第四章因式分解回顾与思考1

第四章因式分解回顾与思考1

‎4.4 回顾与思考 学习目标 ‎（一）知识认知要求 ‎1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.‎ ‎2.熟悉本章的知识结构图.‎ ‎（二）能力训练要求 通过知识结构图的学习,培养学生归纳总结能力,在例题的学习过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.‎ ‎（三）情感与价值观要求 通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.‎ 学习重点　综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.‎ 学习难点　利用分解因式进行计算及讨论.‎ 学习过程 一、创设问题情境,引入新课 前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.‎ 二、新课讲解 ‎（一）讨论推导本章知识结构图 请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?‎ ‎（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.‎ ‎（2）分解因式与整式乘法的关系.‎ ‎（3）分解因式的方法.‎ 很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）‎ ‎（二）重点知识讲解 下面请大家把重点知识回顾一下.‎ ‎1.举例说明什么是分解因式.‎ 如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2）‎ 把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式.‎ 学习因式分解的概念应注意以下几点:‎ ‎（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.‎ ‎（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.‎ ‎2.分解因式与整式乘法有什么关系?‎ 分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.如:ma+mb+mc=m（a+b+c）从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法.‎ ‎3.分解因式常用的方法有哪些?‎ 3‎ 提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:ma+mb+mc=m（a+b+c）‎ a2－b2=（a+b）（a－b）‎ a2±2ab+b2=（a±b）2‎ ‎4.例题讲解 ‎［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.‎ ‎（1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2‎ ‎（2）6x2y3=3xy·2xy2‎ ‎（3）（3x－2）（2x+1）=6x2－x－2‎ ‎（4）4ab+2ac=2a（2b+c）‎ 分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是.‎ 解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法.‎ ‎（2）不是因式分解,因为6x2y3不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解.‎ ‎（3）不是因式分解,而是整式乘法.‎ ‎（4）是因式分解.‎ ‎［例2］将下列各式分解因式.‎ ‎（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5;‎ ‎（2）－9ab+18a2b2－27a3b3;‎ ‎（3）－x2;‎ ‎（4）9（x+y）2－4（x－y）2;‎ 解:（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5‎ ‎=2a2b3（4a2－2ab+b2）;‎ ‎（2）－9ab+18a2b2－27a3b3‎ ‎=－（9ab－18a2b2+27a3b3）‎ ‎=－9ab（1－2ab+3a2b2）;‎ ‎（3）－x2=（）2－（x）2‎ ‎=（+ x）（－x）;‎ ‎（4）9（x+y）2－4（x－y）2‎ ‎=［3（x+y）］2－［2（x－y）］2‎ ‎=［3（x+y）+2（x－y）］［3（x+y）－2（x－y）］‎ ‎=（3x+3y+2x－2y）（3x+3y－2x+2y）‎ ‎=（5x+y）（x+5y）;‎ ‎［例3］把下列各式分解因式:‎ ‎（1）x7y3－x3y3;‎ ‎（2）16x4－72x2y2+81y4;‎ 解:（1）x7y3－x3y3‎ ‎=x3y3（x4－1）‎ ‎=x3y3（x2+1）（x2－1）‎ ‎=x3y3（x2+1）（x+1）（x－1）‎ ‎（2）16x4－72x2y2+81y4‎ ‎=（4x2）2－2·4x2·9y2+（9y2）2‎ ‎=（4x2－9y2）2‎ ‎=［（2x+3y）（2x－3y）］2‎ 3‎ ‎=（2x+3y）2（2x－3y）2.‎ 从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢?‎ 分解因式的一般步骤为:‎ ‎（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.‎ ‎（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.‎ ‎（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.‎ 三、课堂练习 ‎1.把下列各式分解因式 ‎（1）16a2－9b2;‎ ‎（2）（x2+4）2－（x+3）2;‎ ‎（3）－4a2－9b2+12ab;‎ ‎（4）（x+y）2+25－10（x+y）‎ ‎2.利用因式分解进行计算 ‎（1）9x2+12xy+4y2,其中x=,y=－;‎ ‎（2）（）2－（）2,其中a=－,b=2.‎ 四.课时小结 ‎1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解.‎ ‎2.利用因式分解简化某些计算.‎ 五、课后作业 复习题 A组 六、活动与探究 求满足4x2－9y2=31的正整数解.‎ 分析:因为4x2－9y2可分解为（2x+3y）（2x－3y）（x、y为正整数），而31为质数.‎ 所以有或 解：∵4x2－9y2=31‎ ‎∴（2x+3y）（2x－3y）=1×31‎ ‎∴或 ‎ 解得或 因所求x、y为正整数，所以只取x=8,y=5.‎ 七、学习反思：‎ 3‎