八年级下数学课件《菱形》课件1第二课时_冀教版

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八年级数学·下 新课标[冀教] 第二十二章 四边形 学 习 新 知问题思考 什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法? 平行四边形的判定方法应该从三个方面分析: (1)边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形; 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对 边平行且相等的四边形是平行四边形. (2)角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形. (3)对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 那么菱形的判定方法是什么呢? 活动1　利用菱形的定义判定 菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的一种判定 方法.即:有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 活动2　菱形的判定(1) 画两条等长的线段AB,AD,分别以B,D为圆心,AB为半径画弧,两弧相交于点C, 连接BC,CD,得到四边形ABCD,猜一猜,这是什么四边形? 通过探究,容易得到:　　　　的四边形是菱形. 已知:如图所示,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证四边形ABCD是菱形. 证明:∵AB=CD,BC=AD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形. 活动3　菱形的判定(2) 已知:如图所示,在▱ ABCD中,对角线AC与BD相交于点 O,AC⊥BD.求证:▱ ABCD是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形. 【思考】　从上述证明中,你得出什么结论? 菱形的判定定理:两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (教材第145页例2)已知:如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的 平分线,DE∥AC,交AB于点E,DF∥AB,交AC于点F. 求证四边形AEDF是菱形. 分析:先证明四边形AEDF是平行四边形, 再利用菱形的定义进行判定. 证明:∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形. ∴∠1=∠3. 又∵∠1=∠2,∴∠2=∠3. ∴AE=DE. ∴四边形AEDF是菱形. 5 5 (补充)已知:如图所示,在▱ ABCD中,对角线AC与BD相交于点 O,AB= ,OA=2,OD=1. 求证▱ ABCD是菱形. 证明:在△AOB中,AB= ,OA=2,OD=1, ∴AD2=AO2+OD2. ∴△AOD是直角三角形,∠AOD=90°. ∴AC⊥BD. ∴平行四边形ABCD是菱形. [知识拓展]　(1)菱形的判定可以从两个图形(四边形或平行四 边形)考虑,利用三种思路(边、角、对角线)进行证明.(2)菱形的 性质定理和判定定理是互逆定理. 【课堂小结】　 检测反馈 1.(2016·遵义中考)如图所示,在▱ ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加 一个条件,使▱ ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是(　　) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠BAC=∠DAC 解析:A.根据菱形的定义可得,当AB=AD时▱ ABCD是菱形;B.根据对角 线互相垂直的平行四边形是菱形可知B正确;C.对角线相等的平行四 边形是矩形,不一定是菱形,命题错误;D.当∠BAC=∠DAC时,在 ▱ ABCD 中,AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC,∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC,∴▱ ABCD 是菱形.故选C. C 2.如图所示,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以 点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,两弧相交于点 C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知, 四边形ADBC一定是 (　　) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 解析:由题意知AC=AD=BD=BC,∴四边形ADBC一定是菱形.故选B. B 3.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是 (　　) A.等腰梯形 B.正方形 C.矩形 D.菱形 解析:等边三角形各边长度相等,而四条边相等的四边形是菱 形.故选D. D 4.如图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,且 AH∶ EH=12∶ 13,又AE=5,则四边形EFGH的面积为 (　　) A.240 B.60 C.120 D.169 2 2EH AH 1 21 2 解析:由题意易知 △AEH≌ △BEF≌ △CGF≌ △DGH,∴EH=EF=FG=HG,∴四 边形EFGH是菱形,其对角线的长等于矩形的长与宽.在 Rt△AEH中,设AH=12k,EH=13k,则AE= =5k=5,∴k=1,∴AH=12,∴AD=24,AB=10,∴S菱形EFGH= AD×AB= ×24×10=120.故选C. C 5.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4, 则四边形CODE的周长是　　　　.  1 2 1 2 解析:∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形CODE是平行四边形.∵四边形ABCD是 矩形,∴OC= AC=2,OD= BD,AC=BD,∴OC=OD=2,∴四边形CODE是菱 形,∴DE=CE=OC=OD=2,∴四边形CODE的周长=2×4=8.故填8. 8 6.如图所示,CE是△ABC的外角∠ACD的 平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交 CD于点G.求证四边形ACGF是菱形. 解析:根据平行线的性质得到∠2=∠3,根据 角平分线的定义得到∠1=∠2,由等量代换 得到∠1=∠3.∴AF=AC,从而利用一组邻边 相等的平行四边形是菱形证得结论. 证明:∵AF∥CD,FG∥AC, ∴四边形ACGF是平行四边形, ∴∠2=∠3. ∵CE平分∠ACD,∴∠1=∠2. ∴∠1=∠3,∴AC=AF, ∴四边形ACGF是菱形. 7.如图所示,已知BD平分∠ABF,且交AE于点D, (1)求作∠BAE的平分线AP(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法); (2)设AP交BD于点O,交BF于点C,连接CD,当AC⊥BD时.求证四边形 ABCD是菱形. 解析:(1)根据角平分线的作法作出∠BAE的平分线AP;(2)先证明 △ABO≌ △CBO,得出AO=CO,AB=CB,再证明△ABO≌ △ADO,得 出BO=DO.由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组 邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形. 解:(1)如图(1)所示. 图(1) 图(2) , , , ABO CBO OB OB AOB COB         证明:(2)如图(2)所示. 在△ABO和△CBO中, ∴△ABO≌ △CBO(ASA), ∴AO=CO,AB=CB. , , , OAB OAD OA OA AOB AOD         在△ABO和△ADO中, ∴△ABO≌ △ADO(ASA), ∴BO=DO. ∵AO=CO,BO=DO, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AB=CB, ∴平行四边形ABCD是菱形.