人教版八年级数学下册单元检测题全套及答案（含期中期末检测题）

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1 第十六章检测题 (时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(2019·云南)要使 x＋1 2 有意义，则 x 的取值范围为 B A．x≤0 B．x≥－1 C．x≥0 D．x≤－1 2．(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的是 B A． 1 2 B． 2 C． 4 D． 12 3．(2019·益阳)下列运算正确的是 D A． （－2）2 ＝－2 B．(2 3 )2＝6 C． 2 ＋ 3 ＝ 5 D． 2 × 3 ＝ 6 4．等式 （4－x）2（6－x） ＝(x－4) 6－x 成立的条件是 B A．x≥4 B．4≤x≤6 C．x≥6 D．x≤4 或 x≥6 5．设 n 为正整数，且 n＜ 65 ＜n＋1，则 n 的值为 D A．5 B．6 C．7 D．8 6．已知 k，m，n 为三个整数，若 135 ＝k 15 ， 450 ＝15 m ， 180 ＝6 n ，则 下列有关于 k，m，n 大小关系，何者正确？D A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n 7．计算 27 －1 3 18 － 12 的结果是 C A．1 B．－1 C． 3 － 2 D． 2 － 3 8．若 x＝ 3－ 2 2 ，y＝ 3＋ 2 2 ，则 x2＋y2 的值是 A A．5 2 B． 3 2 C． 3 D．1 4 9．若 a＋b＜0，ab＞0，则化简 a2b2 的结果是 A A．ab B．－a b C．－ab D．a b 10．(2019·随州)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：2＋ 3 2－ 3 ＝ （2＋ 3）（2＋ 3） （2－ 3）（2＋ 3） ＝7＋4 3 ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简 一些有特点的无理数，如：对于 3＋ 5 － 3－ 5 ，设 x＝ 3＋ 5 － 3－ 5 ，易知 3＋ 5 ＞ 3－ 5 ，故 x＞0，由 x2 ＝( 3＋ 5 － 3－ 5 )2 ＝3＋ 5 ＋3－ 5 － 2 （3＋ 5）（3－ 5） ＝2，解得 x＝ 2 ，即 3＋ 5 － 3－ 5 ＝ 2 .根据以上方法， 化简 3－ 2 3＋ 2 ＋ 6－3 3 － 6＋3 3 后的结果为 D A．5＋3 6 B．5＋ 6 C．5－ 6 D．5－3 6 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．已知 a＜2，则 （a－2）2 ＝2－a． 2 12．(2019·滨州)计算：(－1 2 )－2－| 3 －2|＋ 3 2 ÷ 1 18 ＝2＋4 3 ． 13．(2019·天津)计算( 3 ＋1)( 3 －1)的结果等于 2． 14．若已知一个梯形的上底长为( 7 － 2 ) cm，下底长为( 7 ＋ 2 ) cm，高为 2 7 cm，则这个梯形的面积为 14cm2. 15．如图，数轴上表示 1， 3 的对应点分别为点 A，B，点 B 关于点 A 的对称点为点 C， 设点 C 所表示的数为 x，则 x＋3 x 的值为 8＋2 3 ． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)计算： (1) 2 2 (2 12 ＋4 1 8 －3 48 )； 解：原式＝4 6 ＋2－12 6 ＝2－8 6 (2)(2019·南充)计算：(1－π)0＋| 2 － 3 |－ 12 ＋( 1 2 )－1. 解：原式＝1＋ 3 － 2 －2 3 ＋ 2 ＝1－ 3 17．(9 分)如果最简二次根式 2m＋n 与 m－n－1 m＋7 是可以合并的，求正整数 m，n 的值． 解：m＝5，n＝2 18．(9 分)若 a，b，c 是△ABC 的三边，化简： （a－b－c）2 －|b－c－a|＋ （c－a－b）2 . 解：化简得原式＝|a－b－c|－|b－c－a|＋|c－a－b|＝－a＋b＋c＋b－c－a－c＋a＋b ＝－a＋3b－c 19．(9分)已知实数a，b 满足(4a－b＋11)2＋ 1 3 b－4a－3 ＝0，求a· a ·( b ÷ 1 a ) 的值． 3 解：由题意得 4a－b＋11＝0， 1 3 b－4a－3＝0， 解得 a＝1 4 ， b＝12. 则 a· a ·( b ÷ 1 a )＝a·a· b ＝ 1 4 ×1 4 ×2 3 ＝ 3 8 20．(9 分)先化简，再求值： (1)(2019·襄阳)先化简，再求值：( x x－1 －1)÷x2＋2x＋1 x2－1 ，其中 x＝ 2 －1. 解：原式＝( x x－1 －x－1 x－1 )÷x2＋2x＋1 x2－1 ＝ 1 x－1 ×（x＋1）（x－1） （x＋1）2 ＝ 1 x＋1 ，当 x＝ 2 －1 时，原式＝ 1 2－1＋1 ＝ 2 2 (2)(2019·桂林)先化简，再求值：(1 y －1 x )÷x2－2xy＋y2 2xy － 1 y－x ，其中 x＝2＋ 2 ， y＝2. 解：原式＝x－y xy · 2xy （x－y）2 ＋ 1 x－y ＝ 2 x－y ＋ 1 x－y ＝ 3 x－y ，当 x＝2＋ 2 ，y＝2 时，原式＝ 3 2＋ 2－2 ＝3 2 2 21．(10 分)在△ABC 中，BC 边上的高 h＝6 3 cm，它的面积恰好等于边长为 3 2 cm 的正方形的面积，求 BC 的长． 解：∵1 2 BC·h＝(3 2 )2＝18，∴BC＝36 h ＝ 36 6 3 ＝2 3 (cm)，答：BC 的长为 2 3 cm 22．(10 分)已知 9＋ 11 与 9－ 11 的小数部分分别为 a，b，求 ab－3a＋4b－7 的值． 解：∵3＜ 11 ＜4，∴9＋ 11 的小数部分为 11 －3，即 a＝ 11 －3，9－ 11 的小 数部分为 4－ 11 ，即 b＝4－ 11 ，∴ab－3a＋4b－7＝( 11 －3)(4－ 11 )－3( 11 － 4 3)＋4(4－ 11 )－7＝－5 23．(11 分)在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 3 5 ， 2 3 ， 2 3＋1 一样的式 子，其实我们还可以将其进一步化简： 3 5 ＝ 3× 5 5× 5 ＝3 5 5 ；(一) 2 3 ＝ 2×3 3×3 ＝ 6 3 ；(二) 2 3＋1 ＝ 2×（ 3－1） （ 3＋1）（ 3－1） ＝2（ 3－1） （ 3）2－12 ＝ 3 －1；(三) 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 2 3＋1 还可以用以下方法化简： 2 3＋1 ＝ 3－1 3＋1 ＝（ 3）2－12 3＋1 ＝（ 3＋1）（ 3－1） 3＋1 ＝ 3 －1.(四) 请用不同的方法化简 2 5＋ 3 . (1)①参照(三)式得 2 5＋ 3 ＝ 2（ 5－ 3） （ 5＋ 3）（ 5－ 3） ＝ 2（ 5－ 3） （ 5）2－（ 3）2 ＝ 5 － 3 ； ②参照(四)式得 2 5＋ 3 ＝ 5－3 5＋ 3 ＝（ 5）2－（ 3）2 5＋ 3 ＝（ 5＋ 3）（ 5－ 3） 5＋ 3 ＝ 5 － 3 ； (2)化简： 1 3＋1 ＋ 1 5＋ 3 ＋ 1 7＋ 5 ＋…＋ 1 2n＋1＋ 2n－1 . 解 ： 原 式 ＝ 3－1 2 ＋ 5－ 3 2 ＋ … ＋ 2n＋1－ 2n－1 2 ＝ 3－1＋ 5－ 3＋…＋ 2n＋1－ 2n－1 2 ＝－1＋ 2n＋1 2 第十七章检测题 (时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．已知 Rt△ABC 的三边长分别为 a，b，c，且∠C＝90°，c＝37，a＝12，则 b 的值为 5 B A．50 B．35 C．34 D．26 2．由下列线段 a，b，c 不能组成直角三角形的是 D A．a＝1，b＝2，c＝ 3 B．a＝1，b＝2，c＝ 5 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝2，b＝2 3 ，c＝3 3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点 C 到 AB 的距离是 A A．36 5 B．12 25 C．9 4 D．3 3 4 4．已知三角形三边长为 a，b，c，如果 a－6 ＋|b－8|＋(c－10)2＝0，则△ABC 是 C A．以 a 为斜边的直角三角形 B．以 b 为斜边的直角三角形 C．以 c 为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 5．(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的 证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵 爽弦图”.2002 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的 是 B 6．设 a，b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为 6，斜边长为 2.5，则 ab 的值是 D A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 7．如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，DE 垂直平分斜边 AC 交 AB 于点 D，E 是垂足，连 接 CD，若 BD＝1，则 AC 的长是 A A．2 3 B．2 C．4 3 D．4 第 7 题图 第 9 题图 第 10 题图 8．一木工师傅测量一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长，但他把这三个数据 与其他数据弄混了，请你帮他找出来，应该是 C A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4 9．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末 端拉到距离旗杆 8 m 处，发现此时绳子末端距离地面 2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部 分忽略不计)D A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m 10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标 为(3， 3 )，点 C 的坐标为(1 2 ，0)，点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA＋PC 的最小值为 B A． 13 2 B． 31 2 C．3＋ 19 2 D．2 7 6 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．把命题“对顶角相等”的逆命题改写成“如果…那么…”的形式：如果两个角相等， 那么它们是对顶角． 12．(2019·常州)平面直角坐标系中，点 P(－3，4)到原点的距离是 5． 13．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则 阴影部分的面积之和为 64． 14．(2019·东营)已知等腰三角形的底角是 30°，腰长为 2 3 ，则它的周长是 6＋4 3 ． 15．(2019·鄂州)如图，已知线段 AB＝4，O 是 AB 的中点，直线 l 经过点 O，∠1＝60°， P 点是直线 l 上一点，当△APB 为直角三角形时，则 BP＝2 或 2 3 或 2 7 ． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)如图，在△ABC 中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5. (1)求△ABC 的周长； (2)判断△ABC 是否是直角三角形． 解：(1)可求得 AB＝20，AC＝13，所以△ABC 的周长为 20＋13＋21＝54 (2)∵AB2＋AC2＝202＋132＝569，BC2＝212＝441，∴AB2＋AC2≠BC2， ∴△ABC 不是直角三角形 17．(9 分)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫 做格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图①中画一条线段 MN，使 MN＝ 17 ； (2)在图②中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF. 7 解：如图： 18．(9 分)如图，已知 CD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠D＝90°，BD＝DC，求 AC 的长． 解：在 Rt△BDC，Rt△ABC 中，BC2＝BD2＋DC2，AC2＝AB2＋BC2，则 AC2＝AB2＋BD2＋DC2， 又因为 BD＝DC，则 AC2＝AB2＋2CD2＝42＋2×62＝88，∴AC＝2 22 ，即 AC 的长为 2 22 19．(9 分)如图，在△ABC 中，∠A＝90°，D 是 BC 中点，且 DE⊥BC 于点 D，交 AB 于点 E. 求证：BE2－EA2＝AC2. 解：连接 CE，∵ED 垂直平分 BC，∴EB＝EC，又∵∠A＝90°，∴EA2＋AC2＝EC2，∴BE2 －EA2＝AC2 20．(9 分)(2019·河北)已知：整式 A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式 B＞0. 尝试 化简整式 A. 发现 A＝B2，求整式 B. 联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当 n＞1 时，n2－1，2n，B 为直角三角形的三边 长，如图．填写下表中 B 的值： 8 直角三角形三边 n2－1 2n B 勾股数组Ⅰ / 8 勾股数组Ⅱ 35 / 解：A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2，∵A＝B2，B＞0，∴B ＝n2＋1，当 2n＝8 时，n＝4，∴n2＋1＝42＋1＝17；当 n2－1＝35 时，n2＋1＝37.故答案为： 17；37 21．(10 分)如图，已知某学校 A 与直线公路 BD 的距离 AB 为 3000 米，且与该公路上的 一个车站 D 相距 5000 米，现要在公路边建一个超市 C，使之与学校 A 及车站 D 的距离相等， 那么该超市与车站 D 的距离是多少米？ 解：设超市 C 与车站 D 的距离是 x 米，则 AC＝CD＝x 米，BC＝(BD－x)米，在 Rt△ABD 中，BD＝ AD2－AB2 ＝4000 米，所以 BC＝(4000－x)米，在 Rt△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2，即 x2＝30002＋(4000－x)2，解得 x＝3125，因此该超市与车站 D 的距离是 3125 米 22．(10 分)一块长方体木块的各棱长如图所示，一只蜘蛛在木块的一个顶点 A 处，一 只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点 B 处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上 爬． (1)如果 D 是棱的中点，蜘蛛沿“AD→DB”路线爬行，它从 A 点爬到 B 点所走的路程为 多少？ (2)你认为“AD→DB”是最短路线吗？如果你认为不是，请计算出最短的路程． 9 解：(1)从点 A 爬到点 B 所走的路程为 AD＋BD＝ 42＋32 ＋ 22＋32 ＝(5＋ 13 )cm (2) 不是，分三种情况讨论：①将下面和右面展到一个平面内，AB＝ （4＋6）2＋22 ＝ 104 ＝ 2 26 (cm)；②将前面与右面展到一个平面内，AB＝ （4＋2）2＋62 ＝ 72 ＝6 2 (cm)； ③将前面与上面展到一个平面内，AB＝ （6＋2）2＋42 ＝ 80 ＝4 5 (cm)，∵6 2 ＜4 5 ＜2 26 ，∴蜘蛛从 A 点爬到 B 点所走的最短路程为 6 2 cm 23．(11 分)如图，已知正方形 OABC 的边长为 2，顶点 A，C 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，M 是 BC 的中点，P(0，m)是线段 OC 上一动点(C 点除外)，直线 PM 交 AB 的延 长线于点 D. (1)求点 D 的坐标(用含 m 的代数式表示)； (2)当△APD 是以 AP 为腰的等腰三角形时，求 m 的值； 解：(1)先证△DBM≌△PCM，从中可得 BD＝PC＝2－m，则 AD＝2－m＋2＝4－m，∴点 D 的坐标为(－2，4－m) (2)分两种情况：①当 AP＝AD 时，AP2＝AD2，∴22＋m2＝(4－m)2，解 得 m＝3 2 ；②当 AP＝PD 时，过点 P 作 PH⊥AD 于点 H，∴AH＝1 2 AD，∵AH＝OP，∴OP＝1 2 AD， ∴m＝1 2 (4－m)，∴m＝4 3 ，综上可得，m 的值为3 2 或4 3 第十八章检测题 (时间：120 分钟 满分：120 分) 10 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(2019·十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 C A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．(株洲中考)如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 BC 的中点，以下说法错误的是 D A．OE＝1 2 DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE 第 2 题图 第 3 题图 第 6 题图 3．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则 AB 的长为 D A． 3 cm B．2 cm C．2 3 cm D．4 cm 4．(2019·泸州)四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，下列四组条件中，一定能 判定四边形 ABCD 为平行四边形的是 B A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD 5．若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是 C A．矩形 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 6．(2019·赤峰)如图，菱形 ABCD 周长为 20，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 CD 的中 点，则 OE 的长是 A A．2.5 B．3 C．4 D．5 7．(2019·泸州)一个菱形的边长为 6，面积为 28，则该菱形的两条对角线的长度之和 为 C A．8 B．12 C．16 D．32 8．如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B′处，若 AE＝2，DE＝6，∠ EFB′＝60°，则矩形 ABCD 的面积是 D A．12 B．24 C．12 3 D．16 3 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 9．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB， 垂足为 F，则 EF 的长为 C A．1 B． 2 C．4－2 2 D．3 2 －4 10．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，∠EBC 的平分线交 CD 于点 F，将△DEF 沿 EF 折叠，点 D 恰好落在 BE 上点 M 处，延长 BC，EF 交于点 N，有下列四个结论：①DF＝ CF；②BF⊥EN；③△BEN 是等边三角形；④S△BEF＝3S△DEF，其中正确的结论是 B A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11 11．(2019·长沙)如图，要测量池塘两岸相对的 A，B 两点间的距离，可以在池塘外选 一点 C，连接 AC，BC，分别取 AC，BC 的中点 D，E，测得 DE＝50 m，则 AB 的长是 100m. 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 12．(江西中考)如图，在▱ ABCD 中，∠C＝40°，过点 D 作 CB 的垂线，交 AB 于点 E， 交 CB 的延长线于点 F，则∠BEF 的度数为 50°． 13．(2019·湘潭)如图，在四边形 ABCD 中，若 AB＝CD，则添加一个条件 AD＝BC，能得 到平行四边形 ABCD.(不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可) 14．如图，菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 和 8，M，N 分别是边 BC，CD 的中点，P 是对角线 BD 上一点，则 PM＋PN 的最小值是 5． 15．(2019·内江)如图，点 A，B，C 在同一直线上，且 AB＝2 3 AC，点 D，E 分别是 AB， BC 的中点，分别以 AB，DE，BC 为边，在 AC 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形(阴影 部分)的面积分别记作 S1，S2，S3，若 S1＝ 5 ，则 S2＋S3＝3 5 4 ． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)如图，点 E，F 分别是锐角∠A 两边上的点，AE＝AF，分别以点 E，F 为圆心， 以 AE 的长为半径画弧，两弧相交于点 D，连接 DE，DF. (1)请你判断所画四边形的形状，并说明理由； (2)连接 EF，若 AE＝8 cm，∠A＝60°，求线段 EF 的长． 解：(1)菱形，理由：根据题意得 AE＝AF＝ED＝DF，∴四边形 AEDF 是菱形 (2)∵AE＝ AF，∠A＝60°，∴△EAF 是等边三角形，∴EF＝AE＝8 cm 17．(9 分)(2019·柳州)平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边 形是平行四边形．请你证明这个判定定理． 12 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 证明： 连接 AC，如图，在△ABC 和△CDA 中， AB＝CD CB＝AD AC＝CA ，∴△ABC≌△CDA(SSS)，∴∠BAC＝∠DCA， ∠ACB＝∠CAD，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形 ABCD 是平行四边形 18．(9 分)(2019·新疆)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 CD 中 点，连接 OE.过点 C 作 CF∥BD 交 OE 的延长线于点 F，连接 DF. 求证：(1)△ODE≌△FCE； (2)四边形 OCFD 是矩形． 证明：(1)∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，∵E 是 CD 中点，∴CE＝DE，在△ODE 和△FCE 中， ∠ODE＝∠FCE， DE＝CE， ∠DEO＝∠CEF， ∴△ODE≌△FCE(ASA) (2)∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC，∵CF∥BD，∴四边形 OCFD 是平行四边形，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴四边形 OCFD 是矩形 19．(9 分)(2019·大庆)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4.点 M，N 在对角线 AC 上， 且 AM＝CN，E，F 分别是 AD，BC 的中点． 13 (1)求证：△ABM≌△CDN； (2)点 G 是对角线 AC 上的点，∠EGF＝90°，求 AG 的长． (1)证明∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， AB＝CD， ∠MAB＝∠NCD， AM＝CN， ∴△ABM≌△CDN(SAS) (2)解：如图，连接 EF，交 AC 于点 O.在△AEO 和△CFO 中， ∠EOA＝∠FOC， ∠EAO＝∠FCO， AE＝CF， ∴△AEO ≌△CFO(AAS)，∴EO＝FO，AO＝CO，∴O 为 EF，AC 中点．∵∠EGF＝90°，OG＝1 2 EF＝3 2 ， ∴AG＝OA－OG＝1 或 AG＝OA＋OG＝4，∴AG 的长为 1 或 4 20．(9 分)如图，在▱ ABCD 中，E，F 两点在对角线 BD 上，BE＝DF. (1)求证：AE＝CF； (2)当四边形 AECF 为矩形时，请求出BD－AC BE 的值． 解：(1)由 SAS 证△ABE≌△CDF 即可 (2)连接 CE，AF，AC.∵四边形 AECF 是矩形，∴ AC＝EF，∴BD－AC BE ＝BD－EF BE ＝BE＋DF BE ＝2BE BE ＝2 21．(10 分)如图，在矩形 ABCD 中，M，N 分别是边 AD，BC 的中点，E，F 分别是线段 BM， CM 的中点． (1)求证：△ABM≌△DCM； (2)填空：当 AB∶AD＝1∶2 时，四边形 MENF 是正方形，并说明理由． 解：(1)由 SAS 可证 (2)理由：∵AB∶AD＝1∶2，∴AB＝1 2 AD，∵AM＝1 2 AD，∴AB＝AM， 14 ∴∠ABM＝∠AMB，∵∠A＝90°，∴∠AMB＝45°，∵△ABM≌△DCM，∴BM＝CM，∠DMC＝∠AMB ＝45°，∴∠BMC＝90°，∵E，F，N 分别是 BM，CM，BC 的中点，∴EN∥CM，FN∥BM，EM＝ MF，∴四边形 MENF 是菱形，∵∠BMC＝90°，∴菱形 MENF 是正方形 22．(10 分)如图，在正方形 ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终 经过点 B，直角顶点 P 在射线 AC 上移动，另一边交 DC 于点 Q. (1)如图①，当点 Q 在 DC 边上时，猜想并写出 PB 与 PQ 所满足的数量关系，并加以证明； (2)如图②，当点 Q 落在 DC 的延长线上时，猜想并写出 PB 与 PQ 满足的数量关系，并证 明你的猜想． 解：(1)PB＝PQ.证明：连接 PD，∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ACB＝∠ACD，∠BCD＝ 90°，BC＝CD，又∵PC＝PC，∴△DCP≌△BCP(SAS)，∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC，∵∠PBC ＋∠PQC＝180°，∠PQD＋∠PQC＝180°，∴∠PBC＝∠PQD，∴∠PDC＝∠PQD，∴PQ＝PD， ∴PB＝PQ (2)PB＝PQ.证明：连接 PD，同(1)可证△DCP≌△BCP，∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC， ∵∠PBC＝∠Q，∴∠PDC＝∠Q，∴PD＝PQ，∴PB＝PQ 23．(11 分)(2019·重庆)如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，连接 AE，EM ⊥AE，垂足为 E，交 CD 于点 M，AF⊥BC，垂足为 F，BH⊥AE，垂足为 H，交 AF 于点 N，点 P 是 AD 上一点，连接 CP. (1)若 DP＝2AP＝4，CP＝ 17 ，CD＝5，求△ACD 的面积． (2)若 AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝ 2 CM＋2CE. 解：(1)作 CG⊥AD 于 G，如图①所示：设 PG＝x，则 DG＝4－x，在 Rt△PGC 中，GC2＝CP2 －PG2＝17－x2，在 Rt△DGC 中，GC2＝CD2－GD2＝52－(4－x)2＝9＋8x－x2，∴17－x2＝9＋8x －x2，解得：x＝1，即 PG＝1，∴GC＝4，∵DP＝2AP＝4，∴AD＝6，∴S△ACD＝1 2 ×AD×CG＝ 1 2 ×6×4＝12 15 (2)证明：连接 NE，如图②所示：∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，∴∠AEB＋∠NBF＝∠AEB ＋ ∠ EAF ＝ ∠AEB ＋ ∠MEC ＝ 90 ° ， ∴ ∠ NBF ＝ ∠EAF ＝ ∠MEC ， 在 △NBF 和 △EAF 中 ， ∠NBF＝∠EAF， ∠BFN＝∠AFE， BN＝AE， ∴△NBF≌△EAF(AAS)，∴BF＝AF，NF＝EF，∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°， ∵∠ANB＝90°＋∠EAF，∠CEA＝90°＋∠MEC，∴∠ANB＝∠CEA，在△ANB 和△CEA 中， AN＝CE， ∠ANB＝∠CEA， BN＝AE， ∴△ANB≌△CEA(SAS)，∴∠CAE＝∠ABN，∵∠NBF＝∠EAF，∴∠ABF＝ ∠FAC＝45°∴FC＝AF＝BF，∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF，在△ANE 和△ECM 中， ∠EAF＝∠MEC， AN＝EC， ∠ANE＝∠ECM， ∴△ANE≌△ECM(ASA)，∴CM＝NE，又∵NF＝ 2 2 NE＝ 2 2 MC，∴AF＝ 2 2 MC ＋EC，∴AD＝ 2 MC＋2EC 第十九章检测题 (时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(2019·广元)函数 y＝ x－1 的自变量 x 的取值范围是 D A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1 2．若函数 y＝kx 的图象经过点(1，－2)，那么它一定经过点 B A．(2，－1) B．(－1 2 ，1) C．(－2，1) D．(－1，1 2 ) 3．(2019·齐齐哈尔)“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童．战士们从 营地出发，匀速步行前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福利院(营 地、文具店、福利院三地依次在同一直线上).到达后因接到紧急任务，立即按原路匀速跑步 返回营地(赠送礼物的时间忽略不计)，下列图象能大致反映战士们离营地的距离 S 与时间 t 之间函数关系的是 B 16 4．(2019·娄底)如图，直线 y＝x＋b 和 y＝kx＋2 与 x 轴分别交于点 A(－2，0)，点 B(3， 0)，则 x＋b＞0， kx＋2＞0 解集为 D A．x＜－2 B．x＞3 C．x＜－2 或 x＞3 D．－2＜x＜3 第 4 题图 第 9 题图 第 10 题图 5．(2019·大庆)正比例函数 y＝kx(k≠0)的函数值 y 随着 x 增大而减小，则一次函数 y ＝x＋k 的图象大致是 A 6．已知一次函数 y＝(2m－1)x＋1 的图象上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，当 x1＜x2 时， 有 y1＜y2，那么 m 的取值范围是 B A．m＜1 2 B．m＞1 2 C．m＜2 D．m＞0 7．已知一次函数的图象过点(3，5)与(－4，－9)，则该函数的图象与 y 轴交点的坐标 为 A A．(0，－1) B．(－1，0) C．(0，2) D．(－2，0) 8．把直线 y＝－x－3 向上平移 m 个单位后，与直线 y＝2x＋4 的交点在第二象限，则 m 的取值范围是 A A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4 9．在一次自行车越野赛中，出发 m h 后，小明骑行了 25 km，小刚骑行了 18 km，此后 两人分别以 a km/h，b km/h 匀速骑行，他们骑行的时间 t(h)与骑行的路程 s(km)之间的函 数关系如图，观察图象，下列说法：①出发 m h 内小明的速度比小刚快；②a＝26；③小刚 追上小明时离起点 43 km；④此次越野赛的全程为 90 km.其中正确的说法有 C A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．(2019·鄂州)如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3…An 在 x 轴上，B1，B2，B3… Bn 在直线 y＝ 3 3 x 上，若 A1(1，0)，且△A1B1A2，△A2B2A3…△AnBnAn＋1 都是等边三角形，从左 到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为 S1，S2，S3…Sn.则 Sn 可表示为 D 17 A．22n 3 B．22n－1 3 C．22n－2 3 D．22n－3 3 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2019·本溪)函数 y＝5x 的图象经过的象限是一、三． 12．(2019·哈尔滨)在函数 y＝ 3x 2x－3 中，自变量 x 的取值范围是 x≠3 2 ． 13．(2019·无锡)已知一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 3kx－b ＞0 的解集为 x＜2． 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 14．(2019·金华)元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程 s 关于行走时间 t 的函数图象，则两图象交点 P 的坐标是(32，4800)． 15．(2019·重庆)一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸 爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回 家．小明拿到书后以原速的5 4 倍快步赶往学校，并在从家出发后 23 分钟到校(小明被爸爸追 上时交流时间忽略不计).两人之间相距的路程 y(米)与小明从家出发到学校的步行时间 x(分钟)之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 2080 米． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)已知 2y－3 与 3x＋1 成正比例，且 x＝2 时，y＝5. (1)求 x 与 y 之间的函数关系，并指出它是什么函数； (2)若点(a，2)在这个函数的图象上，求 a 的值． 解：(1)y＝3 2 x＋2，是一次函数 (2)a＝0 17．(9 分)(2019·南京)已知一次函数 y1＝kx＋2(k 为常数，k≠0)和 y2＝x－3. (1)当 k＝－2 时，若 y1＞y2，求 x 的取值范围； (2)当 x＜1 时，y1＞y2.结合图象，直接写出 k 的取值范围． 解：(1)k＝－2 时，y1＝－2x＋2，根据题意得－2x＋2＞x－3，解得 x＜5 3 (2)当 x＝1 时，y＝x－3＝－2，把(1，－2)代入 y1＝kx＋2 得 k＋2＝－2，解得 k＝－4，当－4≤k＜0 时，y1＞y2；当 0＜k≤1 时，y1＞y2 18．(9 分)已知一次函数 y＝(a＋8)x＋(6－b). 18 (1)a，b 为何值时，y 随 x 的增大而增大？ (2)a，b 为何值时，图象过第一、二、四象限？ (3)a，b 为何值时，图象与 y 轴的交点在 x 轴上方？ (4)a，b 为何值时，图象过原点？ 解：(1)a＞－8，b 为全体实数 (2)a＜－8，b＜6 (3)a≠－8，b＜6 (4)a≠－8，b ＝6 19．(9 分)(2019·深圳)有 A，B 两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比 B 发电厂多 发 40 度电，A 焚烧 20 吨垃圾比 B 焚烧 30 吨垃圾少 1800 度电． (1)求焚烧 1 吨垃圾，A 和 B 各发电多少度？ (2)A，B 两个发电厂共焚烧 90 吨的垃圾，A 焚烧的垃圾不多于 B 焚烧的垃圾两倍，求 A 厂和 B 厂总发电量的最大值． 解：(1)设焚烧 1 吨垃圾，A 发电厂发电 a 度，B 发电厂发电 b 度，根据题意得： a－b＝40， 30b－20a＝1800， 解得 a＝300， b＝260， 答：焚烧 1 吨垃圾，A 发电厂发电 300 度，B 发电厂发 电 260 度 (2)设 A 发电厂焚烧 x 吨垃圾，则 B 发电厂焚烧(90－x)吨垃圾，总发电量为 y 度，则 y ＝300x＋260(90－x)＝40x＋23400，∵x≤2(90－x)，∴x≤60，∵y 随 x 的增大而增大，∴ 当 x＝60 时，y 有最大值为：40×60＋23400＝25800(度).答：A 厂和 B 厂总发电量的最大值 是 25800 度 20．(9 分)(2019·绥化)甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了 6 小时．在加工 过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加 工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数 y(个)与甲加 工时间 x(h)之间的函数图象为折线 OA－AB－BC，如图所示． (1)这批零件一共有 270 个，甲机器每小时加工 20 个零件，乙机器排除故障后每小时加 工 40 个零件； (2)当 3≤x≤6 时，求 y 与 x 之间的函数解析式； (3)在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？ 解：(1)这批零件一共有 270 个，甲机器每小时加工零件：(90－50)÷(3－1)＝20(个)， 乙机器排除故障后每小时加工零件：(270－90－20×3)÷3＝40(个)；故答案为：270；20； 40 (2)设当 3≤x≤6 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b，把 B(3，90)，C(6，270) 代入解析式，得 3k＋b＝90， 6k＋b＝270， 解得 k＝60， b＝－90， ∴y＝60x－90(3≤x≤6) (3)设甲加工 x 小时时，甲乙加工的零件个数相等，①20x＝30，解得 x＝1.5；②50－20＝30，20x＝30＋ 40(x－3)，解得 x＝4.5，答：甲加工 1.5 h 或 4.5 h 时，甲与乙加工的零件个数相等 19 21．(10 分)(2019·重庆)函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们 就一类特殊的函数展开探索．画函数 y＝－2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连 线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数 y＝－2|x|＋2 和 y＝－2|x＋2|的图 象如图所示． x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … －6 －4 －2 0 －2 －4 －6 … (1)观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中 绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变 化．写出点 A，B 的坐标和函数 y＝－2|x＋2|的对称轴； (2)探索思考：平移函数 y＝－2|x|的图象可以得到函数 y＝－2|x|＋2 和 y＝－2|x＋2| 的图象，分别写出平移的方向和距离； (3)拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数 y＝－2|x－3|＋1 的图象．若点(x1， y1)和(x2，y2)在该函数图象上，且 x2＞x1＞3，比较 y1，y2 的大小． 解：(1)A(0，2)，B(－2，0)，函数 y＝－2|x＋2|的对称轴为 x＝－2 (2)将函数 y＝ －2|x|的图象向上平移 2 个单位得到函数 y＝－2|x|＋2 的图象；将函数 y＝－2|x|的图象 向左平移 2 个单位得到函数 y＝－2|x＋2|的图象 (3)将函数 y＝－2|x|的图象向上平移 1 个单位，再向右平移 3 个单位得到函数 y＝－2|x－3|＋1 的图象．所画图象如图所示，当 x2＞x1＞3 时，y1＞y2 22．(10 分)(2019·内江)某商店准备购进 A，B 两种商品，A 种商品每件的进价比 B 种 商品每件的进价多 20 元，用 3000 元购进 A 种商品和用 1800 元购进 B 种商品的数量相同．商 店将 A 种商品每件的售价定为 80 元，B 种商品每件的售价定为 45 元． (1)A 种商品每件的进价和 B 种商品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过 1560 元的资金购进 A，B 两种商品共 40 件，其中 A 种商品的数量 不低于 B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ 20 (3)端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 A 种商品售价优惠 m(10＜m＜20) 元，B 种商品售价不变，在(2)条件下，请设计出销售这 40 件商品获得总利润最大的进货方 案． 解：(1)设 A 种商品每件的进价是 x 元，则 B 种商品每件的进价是(x－20)元，由题意得： 3000 x ＝ 1800 x－20 ，解得：x＝50，经检验，x＝50 是原方程的解，且符合题意，50－20＝30， 答：A 种商品每件的进价是 50 元，B 种商品每件的进价是 30 元 (2)设购买 A 种商品 a 件， 则购买 B 商品(40－a)件，由题意得 50a＋30（40－a）≤1560，40－a 2 ， 解得40 3 ≤a≤18， ∵a 为正整数，∴a＝14，15，16，17，18，∴商店共有 5 种进货方案 (3)设销售 A，B 两 种商品共获利 y 元，由题意得：y＝(80－50－m)a＋(45－30)(40－a)＝(15－m)a＋600，① 当 10＜m＜15 时，15－m＞0，y 随 a 的增大而增大，∴当 a＝18 时，获利最大，即买 18 件 A 商品，22 件 B 商品；②当 m＝15 时，15－m＝0，y 与 a 的值无关，即(2)问中所有进货方案 获利相同；③当 15＜m＜20 时，15－m＜0，y 随 a 的增大而减小，∴当 a＝14 时，获利最大， 即买 14 件 A 商品，26 件 B 商品 23．(11 分)(2019·襄阳)襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植 有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价 如下表所示： 有机蔬菜种类 进价(元/kg) 售价(元/kg) 甲 m 16 乙 n 18 (1)该超市购进甲种蔬菜 10 kg 和乙种蔬菜 5 kg 需要 170 元；购进甲种蔬菜 6 kg 和乙 种蔬菜 10 kg 需要 200 元．求 m，n 的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 kg 进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少 于 20 kg，且不大于 70 kg.实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过 60 kg 的部分， 当天需要打 5 折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润 额 y(元)与购进甲种蔬菜的数量 x(kg)之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围； (3)在(2)的条件下，超市在获得的利润额 y(元)取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每 千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于 20%，求 a 的最大值． 解：(1)由题意可得， 10m＋5n＝170， 6m＋10n＝200， 解得 m＝10， n＝14， 答：m 的值是 10，n 的值是 14 (2)当 20≤x≤60 时，y＝(16－10)x＋(18－14)(100－x)＝2x＋400，当 60＜x≤70 时，y＝(16 －10)×60＋(16－10)×0.5×(x－60)＋(18－14)(100－x)＝－x＋580，由上可得，y＝ 2x＋400（20≤x≤60） －x＋580（60＜x≤70） (3)当 20≤x≤60 时，y＝2x＋400，则当 x＝60 时，y 取得最大 值，此时 y＝520，当 60＜x≤70 时，y＝－x＋580，则 y＜－60＋580＝520，由上可得，当 x＝60 时，y 取得最大值，此时 y＝520，∵在(2)的条件下，超市在获得的利润额 y(元)取得 最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院， 且要保证捐款后的盈利率不低于 20%，∴520－2a×60－40a 60×10＋40×14 ≥20%，解得 a≤1.8，即 a 的最 大值是 1.8 21 第二十章检测题 (时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(2019·宜昌)李大伯前年在驻村扶贫工作队的帮助下种了一片果林，今年收货一批 成熟的果子．他选取了 5 棵果树，采摘后分别称重．每棵果树果子总质量(单位：kg)分别为： 90，100，120，110，80.这五个数据的中位数是 C A．120 B．110 C．100 D．90 2．(2019·临沂)小明记录了临沂市五月份某周每天的日最高气温(单位：℃)，列成如 表： 天数(天) 1 2 1 3 最高气温(℃) 22 26 28 29 则这周最高气温的平均值是 B A．26.25 ℃ B．27 ℃ C．28 ℃ D．29 ℃ 3．(2019·湘西州)从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他 们的平均成绩都是 9 环，方差分别是 s 甲 2＝0.25，s 乙 2＝0.3，s 丙 2＝0.4，s 丁 2＝0.35，你认 为派谁去参赛更合适 A A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．(2019·宁夏)为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了 30 名学生一天课外阅读时 间，整理如下表： 阅读时间/小时 0.5 及以下 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 及以上 人数 2 9 6 5 4 4 则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是 B A．0.7 和 0.7 B．0.9 和 0.7 C．1 和 0.7 D．0.9 和 1.1 5．(2019·眉山)某班七个兴趣小组人数如下：5，6，6，x，7，8，9，已知这组数据的 平均数是 7，则这组数据的中位数是 C A．6 B．6.5 C．7 D．8 6．(2019·大庆)某企业 1－6 月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信 息相符的是 D A．1－6 月份利润的众数是 130 万元 B．1－6 月份利润的中位数是 130 万元 C．1－6 月份利润的平均数是 130 万元 D．1－6 月份利润的极差是 40 万元 22 第 6 题图 第 10 题图 7．在“爱我中华”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下： 甲：8，7，9，8，8 ；乙：7，9，6，9，9，则下列说法中错误的是 C A．甲、乙得分的平均数都是 8 B．甲得分的众数是 8，乙得分的众数是 9 C．甲得分的中位数是 9，乙得分的中位数是 6 D．甲得分的方差比乙得分的方差小 8．下列说法中：①样本中的方差越小，波动越小，说明样本稳定性越好；②一组数据 的众数只有一个；③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一个数据；④数据 3，3，3， 3，2，5 中的众数为 4；⑤一组数据的方差一定是正数．其中正确的个数为 B A．0 B．1 C．2 D．4 9．(2019·宜宾)如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩： 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次 甲 10 7 7 8 8 8 9 7 乙 10 5 5 8 9 9 8 10 根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为 x 甲、x 乙，甲、乙的方差分别为 s 甲 2，s 乙 2， 则下列结论正确的是 A A．x 甲＝x 乙，s 甲 2＜s 乙 2 B．x 甲＝x 乙，s 甲 2＞s 乙 2 C．x 甲＞x 乙，s 甲 2＜s 乙 2 D．x 甲＜x 乙，s 甲 2＜s 乙 2 10．对某校八年级学生随机抽取若干名进行体能测试，成绩记为 1 分、2 分、3 分、4 分共 4 个等级，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图，根据图中信息，这些学生的平 均分数是 C A．2.25 B．2.5 C．2.95 D．3 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按 60%，面试按 40%计算加权平均数作为 总成绩，小王笔试成绩 90 分，面试成绩 85 分，那么小王的总成绩是 88 分． 12．(2019·玉林)样本数据－2，0，3，4，－1 的中位数是 0． 13．(2019·包头)甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 甲 45 83 86 82 23 乙 45 83 84 135 某同学分析上表后得到如下结论：①甲、乙两班学生的平均成绩相同；②乙班优秀的人 数少于甲班优秀的人数(竞赛得分≥85 分为优秀)；③甲班成绩的波动性比乙班小．上述结 论中正确的是①②③．(填写所有正确结论的序号) 14．(2019·菏泽)一组数据 4，5，6，x 的众数与中位数相等，则这组数据的方差是1 2 ． 15．一组数据 3，4，6，8，x 的中位数是 x，且 x 是满足不等式组 x－3≥0， 5－x＞0 的整数， 则这组数据的平均数是 5． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)为了估计西瓜、苹果和香蕉三种水果一个月的销售量，某水果店对三种水果 7 天的销售量进行了统计，统计结果如图所示： (1)若西瓜、苹果和香蕉的售价分别为 6 元/千克、8 元/千克和 3 元/千克，则这 7 天销 售额最大的水果品种是 A． A．西瓜 B．苹果 C．香蕉 (2)估计一个月(按 30 天计算)该水果店可销售苹果多少千克？ 解：140 7 ×30＝600(千克) 17．(9 分)(呼和浩特中考)在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽得 12 名选手所用的 时间(单位：分钟)得到如下样本数据：140 146 143 175 125 164 134 155 152 168 162 148 (1)计算该样本数据的中位数和平均数； (2)如果一名选手的成绩是 147 分钟，请你依据样本数据的中位数，推断他的成绩如何？ 解：(1)中位数为 150 分钟，平均数为 151 分钟 (2)由(1)可得，中位数为 150，可以 估计在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩快于 150 分钟，有一半选手的成绩慢于 150 分钟，这名选手的成绩为 147 分钟，快于中位数 150 分钟，可以推断他的成绩估计比一 半以上选手的成绩好 18．(9 分)某校在招聘教师时以考评成绩确定人选，甲、乙两位高校毕业生的各项考评 成绩如下表： 考评项目 教学设计 课堂教学 答辩 成绩(分) 甲 90 85 90 乙 80 92 83 (1)如果学校将教学设计，课堂教学和答辩按 1∶3∶1 的比例来计算各人的考评成绩， 那么谁会被录用？ (2)如果按教学设计占 30%，课堂教学占 50%，答辩占 20%来计算各人的考评成绩，那么 24 又是谁会被录用？ 解：(1)甲的成绩为 87，乙的成绩为 87.8，∵87＜87.8，∴乙会被录取 (2)甲的成绩 为 87.5，乙的成绩为 86.6，∵87.5＞86.6，∴甲会被录取 19．(9 分)(2019·云南)某公司销售部有营业员 15 人，该公司为了调动营业员的积极 性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当 的月销售目标，公司有关部门统计了这 15 人某月的销售量，如下表所示： 月销售量/件数 1770 480 220 180 120 90 人数 1 1 3 3 3 4 (1)直接写出这 15 名营业员该月销售量数据的平均数、中位数、众数； (2)如果想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，你认为(1)中的平均数、中位数、 众数中，哪个最适合作为月销售目标？请说明理由． 解 ： (1) 这 15 名 营 业 员 该 月 销 售 量 数 据 的 平 均 数 ＝ 1770＋480＋220×3＋180×3＋120×3＋90×4 15 ＝278(件)，中位数为 180 件，∵90 出现了 4 次，出现的次数最多，∴众数是 90 件 (2)如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标， 平均数、中位数、众数中，中位数最适合作为月销售目标；理由如下：因为中位数为 180 件，即月销售量大于 180 与小于 180 的人数一样多，所以中位数最适合作为月销售目标，有 一半左右的营业员能达到销售目标 20．(9 分)甲、乙两台机床同时生产一种零件，在 10 天中，两台机床每天出次品的数 量如下表： 甲 1 1 0 2 1 3 2 1 1 0 乙 0 2 2 0 3 1 0 1 3 1 (1)分别计算两组数据的平均数和方差； (2)从计算的结果来看，在 10 天中，哪台机床出次品的平均数较小？哪台机床出次品的 波动较小？ 解：(1)x 甲＝1.2(个)，x 乙＝1.3(个)；s 甲 2＝0.76，s 乙 2＝1.21 (2)由(1)知 x 甲＜x 乙， ∴甲台机床出次品的平均数较小，由(1)知 s 甲 2＜s 乙 2，∴甲台机床出次品的波动较小 21．(10 分)(2019·青岛)为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校 800 名学生 中随机抽取了 40 名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间(单位：h)，统计结果如下： 9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，7.5，9.5，9，8.5，7.5，10，9.5，8， 9，7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8， 9. 25 在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表： 睡眠时间分组统计表 组别 睡眠时间分组 人数(频数) 1 7≤t＜8 m 2 8≤t＜9 11 3 9≤t＜10 n 4 10≤t＜11 4 请根据以上信息，解答下列问题： (1)m＝7，n＝18，a＝17.5%，b＝45%； (2)抽取的这 40 名学生平均每天睡眠时间的中位数落在 3 组(填组别)； (3)如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于 9 h，请估计该校学生中睡 眠时间符合要求的人数． 解：(1)7≤t＜8 时，频数为 m＝7；9≤t＜10 时，频数为 n＝18；∴a＝ 7 40 ×100%＝17.5%； b＝18 40 ×100%＝45%；故答案为：7，18，17.5%，45% (2)由统计表可知，抽取的这 40 名学 生平均每天睡眠时间的中位数为第 20 个和第 21 个数据的平均数，∴落在第 3 组；故答案为： 3 (3)该校学生中睡眠时间符合要求的人数为 800×18＋4 40 ＝440(人)；答：估计该校学生 中睡眠时间符合要求的人数为 440 人 22．(10 分)(2019·长春)网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年 级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取 20 名学生，进行了每周网上学习的调查．数 据如下(单位：时)： 3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4 整理上面的数据，得到表格如下： 网上学习时间 x(时) 0＜x≤1 1＜x≤2 2＜x≤3 3＜x≤4 人数 2 5 8 5 样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 统计量 平均数 中位数 众数 数值 2.4 m n 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中的中位数 m 的值为 2.5，众数 n 的值为 2.5； (2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按 18 周计算)网上学习的 时间； 26 (3)已知该校七年级学生有 200 名，估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数． 解：(1)从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5， 2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，∴中位数 m 的值为2.5＋2.5 2 ＝2.5，众数 n 为 2.5； 故答案为：2.5，2.5 (2)2.4×18＝43.2(小时)，答：估计该校七年级学生平均每人一学期 (按 18 周计算)网上学习的时间为 43.2 小时 (3)200×13 20 ＝130(人)，答：该校七年级学生 有 200 名，估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数为 130 人 23．(11 分)(2019·江西)某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况(七、八年级学 生人数相同)，某周从这两个年级学生中分别随机抽查了 30 名同学，调查了他们周一至周五 的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表： 周一至周五英语听力训练人数统计表 年级 参加英语听力训练人数 周一 周二 周三 周四 周五 七年级 15 20 a 30 30 八年级 20 24 26 30 30 合计 35 44 51 60 60 (1)填空：a＝25； (2)根据上述统计图表完成下表中的相关统计量： 年级 平均训练时间的中位数 参加英语听力训练人数的方差 七年级 24 34 八年级 27 14.4 (3)请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价； (4)请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共 480 名学生 中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练． 解：(1)由题意得：a＝51－26＝25；故答案为：25 (2)按照从小到大的顺序排列为： 18，25，27，30，30，∴八年级平均训练时间的中位数为：27；故答案为：27 (3)参加训 练的学生人数超过一半；从平均训练时间的中位数角度看，八年级英语听力训练的平均训练 时间比七年级多 (4)抽查的七、八年级共 60 名学生中，周一至周五训练人数的平均数为 1 5 (35＋44＋51＋60＋60)＝50，∴该校七、八年级共 480 名学生中周一至周五平均每天进行 英语听力训练的人数为 480×50 60 ＝400(人) 27 期中检测题 (时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是 A A． 5 B． 8 C． 1 2 D． 0.3 2．(2019·天津)如图，四边形 ABCD 为菱形，A，B 两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)， 点 C，D 在坐标轴上，则菱形 ABCD 的周长等于 C A． 5 B．4 3 C．4 5 D．20 第 2 题图 第 5 题图 第 7 题图 3．在下列以线段 a，b，c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是 D A．a＝9，b＝41，c＝40 B．a＝5，b＝5，c＝5 2 C．a∶b∶c＝3∶4∶5 D．a＝11，b＝12，c＝15 4．(2019·郴州)下列运算正确的是 D A．(x2)3＝x5 B． 2 ＋ 8 ＝ 10 C．x·x2·x4＝x6 D． 2 2 ＝ 2 5．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，若△DBE 的周长是 6，则△ABC 的周长是 C 28 A．8 B．10 C．12 D．14 6．(2019·呼和浩特)已知菱形的边长为 3，较短的一条对角线的长为 2，则该菱形较长 的一条对角线的长为 C A．2 2 B．2 5 C．4 2 D．2 10 7．(2019·淄博)如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 2 和 8，则图中阴 影部分的面积为 B A． 2 B．2 C．2 2 D．6 8．(2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》 中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形 纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出 C A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 9．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 是 AB 的中点，且 CD＝ 5 2 ，如果 Rt△ABC 的面积为 1，则它的周长为 D A． 5＋1 2 B． 5 ＋1 C． 5 ＋2 D． 5 ＋3 10．(2019·安徽)如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC＝12， 点 P 在正方形的边上，则满足 PE＋PF＝9 的点 P 的个数是 D A．0 B．4 C．6 D．8 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2019·衡阳) 27 － 3 ＝2 3 ． 12．(2019·株洲)如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CM 是斜边 AB 上的中线，E， F 分别为 MB，BC 的中点，若 EF＝1，则 AB＝4． 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 29 13．如图，以△ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1，S2，S3，且 S1＝9，S3 ＝25，当 S2＝16 时，∠ACB＝90°. 14．(2019·玉林)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于 AB 边的 点 P 处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 PR 方向发射，碰 撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于 45°，若发光电子与矩形的边 碰撞次数经过 2019 次后，则它与 AB 边的碰撞次数是 673． 15．(2019·北京)在矩形 ABCD 中，M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 上的点(不与 端点重合)，对于任意矩形 ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边 形；②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形；③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形；④至少存在一个 四边形 MNPQ 是正方形．所有正确结论的序号是①②③． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)计算： (1) 12 －4 1 8 －( 3 － 8 ); (2)(4 3 －6 1 3 )÷ 3 －( 5 ＋ 3 )( 5 － 3 ). 解：(1) 3 ＋ 2 (2)0 17．(9 分)已知 a＝ 7 － 5 ，b＝ 7 ＋ 5 ，求值： (1)b a ＋a b ； (2)3a2－ab＋3b2. 解：a＋b＝2 7 ，ab＝2， (1)b a ＋a b ＝（a＋b）2－2ab ab ＝12 (2)3a2－ab＋3b2＝3(a＋b)2－7ab＝70 18．(9 分)(2019·湘西州)如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 CD，AD 上，且 AF＝CE. (1)求证：△ABF≌△CBE； (2)若 AB＝4，AF＝1，求四边形 BEDF 的面积． 解：(1)在△ABF 和△CBE 中， AB＝CB， ∠A＝∠C＝90°， AF＝CE， ∴△ABF≌△CBE(SAS) (2)由已知可得正方形 ABCD 面积为 16，△ABF 面积＝△CBE 面积＝1 2 ×4×1＝2.所以四 边形 BEDF 的面积为 16－2×2＝12 30 19．(9 分)如图，在 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60°的方向以每小时 8 海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时 15 海里的速度前进，2 小时后甲船到 M 岛， 乙船到 P 岛，两岛相距 34 海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？ 解：由题意得 BM＝2×8＝16(海里)，BP＝2×15＝30(海里)，∵BM2＋BP2＝162＋302＝ 1156，MP2＝342＝1156，∴BM2＋BP2＝MP2，∴∠MBP＝90°，∴乙船沿南偏东 30°的方向航行 20．(9 分)如图，四边形 ABCD 是菱形，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F. (1)求证：BE＝BF； (2)当菱形 ABCD 的对角线 AC＝8，BD＝6 时，求 BE 的长． 解：(1)由 AAS 证△ABE≌△CBF 可得 (2)∵四边形 ABCD 是菱形，∴OA＝1 2 AC＝4，OB ＝1 2 BD＝3，∠AOB＝90°，∴AB＝ OA2＋OB2 ＝5，∵S 菱形 ABCD＝AD·BE＝1 2 AC·BD，∴5BE＝ 1 2 ×8×6，∴BE＝24 5 21．(10 分)如图，在▱ ABCD 中，O 是 CD 的中点，连接 AO 并延长，交 BC 的延长线于点 E. (1)求证：△AOD≌△EOC； (2)连接 AC，DE，当∠B＝∠AEB＝________°时，四边形 ACED 是正方形，请说明理由． 解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADO＝∠OCE，∠DAO＝∠CEO，∵ 31 O 是 CD 的中点，∴OD＝OC，∴△AOD≌△EOC(AAS) (2)当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形 ACED 是正方形，理由：∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE，又∵OC＝OD，∴四边形 ACED 是平行四边形， ∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD， AB＝CD，∴∠COE＝∠BAE＝90°，∴▱ ACED 是菱形，∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD，∴菱 形 ACED 是正方形 22．(10 分)(2019·哈尔滨)已知：在矩形 ABCD 中，BD 是对角线，AE⊥BD 于点 E，CF ⊥BD 于点 F. (1)如图①，求证：AE＝CF； (2)如图②，当∠ADB＝30°时，连接 AF，CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接 写出图②中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形 ABCD 面积的1 8 . 解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE⊥BD 于点 E，CF⊥BD 于点 F ，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE 和△CDF 中， ∠ABE＝∠CDF， ∠AEB＝∠CFD， AB＝CD， ∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF (2)解：△ABE 的面积＝△CDF 的面积 ＝△BCE 的面积＝△ADF 的面积＝矩形 ABCD 面积的1 8 .理由如下：∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB ＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝60°，∵AE⊥BD，∴∠BAE＝30°，∴BE＝1 2 AB，AE＝1 2 AD， ∴△ABE 的面积＝1 2 BE×AE＝1 2 ×1 2 AB×1 2 AD＝1 8 AB×AD＝1 8 矩形 ABCD 的面积，∵△ABE≌ △CDF，∴△CDF 的面积＝1 8 矩形 ABCD 的面积；作 EG⊥BC 于 G，∵∠CBD＝30°，∴EG＝1 2 BE ＝1 2 ×1 2 AB＝1 4 AB，∴△BCE 的面积＝1 2 BC×EG＝1 2 BC×1 4 AB＝1 8 BC×AB＝1 8 矩形 ABCD 的 面积，同理：△ADF 的面积＝1 8 矩形 ABCD 的面积 23．(11 分)已知正方形 ABCD 和正方形 EBGF 共顶点 B，连接 AF，H 为 AF 的中点，连接 EH，正方形 EBGF 绕点 B 旋转． (1)如图①，当 F 点落在 BC 上时，求证：EH＝1 2 CF； (2)如图②，当点 E 落在 BC 上时，连接 BH，若 AB＝5，BG＝2，求 BH 的长． 32 解：(1)延长 FE 交 AB 于点 Q，∵四边形 EBGF 是正方形，∴EF＝EB，∠EFB＝∠EBF＝45°， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BQF＝∠QBE＝45°，∴QE＝EB，∴ QE＝EF，又∵AH＝FH，∴EH＝1 2 AQ，∵∠BQF＝∠BFQ＝45°，∴BQ＝BF，∵AB＝BC，∴AQ ＝CF，∴EH＝1 2 CF (2)延长 EH 交 AB 于点 N，∵四边形 EBGF 是正方形，∴EF∥BG，EF＝EB ＝BG＝2，∵EF∥AG，∴∠FEH＝∠ANH，∠EFH＝∠NAH.又∵AH＝FH，∴△ANH≌△FEH(AAS)， ∴NH＝EH，AN＝EF.∵AB＝5，AN＝EF＝2，∴BN＝AB－AN＝3，∵∠NBE＝90°，BE＝2，BN ＝3，∴EN＝ 22＋32 ＝ 13 .∵∠NBE＝90°，EH＝NH，∴BH＝1 2 EN＝ 13 2 期末检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列根式有意义的范围为 x≥5 的是 D A． x＋5 B． 1 x－5 C． 1 x＋5 D． x－5 2．(2019·咸宁)下列计算正确的是 C A． 5 － 3 ＝ 2 B． （－2）2 ＝－2 C．a5÷a2＝a3 D．(ab2)3＝ab6 3．由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形的是 D A．a＝7，b＝24，c＝25 B．a＝ 41 ，b＝4，c＝5 C．a＝5 4 ，b＝1，c＝3 4 D．a＝1 3 ，b＝1 4 ，c＝1 5 4．(2019·毕节)已知一次函数 y＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)的图象经过第一、三、四 象限，则下列结论正确的是 B A．kb＞0 B．kb＜0 C．k＋b＞0 D．k＋b＜0 5．(2019·齐齐哈尔)小明和小强同学分别统计了自己最近 10 次“一分钟跳绳”的成 绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是 C A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 6．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论正确的是 A 33 A．S▱ ABCD＝4S△AOB B．AC＝BD C．AC⊥BD D．▱ ABCD 是轴对称图形 第 6 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 7．(2019·邵阳)学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义 卖活动中，某班级售书情况如表： 售价 3 元 4 元 5 元 6 元 数目 14 本 11 本 10 本 15 本 下列说法正确的是 A A．该班级所售图书的总收入是 226 元 B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是 4 C．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是 15 D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是 2 8．(2019·苏州)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AC＝4，BD＝16，将△ABO 沿点 A 到点 C 的方向平移，得到△A′B′O′.当点 A′与点 C 重合时，点 A 与点 B′之间的 距离为 C A．6 B．8 C．10 D．12 9．如图，在矩形 ABCD 中，AD＝2AB，点 M，N 分别在边 AD，BC 上，连接 BM，DN，若四 边形 MBND 是菱形，则AM MD 等于 C A．3 8 B．2 3 C．3 5 D．4 5 10．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500 米，先到终点的人 原地休息，已知甲先出发 2 秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离 y(米)与乙出发的时间 t(秒) 之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123.其中正确的是 A A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③ 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2019·青岛)计算： 24＋ 8 2 －( 3 )0＝2 3 ＋1． 12．(天津中考)若一次函数 y＝－2x＋b(b 为常数)的图象经过第二、三、四象限，则 b 的值可以是－1(答案不唯一，b＜0 即可).(写出一个即可) 13．(2019·永州)下表是甲、乙两名同学近五次数学测试(满分均为 100 分)的成绩统计 表： 34 同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 90 88 92 94 91 乙 90 91 93 94 92 根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是乙． 14．(2019·北京)把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角 三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为 12． 第 14 题图 第 15 题图 15．如图，矩形纸片 ABCD 中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE 并 将△AEB 沿 AE 折叠，得到△AEB′，以 C，E，B′为顶点的三角形是直角三角形时，BE 的长 为 3 或 6cm. 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)计算： (1) 27 － 12 ＋ 45 ； (2) 27 × 1 3 －( 5 ＋ 3 )( 5 － 3 ). 解：(1)原式＝ 3 ＋3 5 (2)原式＝1 17．(9 分)(2019·黄冈)如图，ABCD 是正方形，E 是 CD 边上任意一点，连接 AE，作 BF⊥AE， DG⊥AE，垂足分别为 F，G.求证：BF－DG＝FG. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB ＝∠AGD＝∠ADG＋∠DAG＝90°，∵∠DAG＋∠BAF＝90°，∴∠ADG＝∠BAF，在△BAF 和△ADG 中，∵ ∠BAF＝∠ADG， ∠AFB＝∠DGA， AB＝DA， ∴△BAF≌△ADG(AAS)，∴BF＝AG，AF＝DG，∵AG＝AF＋FG，∴BF ＝AG＝DG＋FG，∴BF－DG＝FG 18．(9 分)(2019·广安)为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知 3 只 A 型节能灯和 5 只 B 型节能灯共需 50 元，2 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 31 元． (1)求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯的售价各是多少元？ (2)学校准备购买这两种型号的节能灯共 200 只，要求 A 型节能灯的数量不超过 B 型节 能灯的数量的 3 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 解：(1)设 1 只 A 型节能灯的售价是 x 元，1 只 B 型节能灯的售价是 y 元， 3x＋5y＝50， 2x＋3y＝31， 解得 x＝5， y＝7， 答：1 只 A 型节能灯的售价是 5 元，1 只 B 型节能灯的售价是 7 元 (2)设购买 35 A 型节能灯 a 只，则购买 B 型节能灯(200－a)只，费用为 w 元，w＝5a＋7(200－a)＝－2a＋ 1400，∵a≤3(200－a)，∴a≤150，∴当 a＝150 时，w 取得最小值，此时 w＝1100，200－a ＝50，答：当购买 A 型节能灯 150 只，B 型节能灯 50 只时最省钱 19．(9 分)如图，这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池，该 U 型池可以看作是一个长方 体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为 4 m 的半圆，其边缘 AB＝ CD＝20 m，点 E 在 CD 上，CE＝4 m，一滑行爱好者从 A 点到 E 点，则他滑行的最短距离是多 少？(边缘部分的厚度可以忽略不计，π取 3) 解：展开图如图 ，作 EF⊥AB，由于平铺，∴四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠C＝∠B＝90°，∵EF⊥AB，∴∠EFA＝∠EFB＝90°，∴四边形 CBFE 是矩形，∴EF＝BC＝ 4×2×3×1 2 ＝12(m)，FB＝CE＝4 m，∴AF＝20－4＝16(m)，∴AE＝ 122＋162 ＝20(m)，即 他滑行的最短距离为 20 m 20．(9 分)如图，在四边形 ABFC 中，∠ACB＝90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D， 交 AB 于点 E，且 CF＝AE. (1)求证：四边形 BECF 是菱形； (2)若四边形 BECF 为正方形，求∠A 的度数． 解：(1)∵EF 垂直平分 BC，∴BF＝CF，BE＝CE，∴∠ABC＝∠BCE，∵∠ACB＝90°，∴ ∠ECA＝∠A，∴CE＝AE，∵CF＝AE，∴CE＝CF，∴BF＝CF＝CE＝BE，∴四边形 BECF 是菱形 (2)∵四边形 BECF 是正方形，∴∠ABC＝1 2 ∠EBF，∠EBF＝90°，∴∠ABC＝45°，∴∠A＝ 90°－∠ABC＝45° 21．(10 分)(2019·怀化)某射箭队准备从王方、李明二人中选拔 1 人参加射箭比赛， 在选拔赛中，两人各射箭 10 次的成绩(单位：环数)如下： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 王方 7 10 9 8 6 9 9 7 10 10 李明 8 9 8 9 8 8 9 8 10 8 (1)根据以上数据，将下面两个表格补充完整： 王方 10 次射箭得分情况 环数 6 7 8 9 10 36 频数 1 2 1 3 3 频率 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3 李明 10 次射箭得分情况 环数 6 7 8 9 10 频数 0 0 6 3 1 频率 0 0 0.6 0.3 0.1 (2)分别求出两人 10 次射箭得分的平均数； (3)从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适． 解：(1) 环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 1 3 3 频率 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3 李明 10 次射箭得分情况 环数 6 7 8 9 10 频数 0 0 6 3 1 频率 0 0 0.6 0.3 0.1 (2)王方的平均数＝ 1 10 (6＋14＋8＋27＋30)＝8.5；李明的平均数＝ 1 10 (48＋27＋10) ＝8.5 (3)∵s 王方 2＝ 1 10 [(6－8.5)2＋2(7－8.5)2＋(8－8.5)2＋3(9－8.5)2＋3(10－8.5)2]＝ 1.85；s 李明 2＝ 1 10 [6(8－8.5)2＋3(9－8.5)2＋(10－8.5)2＝0.45；∵s 王方 2＞s 李明 2，∴应选派 李明参加比赛合适 22．(10 分)(2019·淮安)快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发 并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息 1.5 小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间 为 x 小时，快车行驶的路程为 y1 千米，慢车行驶的路程为 y2 千米．如图中折线 OAEC 表示 y1 与 x 之间的函数关系，线段 OD 表示 y2 与 x 之间的函数关系． 请解答下列问题： (1)求快车和慢车的速度； (2)求图中线段 EC 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式； (3)线段 OD 与线段 EC 相交于点 F，直接写出点 F 的坐标，并解释点 F 的实际意义． 解：(1)快车的速度为：180÷2＝90(千米/小时)，慢车的速度为：180÷3＝60(千米/ 小时)，答：快车的速度为 90 千米/小时，慢车的速度为 60 千米/小时 (2)由题意可得，点 E 的横坐标为：2＋1.5＝3.5，则点 E 的坐标为(3.5，180)，快车从点 E 到点 C 用的时间为： 37 (360－180)÷90＝2(小时)，则点 C 的坐标为(5.5，360)，设线段 EC 所表示的 y1 与 x 之间 的函数表达式是 y1＝kx＋b， 3.5k＋b＝180， 5.5k＋b＝360， 解得 k＝90， b＝－135， 即线段 EC 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式是 y1＝90x－135 (3)设点 F 的横坐标为 a，则 60a＝90a－135，解得 a＝ 4.5，则 60a＝270，即点 F 的坐标为(4.5，270)，点 F 代表的实际意义是在 4.5 小时时，甲 车与乙车行驶的路程相等 23．(11 分)某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形 ABCD 中， AB＝6，将三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点与 D 点重合，三角板的一边交 AB 于点 P，另一边交 BC 的延长线于点 Q. (1)求证：DP＝DQ； (2)如图②，小明在图①的基础上作∠PDQ 的平分线 DE 交 BC 于点 E，连接 PE，他发现 PE 和 QE 存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明； (3)如图③，固定三角板直角顶点在 D 点不动，转动三角板，使三角板的一边交 AB 的延 长线于点 P，另一边交 BC 的延长线于点 Q，仍作∠PDQ 的平分线 DE 交 BC 延长线于点 E，连 接 PE，若 AB∶AP＝3∶4，请帮小明算出△DEP 的面积． 解：(1)由 ASA 证△ADP≌△CDQ 即可 (2)猜测：PE＝QE.证明：由(1)可知，DP＝DQ， 又∵∠PDE＝∠QDE＝45°，DE＝DE，∴△DEP≌△DEQ(SAS)，∴PE＝QE (3)∵AB∶AP＝3∶4， AB＝6，∴AP＝8，BP＝2，同(1)可证△ADP≌△CDQ，∴CQ＝AP＝8，同(2)可证△DEP≌△DEQ， ∴PE＝QE，设 QE＝PE＝x，则 BE＝BC＋CQ－QE＝14－x，在 Rt△BPE 中，由勾股定理得 BP2 ＋BE2＝PE2，即 22＋(14－x)2＝x2，解得 x＝50 7 ，即 QE＝50 7 ，∴S△DEQ＝1 2 QE·CD＝1 2 ×50 7 ×6 ＝150 7 ，∵△DEP≌△DEQ，∴S△DEP＝S△DEQ＝150 7