八年级下数学课件《矩形的判定》课件_冀教版

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第二十二章 四边形 22.4 矩形 第2课时 矩形的判定 1 u由直角的个数判定矩形 u由对角线的关系判定矩形 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 知识回顾 四边形 平行 四边形 两组对边平行 一个角 是直角 ∟ 矩形 平行四边形□ 矩形 四边形 木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框 是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是 什么呢？ 你现在有方法帮他吗？ 探究新知 测量…？ 1 由直角的个数判定矩形 分析矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 由定义识别： ∵□ABCD，∠A=90°. ∴ □ ABCD是矩形. 知1－导 ① ② A B C D 根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩 形．如果不通过平行四边形，能根据四边形中直角的 个数，直接由四边形来判定它是矩形吗?有几个角是 直角的四边形是矩形呢? 性质：矩形的四个角都是直角 四个角是直角的四边形是矩形 知1－导 条件 结论 条件 结论 李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、 边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个 矩形。猜想她判断的依据？ 猜想： 有三个角是直角的四边形是矩形 你能证明上述结论吗？ 已知：如图所示，在四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形． 知1－导 B C A D 知1－导 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵ ∠A=90°， ∴ □ABCD是矩形. 比较上面两种说法，你认为选择哪种说法作为矩形的 判定定理更为简洁? 于是，便得到：有三个角是直角的四边形是矩形. 归 纳 知1－导 有三个角是直角的四边形是矩形 . 符号表达式： ∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. （来自教材） A B C D 知1－讲 例1 如图，▱ ABCD的四个内角的平分线分别相交于 点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形. 要证明四边形EFGH是矩形， 由于已知ABCD的四个内角 的平分线分别相交于点E，F， G，H，因此可选用“有三个角是直角的四边形是 矩形”来证明． 导引： 知1－讲 ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD， ∴∠GBC＋∠GCB＝ ∠ABC＋ ∠BCD ＝ ×180°＝90°， ∴∠BGC＝90°. 同理可得∠AFB＝∠AED＝90°. ∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°. ∴四边形EFGH是矩形． 1 2 证明： 1 2 1 2 知1－讲 本题目中的图形是建立在四边形基础上，而 条件中又涉及角的关系，一般采用“角的方法”来 判定矩形． 知1－练 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的 中点，四边形AEDB为平行四边形. 求证：四边形AECD是矩形. 1 （来自《教材》） 在▱ AEDB中，AE＝BD， AE∥BD，AB＝DE， ∵D为BC的中点，∴BD＝DC，∴AE＝CD， 又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形． 在△ABC中，AB＝AC，∴AC＝DE， ∴四边形AECD是矩形． 解： 知1－练 已知矩形的对角线长为10 cm，求顺次连接矩形 四边中点所得的四边形的周长. 2 （来自《教材》） 如图所示．在矩形ABCD中， AC，BD的长都为10 cm. 点E，H分别是AD，CD的中点，则EH＝ AC＝5 cm. 同理：FE，FG，GH的长均为5 cm. 所以所得到的四边形的周长为5＋5＋5＋5＝20(cm)． 1 2 解： 知1－练 下列命题中，假命题是(　　) A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形 是矩形 B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形 是矩形 C．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形 是矩形 D．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形 是矩形 3 C 知1－练 下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内； ②有一个角是直角的四边形是矩形； ③两边及一角对应相等的两个三角形全等； ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平 行四边形． 其中正确的有(　　) A．0个　 　B．1个　　 C．2个 　　D．3个 4 A 知1－练 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形 EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条 件是(　　) A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC 5 C 知1－练 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC ＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥ AC于F，则EF的最小值为(　　) A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 6 C 2 由对角线的关系判定矩形 知2－导 我们知道，矩形的对角线相等. 反过 来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不 仅要测量两组对边的长度是否分别相等， 常常还要测量它们的两条对角线是否相等， 以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？ 思考 知2－导 已知：在▱ ABCD，AC=BD. 求证： ▱ ABCD是矩形. 证明：∵ 在▱ ABCD中，AB=DC，BC=CB，且AC=DB. ∴ △ABC≌ △DCB（SSS）.∴ ∠ABC=∠DCB. ∵ AB//CD，∴ ∠ABC+∠DCB=180°. ∴ ∠ABC=∠DCB=90°. 又∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ▱ ABCD是矩形. A B C D 归 纳 知2－导 可以发现并证明矩形的一个判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形. 警示：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，这个 四边形必须是平行四边形才可以. 知2－讲 例2 已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H 分别 为OA，OB，OC，OD的中点. 求证：四边形EFGH是矩形. 知2－讲 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD.且 OA=OC，OB=OD. ∴OA=OC=OB=OD. 又∵E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD 的 中点， ∴OE=OG=OF=OH. ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵EG=OE+OG=OF+OH= HF， ∴四边形EFGH是矩形. 证明： 知2－讲 证明一个平行四边形为矩形的两种方法：一是证 明有一个角是直角，另一个是证明两条对角线相等． 知2－练 （来自教材） 解： (1)(2)(3)错误，(4)正确． 指出下列说法是否正确. (1)有一个角为直角的四边形是矩形. (2)两条对角线相等的四边形是矩形. (3)两条对角线互相垂直的四边形是矩形. (4)四个角皆为直角的四边形是矩形. 1 知2－练 （来自教材） 如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD的夹角 为60°，AC+AB= 12.求AC和AB的长. 2 因为两条对角线AC，BD的 夹角为60°，AO＝BO， 所以∠OAB＝∠OBA＝ ∠AOB＝60°， 所以△AOB为等边三角形，AC＝2AB. 所以AC＋AB＝2AB＋AB＝3AB＝12. 所以AB＝4，所以AC＝8. 解： 知2－练 （来自教材） 小亮想检验一块木板是不是矩形.现仅有一根足 够长的细绳，你能想办法帮他进行检验吗？请说 明理由. 3 解：略. 知2－练 （来自教材） 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， 垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线， CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是 矩形. 4 知2－练 由题意易知∠MAC＝∠B＋∠ACB， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠MAC＝2∠B， ∵AN是∠MAC的平分线，∴∠MAC＝2∠MAE， ∴∠MAE＝∠B，∴AE∥BC， ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°， ∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝∠DAE＝∠AEC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． （来自教材） 证明： 知2－练 （来自教材） 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O， AE平分∠BAD，交 BC于点E，∠CAE= 15°. 求∠BOE的度数. 5 知2－练 在矩形ABCD中，OA＝OB＝OD＝OC， ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝ ∠BAD＝45°， 又∵∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°.∴AB＝BE. ∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝60°， ∴△AOB是等边三角形． ∴OA＝OB＝AB，∠ABO＝60°， ∴BO＝BE，∠OBE＝30°， ∴∠BOE＝ ×(180°－30°)＝75°. （来自教材） 1 2 1 2 解： 知2－练 【中考·崇左】如图，在矩形ABCD中，AB＞ BC，点E、F、G、H分别是边DA、AB、BC、 CD的中点，连接EG、FH，则图中矩形的个数 共有(　　) A．5个 B．8个 C．9个 D．11个 6 C 知2－练 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使 它变为矩形，需要添加的条件是(　　) A．AB＝CD　 B．AD＝BC C．AB＝BC　 D．AC＝BD 7 D 知2－练 【中考·攀枝花】下列关于矩形的说法中正确的 是(　　)　 A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分 8 B 知2－练 如图，要使▱ ABCD成为矩形，需添加的条件 是(　　) A．AB＝BC B．AO＝BO C．∠1＝∠2 D．AC⊥BD 9 B 知2－练 【中考·黑龙江】如图，在▱ ABCD中，延长AD到 点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添 加一个条件_____________________，使四边形 DBCE是矩形． 10 EB＝DC(答案不唯一) 1 矩形的判定方法： 方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 方法2：有三个角是直角的四边形是矩形 . 方法3：对角线相等的平行四边形是矩形. (对角线互相平分且相等的四边形是矩形.) 在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个， 可判定这个四边形是矩形(　　) A．另一组对边相等，对角线相等 B．另一组对边相等，对角线互相垂直 C．另一组对边平行，对角线相等 D．另一组对边平行，对角线互相垂直 2 易错小结 C 易错点：对矩形的判定方法理解错误导致出错 请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！