【同步作业】人教版 八年级下册数学17 勾股定理的逆定理的应用

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第 1 页 共 8 页 17.2 勾股定理的逆定理 第 2 课时 勾股定理的逆定理的应用 一、选择——基础知识运用 1．在△ABC 中，AB= ，BC= ，AC= ，则（ ） A．∠A=90° B．∠B=90°C．∠C=90°D．∠A=∠B 2．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别记为 a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A．如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC 是直角三角形 B．如果 a2=b2-c2，那么△ABC 是直角三角形且∠C=90° C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC 是直角三角形 D．如果 a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC 是直角三角形 3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A．a=1，b=2，c=3 B．a=4，b=2，c=3 C．a=4，b=2，c=5 D．a=4，b=5，c=3 4．已知四个三角形分别满足下列条件：①三角形的三边之比为 1：1： ；②三角 形的三边分别是 9、40、41；③三角形三内角之比为 1：2：3；④三角形一边上的中线等于 这边的一半。其中直角三角形有（ ）个。 A．4 B．3 C．2 D．1 5．由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ） A．∠A+∠C=∠B B．a= ，b= ，c= C．（b+a）（b-a）=c2 D．∠A：∠B：∠C=5：3：2 二、解答——知识提高运用 6．一个三角形三条边的比为 5：12：13，且周长为 60cm，求它的面积。 7．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x2-4x+b=0 有两个相等的实数根，判断△ABC 的形状。 第 2 页 共 8 页 8．如图所示，在四边形 ABCD 中，AB=2 ，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°， 求四边形 ABCD 的面积。 9．一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角。工人师 傅量得这个零件各边长如图 2 所示。 （1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？ （2）求这个零件的面积。 10．如图所示，如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检验∠MPN 是不是直角？ 简述你的作法，并说明理由。 11．龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙 梅的速度是 米/秒，4 分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和 龙梅成直角，她的速度是 米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距 200 米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多 长时间后能相遇？。 12．如图，在 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60°方向以每小时 8 海里速度 第 3 页 共 8 页 前进，乙船沿南偏东某方向以每小时 15 海里速度全速前进，2 小时后甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？ 第 4 页 共 8 页 参考答案 一、选择——基础知识运用 1．【答案】A 【解析】∵AB2=（ ）2=2，BC2=（ ）2=5，AC2=（ ）2=3， ∴AB2+AC2=BC2， ∴BC 边是斜边， ∴∠A=90°。 故选 A． 2．【答案】B 【解析】如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC 是直角三角形，A 正确；如果 a2=b2-c2，那么 △ABC 是直角三角形且∠B=90°，B 错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则 ∠B=2x，∠C=3x，则 x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则 3x=90°，那么△ABC 是直角三 角形，C 正确；如果 a2：b2：c2=9：16：25，则如果 a2+b2=c2，那么△ABC 是直角三角形， D 正确；故选：B。 3．【答案】D 【解析】A、因为 1+2=3，所以三条线段不能组成三角形，一定不能组成直角三角形； B、因为 22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形； C、因为 22+42≠52，所以三条线段不能组成直角三角形； D、因为 42+32=52，所以三条线段能组成直角三角形。 故选：D。 4．【答案】A 【解析】①因为 12+12=（ ）2 三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； ②因为 92+402=412 三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； ③设最小的角为 x，则 x+2x+3x=180°，则三角分别为 30°，60°，90°，故是直角三 角形； ④因为符合直角三角形的判定，故是直角三角形。 所以有 4 个直角三角形。 故选：A。 第 5 页 共 8 页 5．【答案】B 【解析】A、∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故是直角三角形，正确； B、设 a=20k，则 b=15k，c=12k， ∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2， 故不能判定是直角三角形； C、∵（b+a）（b-a）=c2， ∴b2-a2=c2， 即 a2+c2=b2， 故是直角三角形，正确； D、∵∠A：∠B：∠C=5：3：2， ∴∠A= ×180°=90°， 故是直角三角形，正确． 故选：B。 二、解答——知识提高运用 6．【答案】120cm2 【解析】设该三角形的三边是 5k，12k，13k． 因为（5k）2+（12k）2=（13k）2， 所以根据勾股定理的逆定理，得该三角形是直角三角形． 根据题意，得 5k+12k+13k=60， 解得 k=2， 则 5k=10，12k=24， 则该直角三角形的面积是 120。 故答案为：120cm2 7．【答案】∵关于 x 的一元二次方程 x2-4x+b=0 有两个相等的实数根， ∴b2-4ac=16-4b=0 解得：b=4， ∵a=3，c=5， ∴32+42=52， 第 6 页 共 8 页 ∴△ABC 为直角三角形．。 8．【答案】连接 BD， ∵∠C=90°， ∴△BCD 为直角三角形， ∵BD2=BC2+CD2=22+12=（ ）2， ∵BD＞0， ∴BD= ， 在△ABD 中， ∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25， ∴AB2+BD2=AD2， ∴△ABD 为直角三角形，且∠ABD=90°， ∴S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD= ×2 × + ×2×1=6． 故四边形 ABCD 的面积是 6。 9．【答案】（1）∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12， ∴AB2+AD2=BD2， BD2+BC2=DC2， ∴△ABD、△BDC 是直角三角形， ∴∠A=90°，∠DBC=90°， 故这个零件符合要求。 （2）这个零件的面积=△ABD 的面积+△BDC 的面积 =3×4÷2+5×12÷2 =6+30 =36． 第 7 页 共 8 页 故这个零件的面积是 36。 10．【答案】能检查。 作法：如图所示， （1）在射线 PM 上量取 PA=3cm，确定 A 点，在射线 PN 上量取 PB=4cm，确定点 B。 （2）连接 AB 得△PAB。 （3）用刻度尺量取 AB 的长度，如果 AB 恰好等于 5cm，则说明∠P 是直角，否则∠P 就不是直角。 理由：∵PA=3cm，PB=4cm，PA2+PB2=32+42=52． 若 AB=5cm，则 PA2+PB2=AB2， 根据勾股定理的逆定理可得△PAB 是直角三角形，即∠P 是直角。 11．【答案】龙梅走的路程： ×4×60=120（米）， 玉荣走的路程： ×4×60=160（米）， ∵1202+1602=2002， ∴她们走的方向成直角， 以原来的速度相向而行相遇的时间：200÷（ + ）=200÷ = =171 （秒）； 答：她们走的方向成直角，如果她们想讲和，按原来的速度相向而行，171 秒后 能相遇． 12．【答案】BM=8×2=16 海里， BP=15×2=30 海里， 第 8 页 共 8 页 在△BMP 中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156， BM2+BP2=PM2， ∴∠MBP=90°， 180°-90°-60°=30°， 故乙船沿南偏东 30°方向航行。