重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）13

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13.3 等腰三角形 第十三章 轴对称 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 2 课时 等腰三角形的判定 八年级数学上（RJ） 学习目标 1 . 掌握 等腰三角形的判定方法 . （重点） 2. 掌握 等腰三角形的判定定理，并 运用其 进行证明和计 算 . （难点） 导入新课 情境引入 在 △ ABC 中， AB=AC ， 倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角 ∠ C ，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ A B C A 思考： 如图，在 △ ABC 中，如果 ∠ B =∠ C ，那么 AB 与 AC 之间有什么关系吗 ？ 我测量后发现 AB 与 AC 相等 . 3cm 3cm 讲授新课 等腰三角形的判定 一 A B C 如图，位于海上 B 、 C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警，当时测得∠ B=∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 互动探究 已知：如图，在△ ABC 中 , ∠ B=∠C, 那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系 ? 建立数学模型： C A B 做一做： 画一个△ ABC ，其中 ∠B=∠C=30 °，请你量一量 AB 与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？ AB=AC 你能验证你的结论吗？ 在 △ ABD 与 △ ACD ， ∠ 1=∠2 ， ∴ △ ABD ≌ △ ACD . ∠ B = ∠ C ， AD = AD ， ∴ AB=AC. 过 A 作 AD 平分 ∠ BAC 交 BC 于点 D . 证明： C A B 2 1 D （ （ △ ABC 是等腰三角形 . ∴ AC=AB . ( ) 即 △ ABC 为等腰三角形 . ∵ ∠ B=∠C ， ( ) 知识要点 等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等 , 那么这个三角形是等腰三角形（ 简写成 “等角对等边”） . 已知 等角对等边 在 △ ABC 中， 应用格式： B C A ( ( 这又是一个判定两条线段相等的根据之一 . A B C D 2 1 ∵∠ 1=∠2 , ∴ BD=DC （ 等角对等边 ） . ∵ ∠ 1= ∠2, ∴ DC=BC A B C D 2 1 （ 等角对等边 ） . 错，因为都不是在同一个三角形中 . 辨一辨： 如图 , 下列推理正确吗 ? 例 1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知： 如图， ∠ CAE 是 △ ABC 的外角， ∠ 1=∠2 ， AD∥BC ． 求证： AB=AC ． 证明 ： ∵ AD∥BC ， ∴∠ 1=∠ B （ 两直线平行，同位角相等 ）， ∠ 2=∠ C （ 两直线平行，内错角相等） ． 又 ∵∠ 1=∠2 ， ∴∠ B =∠ C ， ∴ AB = AC （ 等角对等边 ）． A B C E （ （ 1 2 D 例 2 已知：如图， AB = DC , BD = CA , BD 与 CA 相交于点 E . 求证：△ AED 是等腰三角形 . A B C D E 证明：∵ AB = DC , BD = CA , AD = DA , ∴△ ABD ≌ △ DCA (SSS), ∴∠ ADB = ∠ DAC ( 全等三角形的对应角相等） , ∴ AE = DE ( 等角对等边） , ∴ △ AED 是等腰三角形 . 例 3 已知：如图， AD ∥ BC ， BD 平分∠ ABC. 求证： AB=AD B A D C 证明：∵ AD ∥ BC ， ∴∠ADB=∠DBC. ∵ BD 平分∠ ABC ， ∴∠ABD=∠DBC ， ∴∠ABD=∠ADB ， ∴AB=AD. 总结：平分角 + 平行 = 等腰三角形 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠， 重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ B C A D E 变式训练 是 由折叠可知， ∠EBD=∠CBD. ∵AD∥BC ， ∴∠EDB=∠CBD ， ∴∠EDB=∠EBD ， ∴BE=DE ，△ EBD 是等腰三角形 . 练一练： 1. 在△ ABC 中， ∠ A 和 ∠ B 的度数如下，能判定 △ ABC 是等腰三角形的是（ ） A. ∠A ＝ 50° ，∠ B ＝ 70° B. ∠A ＝ 70° ，∠ B ＝ 40° C. ∠A ＝ 30° ，∠ B ＝ 90° D. ∠A ＝ 80° ，∠ B ＝ 60° B 2. 如图，已知 OC 平分 ∠ AOB ， CD∥OB ，若 OD ＝ 3cm ，则 CD 等于 _______. 3cm 例 4 已知等腰三角形底边长为 a , 底边上的高的长为 h ，求作这个等腰三角形 . a h 作法： 1. 作线段 AB = a. 2. 作线段 AB 的垂直平分线 MN ，交 AB 于点 D . 3. 在 MN 上取一点 C ，使 DC = h . 4. 连接 AC ， BC ， 则 △ ABC 即为所求 . A B C M N D 例 5 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 证明： ∵ 在 △ ABC 中， ∠ ACB ＝ 90° ， ∴∠ B ＋ ∠ BAC ＝ 90°. ∵ CD 是 AB 边上的高， ∴∠ ACD ＋ ∠ BAC ＝ 90° ， ∴∠ B ＝ ∠ ACD . ∵ AE 是 ∠ BAC 的平分线， ∴∠ BAE ＝ ∠ EAC ， ∴∠ B ＋ ∠ BAE ＝ ∠ ACD ＋ ∠ EAC ，即 ∠ CEF ＝ ∠ CFE ， ∴ CE ＝ CF ， ∴△ CEF 是等腰三角形． 方法总结： “ 等角对等边 ” 是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立． 例 6 如图，在 △ABC 中， AB=AC ， ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线交于点 O. 过 O 作 EF ∥ BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 F. 探究 EF 、 BE 、 FC 之间的关系 . O A B C E F 解： EF=BE+CF . 理由如下： ∵ EF ∥ BC , ∴ ∠EOB=∠CBO ， ∠FOC=∠BCO. ∵ BO 、 CO 分别平分 ∠ ABC 、 ∠ ACB， ∴∠ CBO ＝ ∠ ABO，∠ BCO ＝ ∠ ACO， ∴∠ EOB ＝ ∠ ABO ，∠ FOC ＝ ∠ ACO， ∴BE ＝ OE，CF=OF， ∴ EF=EO+FO ＝ BE+CF . A B C O E F 若 AB≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？ 方法总结： 判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用 “ 等角对等边 ”，运用转化思想，解决问题 . 当堂练习 1. 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， ∠ A ＝ 36° ， BD 、 CE 分别是 ∠ ABC 、 ∠ BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有 ( 　　 ) A ． 5 个 B ． 4 个 C ． 3 个 D ． 2 个 2. 一个三角形的一个外角为 130° ，且它恰好等于一个不相邻的内角的 2 倍 . 这个三角形是（ ） A ．钝角三角形 　 B ．直角三角形 　 C ．等腰三角形 　 D ．等边三角形 C A 1 3. 如图，直线 a 、 b 相交于点O，∠1=50°，点A在直线 a 上，直线 b 上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 O a b D A 4. 如图，已知∠ A =36° ，∠ DBC =36° ，∠ C =72° ，则∠ DBC=_____ ，∠ BDC=_____ ，图中的等腰三角形有 _______________________. 36° 72° △ ABC 、 △ DBA 、 △ BCD A B C D 5. 如图，在 △ ABC 中， ∠ ABC 和 ∠ ACB 的平分线交于点 E ，过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于 M ，交 AC 于 N ，若 BM ＋ CN ＝ 9 ，则线段 MN 的长为 _____. 9 第 4 题图 第 5 题图 6. 如图 , 上午 10 时，一条船从 A 处出发以 20 海里每小时的速度向正北航行，中午 12 时到达 B 处，从 A 、 B 望灯塔 C ，测得 ∠ NAC=40°，∠NBC=80° . 求从 B 处到灯塔 C 的距离 . 解： ∵∠ NBC=∠A+∠C， ∴∠C=80°- 40°= 40°， ∴ ∠C = ∠A， ∴ BA=BC （等角对等边） . ∵AB=20× （ 12-10 ） =40 ( 海里 ), ∴BC=40 海里 . 答： B 处 距离 灯塔 C40 海里 . 80° 40° N B A C 北 7. 已知：如图，四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ，∠ B ＝∠ D . 求证： BC ＝ CD . 证明：连接 BD. ∵AB=AD ， ∴∠ABD=∠ADB. ∵∠ABC=∠ADC ， ∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB ， 即 ∠DBC=∠BDC ， ∴BC=CD. 8. 在 △ ABC 中， AB=AC ， 倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角 ∠ C ，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ A B C 3 种“补出”方法： 方法 1 ： 量出 ∠ C 度数，画出 ∠ B ＝∠ C ， ∠ B 与 ∠ C 的边相交得到顶点 A ． 方法 2 ： 作 BC 边上的垂直平分线，与 ∠ C 的一边相交得到顶点 A ． 方法 3 ： 对折． 课堂小结 等腰三角形的判定 等角对等边 定义 注意是指同一个三角形中 有两边相等的三角形是等腰三角形