年级数学 · 北师版 学习目标 1. 了解二次根式的定义及最简二次根式；（重点） 2. 运用二次根式有意义的条件解决相关问题 . （难点） 导入新课 （ 1 ）如左图所示，礼盒的上面是正方形，其面积为 5 ，则它的边长是 . 如果其面积为 S ，则它的边长是 . （ 2 ）如左图所示，一个长方形的围 栏，长是宽的 2 倍，面积为 130m 2 , 则它的宽为 m. 观察与思考 （ 3 ）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t ( 单位： s ) 与开始落下时离地面的高度 h （单位： m ) 满足关系式 h =5 t 2 . 如果用含有 h 的式子表示 t , 那么 t 为 . 问题： 如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ，它的对角 线 AC 的长是多少？ 乙同学： 甲同学： 由此可见 : = O 讲授新课 二次根式的概念及有意义的条件 一 问题 1 上面问题的结果分别是 ，它们表示一些正数的 算术平方根 . 那么什么样的数有算术平方根呢？ 我们知道，负数没有平方根 . 因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是 正数或 0. 问题 2 上面问题的结果分别是 ，分别从形式上和被开方数上看有什么共同特点？ ① 含有 “ ” ② 被开方数 a ≥ 0 归纳总结 二次根式的定义 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式 . “ ” 称为二次根号， a 叫做被开方数 . 要点提醒 两个必备特征 ① 外貌特征：含有 “ ” ② 内在特征：被开方数 a ≥ 0 例 1 下列各式是二次根式吗 ? 典例精析 是 不是 不是 （ x,y 异号） 不是 不是 是 不是 不含二次根号 被开方数是负数 当 m >0 时被开方数是负数 xy ＜ 0 非负数 + 正数恒大于零 根指数是 3 解：由 x - 2 ≥ 0 ，得 x ≥ 2. 例 2 (1) 当 x 取何值时 , 在实数范围内有意义 ? 当 x ≥ 2 时， 在实数范围内有意义 . 当 x =9 时， A . x> 1 B . x> - 1 C . x ≥ 1 D . x ≥ - 1 A 当 x =0 时， x - 2= - 2 ＜ 0 ，此时二次根式无意义； 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数 ≥0 ，列不等式求解即可 . 若二次根式处在分母的位置，应同时考虑 分母不为零 . 归纳 想一想： 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者 x 为全体实数；后者 x 为正数和 0 . 二次根式的双重非负性 二 思考 : 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根 . 对于任意一个二次根式 ，我们知道： （ 1 ） a 为被开方数，为保证其有意义，可知 a ≥0 ； （ 2 ） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 （ 2 ）设 ，试求 2 x + y 的值 . 例 3 （ 1 ） 若 ，求 a - b + c 的值 . 解： （ 1 ）由题意可知 a -2=0, b -3=0, c -4=0, 解得 a =2, b =3, c =4 所以 a - b + c =2 - 3+4=3 ; （ 2 ）由题意知， 1- x ≥ 0, 且 x -1≥0, 联立解得 x = 1 . 从而知 y = 2017 , 所以 2 x + y =2 × 1+2017=2019. 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零 . 初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式 . 归纳 二次根式的性质及化简 二 （ 1 ） ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ． 6 6 20 20 填一填 有何发现？ ＝ ， 6.480 ＝ 　 　 ； （ 2 ）用计算器计算： ＝ ， ＝ 　 　 ． 6.480 0.9255 0.9255 有何发现？ 要点归纳 （ a ≥ 0 ， b ≥ 0 ） ， （ a ≥ 0 ， b ＞ 0 ） ． 商的算术平方根等于算术平方根的商 积的算术平方根等于算术平方根的积 例 4 ： 化简 解： (1) (2) (3) 典例精析 （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ） . 最简二次根式： 　　 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式 . 要点归纳 例 5 ： 化简： 解 : 例 6. 化简 : 解：① ② ③ 最简二次根式的条件： ①是二次根式； ②被开方数中 不含分母； ③被开方数中 不含能开得尽方 的 因数 或 因式 ． 要点归纳 当堂练习 2 . 式子 有意义的条件是 （ ） A. x ＞ 2 B. x ≥ 2 C. x ＜ 2 D. x ≤ 2 3 . 若 是整数，则自然数 n 的值有 （ ） A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个 D 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C A 4. 当 x ________ ， 在实数范围内有意义． 解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1. 方法总结： 使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零． 6. 设 ，化简下列二次根式 . 解： 解 : 原式 = +1-3=3+1-3=1. 5. 计算： 能力提升 化简： 解： 二次根式 二次根式的定义：形如（ a ≥0 ）的式子 课堂小结 二次根式的性质 最简二次根式