2020八年级数学上册 专题突破讲练 分式中的特殊运算试题 （新版）青岛版

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分式中的特殊运算 一、分式的混合运算 分式的混合运算关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。‎ 归纳：‎ ‎①运算过程中，要注意运算顺序，在没括号的情况下，按从左向右的方向，先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的要先算小括号，再算中括号，最后算大括号的顺序运算；‎ ‎②分子或分母的系数是负数时，要把“-”转化为分式本身的符号；‎ ‎③在解题过程中，要掌握“1”的使用技巧，“1”可以化成任意一个分子、分母相同的分式。‎ 二、分式运算中常用的方法 分式运算是以分式的性质为基础，根据分式的结构特征，通过适当的变形、转化、运用适当方法就会使运算过程变得容易，起到事半功倍的效果。‎ ‎1. 改变“运算符号”‎ 对于两个分母互为相反数的分式相加减，只须把其中一个分式分母的运算符号提出来，变成同分母分式进行相加减即可。‎ 如：‎ ‎2. 拆分法 有些分式的分母具有一定的规律，我们可以把它拆分成两个分式相减的形式，用来简化运算。‎ 如：‎ ‎3. 换元法 对于有些分式的分子和分母都含有多项式，并且这些多项式大多相同，这时我们可以把每一个多项式看成一个整体，用一个简单的字母来代替它进行运算，起到简化运算的效果，最后不要忘记再替换过来。‎ ‎4. 因式分解法 9‎ 对有些分式的分母是多项式时，直接运算会很繁琐，通常为了简化运算，我们可以把这些多项式进行因式分解，找出规律约分，起到简化运算的效果。‎ 如：=‎ 总之，分式运算方法有多种，在分式的实际运算中，我们要认真观察，反复思考，不断地归纳，寻找规律，以便能准确迅速计算出结果。‎ 例题1 计算 解析：本题我们如果直接去计算，计算量是很大的。从题中我们可以看到分式的分子和分母中都含有，因此我们可以用换元法，用字母x，y来代替它们简化运算，大大的提高了运算速度，最后不要忘记再替换回来。‎ 答案：解：设，则xy＝1，于是 原式=‎ 所以原式=‎ 例题2 设、b、c均为正整数，若＜＜，则、b、c的大小是 。‎ 9‎ 解析：首先根据、b、c均为正整数，确定+b、b+c、+c、+b+c也为正整数，再通过＜＜分为＜、＜、＜分别通分，因式分解，判断出b＞c、b＞、＞c，综合得出b＞＞c。‎ 答案：∵、b、c均为正整数，∴+b、b+c、+c、+b+c也为正整数，‎ ‎∵＜＜，‎ ‎∴①＜，‎ ‎⇒c2+c＜b2+b，‎ ‎⇒b2-c2+b-c＞0，‎ ‎⇒（b-c）（b+c）+a（b-c）＞0‎ ‎⇒（b-c）（+b+c）＞0，‎ ‎⇒b＞c，‎ ‎②＜，‎ ‎⇒c+2＜b2+bc，‎ ‎⇒b2-2+bc-c＞0，‎ ‎⇒（b+）（b-）+c（b-）＞0，‎ ‎⇒（b-）（+b+c）＞0，‎ ‎⇒b＞，‎ ‎③＜，‎ ‎⇒2+b＞bc+c2，‎ ‎⇒2+b-bc-c2＞0，‎ ‎⇒（+c）（-c）+b（-c）＞0，‎ ‎⇒（-c）（+b+c）＞0，‎ ‎⇒＞c，‎ 综上，c＜＜b。‎ 点拨：我们运用因式分解法，把分式进行因式分解后可以进行约分，大大地简化了分式，提高了运算的速度。‎ 9‎ 巧用拆分法解决规律问题 分式的混合运算、分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式再约分．同时注意最后结果应为最简分式。‎ 例题 用你发现的规律解答下列问题。‎ ‎1-，＝-，-…‎ ‎（1）计算++++= 。‎ ‎（2）探究+++…+= 。（用含有n的式子表示）‎ ‎（3）+++…+的值为，n= 。‎ 解析：根据所给的等式可得=-，据此可求出（1）、（2）的值；‎ ‎（3）依据=（-）先展开，再合并，可化简（3）式，求出的结果等于，进而可求n。‎ 答案：解：（1）原式=1-+-+…+-=1-=；‎ ‎（2）原式=1-+-+…+-=1-=；‎ ‎（3）原式=×（1-+-+…+-）=×（1-）=，‎ 根据题意可得：=，解得n=17。‎ 故答案为：(1)； (2)； (3)17。‎ 9‎ 一、选择题 ‎1. 化简的结果是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 化简的结果是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎‎ C. -1 D. ‎ ‎3. 化简的结果是（ ）‎ A. B. C. D. y ‎*4. 已知x为整数，且为整数，则符合条件的x有（ ）‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ‎5. 已知：a1=x+1（x≠0且x≠-1），a2=1÷（1-a1），a3=1÷（1-a2），…，an=1÷（1-an-1），则a2011等于（ ）‎ A. x B. x+‎1 ‎‎ C. − D. ‎ 二、填空题 ‎*6. 计算：=_______。‎ ‎*7. 化简：，其结果是_____。‎ ‎*8. 对于任意非零实数a，b，定义运算“☆”如下：a☆b=，‎ 则☆1+3☆2+4☆3+…+2010☆2009+2011☆2010+2012☆2011+2013☆2012= 。‎ ‎*9. 若a＋3b＝0，则=______。‎ 三、解答题 9‎ ‎**10. 先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值。‎ ‎**11. 已知，求分式的值.（用整体思想求分式的值）。‎ ‎**12. 解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”等。‎ ‎（1）设A=-，B=，求A与B的积；‎ ‎（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题。‎ 9‎ ‎1. A 解析：熟记分式运算的顺序，先把括号里的通分合并，再进行除法运算。‎ ‎，故选A。‎ ‎2. B 解析：熟记分式运算的顺序，先把括号里的通分合并，再进行除法运算。‎ ‎ 3. B 解析：，故选B。‎ ‎4. C 解析：，x取0、2、6、4时，该分式为整数，符合条件的x有4个，故选C。‎ ‎5. B 解析：∵a1=x+1（x≠0且x≠-1），a2=1÷（1-a1），a3=1÷（1-a2），…，an=1÷（1-an-1），‎ ‎∴a2=-，a3=，a4=x+1，…‎ ‎∴a3n=，a3n+1=x+1，a3n+2=-，‎ ‎∵2011=670×3+1，‎ ‎∴a2011=x+1。‎ 故选B。‎ ‎6. －1 解析：‎ 9‎ ‎7. 0 解析：。‎ ‎8. 解析：解：根据题意得：‎ ‎2☆1+3☆2+4☆3+…+2010☆2009+2011☆2010+2012☆2011+2013☆2012‎ ‎=++…++‎ ‎=-+-+…+-+-‎ ‎=-==。‎ 故答案为：。‎ ‎9. 解析：‎ 由＋3b＝0，可得＝－3b，代入=。‎ ‎10. 解：，选值时要注意既要使分式的结果有意义，又要使过程中每一步都要有意义。只要x不等于0或就可取x=1时，该分式的值为；取x=-1时，该分式的值为1。‎ 9‎ ‎11. ‎ 解析：将变形为－b＝－4b，将分式变形为，把式子中的－b看成一个整体，将式子中的－b都换成－4b问题就解决了。‎ ‎12. 解：（1）A•B＝（-）•=•＝12；‎ ‎（2）“逆向”问题：已知A•B=12，B＝，求A。‎ 解答：A=（A•B）÷B=12÷＝；‎ 即 9‎