重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）14

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14.1.3 积的乘方 第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 14.1 整式的乘法 八年级数学上（RJ） 教学课件 学习目标 1. 理解并掌握 积 的乘方法则及其应用 . （重点） 2. 会运用积 的乘方的运算法则进行计算 . （难点） 我们居住的地球 情境引入 大约 6.4 × 10 3 km 你知道地球的体积大约是多少吗？ 球的体积计算公式： 地球的体积约为 导入新课 问题引入 1. 计算 : （ 1 ） 10 ×10 2 × 10 3 =______ ； （ 2 ） ( x 5 ) 2 =_________. x 10 10 6 2. （ 1 ） 同底数幂的乘法 ： a m · a n = ( m ， n 都是正整数 ) . a m + n （ 2 ） 幂的乘方 ： ( a m ) n = ( m,n 都是正整数 ） . a mn 底数不变 指数相乘 指数相加 同底数幂相乘 幂的乘方 其中 m , n 都是 正整数 （ a m ） n = a mn a m · a n =a m + n 想一想： 同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？ 讲授新课 积的乘方 一 问题 1 下列两题有什么特点？ (1) (2) 底数为两个因式相乘，积的形式 . 这种形式为积的乘方 我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？ 互动探究 同理： （乘方的意义） （乘法交换律、结合律） （同底数幂相乘的法则） 问题 2 根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行计算： ( ab ) n =? (ab) n = ( ab ) · ( ab ) · ··· · ( ab ) n 个 ab =( a·a· ··· ·a )·( b·b· ··· ·b ) n 个 a n 个 b = a n b n . 证明： 思考问题： 积的乘方 ( ab ) n =? 猜想结论： 因此可得： (ab) n =a n b n ( n 为正整数 ). (ab) n = a n b n ( n 为正整数 ) 推理验证 积的乘方 , 等于把积的每一个因式分别 _____ ，再把所得的幂 ________. ( ab ) n = a n b n （ n 为正整数） 想一想： 三个或三个以上的积的乘方等于什么？ ( abc ) n = a n b n c n （ n 为正整数 ） 知识要点 积的乘方法则 乘方 相乘 例 1 计算 : (1) (2 a ) 3 ； (2) (-5 b ) 3 ； (3) ( xy 2 ) 2 ； (4) (-2 x 3 ) 4 . 解： (1) 原式 = (2) 原式 = (3) 原式 = (4) 原式 = = 8 a 3 ； =-125 b 3 ； = x 2 y 4 ； =16 x 12 . (2) 3 a 3 (-5) 3 b 3 x 2 ( y 2 ) 2 (-2) 4 ( x 3 ) 4 典例精析 方法总结： 运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是 字母的系数不要漏乘方． 计算： (1)( － 5 ab ) 3 ； (2) － (3 x 2 y ) 2 ； (3)( － 3 ab 2 c 3 ) 3 ； (4)( － x m y 3 m ) 2 . 针对训练 (4)( － x m y 3 m ) 2 ＝ ( － 1) 2 x 2 m y 6 m ＝ x 2 m y 6 m . 解： (1)( － 5 ab ) 3 ＝ ( － 5) 3 a 3 b 3 ＝－ 125 a 3 b 3 ； (2) － (3 x 2 y ) 2 ＝－ 3 2 x 4 y 2 ＝－ 9 x 4 y 2 ； (3)( － 3 ab 2 c 3 ) 3 ＝ ( － 3) 3 a 3 b 6 c 9 ＝－ 27 a 3 b 6 c 9 ； 　　　 　　　 　　 × √ × (1)(3 cd ) 3 =9 c 3 d 3 ; (2)(-3 a 3 ) 2 = -9a 6 ; (3)(-2 x 3 y ) 3 = -8x 6 y 3 ; × 下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ (4)(- ab 2 ) 2 = a 2 b 4 . 练一练 例 2 计算 : (1) － 4 xy 2 ·( xy 2 ) 2 ·( － 2 x 2 ) 3 ； (2) ( － a 3 b 6 ) 2 ＋ ( － a 2 b 4 ) 3 . 解： (1) 原式 = － 4 xy 2 · x 2 y 4 ·( － 8 x 6 ) = 32 x 9 y 6 ; (2) 原式 = a 6 b 12 +( － a 6 b 12 ) = 0 ; 方法总结： 涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项． 如何简便计算 (0.04) 2004 ×[(-5) 2004 ] 2 ? 议一议 =(0.2 2 ) 2004 × 5 4008 =(0.2) 4008 × 5 4008 =(0.2 ×5) 4008 =1 4008 (0.04) 2004 ×[(-5) 2004 ] 2 =1. 解法一： =(0.04) 2004 × [(-5) 2 ] 2004 =(0.04×25) 2004 =1 2004 =1. = (0.04) 2004 ×(25) 2004 (0.04) 2004 ×[(-5) 2004 ] 2 解法二： 方法总结： 逆用积的乘方公式 a n · b n ＝ ( ab ) n ，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式可进行简便运算． 解：原式 练一练 计算 : 当堂练习 2. 下列运算正确的是（ ） A. x . x 2 = x 2 B. ( xy ) 2 = xy 2 C.( x 2 ) 3 = x 6 D. x 2 + x 2 = x 4 C 1. 计算 ( - x 2 y ) 2 的结果是（　　） A． x 4 y 2 B．- x 4 y 2 C． x 2 y 2 D．- x 2 y 2 A 3. 计算： (1) 8 2016 ×0.125 2015 = ________; (2) ________; (3) (0.04) 2013 ×[(-5) 2013 ] 2 =________. 8 -3 1 (1) （ ab 2 ) 3 = ab 6 ( ) × × × (2) (3 xy ) 3 =9 x 3 y 3 ( ) × (3) (-2 a 2 ) 2 =-4 a 4 ( ) (4) -(- ab 2 ) 2 = a 2 b 4 ( ) 4. 判断 : (1) ( ab ) 8 ; (2) (2 m ) 3 ; (3) (- xy ) 5 ; (4) (5 ab 2 ) 3 ; (5) (2×10 2 ) 2 ; (6) (-3×10 3 ) 3 . 5. 计算 : 解： (1) 原式 = a 8 b 8 ; (2) 原式 = 2 3 · m 3 =8 m 3 ; (3) 原式 =(- x ) 5 · y 5 =- x 5 y 5 ; (4) 原式 =5 3 · a 3 · ( b 2 ) 3 =125 a 3 b 6 ; (5) 原式 =2 2 ×(10 2 ) 2 =4 ×10 4 ; (6) 原式 =(-3) 3 ×(10 3 ) 3 =-27 ×10 9 =-2.7 ×10 10 . （ 1 ） 2( x 3 ) 2 · x 3 -(3 x 3 ) 3 +(5 x ) 2 · x 7 ; （ 2 ） (3 xy 2 ) 2 +(-4 xy 3 ) · (- xy ) ; （ 3 ） (-2 x 3 ) 3 · ( x 2 ) 2 . 解：原式 =2 x 6 · x 3 -27 x 9 +25 x 2 · x 7 = 2 x 9 -27 x 9 +25 x 9 = 0; 解：原式 =9 x 2 y 4 +4 x 2 y 4 =13 x 2 y 4 ; 解：原式 = -8 x 9 · x 4 =-8 x 13 . 6. 计算 : 拓展提升： 7. 如果 （ a n •b m •b ) 3 = a 9 b 15 , 求 m, n 的值 .  （ a n ） 3 • （ b m ） 3 • b 3= a 9 b 15 ,  a 3 n • b 3 m • b 3= a 9 b 15 ,  a 3 n •b 3 m +3= a 9 b 15 ,  3 n =9 ,3 m +3 = 15.  n =3, m =4. 解： ∵ （ a n •b m •b ) 3 = a 9 b 15 , 课堂小结 幂的运算性质 性质 a m ·a n =a m+n (a m ) n =a mn (ab) n =a n b n ( m 、 n 都是正整数 ) 反向运用 a m · a n = a m+n ( a m ) n = a mn a n · b n = ( ab ) n 可使某些计算简捷 注意 运用积的乘方法则时要注意： 公式中的 a 、 b 代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序）