重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）15

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15.1.2 分式的基本性质 第十五章 分 式 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 八年级数学上（RJ） 教学课件 学习目标 1. 理解并掌握分式的基本性质 ．（重点） 2. 会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分 ．（难点） 导入新课 情境引入 分数的 基本性质 分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变 . 　 2. 这些分数相等的依据是什么？ 1. 把 3 个苹果平均分给 6 个同学，每个同学得到几个苹果？ 讲授新课 分式的基本性质 一 思考： 下列两式成立吗？为什么？ 分数 的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于 0 的数， 分数 的值不变 . 分数的基本性质： 即对于任意一个分数 有： 想一想： 类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？ 思考： 分式的基本性质： 分式的分子与分母乘 以 （或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变 . 上述性质可以用式表示为： 其中 A,B,C 是整式 . 知识要点 　　 例 1 　填空：     　　 看 分母 如何变化，想 分子 如何变化 . 　　 看 分子 如何变化，想 分母 如何变化 . 典例精析 想一想： （ 1 ）中为什么不给出 x ≠0, 而（ 2 ）中却给出了 b ≠0? 想一想 : 运用分式的基本性质应注意什么 ? (1)“ 都 ” (2) “ 同一个 ” (3) “ 不为 0 ” 例 2 　 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数 . ⑴ ⑵ 解： 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号 ⑴ ⑵ ⑶ 解：（ 1 ）原式 = （ 2 ）原式 = （ 3 ）原式 = 练一练 想一想： 联想分数的约分，由例 1 你能想出如何对分式进行约分？ 分式的约分 二 （ ） （ ） 与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的 最简公分母 . 　 像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的 约分 ． 知识要点 约分的定义 分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为 最简分式或整式 . 经过约分后的分式 ，其分子与分母没有公因．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做 最简分式 ．　 在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧： 小颖： 小明： 你对他们俩的解法有何看法？说说看！ 一般约分要 彻底 , 使分子、分母没有公因式 . 议一议 　　 例 3 约分 : 典例精析 分析： 为约分要先找出 分子和分母的 公因式 . 找 公因式 方法 : （ 1 ）约去 系数 的 最大公约数 . （ 2 ）约去分子分母 相同因式 的 最低次幂 . 解 ： ( 公因式是 5 ac 2 ) 解 ： 分析： 约分时 , 分子或分母若是 多项式 , 能分解则 必须先进行因式分解 . 再 找出分子和分母的公因式进行约分 . 知识要点 约分的基本步骤 （１） 若分子 ﹑ 分母都是 单项式 ，则 约去 系数的最大公约数 ，并约去相同字母的 最低次幂 ； （２） 若分子 ﹑ 分母含有 多项式 ，则先将多项式 分解因式 ，然后约去分子 ﹑ 分母所有的 公因式 ． 注意事项： （ 1 ）约分前后分式的值要相等 . （ 2 ）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式 . （ 3 ）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式 . 分式的通分 三 问题 1 ： 通分： 最小公倍数： 24 分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分 . 通分的关键是确定几个分母的 最小公倍数 想一想： 联想分数的通分，由例 1 你能想出如何对分式进行通分？ （ b ≠0） 问题 2 ： 填空 知识要点 分式的通分的定义 与分数的通分类似，根据分式的基本性质，使分子、分母同乘 适当的整式（即最简公分母）， 把 分母不相同 的分式变成 分母相同 的分式，这种变形叫分式的通分.如分式 与 分母分别是 ab,a 2 ,通分后分母都变成了 a 2 b . 最简公分母 为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的 所有因式 的 最高次幂 的积作公分母，叫做最简公分母 . 注意： 确定最简公母是通分的关键 . 最简公分母 例 4 通分： 解：（1）最简公分母是 2 a 2 b 2 c （2）最简公分母是 ( x +5)( x -5) 不同的因式 最简公分母 1 ·( x -5) ( x -5) 1 ·( x +5) 1 ( x +5) 例 5 通分： 方法归纳： 先将分母因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母． ( x + y )( x - y ) 解：最简公分母是 x ( x + y )( x - y ) x ( x + y ) 确定几个分式的最简公分母的方法 ： （ 1 ）因式分解 （ 2 ） 系数： 各分式分母系数的最小公倍数； （ 3 ） 字母： 各分母的所有字母 的最高次幂 （ 4 ） 多项式： 各分母所有多项式因式的最高次幂 （ 5 ） 积 方法归纳 想一想： 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 约分 通分 分数 分式 依据 找分子与分母的 最大公约数 找分子与分母的公因式 找所有分母的 最小公倍数 找所有分母的 最简公分母 分数或分式的基本性质 当堂练习 2. 下列各式中是最简分式的（ ） B 1. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. D 3. 若把分式 　 　 A ． 扩大两倍　 B ． 不变　　 C ． 缩小两倍 　 D ． 缩小四倍 的 x 和 y 都扩大两倍 , 则分式 的值 ( ) B 4. 若把分式 中的 和 都扩大 3 倍 , 那么分式 的值 ( ). 　　 A ．扩大 3 倍　 B ．扩大 9 倍 　　 C ．扩大 4 倍 　 D ．不变 A 解： 　 5. 约分 6. 通分： 解：最简公分母是 12 a 2 b 3 解：最简公分母是 (2 x +1)(2 x -1) 小贴士： 在分式的约分与通分中，通常碰到如下因式符号变形： (b-a) 2 =(a-b) 2 ;b-a=-(a-b). 解：最简公分母是 ( x + y ) 2 ( x - y ) 课堂小结 分式的 基本性质 内容 作用 分式进行约分 和通分的依据 注意 (1) 分子分母 同时 进行； (2) 分子分母只能 同乘或同除 ，不能进行同加或同减； (3) 分子分母只能同乘或同除 同一个整式 ； (4) 除式是 不等于零 的整式 进行分式运算的基础