北师大版八年级下册数学同步练习课件-第1章-1 等腰三角形(四)

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北师大版八年级下册数学同步练习课件-第1章-1 等腰三角形(四)

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(1)求∠C的度数; (2)求证:△ADE是等边三角形. (1)解:∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°. (2)证明:∵∠B=∠C=30°,AD⊥AC,AE⊥AB, ∴∠ADC=∠AEB=60°. ∴∠ADC=∠AEB=∠EAD=60°. ∴△ADE是等边三角形. 【例2】如图1-1-41,已知△ABC为等边三角形,D为BC 延长线上的一点,CE平分∠ACD,CE=BD. 求证:△ADE 为等边三角形. 典型例题 证明:∵△ABC为等边三角形, ∴∠B=∠ACB=60°,AB=AC. ∴∠ACD=120°. ∵CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠ECD=60°. AB=AC, 在△ABD和△ACE中,∠B=∠ACE, BD=CE, ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴AD=AE,∠BAD=∠CAE. ∴∠BAC=∠DAE. 又∵∠BAC=60°,∴∠DAE=60°. ∴△ADE为等边三角形. 2. 已知如图1-1-42,△ABC是等边三角形,D为AC上 任意一点,∠ABD=∠ACE,BD=CE. 求证:△ADE是等 边三角形. 模拟演练 证明:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC,∠BAC=60°. 在△ABD和△ACE中, AB=AC, ∠ABD=∠ACE, BD=CE, ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴AD=AE,∠BAD=∠DAE=60°. ∴△ADE是等边三角形. 【例3】已知如图1-1-43,BC⊥AC,DE⊥AC,D为AB的 中点,∠A=30°,AB=8. 求BC,DE的长. 典型例题 新知2:含30°角的直角三角形的性质 解:∵BC⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BCA=∠DEA=90°. ∵D为AB的中点,AB=8, ∴AD=DB=4. ∵∠A=30°, ∴BC= AB=4,DE= AD=2. 3. 如图1-1-44,△ABC中,∠BAC=90°,AD是△ABC 的高,∠C=30°,BC=4,求BD的长. 模拟演练 解:∵在△ABC中,∠BAC=90°, ∠C=30°,AD是高, ∴∠ADB=90°,∠BAD=∠C=30°. ∴在Rt△ABC中,AB= BC=2. ∴在Rt△ABD中,BD= AB=1. 【 例 4 】 如 图 1 - 1 - 4 5 , 在 △ A B C 中 , A B = A C , ∠BAC=120°,D为BC的中点,DE⊥AC于点E,AE=1,求 CE的长. 典型例题 解:连接AD,如答图1-1-3. ∵AB=AC,∠BAC=120°, D为BC的中点, ∴AD⊥BC,AD平分∠BAC, ∠B=∠C=30°. ∴∠DAC= ∠BAC=60°. ∵DE⊥AC,∴∠AED=90°.∴∠ADE=30°. 在Rt△ADE中,AE=1,∠ADE=30°,∴AD=2AE=2. 在Rt△ADC中,AD=2,∠C=30°,∴AC=2AD=4. 则CE=AC-AE=4-1=3. 4. 如图1-1-46,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°, D,E分别为AC,AB上的点,且AD=BD,AE=BC,DE=DC, 求∠EDC的度数. 模拟演练 解:∵∠C=90°,∠A=30°, ∴∠ABC=60°,BC= AB. ∵AE=BC,∴BE=AE=BC. ∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°. ∴∠DBC=30°.∴∠BDC=60°. 在△BDE与△BDC中, BE=BC, BD=BD, DE=DC, ∴△BDE≌△BDC(SSS). ∴∠EDB=∠BDC=60°. ∴∠EDC=120°. 分层训练 A组 1. 下列条件中,不能得到等边三角形的是( ) A. 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 B. 三边都相等的三角形是等边三角形 C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D. 有两个内角是60°的三角形是等边三角形 A 2. 如图1-1-47,在△ABC中,下列条件能说明△ABC是 等边三角形的是( ) A. AB=AC,∠B=∠C B. AD⊥BC,BD=CD C. BC=AC,∠B=∠C D. AD⊥BC,∠BAD=∠CAD C 3. 如图1-1-48,△ABC中,∠C=90°,AB=6,∠B=30°, 点P是BC边上的动点,AP的长不可能是( ) A. 2.5 B. 4.2 C. 5.8 D. 3.6 A 4. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测 得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如 图1-1-49,则三角板最长边的长为______cm. B组 5. 已知:如图1-1-50,在Rt△ABC中,∠A=90°, ∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线. 求证:CD=2AD. 证明:∵∠A=90°,∠ABC=2∠C, ∴∠ABC+∠C=90°. ∴2∠C+∠C=90°. 解得∠C=30°,∠ABC=60°. ∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∴∠CBD=∠C.∴BD=CD. 在Rt△ABD中,∵∠ABD=30°, ∴BD=2AD.∴CD=2AD. 6. 如图1-1-51,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边 BC,AC上. 若CD=2,过点D作DE∥AB,过点E作EF⊥DE, 交BC的延长线于点F.求EF的长. 解:∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=∠ACB=60°. ∵DE∥AB, ∴∠EDC=∠B=60°. ∴△EDC是等边三角形. ∴DE=DC=2. 在Rt△DEF中, ∵∠DEF=90°,DE=2,∠F=30°, ∴DF=2DE=4. ∴EF= . 7. 如图1-1-52,已知等边三角形ABC,D是边AB的中点, 过点D作DF⊥AC,垂足为点F,过点F作FH⊥BC,垂足为 点H.若等边三角形ABC的边长为4,求BH的长. 解:∵△ABC是等边三角形,DF⊥AC, ∴∠A=60°,∠DFA=90°. ∴∠ADF=30°. ∵D是AB的中点, ∴AD= AB=2. ∴AF= AD=1.∴CF=AC-AF=4-1=3. 在Rt△FHC中,∵∠C=60°,∠FHC=90°, ∴∠HFC=30°.∴HC= FC=1.5. ∴BH=BC-HC=4-1.5=2.5. C组 8. 如图1-1-53,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D 在CB的延长线上,且AE=BD. (1)当点E为AB的中点时,如图1-1-53①,求证: EC=ED; (2)当点E不是AB的中点时,如图1-1-53②,过点E作 EF∥BC. 求证:△AEF是等边三角形; (3)在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗?请说 明理由. (1)证明:在等边三角形ABC中,AB=BC=AC, ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°. ∵点E为AB的中点,∴AE=EB=BD. ∴∠ECB= ∠ACB=30°, ∠EDB=∠DEB= ∠ABC=30°. ∴∠ECB=∠EDB. ∴EC=ED. (2)证明:∵EF∥BC, ∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠C=60°. ∴△AEF为等边三角形. (3)解:EC=ED. 理由如下: ∵AE=BD,△AEF为等边三角形,∴BD=EF. ∵∠A=∠AEF=∠ABC=60°, ∴∠EFC=∠DBE=120°. ∵AB=AC,AE=AF,∴AB-AE=AC-AF,即BE=FC. DB=EF, 在△DBE和△EFC中,∠DBE=∠EFC, BE=FC, ∴△DBE≌△EFC(SAS). ∴ED=EC.
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