人教版八年级数学上册第十一章11.3多边形及其内角和

人教版八年级数学上册第十一章11.3多边形及其内角和

第十一章 三角形 11.3多边形及其内角和 第2课时 1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式. （重点） 2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题. （难点） 学习目标 法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的 想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”. 导入新课 情景引入 思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？ 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？ 问题1 三角形内角和是多少度？ 三角形内角和 是180°. 都是360°. 问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？ 讲授新课 多边形的内角和 猜想：四边形ABCD的内角和是360°. 问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ 猜想与证明 方法1：如图，连接AC, 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形ABCD内角和为 180°×2=360°. A B C D A B C D E  方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3- 180°=360°. 方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E， 连接AE,BE,CE,DE， 把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE. 所以四边形ABCD内角和为： 180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB) =180°×4-360°=360°. A B C D E  A B C D P  方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD 将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形. 所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° = 360°. 这四种方法都运用 了转化思想，把四 边形分割成三角形， 转化到已经学了的 三角形内角和求解. 结论： 四边形的内角和为360°. 例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么 关系？试说明理由. 解： 如图，四边形ABCD中， ∠A+ ∠C =180°. ∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，因为 ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°. 所以 A B C D 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补. 典例精析 【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平 分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直 角三角形． 证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠CDF+∠EBF=90°， ∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD， ∴∠CDF+∠CFD=90°， 故△DCF为直角三角形． 运用了整体思想 A C D E B A B C D E F 问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗? 内角和为180° ×3 = 540°. 内角和为180° ×4 = 720°. n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出三角 形的个数 从多边形的一顶点 引出的对角线条数 图形边数 ······ 0 n -3 1 2 3 1 2 3 4 n -2 （ n -2 ）·180º 1×180º=180º 2×180º=360º 3×180º=540º 4×180º=720º ······ ······ ············ 由特殊到一般  分割 多边形 三角形 分割点与多边 形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 总结归纳 多边形的内角和公式 n边形内角和等于(n-2)×180 °. 例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多 边形的每个内角是多少度？ 解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等， （8-2）×180°=1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°． 典例精析 例3 已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°． （1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取 630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不 对，说明理由； 解：∵360°÷180°=2， 630°÷180°=3......90°， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 360°÷180°+2=4． 故甲同学说的边数n是4； （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加 了360°，用列方程的方法确定x． 解：依题意有 （n+x-2）×180°-（n-2） ×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2． 【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为 1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这 个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 解：设此多边形的内角和为x， 则有1125°＜x＜1125°＋180°， 即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°， 因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数， 所以x＝180°×7＝1260°. 所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°. 因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形． 思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间. 例4 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°， ∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度 数． 解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C,∠D, ∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平 分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求 得∠P的度数． 可运用了 整体思想 解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°， ∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°， ∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°. ∵AP平分∠EAB, ∴∠PAB＝ ∠EAB， 同理可得∠ABP＝ ∠ABC， ∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°， ∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA =180°− (∠EAB+∠ABC)=180°− ×230°=65°． 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 3 2 4 1 32 4 1 3 2 4 1 32 4 1 3 2 4 1 32 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这 是为什么吗？ 如图，在五边形的每个顶点处 各取一个外角，这些外角的和 叫做五边形的外角和． 问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？ E B C D 1 2 3 4 5 A 互补 5×180°=900° 多边形的外角和 E B C D 1 2 3 4 5 A五边形外角和 =360 ° =5个平角－五边形内角和 =5×180°－(5－2) × 180° 结论：五边形的外角和等于360°. 问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和 有什么关系？ 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和 叫做n边形的外角和． n边形外角和 n边形的外角和等于360°. －(n－2) × 180° =360 ° =n个平角-n边形内角和 = n×180 ° An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 思考：n边形的外角和又是多少呢？ 与边数无关 问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每 个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 ( 2) 180 ,n n    360 . n  练一练： (1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正__边形. (2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是 ______边形. 六 正八 典例精析 例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2倍，求这个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°， 多边形外角和等于360°， ∴ (n－2)•180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6. 例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都 是7:2，求这个多边形的边数. 解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°, 根据题意得 7x+2x=180， 解得x=20. 即每个内角是140 °，每个外角是40 °. 360° ÷40 °=9. 答：这个多边形是九边形. 还有其他 解法吗？ 解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意得 解得n=9. 答：这个多边形是九边形.  180 2 7 , 360 2 n   【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大 60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数． 解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°， 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是360°， 则该正多边形的边数为360÷120=3， 故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三 条． 60, 180, y x x y      60, 120. x y    例6 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求 ∠BED的度数． 解：由题意得 AB=AE,所以∠AEB= (180°-∠A)=36°， 所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.   ° °5 2 180 =108 5 A AED    ∠ ∠ ， 1 2 当堂练习 1.判断． (1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( ) 2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的 每一个内角等于______．120° 3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左 转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…， 照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的 路程一共是________米．150 4.一个多边形的内角和不可能是（ ） A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 ° D 5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形 内角和等于（ ） A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 ° B 6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角 后，求得到的多边形的内角和. 解：∵1800÷180＝10， ∴原多边形边数为10＋2＝12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能 不变，也可能加1， ∴新多边形的边数可能是11，12，13， ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°. 能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋ ∠6＋∠7的度数. 解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 ＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7 ＝五边形的内角和＝540°. 8 9 课堂小结 多边形 的内角 和 内角和计 算 公 式 (n-2) × 180 °(n ≥3的整数） 外 角 和 多边形的外角和等于360° 特别注意：与边数无关. 正多 边形 内角= ，外角= ( 2) 180n n    360 n 