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文档介绍
2020八年级数学下册 专题突破讲练 巧用勾股定理解决几何问题试题 (新版)青岛版
巧用勾股定理解决几何问题 一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧 1. 构造直角三角形 根据题意,合理构造直角三角形,比如等腰三角形中的求值或面积问题,经常作高构造直角三角形。 如:在ABC中,AB=AC=5,BC=8,求三角形ABC的面积。 答案:12。 2. 利用勾股定理列方程 将三角形的边用同一未知数表示,列出方程,解出所求值。 (1)在翻折问题中,大多数求值都是这种应用 如:如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,AD=6,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为多少? 答案:3。 (2)求折断物体长度时,使用方程 如:一根竹子高10尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处,折断处离地面高度是多少? 答案:尺。 3. 分类讨论思想 已知一个直角三角形的两边长,并没有指明是直角边还是斜边,因此要分类讨论。 如:已知一个直角三角形的两边长是和,求第三边的长。 10 答案:5cm或cm。 4. 数形结合思想 几何与代数问题的综合。 如:在一棵树的5米高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树10米的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的距离相等,问这棵树有多高? 答案:7.5米。 二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律 1. 含有30°角的直角三角形 (1)30°角所对的直角边是斜边的一半; (2)60°角所对的直角边是30°角所对直角边的倍。 2. 等边三角形 高等于边长的倍。 总结: (1)勾股定理的几何应用是学习的重点内容,要在直角三角形中灵活运用。 (2)要有意识的训练自己辅助线的添加,经常性的思考不同问题的不同添加法。 例题 A1A2B是直角三角形,且A1A2=A2B=a,A2A3⊥A1B,垂足为A3,A3A4⊥A2B,垂足为A4,A4A5⊥A3B,垂足为A5,…,An+1An+2⊥AnB,垂足为An+2,则线段An+1An+2(n为自然数)的长为( ) A. B. C. D. 10 解析:先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A2A3及A3A4的长,找出规律即可解答. 答案:∵△A1A2B是直角三角形,且A1A2=A2B=a,A2A3⊥A1B,∴A1B==, ∵△A1A2B是等腰直角三角形, ∴A2A3=A1A3=A1B==, 同理,△A2A3B是等腰直角三角形,A2A3=A3B=,A3A4⊥A2B,A2B=a,A3A4=A2A4=A1B=, ∴线段An+1An+2(n为自然数)的长为. 故选A。 点拨:规律性题目,涉及到等腰三角形及直角三角形的性质,解答此题的关键是求出A2A3及A3A4的长,并找出规律. 分类讨论求值 近年来,在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见,因为这类试题不仅考查同学们的数学基本知识与方法,而且考查了同学们思维的深刻性。在解决此类问题时,因考虑不周全导致失分的较多,究其原因主要是平时的学习中,尤其是在中考复习时,对“分类讨论”的数学思想渗透不够。所以同学们要充分考虑不同情况下的求值。 例题 在△ABC中,AB=13,AC=15,BC边上的高AD=12,则边BC的长是( ) A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 解析:分两种情况讨论:锐角三角形和钝角三角形,根据勾股定理求得BD、CD,再由图形求出BC,在锐角三角形中,BC=BD+CD,在钝角三角形中,BC=CD-BD. 答案:解:(1)如图,锐角△ABC中,AB=13,AC=15,BC边上高AD=12, 在Rt△ABD中AB=13,AD=12,由勾股定理得:BD2=AB2-AD2=132-122=25,则BD=5,在Rt△ACD中AC=15,AD=12,由勾股定理得:CD2=AC2-AD2=152-122=81,则CD=9,故BC的长为BD+DC=9+5=14; (2)钝角△ABC中,AB=13,AC=15,BC边上高AD=12, 在Rt△ABD中AB=13,AD=12,由勾股定理得:BD2=AB2-AD2=132-122=25,则BD=5,在Rt△ACD中AC=15,AD=12,由勾股定理得:CD2=AC2-AD2=152-122=81,则CD=9,故BC的长为DC-BD=9-5=4.综上可得BC的长为14或4.故选C. 10 (1) (2) 生活中的勾股定理方案设计 在实际生活中应用勾股定理。 例题 某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造,测得两直角边长分别为a=6米,b=8米.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以b为直角边的直角三角形,则扩建后的等腰三角形花圃的周长为( )米 A. 32或20+4 B. 32或36或 C. 32或或20+4 D. 32或36或或20+4 解析:由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定,若设扩充所得的三角形是△ABD,则应分为①AB=AD,②AD=BD两种情况进行讨论. 答案:解:如图所示: 在Rt△ABC中,∵AC=8m,BC=6m,∴AB=10m, 如图1,当AB=AD时,DC=BC=6m,此时等腰三角形花圃的周长=10+10+6+6=32(m); 如图2:当AD=BD时,设AD=BD=x(m);Rt△ACD中,BD=x(m),CD=(x-6)m; 由勾股定理,得AD2=DC2+CA2,即(x-6)2+82=x2,解得x=; 此时等腰三角形绿地的周长=×2+10=(m). 当AB=BD时,在Rt△ACD中,AD===4, ∴等腰三角形绿地的周长=2×10+4=20+4(m). 故选C. (答题时间:45分钟) 一、选择题 1. 观察以下几组勾股数,并寻找规律:①4,3,5;②6,8,10;③8,15,17;④10,24,26;…,根据以上规律的第⑦组勾股数是( ) 10 A. 14、48、49 B. 16、12、20 C. 16、63、65 D. 16、30、34 2. 如图,一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么梯子的底端的滑动距离( ) A. 等于1米 B. 大于1米 C. 小于1米 D. 不能确定 *3. 已知△ABC是斜边长为1cm的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是( ) A. cm B. cm C. 2ncm D. cm *4. 如图所示,一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发,经过每个面的中心点后,又回到A点,蚂蚁爬行最短程S满足( ) A. 5<S≤6 B. 6<S≤7 C. 7<S≤8 D. 8<S≤9 **5. 如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D、E在BC上,且∠DAE=45°,现将△ACE绕点A旋转至△ABE′处,连接DE′和EE′,则下列结论中 ①AB⊥DE′②∠ADE=∠BAE ③△AEE′是等腰直角三角形 ④AD⊥EE′⑤BD2+CE2=DE2正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题: *6. 如图,一牧童在A处放羊,牧童的家在B处,A、B距河岸的距离AC、BD分别为 10 500m和700m,且C、D两地相距500m,天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家,那么牧童至少应该走 1300m. *7. 如图,为安全起见,幼儿园打算加长滑梯,将其倾斜角由45°降至30°.已知滑梯AB的长为3m,点D、B、C在同一水平地面上,那么加长后的滑梯AD的长是 m. **8. 勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史,两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣,我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图,是最早证明勾股定理的方法,所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点,再连接四点构成一个正方形,它可以验证勾股定理.在如图的弦图中,已知:正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上.若正方形ABCD的面积=16,AE=1;则正方形EFGH的面积= **9. 图(1)是一个面积为1的正方形,经过第一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中三个正方形围成的三角形是直角三角形,如图(2);经过第2次“生长”后变成图(3),经过第3次“生长”后变成图(4),如果继续“生长”下去,它将变得更加“枝繁叶茂”,这就是美丽的“勾股树”.已知“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和存在一定的变化规律,请你利用这一规律求:①经过第一次“生长”后的所有正方形的面积和为________,②经过第10次“生长”后,图中所有正方形的面积和为: 三、解答题: *10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅 10 “弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10,则S2的值是多少? **11. 已知:如图,点O是等腰直角△ABC斜边AB的中点,D为BC边上任意一点.操作:在图中作OE⊥OD交AC于E,连接DE.探究OD、BD、CD三条线段之间有何等量关系?请探究说明. **12. 如图,平面直角坐标系xoy中,A(1,0)、B(0,1),∠ABO的平分线交x轴于一点D. (1)求D点的坐标; (2)如图所示,A、B两点在x轴、y轴上的位置不变,在线段AB上有两动点M、N,满足∠MON=45°,下列结论①BM+AN=MN,②BM2+AN2=MN2,其中有且只有一个结论成立,请你判断哪一个结论成立,并证明成立的结论. (1) (2) 10 1. C 解析:根据题目给出的前几组数的规律可得:这组数中的第一个数是2(n+1),第二个是:n(n+2),第三个数是:(n+1)2+1,故可得第⑦组勾股数是16,63,65.故选C. 2. B 解析:如图,AC=EF=10米,AB=8米,AE=1米,求CF;∵∠B=90°,由勾股定理得,BC=6米,又∵AE=1米,BE=7米,EF=10米,由勾股定理得,BF=米,∵>,即>7,∴-6>1.故选B. 3. B 解析:等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍,第二个△(也就是△ACD)的斜边长:1×=;第三个△,直角边是第一个△的斜边长,所以它的斜边长:×=()2;…;第n个△,直角边是第(n-1)个△的斜边长,其斜边长为:()n−1.故选B. 4. B解析:正方体展开图形为:则蚂蚁爬行最短程S=5+=5+.即6<S≤7.故选B. 5. D 解析:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠C=45°,∵∠ADE=∠ABC+∠BAD,∠BAE=∠DAE+∠BAD,∵∠DAE=45°,∴∠ADE=∠BAE;∴②正确。(2)∵△ACE绕点A旋转至△ABE′处,∴AE=AE′,∠EAC=∠E′AB,∵∠BAC=90°,∴∠E′AB +∠BAE=90°,∴∠EAB′+∠BAE=90°,∴△AEE′是等腰直角三角形;∴③正确。(3)∵∠DAE=45°,∠BAC=90°,∴∠EAC+∠BAD=45°,∵∠EAC=∠E′AB,∴∠DAE′=∠EAD=45°,∵△AEE′是等腰直角三角形,∴AD⊥EE′,∴④正确。(4)∵∠C=∠E′BA=∠DBA=45°,∴∠E′BD=90°,∵EC=E′B,∴BD2+CE2=DE2,∴⑤正确,综上所述∴②③④⑤项正确.故选D. 6. 1300 解析: 解:作A关于CD的对称点E,连接BE,并作BF⊥AC于点F. 则EF=BD+AC=700+500=1200m,BF=CD=500m.在Rt△BEF中,根据勾股定理得:BE===1300米. 10 7. 解析:设AC=xm,∵∠ABC=∠BAC=45°,∴BC=xm,∵滑梯AB的长为3m,∴2x2=9,解得x=,∵∠D=30°,∴AD=2AC, ∴AD=m,故答案为:。 8. 10 解析: ∵四边形EFGH是正方形,∴EH=FE,∠FEH=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∠AEF+∠DEH=90°,∴∠AFE=∠DEH,∵在△AEF和△DHE中,∴△AEF≌△DHE(AAS),∴AF=DE,∵正方形ABCD的面积为16,∴AB=BC=CD=DA=4,∴AF=DE=AD-AE=4-1=3,在Rt△AEF中,EF==,故正方形EFGH的面积=×=10.故答案为:10. 9. 2;11 解析:如图2:设直角三角形的三条边分别是a、b、c.根据勾股定理,得a2+b2=c2, 即:正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1;所有正方形的面积之和为2=(1+1)×1;图(3)正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积,正方形M的面积+正方形N的面积=正方形B的面积,正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1,所有正方形的面积之和为3=(2+1)×1…推而广之,“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和是(n+1)×1,则:“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和是(10+1)×1=11. 故答案为:2;11。 10. 解:∵图中正方形ABCD、正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3,∴CG=NG,CF=DG=NF,∴S1=(CG+DG)²=CG²+DG²+2CG•DG=GF²+2CG•DG,S2=GF², S3=(NG-NF)²=NG²+NF²-2NG•NF=GF2-2NG·NF, ∵S1+S2+S3=10=GF²+2CG•DG+GF²+ GF²-2NG•NF=3GF²,∴S2的值是: 11. 解:如图,关系为2OD2=BD2+CD2.作OE⊥OD交AC于E,连接OC、DE,得到△OBD≌△OCE从而Rt△DCE与Rt△EOD中,CE2+DC2=DE2,OD2+OE2=DE2由BD=CE,OD=OE,所以2OD2=BD2+CD2,(也可过O作BC垂线). 10 12. 解:(1)过点D作DE⊥AB于E,设D点坐标为(m,0),根据题意得:OB=1,OA=1,OD=m;在Rt△AOB中,AB2=OA2+OB2,所以AB=,∠A=45°;在△DOB和△DEB中,∴△DOB≌△EDB(AAS),∴OD=ED=m,OB=EB=1;在△AED中,∠A=45°,∠AED=90°,∴DE=AE=m,∴1+m=,∴m=-1,∴D点坐标为(-1,0). (2)结论②正确;过点O作OE⊥OM,并使OE=OM,连接NE,AE在△MOB和△EOA中,∴△MOB≌△EOA(SAS),∴BM=AE,∠B=∠OAE,在△MON和△EON中,∴△MON≌△EON(SAS);∴MN=EN,又∵∠NAE=∠NAO+∠OAE=90°,∴△NAE为直角三角形,∴NA2+AE2=NE2∴BM2+AN2=MN2,即结论②正确. 10查看更多