2019-2020学年四川省成都市龙泉驿区八年级下学期期末数学试卷 （解析版）

2019-2020学年四川省成都市龙泉驿区八年级下学期期末数学试卷 （解析版）

‎2019-2020学年四川省成都市龙泉驿区八年级第二学期期末数学试卷 一、选择题 ‎1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．已知a＞b，则下列不等式中错误的是（　　）‎ A．a+2＞b+2 B．a﹣5＜b﹣5 C．﹣a＜﹣b D．4a＞4b ‎3．下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（　　）‎ A．x2+y2 B．x2﹣2x﹣3 C．x2+2x+1 D．x2﹣4‎ ‎4．函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≥2且x≠5 B．x≥2 C．x≤5 D．x≤2且x≠5‎ ‎5．如果分式值为0，那么x的值是（　　）‎ A．0 B．2 C．﹣3 D．2或﹣3‎ ‎6．已知一个多边形的内角和是720°，则该多边形的边数为（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎7．疫情期间，为调查某校学生体温的情况，张老师随机调查了50名学生，结果如表：‎ 体温（单位：℃）‎ ‎36.2‎ ‎36.3‎ ‎36.5‎ ‎36.7‎ ‎36.8‎ 人数 ‎8‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎13‎ ‎12‎ 则这50名学生体温的众数和中位数分别是（　　）‎ A．36.8℃，36.5℃ B．36.8℃，36.7℃ ‎ C．36.7℃，36.6℃ D．36.7℃，36.5℃‎ ‎8．关于x的分式方程＝的解为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3‎ ‎9．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎10．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是边AB，BC的中点，AD与CE交于点F，则△DEF与△ACF的面积之比是（　　）‎ A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡，上）.‎ ‎11．分解因式：x3﹣x＝　 　．‎ ‎12．不等式6﹣2x＞0的解集是　 　．‎ ‎13．已知＝，那么的值是　 　．‎ ‎14．如图，已知∠ABC＝45°，AB＝4，把线段AB向右平移7个单位得到A′B′，则四边形ABB′A′的面积是　 　．‎ 三、解答题（本大题共6个题，共54分，解答过程写在答题卡上）‎ ‎15．计算：‎ ‎（1）分解因式：3x2y﹣12xy2+12y3；‎ ‎（2）解不等式组：．‎ ‎16．计算：‎ ‎（1）解方程＝+1；‎ ‎（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2．‎ ‎17．某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32m的点C处（即AC＝32m），然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD＝3m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）‎ ‎18．如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E是AD上的一点，AE＝2DE，延长BE交CD的延长线于F，求FD的长．‎ ‎19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若BD＝9，CD＝12，求AB和AC的长．‎ ‎20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，作AE⊥AD交BC延长线于E，CF⊥BC交AE于F．‎ ‎（1）求证：△ABD≌△ACF；‎ ‎（2）作AG平分∠DAE交BC于G，求证：AF2＝DG•DC．‎ 四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡，上）‎ ‎21．比较大小：　 　（填“＞”、“＜”或“＝”）‎ ‎22．代数式x2+6x+10的最小值是　 　．‎ ‎23．如图，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转35°得到△AB′C′，B′C′与AC相交于点D，∠B＝60°，则∠ADB′的度数是　 　．‎ ‎24．如图，在正方形ABCD中，AB＝9，E，F分别是AB，CD上的点，连接EF，将四边形BCFE沿EF折叠得到四边形B′C′FE，点B′恰好在AD上，若DB′＝2AB′，则折痕EF的长是　 　．‎ ‎25．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AB上一点，作∠DEF＝60°交AC于点F，若AE＝，则AF的长是　 　．‎ 五、解答题（共3个小题，共30分）‎ ‎26．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D是BC上一点，AE⊥AD，∠ADE＝30°，连接CE．‎ ‎（1）求证：△ADE∽△ABC；‎ ‎（2）求证：△ACE∽△ABD；‎ ‎（3）设CE＝x，当CD＝2CE时，求x的值．‎ ‎27．如图，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD相交于点F．‎ ‎（1）求证：OE⊥CD；‎ ‎（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．‎ ‎28．如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，AB＝3，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F．‎ ‎（1）求证：AB•CF＝BD•CD；‎ ‎（2）如图2，当∠AED＝75°时，求CF的长；‎ ‎（3）若CD＝2BD，求．‎ 参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）.‎ ‎1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可．‎ 解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；‎ B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；‎ C、是中心对称图形，故本选项符合题意；‎ D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎2．已知a＞b，则下列不等式中错误的是（　　）‎ A．a+2＞b+2 B．a﹣5＜b﹣5 C．﹣a＜﹣b D．4a＞4b ‎【分析】根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案．‎ 解：A、在不等式a＞b的两边同时加2，不等式仍成立，即a+2＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；‎ B、在不等式a＞b的两边同时减去5，不等式仍成立，即a﹣5＞b﹣5，原变形错误，故此选项符合题意；‎ C、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣1，不等号方向改变，即﹣a＜﹣b，原变形正确，故此选项不符合题意；‎ D、在不等式a＞b的两边同时乘以4，不等式仍成立，即4a＞4b，原变形正确，故此选项不符合题意．‎ 故选：B．‎ ‎3．下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（　　）‎ A．x2+y2 B．x2﹣2x﹣3 C．x2+2x+1 D．x2﹣4‎ ‎【分析】根据平方差公式的构成特点，逐个判断得结论．‎ 解：A．多项式中的两项同号，不能用平方差公式分解因式；‎ B．多项式含有三项，不能用平方差公式分解因式；‎ C．多项式含有三项，不能用平方差公式分解因式；‎ D．能变形为x2﹣22，符合平方差公式的特点，能用平方差公式分解因式．‎ 故选：D．‎ ‎4．函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≥2且x≠5 B．x≥2 C．x≤5 D．x≤2且x≠5‎ ‎【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．‎ 解：由题意得，x﹣2≥0，x﹣5≠0，‎ 解得，x≥2且x≠5，‎ 故选：A．‎ ‎5．如果分式值为0，那么x的值是（　　）‎ A．0 B．2 C．﹣3 D．2或﹣3‎ ‎【分析】根据分式为0的条件列出方程和不等式，解方程、不等式得到答案．‎ 解：原式分式的值为0，‎ ‎∴x+3＝0，x﹣2≠0，‎ 解得，x＝﹣3，‎ 故选：C．‎ ‎6．已知一个多边形的内角和是720°，则该多边形的边数为（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝720°，然后解方程即可．‎ 解：设这个多边形的边数是n，‎ 依题意得（n﹣2）×180°＝720°，‎ n﹣2＝4，‎ n＝6．‎ 即这个多边形的边数是6．‎ 故选：B．‎ ‎7．疫情期间，为调查某校学生体温的情况，张老师随机调查了50名学生，结果如表：‎ 体温（单位：℃）‎ ‎36.2‎ ‎36.3‎ ‎36.5‎ ‎36.7‎ ‎36.8‎ 人数 ‎8‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎13‎ ‎12‎ 则这50名学生体温的众数和中位数分别是（　　）‎ A．36.8℃，36.5℃ B．36.8℃，36.7℃ ‎ C．36.7℃，36.6℃ D．36.7℃，36.5℃‎ ‎【分析】根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数和中位数的定义，即中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），即可得出答案．‎ 解：236.7出现了13次，出现的次数最多，则众数是36.7℃；‎ 把这组数据从小到大排列，第25个或第26个数分别是36.5，36.7，则中位数是（36.5+36.7）÷2＝36.6℃．‎ 故选：C．‎ ‎8．关于x的分式方程＝的解为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3‎ ‎【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．‎ 解：＝，‎ 方程两边同乘x（x﹣3）得：5x＝2（x﹣3），‎ 解这个方程得：x＝﹣2，‎ 经检验，x＝﹣2是原方程的解．‎ 故选：A．‎ ‎9．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例的性质求EF的长．‎ 解：∵直线a∥b∥c，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴EF＝6．‎ 故选：B．‎ ‎10．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是边AB，BC的中点，AD与CE交于点F，则△DEF与△ACF的面积之比是（　　）‎ A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4‎ ‎【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DE＝AC，那么△FDE∽△FAC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．‎ 解：∵点D，E分别是边AB，BC的中点，‎ ‎∴DE∥AC，DE＝AC，‎ ‎∴△FDE∽△FAC，‎ ‎∴S△DEF：S△ACF＝（DE：AC）2＝1：4．‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡，上）.‎ ‎11．分解因式：x3﹣x＝　x（x+1）（x﹣1）　．‎ ‎【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．‎ 解：x3﹣x，‎ ‎＝x（x2﹣1），‎ ‎＝x（x+1）（x﹣1）．‎ 故答案为：x（x+1）（x﹣1）．‎ ‎12．不等式6﹣2x＞0的解集是　x＜3　．‎ ‎【分析】利用不等式的基本性质：移项，系数化1来解答．‎ 解：移项得，‎ ‎﹣2x＞﹣6，‎ 两边同时除以﹣2得，‎ x＜3．‎ ‎13．已知＝，那么的值是　　．‎ ‎【分析】直接利用已知得出a＝，进而代入化简即可．‎ 解：∵＝，‎ ‎∴a＝，‎ ‎∴＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎14．如图，已知∠ABC＝45°，AB＝4，把线段AB向右平移7个单位得到A′B′，则四边形ABB′A′的面积是　28　．‎ ‎【分析】作AD⊥BC于D，解直角三角形求得AD，根据平移的性质得出四边形ABB′A′是平行四边形，BB′＝7，然后根据平行四边形的面积公式求得即可．‎ 解：作AD⊥BC于D，‎ ‎∵∠ABC＝45°，AB＝4，‎ ‎∴AD＝AB＝×＝4，‎ ‎∵线段AB向右平移7个单位得到A′B′，‎ ‎∴四边形ABB′A′是平行四边形，BB′＝7，‎ ‎∴四边形ABB′A′的面积是7×4＝28，‎ 故答案为28．‎ 三、解答题（本大题共6个题，共54分，解答过程写在答题卡上）‎ ‎15．计算：‎ ‎（1）分解因式：3x2y﹣12xy2+12y3；‎ ‎（2）解不等式组：．‎ ‎【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；‎ ‎（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．‎ 解：（1）原式＝3y（x2﹣4xy+4y2）‎ ‎＝3y（x﹣2y）2；‎ ‎（2）由①移项得：3x﹣x＞﹣5+1，‎ 合并得：2x＞﹣4，‎ 解得：x＞﹣2，‎ 由②去分母得：x+2﹣3x≥3，‎ 移项合并得：﹣2x≥1，‎ 解得：x≤﹣，‎ 则不等式组的解集为﹣2＜x≤﹣．‎ ‎16．计算：‎ ‎（1）解方程＝+1；‎ ‎（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2．‎ ‎【分析】（1）根据分式的方程解法即可求出答案．‎ ‎（2）根据分式的运算法则即可求出答案．‎ 解：（1）∵＝+1，‎ ‎∴x（x+2）＝12+x2﹣4，‎ ‎∴x2+2x＝12+x2﹣4，‎ ‎∴2x＝8，‎ ‎∴x＝4，‎ 经检验，x＝4是分式方程的解．‎ ‎（2）原式＝÷‎ ‎＝÷‎ ‎＝•‎ ‎＝，‎ 当x＝2时，‎ 原式＝．‎ ‎17．某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32m的点C处（即AC＝32m），然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD＝3m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）‎ ‎【分析】直接利用已知进而得出△ECD∽△BCA，即可得到＝，求出答案．‎ 解：∵法线l⊥AD，∠1＝∠2，‎ ‎∴∠ECD＝∠BCA，‎ 又∵∠EDC＝∠BAC＝90°，‎ ‎∴△ECD∽△BCA，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵DE＝1.5m，CD＝3m，AC＝32m，‎ ‎∴＝，‎ 解得：AB＝16，‎ 答：旗杆AB的高度为16m．‎ ‎18．如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E是AD上的一点，AE＝2DE，延长BE交CD的延长线于F，求FD的长．‎ ‎【分析】求出AE和DE，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△ABE∽△DFE，根据相似得出比例式，代入求出DF即可．‎ 解：∵AD＝9，AE＝2DE，‎ ‎∴AE＝6，DE＝3，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴△ABE∽△DFE，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ 解得：DF＝2．‎ ‎19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若BD＝9，CD＝12，求AB和AC的长．‎ ‎【分析】先根据勾股定理计算AC的长，设AC＝x，AD＝y，根据面积和勾股定理列方程组，整体代入可得结论．‎ 解：∵在Rt△ABC中，CD⊥AB，‎ ‎∴∠CDB＝90°，‎ ‎∵BD＝9，CD＝12，‎ 由勾股定理得：BC＝＝＝15，‎ 设AC＝x，AD＝y，‎ 则，‎ 由①得：9+y＝x③，‎ 把③代入②得：152+x2＝，‎ 解得：x＝20或﹣20（舍），‎ ‎∴AC＝20，AB＝16+9＝25．‎ ‎20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，作AE⊥AD交BC延长线于E，CF⊥BC交AE于F．‎ ‎（1）求证：△ABD≌△ACF；‎ ‎（2）作AG平分∠DAE交BC于G，求证：AF2＝DG•DC．‎ ‎【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，求得∠1＝∠2，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；‎ ‎（2）根据角平分线的定义得到∠DAG＝DAE＝45°，根据相似三角形的性质得到AD2＝CD•DG，根据全等三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AE⊥AD，‎ ‎∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，‎ 又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ 在△ABD和△ACE中，‎ ‎∴△ABD≌△ACF；‎ ‎（2）证明：∵∠DAE＝90°，作AG平分∠DAE，‎ ‎∴∠DAG＝DAE＝45°，‎ ‎∵AB＝AC，∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝45°，‎ ‎∴∠DAG＝∠ACB，‎ ‎∵∠ADG＝∠CDA，‎ ‎∴△DAG∽△DCA，‎ ‎∴，‎ ‎∴AD2＝CD•DG，‎ 由（1）知，△ABD≌△ACF，‎ ‎∴AF＝AD，‎ ‎∴AF2＝DG•DC．‎ 四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡，上）‎ ‎21．比较大小：　＞　（填“＞”、“＜”或“＝”）‎ ‎【分析】通分得出＝，＝，根据5和11的大小推出5﹣5＞6，即可得出答案．‎ 解：∵＝，＝，‎ ‎5＝＝，11＝，‎ ‎∴﹣5＞﹣5，‎ 即5﹣5＞6，‎ ‎∴＞，‎ 故答案为：＞．‎ ‎22．代数式x2+6x+10的最小值是　1　．‎ ‎【分析】代数式配方变形后，利用非负数的性质：偶次幂确定出最小值即可．‎ 解：原式＝（x2+6x+9）+1‎ ‎＝（x+3）2+1，‎ ‎∵（x+3）2≥0，‎ ‎∴（x+3）2+1≥1，‎ 则代数式x2+6x+10的最小值是1．‎ 故答案为：1．‎ ‎23．如图，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转35°得到△AB′C′，B′C′与AC相交于点D，∠B＝60°，则∠ADB′的度数是　65°　．‎ ‎【分析】根据旋转的性质和三角形的内角和即可得到结论．‎ 解：∵Rt△ABC绕点A顺时针旋转35°得到△AB′C′，‎ ‎∴∠BAB′＝35°，∠B′＝∠B＝60°，∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠B′AD＝90°﹣35°＝55°，‎ ‎∴∠ADB′＝180°﹣60°﹣55°＝65°，‎ 故答案为：65°．‎ ‎24．如图，在正方形ABCD中，AB＝9，E，F分别是AB，CD上的点，连接EF ‎，将四边形BCFE沿EF折叠得到四边形B′C′FE，点B′恰好在AD上，若DB′＝2AB′，则折痕EF的长是　3　．‎ ‎【分析】如图，连接BB'，B'F，BF，过点F作FH⊥AB于H，由折叠的性质可得BF＝B'F，BE＝B'E，由勾股定理可求BE＝5，CF＝2，通过证明四边形BCFH是矩形，可得FH＝BC＝9，CF＝BH＝2，由勾股定理可求EF的长．‎ 解：如图，连接BB'，B'F，BF，过点F作FH⊥AB于H，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝AD＝CD＝BC＝9，∠A＝∠D＝∠C＝∠ABC＝90°，‎ ‎∵将四边形BCFE沿EF折叠得到四边形B′C′FE，‎ ‎∴EF是BB'的垂直平分线，‎ ‎∴BF＝B'F，BE＝B'E，‎ ‎∵DB′＝2AB′，‎ ‎∴AB'＝3，DB'＝6，‎ ‎∵B'E2＝AE2+B'A2，‎ ‎∴BE2＝（9﹣BE）2+9，‎ ‎∴BE＝5，‎ ‎∵B'F2＝BF2＝B'D2+FD2＝BC2+CF2，‎ ‎∴36+（9﹣CF）2＝81+CF2，‎ ‎∴CF＝2，‎ ‎∵FH⊥AB，∠C＝∠ABC＝90°，‎ ‎∴四边形BCFH是矩形，‎ ‎∴FH＝BC＝9，CF＝BH＝2，‎ ‎∴EH＝3，‎ ‎∴EF＝＝＝3，‎ 故答案为：3．‎ ‎25．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AB上一点，作∠DEF＝60°交AC于点F，若AE＝，则AF的长是　　．‎ ‎【分析】如图，过点D作DM⊥AB于M，过点E作EN⊥AC于N．解直角三角形求出DM，EM，AN，EN，再利用相似三角形的性质解决问题即可．‎ 解：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点E作EN⊥AC于N．‎ ‎∵∠C＝90°，AC＝6，∠B＝60°，‎ ‎∴∠CAB＝60°，‎ ‎∵AD平分∠CAB，‎ ‎∴∠CAD＝∠DAM＝30°，‎ ‎∴CD＝AC•tan30°＝2，AD＝2CD＝4，‎ ‎∴DM＝AD＝2，AM＝DM＝6，‎ ‎∵AE＝，‎ ‎∴AN＝AE•cos60°＝，NE＝AN＝，EM＝6﹣，‎ ‎∵∠BEF＝∠DEM+∠DEF＝∠EAF+∠AFE，∠DEF＝∠EAF＝60°，‎ ‎∴∠DEM＝∠EFN，‎ ‎∵∠DME＝∠ENF＝90°，‎ ‎∴△ENF∽△DME，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴FN＝，‎ ‎∴AF＝AN+FN＝+＝，‎ 故答案为：．‎ 五、解答题（共3个小题，共30分）‎ ‎26．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D是BC上一点，AE⊥AD，∠ADE＝30°，连接CE．‎ ‎（1）求证：△ADE∽△ABC；‎ ‎（2）求证：△ACE∽△ABD；‎ ‎（3）设CE＝x，当CD＝2CE时，求x的值．‎ ‎【分析】（1）求出∠EAD＝∠CAB＝90°，∠B＝∠ADE，根据相似三角形的判定得出即可；‎ ‎（2）根据相似得出比例式，求出∠EAC＝∠DAB，再根据相似三角形的判定得出即可；‎ ‎（3）根据相似得出比例式，求出BD＝x，再根据BC＝8得出2x+x＝8，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AE⊥AD，∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠EAD＝∠CAB＝90°，‎ ‎∵∠B＝30°，∠ADE＝30°，‎ ‎∴∠B＝∠ADE，‎ ‎∴△ADE∽△ABC；‎ ‎（2）证明：∵∠EAD＝∠CAB＝90°，‎ ‎∴∠EAC＝∠DAB＝90°﹣∠CAD，‎ ‎∵△ADE∽△ABC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴△ACE∽△ABD；‎ ‎（3）解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，‎ ‎∴BC＝2AC＝8，AB＝＝＝4，‎ ‎∵CE＝x，CD＝2CE，‎ ‎∴CD＝2x，‎ ‎∵△ACE∽△ABD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BD＝x，‎ ‎∴BC＝CD+BD＝2x+x＝8，‎ 解得：x＝16﹣8．‎ ‎27．如图，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD相交于点F．‎ ‎（1）求证：OE⊥CD；‎ ‎（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．‎ ‎【分析】（1）根据四边形ABCO是矩形，可得OA＝BC＝8，OC＝AB ‎＝6，根据勾股定理可得OE和CP的长，进而得EF和CF的长，再根据勾股定理的逆定理即可得OE⊥CD；‎ ‎（2）在Rt△CBD中，CB＝8，BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4，根据勾股定理可得CD＝4，根据点G是CD的中点，可得CG＝DG＝2，所以得点G是CP的三等分点，根据OA∥BC，对应边成比例即可求出CH的长．‎ 解：（1）证明：∵四边形ABCO是矩形，‎ ‎∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝6，‎ 在Rt△OCE中，CE＝3，‎ ‎∴OE＝＝3，‎ ‎∵AB∥OC，AD＝2，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴PA＝4，‎ ‎∴PO＝PA+OA＝12，‎ ‎∴在Rt△OPC中，OC＝6，‎ ‎∴CP＝＝＝6，‎ ‎∵OA∥BC，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∴EF＝OE＝，‎ CF＝CP＝，‎ ‎∵（）2+（）2＝+＝9，‎ ‎∴EF2+CF2＝CE2，‎ ‎∴△CEF是直角三角形，‎ ‎∴∠CFE＝90°，‎ ‎∴OE⊥CD；‎ ‎（2）在Rt△CBD中，CB＝8，BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4，‎ 根据勾股定理，得CD＝＝4，‎ ‎∵点G是CD的中点，‎ ‎∴CG＝DG＝2，‎ 由（1）知：CP＝6，‎ ‎∴DP＝CP﹣CD＝2，‎ ‎∴点G是CP的三等分点，‎ ‎∵OA∥BC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴CH＝6．‎ 答：CH的长为6．‎ ‎28．如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，AB＝3，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F．‎ ‎（1）求证：AB•CF＝BD•CD；‎ ‎（2）如图2，当∠AED＝75°时，求CF的长；‎ ‎（3）若CD＝2BD，求．‎ ‎【分析】（1）证明△ABD∽△CDF即可解决问题．‎ ‎（2）如图2中，过点A作AH⊥BC于H．求出BD，CD，利用（1）中即可解决问题．‎ ‎（3）如图2﹣1中，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EG⊥CD于G．设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a．利用相似三角形的性质求出AF，EF即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1中，‎ ‎∵DE⊥AD，‎ ‎∴∠ADE＝90°，‎ ‎∵DF平分∠ADE，‎ ‎∴∠ADF＝∠FDC＝45°，‎ ‎∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADF+∠FDC，∠B＝∠ADF＝45°，‎ ‎∴∠BAD＝∠FDC，‎ ‎∵∠B＝∠C，‎ ‎∴△ABD∽△CDF，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AB•CF＝BD•CD．‎ ‎（2）解：如图2中，过点A作AH⊥BC于H．‎ ‎∵∠B＝∠C＝45°，‎ ‎∴AB＝AC＝3，‎ ‎∴BC＝AB＝6，‎ ‎∵AH⊥BC，‎ ‎∴BH＝CH＝3，AH＝BH＝CH＝3，‎ ‎∵AD⊥DE，∠AED＝75°，‎ ‎∴∠ADE＝90°，∠DAE＝15°，‎ ‎∴∠ADH＝∠DAE+∠C＝60°，‎ ‎∴∠DAH＝30°，DH＝AH•tan30°＝，‎ ‎∴BD＝3+，CD＝3﹣，‎ ‎∵AB•CF＝BD•CD，‎ ‎∴3•CF＝（3+）（3﹣），‎ ‎∴CF＝．‎ ‎（3）如图2﹣1中，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EG⊥CD于G．设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a．‎ ‎∵AB＝AC，∠BAC＝90°，‎ ‎∴AH＝HB＝HC＝1.5a，DH＝0.5a，∠C＝∠B＝45°，‎ ‎∵∠AHD＝∠ADE＝∠DGE＝90°，‎ ‎∴∠ADH+∠EDG＝90°，∠EDG+∠DEG＝90°，‎ ‎∴∠ADH＝∠DEG，‎ ‎∴△ADH∽△DEG，设EG＝CG＝y，则DG＝a﹣y，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ 解得y＝a，‎ ‎∴CG＝EG＝a，EC＝a，‎ ‎∵CF＝＝＝a，‎ ‎∴AF＝AC﹣CF＝a﹣a＝a，EF＝CF﹣CE＝a﹣a＝a，‎ ‎∴＝＝2．‎