2019-2020学年四川省成都市彭州市八年级下学期期末数学试卷 （解析版）

2019-2020学年四川省成都市彭州市八年级下学期期末数学试卷 （解析版）

‎2019-2020学年四川省成都市彭州市八年级第二学期期末数学试卷 一、选择题 ‎1．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知x＞y，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．2x＜2y B．x﹣6＜y﹣6 C．x+5＞y+5 D．﹣3x＞﹣3y ‎3．分式的值为0，则x的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．﹣1 D．2‎ ‎4．若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的一个外角为（　　）‎ A．45° B．60° C．72° D．90°‎ ‎5．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）‎ A．x（x+1）＝x2+x B．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 ‎ C．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5 D．x2+2x+1＝（x+1）2‎ ‎6．关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示，则a的取值是（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0‎ ‎7．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交AD于点E，则ED等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠DBC的度数是（　　）‎ A．36° B．45° C．54° D．72°‎ ‎9．点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是△ABC（　　）的交点．‎ A．三条高 B．三条角平分线 ‎ C．三边的垂直平分线 D．三条中线 ‎10．已知关于x的分式方程＝1的解是负数，则m的取值范围是（　　）‎ A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2‎ 二、填空题（每小题4分，共16分）‎ ‎11．分解因式：4﹣m2＝　 　．‎ ‎12．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE＝2，则BC边的长为　 　．‎ ‎13．如图，在长20米，宽10米的长方形草地内修建了宽2米的道路，则草地的面积为　 　．‎ ‎14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝　 　°．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共54分，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．计算 ‎（1）分解因式：x2y﹣2xy2+y3；‎ ‎（2）解不等式组．‎ ‎16．化简：．‎ ‎17．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．‎ ‎（1）将△ABC向左平移4个单位长度后得到△A1B1C1，点A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点，请画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；‎ ‎（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，点A2、B2、C2分别是A、B、C的对应点，请画出△A1B1C1，并写出C2的坐标．‎ ‎18．列方程解应用题 今年1月下旬以来，新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌．企业复工复产急需口罩，某大型国有企业向生产口罩的A、B两厂订购口罩，向A厂支付了1.32万元，向B厂支付了2.4万元，且在B厂订购的口罩数量是A厂的2倍，B厂的口罩每只比A厂低0.2元．求A、B两厂生产的口罩单价分别是多少元？‎ ‎19．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点A（﹣1，0），B（2，0），观察图象并回答下列问题：‎ ‎（1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是　 　；关于x的不等式kx+b＜0的解集是　 　；‎ ‎（2）直接写出关于x的不等式组的解集；‎ ‎（3）若点C（1，3），求关于x的不等式k1x+b1＞kx+b的解集和△ABC的面积．‎ ‎20．如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，连接DE，DF．‎ ‎（1）试判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论；‎ ‎（2）若∠BAC＝60°，AE＝6，求四边形AEDF的面积；‎ ‎（3）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由．‎ 四、填空题（每小题4分，共20分）‎ ‎21．232﹣1可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数是　 　．‎ ‎22．两个全等的直角三角尺如图所示放置在∠AOB的两边上，其中直角三角尺的短直角边分别与∠AOB的两边上，两个直角三角尺的长直角边交于点P，连接OP，且OM＝ON，若∠AOB＝60°，OM＝6cm，则线段OP＝　 　cm．‎ ‎23．若关于x的分式方程+＝﹣1无解，则常数n的值是　 　．‎ ‎24．如图，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，A（﹣2，0），B（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得到△OCD，直线AC、BD交于点E．点M为直线 BD上的动点，点N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点M的坐标为　 　．‎ ‎25．如图，已知边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别为AB，AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD于点M，N，给出下列结论：‎ ‎①△CEF是等边三角形；‎ ‎②∠DFC＝∠EGC；‎ ‎③若BE＝3，则BM＝MN＝DN；‎ ‎④EF2＝BE2+DF2；⑤△ECF面积的最小值为．其中所有正确结论的序号是　 　．‎ 五、解答题（本大题共3小题，共30分．其中26题8分，27题10分，28题12分）‎ ‎26．2020年初，“新型冠状病毒”肆虐全国，武汉“封城”．大疫无情人有情，四川在做好疫情防控的同时，向湖北特别是武汉人们伸出了援手，医疗队伍千里驰援、社会各界捐款捐物．某运输公司现有甲、乙两种货车，要将234吨生活物资从成都运往武汉，已知2辆甲车和3辆乙车可运送114吨物资；3辆甲车和2辆乙车可运送106吨物资．‎ ‎（1）求每辆甲车和每辆乙车一次分别能装运多少吨生活物资？‎ ‎（2）从成都到武汉，已知甲车每辆燃油费2000元，乙车每辆燃油费2600元．在不超载的情况下公司安排甲、乙两种车共10辆将所有生活物资运到武汉，问公司有几种派车方案？哪种方案所用的燃油费最少？最低燃油费是多少？‎ ‎27．先阅读下面的内容，再解决问题：‎ 问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：‎ x2+2ax﹣3a2‎ ‎＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2‎ ‎＝（x+a）2﹣4a2‎ ‎＝（x+a）2﹣（2a）2‎ ‎＝（x+3a）（x﹣a）‎ 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：‎ ‎（1）分解因式：a2﹣8a+15＝　 　；‎ ‎（2）若△ABC的三边长是a，b，c，且满足a2+b2﹣14a﹣8b+65＝0，c边的长为奇数，求△ABC的周长的最小值；‎ ‎（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．‎ ‎28．如图1，▱ABCD在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0）、B（0，4）、C（3，2），点G是对角线AC的中点，过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F，点P是直线EF上的动点．‎ ‎（1）求点D的坐标和S四边形BEFC的值；‎ ‎（2）如图2，当直线EF交x轴于点H（5，0），且S△PAC＝S四边形BEFC时，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图3，当直线EF交x轴于点K（3，0）时，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）‎ ‎1．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．‎ 解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；‎ D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．‎ 故选：A．‎ ‎2．已知x＞y，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．2x＜2y B．x﹣6＜y﹣6 C．x+5＞y+5 D．﹣3x＞﹣3y ‎【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．‎ 解：A、∵x＞y，‎ ‎∴2x＞2y，故本选项不符合题意；‎ B、∵x＞y，‎ ‎∴x﹣6＞y﹣6，故本选项不符合题意；‎ C、∵x＞y，‎ ‎∴x+5＞y+5，故本选项符合题意；‎ D、∵x＞y，‎ ‎∴﹣3x＜﹣3y，故本选项不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎3．分式的值为0，则x的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．﹣1 D．2‎ ‎【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．‎ 解：由题意，得 x2﹣1＝0且x﹣1≠0，‎ 解得x＝﹣1，‎ 故选：C．‎ ‎4．若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的一个外角为（　　）‎ A．45° B．60° C．72° D．90°‎ ‎【分析】首先设这个正多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得180（n﹣2）＝1080，继而可求得答案．‎ 解：设这个正多边形的边数为n，‎ ‎∵一个正多边形的内角和为1080°，‎ ‎∴180（n﹣2）＝1080，‎ 解得：n＝8，‎ ‎∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷8＝45°．‎ 故选：A．‎ ‎5．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）‎ A．x（x+1）＝x2+x B．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 ‎ C．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5 D．x2+2x+1＝（x+1）2‎ ‎【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．‎ 解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；‎ B、不是因式分解，故本选项不符合题意；‎ C、不是因式分解，故本选项不符合题意；‎ D、是因式分解，故本选项符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎6．关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示，则a的取值是（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0‎ ‎【分析】解关于x的不等式得出x≤，由数轴知不等式的解集即可得出关于a的方程，解之即可．‎ 解：移项，得：2x≤a﹣1，‎ 系数化为1，得：x≤，‎ 由数轴可知＝﹣1，‎ 解得：a＝﹣1，‎ 故选：A．‎ ‎7．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交AD于点E，则ED等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】由四边形ABCD为平行四边形，得到AD与BC平行，AD＝BC，利用两直线平行得到一对内错角相等，由BE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到∠ABE＝∠AEB，利用等角对等边得到AB＝AE＝4，由AD﹣AE求出ED的长即可．‎ 解：∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AD＝BC＝7，‎ ‎∴∠AEB＝∠EBC，‎ ‎∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE＝∠EBC，‎ ‎∴∠AEB＝∠ABE，‎ ‎∴AB＝AE＝4，‎ ‎∴ED＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝7﹣4＝3．‎ 故选：B．‎ ‎8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠DBC的度数是（　　）‎ A．36° B．45° C．54° D．72°‎ ‎【分析】由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小．‎ 解：设∠A＝x°．‎ ‎∵BD＝AD，‎ ‎∴∠A＝∠ABD＝x°，‎ ‎∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，‎ ‎∵BD＝BC，‎ ‎∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝∠BCD＝2x°，‎ 在△ABC中x+2x+2x＝180，‎ 解得：x＝36，‎ ‎∴∠C＝∠BDC＝72°，‎ ‎∴∠DBC＝36°，‎ 故选：A．‎ ‎9．点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是△ABC（　　）的交点．‎ A．三条高 B．三条角平分线 ‎ C．三边的垂直平分线 D．三条中线 ‎【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．‎ 解：∵点P到A、B两点的距离相等，‎ ‎∴点P在线段AB的垂直平分线上，‎ 同理，点P在线段AC、BC的垂直平分线上，‎ 则点P是△ABC三边的垂直平分线的交点，‎ 故选：C．‎ ‎10．已知关于x的分式方程＝1的解是负数，则m的取值范围是（　　）‎ A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2‎ ‎【分析】直接解方程得出分式的分母为零，再利用x≠﹣1求出答案．‎ 解：＝1‎ 解得：x＝m﹣3，‎ ‎∵关于x的分式方程＝1的解是负数，‎ ‎∴m﹣3＜0，‎ 解得：m＜3，‎ 当x＝m﹣3＝﹣1时，方程无解，‎ 则m≠2，‎ 故m的取值范围是：m＜3且m≠2．‎ 故选：D．‎ 二、填空题（每小题4分，共16分）‎ ‎11．分解因式：4﹣m2＝　（2+m）（2﹣m）　．‎ ‎【分析】原式利用平方差公式分解即可．‎ 解：原式＝（2+m）（2﹣m），‎ 故答案为：（2+m）（2﹣m）．‎ ‎12．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE＝2，则BC边的长为　4　．‎ ‎【分析】根据三角形中位线定理解答即可．‎ 解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴BC＝2DE＝4，‎ 故答案为：4．‎ ‎13．如图，在长20米，宽10米的长方形草地内修建了宽2米的道路，则草地的面积为　144米2　．‎ ‎【分析】将道路分别向左、向上平移，得到草地为一个长方形，分别求出长方形的长和宽，再用长和宽相乘即可．‎ 解：将道路分别向左、向上平移，得到草地为一个长方形，‎ 长方形的长为20﹣2＝18（米），宽为10﹣2＝8（米），‎ 则草地面积为18×8＝144米2．‎ 故答案为：144米2．‎ ‎14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝　45　°．‎ ‎【分析】根据矩形的性质得出∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，求出OA＝OB，求出∠OAB＝∠ABO，求出∠ABO即可．‎ 解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠BAD＝90°，‎ ‎∵∠EAD＝3∠BAE，‎ ‎∴∠BAE＝×90°＝22.5°，‎ ‎∵AE⊥BD，‎ ‎∴∠AEB＝90°，‎ ‎∴∠ABO＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，‎ ‎∴OA＝OB，‎ ‎∴∠OAB＝∠ABO＝67.5°，‎ ‎∴∠EOA＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，‎ 故答案为：45．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共54分，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．计算 ‎（1）分解因式：x2y﹣2xy2+y3；‎ ‎（2）解不等式组．‎ ‎【分析】（1）直接提取公因式y，再利用公式法分解因式得出答案；‎ ‎（2）分别解不等式进而得出不等式组的解集．‎ 解：（1）x2y﹣2xy2+y3‎ ‎＝y（x2﹣2xy+y2）‎ ‎＝y（x﹣y）2；‎ ‎（2），‎ 解①得：x＜2，‎ 解②得：x≥﹣3，‎ 故不等式组的解集为：﹣3≤x＜2．‎ ‎16．化简：．‎ ‎【分析】直接将括号里面通分运算，再将原式的分子与分母分解因式，进而化简得出答案．‎ 解：原式＝•‎ ‎＝•‎ ‎＝．‎ ‎17．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．‎ ‎（1）将△ABC向左平移4个单位长度后得到△A1B1C1，点A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点，请画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；‎ ‎（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，点A2、B2、C2分别是A、B、C的对应点，请画出△A1B1C1，并写出C2的坐标．‎ ‎【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．‎ ‎（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．‎ 解：（1）如图△A1B1C1即为所求．并写出C1的坐标（﹣1，4）．‎ ‎（2）如图△A2B2C2，即为所求并写出C2的坐标（4，﹣3）．‎ ‎18．列方程解应用题 今年1月下旬以来，新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌．企业复工复产急需口罩，某大型国有企业向生产口罩的A、B两厂订购口罩，向A厂支付了1.32万元，向B厂支付了2.4万元，且在B厂订购的口罩数量是A厂的2倍，B厂的口罩每只比A厂低0.2元．求A、B两厂生产的口罩单价分别是多少元？‎ ‎【分析】设B厂生产的口罩单价为x元，则A厂生产的口罩单价为（x+0.2）元，根据数量＝总价÷单价结合在B厂订购的口罩数量是A厂的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．‎ 解：设B厂生产的口罩单价为x元，则A厂生产的口罩单价为（x+0.2）元，‎ 依题意，得：＝2×，‎ 解得：x＝2，‎ 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，‎ ‎∴x+0.2＝2.2．‎ 答：A厂生产的口罩单价为2.2元，B厂生产的口罩单价为2元．‎ ‎19．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点A（﹣1，0），B（2，0），观察图象并回答下列问题：‎ ‎（1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是　x＝﹣1　；关于x的不等式kx+b＜0的解集是　x＞2　；‎ ‎（2）直接写出关于x的不等式组的解集；‎ ‎（3）若点C（1，3），求关于x的不等式k1x+b1＞kx+b的解集和△ABC的面积．‎ ‎【分析】（1）利用直线与x轴交点即为y＝0时，对应x的值，进而得出答案；‎ ‎（2）利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案；‎ ‎（3）利用三角形面积公式求得即可．‎ 解：（1）∵一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），‎ ‎∴关于x的方程k1x+b1＝0的解是x＝﹣1，关于x的不等式kx+b＜0的解集，为x＞2，‎ 故答案为x＝﹣1，x＞2；‎ ‎（2）根据图象可以得到关于x的不等式组的解集﹣1＜x＜2；‎ ‎（3）∵AB＝3，‎ ‎∴S△ABC＝•yC＝＝．‎ ‎20．如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F ‎，连接DE，DF．‎ ‎（1）试判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论；‎ ‎（2）若∠BAC＝60°，AE＝6，求四边形AEDF的面积；‎ ‎（3）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°证△AEO≌△AFO，推出EO＝FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF；‎ ‎（2）根据菱形的性质和菱形的面积公式即可得到结论；‎ ‎（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．‎ 解：（1）四边形AEDF是菱形，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ 又∵EF⊥AD，‎ ‎∴∠AOE＝∠AOF＝90°‎ ‎∵在△AEO和△AFO中 ‎∵，‎ ‎∴△AEO≌△AFO（ASA），‎ ‎∴EO＝FO，‎ ‎∵EF垂直平分AD，‎ ‎∴EF、AD相互平分，‎ ‎∴四边形AEDF是平行四边形 又EF⊥AD，‎ ‎∴平行四边形AEDF为菱形；‎ ‎（2）∵四边形AEDF为菱形，‎ ‎∴AE＝AF，‎ ‎∵∠BAC＝60°，‎ ‎∴△AEF是等边三角形，∠1＝30°，‎ ‎∴AO＝3，EF＝AE＝6，‎ ‎∴AD＝6，‎ ‎∴四边形AEDF的面积＝AD•EF＝6×6＝18；‎ ‎（3）在△ABC中，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；‎ ‎∵∠BAC＝90°，‎ ‎∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．‎ 四、填空题（每小题4分，共20分）‎ ‎21．232﹣1可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数是　15和17　．‎ ‎【分析】先对原式进行因式分解，然后即可求出这两个整数．‎ 解：原式＝（216+1）（216﹣1）‎ ‎＝（216+1）（28+1）（24+1）（24﹣1）‎ ‎＝（216+1）（28+1）×17×15．‎ 则这两个数是 15和17．‎ 故答案是：15和17．‎ ‎22．两个全等的直角三角尺如图所示放置在∠AOB的两边上，其中直角三角尺的短直角边分别与∠AOB的两边上，两个直角三角尺的长直角边交于点P，连接OP，且OM＝ON，若∠AOB＝60°，OM＝6cm，则线段OP＝　4　cm．‎ ‎【分析】由“HL”可证Rt△OMP≌Rt△ONP，可得∠MOP＝∠NOP＝30°，由直角三角形的性质可求解．‎ 解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM＝ON，OP＝OP，‎ ‎∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），‎ ‎∴∠MOP＝∠NOP，‎ ‎∵∠AOB＝60°，‎ ‎∴∠MOP＝∠NOP＝30°，‎ ‎∵∠OMP＝90°，‎ ‎∴OP＝2MP，OM＝MP＝6cm，‎ ‎∴MP＝2cm，‎ ‎∴OP＝4cm，‎ 故答案为：4．‎ ‎23．若关于x的分式方程+＝﹣1无解，则常数n的值是　1或．　．‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣3＝0，确定出x的值，代入整式方程计算即可求出n的值．‎ 解：两边都乘（x﹣3），得 ‎3﹣2x+nx﹣2＝﹣x+3，‎ 解得x＝，‎ n＝1时，整式方程无解，分式方程无解，‎ ‎∴当x＝3时分母为0，方程无解，‎ 即，‎ ‎∴时方程无解．‎ 故答案为：1或．‎ ‎24．如图，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，A（﹣2，0），B（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得到△OCD，直线AC、BD交于点E．点M为直线BD上的动点，点N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点M的坐标为　（2，2）或（6，﹣2）　．‎ ‎【分析】由A、B的坐标可求得AO和OB的长，由旋转的性质可求得OC、OD的长，从而可求得∠AEB＝90°，再由勾股定理可求得CD和AB的长，可求得AB＝CD，可证得△ABE≌△DCE，得到OD＝OB，由B、D坐标可求得直线BD解析式，当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，则可求得M点纵坐标，代入直线BD解析式可求得M点坐标，当M点在x轴下方时，同理可求得M点纵坐标，则可求得M点坐标．‎ 解：∵A（﹣2，0），B（0，4），‎ ‎∴OA＝2，OB＝4，‎ ‎∵将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，‎ ‎∴OC＝OA＝2，OD＝OB＝4，AB＝CD，‎ ‎∴∠ACO＝∠ECB＝∠CBE＝45°，‎ ‎∴∠CEB＝90°，‎ ‎∴∠AEB＝∠CED，且CE＝BE，‎ 在Rt△ABE和Rt△DCE中，‎ ‎∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），‎ ‎∴OD＝OB＝4，‎ ‎∴D（4，0），且B（0，4），‎ ‎∴直线BD解析式为y＝﹣x+4，‎ 当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，即CM∥x轴，‎ ‎∴M点到x轴的距离等于C点到x轴的距离，‎ ‎∴M点的纵坐标为2，‎ 在y＝﹣x+4中，令y＝2可得x＝2，‎ ‎∴M（2，2）；‎ 当M点在x轴下方时，同理可得M点的纵坐标为﹣2，‎ 在y＝﹣x+4中，令y＝﹣2可求得x＝6，‎ ‎∴M点的坐标为（6，﹣2）；‎ 综上可知M点的坐标为（2，2）或（6，﹣2），‎ 故答案为：（2，2）或（6，﹣2）．‎ ‎25．如图，已知边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别为AB，AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD于点M，N，给出下列结论：‎ ‎①△CEF是等边三角形；‎ ‎②∠DFC＝∠EGC；‎ ‎③若BE＝3，则BM＝MN＝DN；‎ ‎④EF2＝BE2+DF2；⑤△ECF面积的最小值为．其中所有正确结论的序号是　①②③⑤　．‎ ‎【分析】由“SAS”可证△BEC≌△AFC，可得CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，可证△EFC是等边三角形，由三角形内角和定理可证∠DFC＝∠EGC；由等边三角形的性质和菱形的性质可求MN＝DN＝BM＝2；由勾股定理即可求解EF2＝BE2+DF2不成立；由等边三角形的性质可得△ECF面积的EC2，则当EC⊥AB时，△ECF的最小值为．‎ 解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，‎ ‎∵AC＝BC，‎ ‎∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，‎ ‎∴△ABC，△ACD是等边三角形，‎ ‎∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAC＝60°，‎ ‎∵AC＝BC，∠ABC＝∠DAC，AF＝BE，‎ ‎∴△BEC≌△AFC（SAS）‎ ‎∴CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，‎ ‎∴∠ECF＝∠BCA＝60°，‎ ‎∴△EFC是等边三角形，‎ 故①正确；‎ ‎∵∠ECF＝∠ACD＝60°，‎ ‎∴∠ECG＝∠FCD，‎ ‎∵∠FEC＝∠ADC＝60°，‎ ‎∴∠DFC＝∠EGC，‎ 故②正确；‎ 若BE＝3，菱形ABCD的边长为6，‎ ‎∴点E为AB中点，点F为AD中点，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°，‎ ‎∴AO＝AB＝3，BO＝AO＝3，‎ ‎∴BD＝6，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，‎ ‎∴CE⊥AB，且∠ABO＝30°，‎ ‎∴BE＝EM＝3，BM＝2EM，‎ ‎∴BM＝2，‎ 同理可得DN＝2，‎ ‎∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝2，‎ ‎∴BM＝MN＝DN，‎ 故③正确；‎ ‎∵△BEC≌△AFC，‎ ‎∴AF＝BE，‎ 同理△ACE≌△DCF，‎ ‎∴AE＝DF，‎ ‎∵∠BAD≠90°，‎ ‎∴EF2＝AE2+AF2不成立，‎ ‎∴EF2＝BE2+DF2不成立，‎ 故④错误，‎ ‎∵△ECF是等边三角形，‎ ‎∴△ECF面积的EC2，‎ ‎∴当EC⊥AB时，△ECF面积有最小值，‎ 此时，EC＝3，△ECF面积的最小值为，‎ 故⑤正确；‎ 故答案为：①②③⑤．‎ 五、解答题（本大题共3小题，共30分．其中26题8分，27题10分，28题12分）‎ ‎26．2020年初，“新型冠状病毒”肆虐全国，武汉“封城”．大疫无情人有情，四川在做好疫情防控的同时，向湖北特别是武汉人们伸出了援手，医疗队伍千里驰援、社会各界捐款捐物．某运输公司现有甲、乙两种货车，要将234吨生活物资从成都运往武汉，已知2辆甲车和3辆乙车可运送114吨物资；3辆甲车和2辆乙车可运送106吨物资．‎ ‎（1）求每辆甲车和每辆乙车一次分别能装运多少吨生活物资？‎ ‎（2）从成都到武汉，已知甲车每辆燃油费2000元，乙车每辆燃油费2600元．在不超载的情况下公司安排甲、乙两种车共10辆将所有生活物资运到武汉，问公司有几种派车方案？哪种方案所用的燃油费最少？最低燃油费是多少？‎ ‎【分析】（1）设每辆甲车一次能装运x吨生活物资，每辆乙车一次能装运y吨生活物资，根据“2辆甲车和3辆乙车可运送114吨物资；3辆甲车和2辆乙车可运送106吨物资 ‎”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）设该公司安排m辆甲车，则安排（10﹣m）辆乙车，根据10辆车的总运载量不少于234吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各派车方案，设总燃油费为w元，根据总燃油费＝每辆车的燃油费×派车辆数，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．‎ 解：（1）设每辆甲车一次能装运x吨生活物资，每辆乙车一次能装运y吨生活物资，‎ 依题意，得：，‎ 解得：．‎ 答：每辆甲车一次能装运18吨生活物资，每辆乙车一次能装运26吨生活物资．‎ ‎（2）设该公司安排m辆甲车，则安排（10﹣m）辆乙车，‎ 依题意，得：18m+26（10﹣m）≥234，‎ 解得：m≤．‎ 又∵m为正整数，‎ ‎∴m可以为1，2，3，‎ ‎∴公司有3种派车方案，方案1：安排1辆甲车，9辆乙车；方案2：安排2辆甲车，8辆乙车；方案3：安排3辆甲车，7辆乙车．‎ 设总燃油费为w元，则w＝2000m+2600（10﹣m）＝﹣600m+26000，‎ ‎∵k＝﹣600，‎ ‎∴w随m的增大而减小，‎ ‎∴当m＝3时，w取得最小值，最小值＝﹣600×3+26000＝24200．‎ 答：公司有3种派车方案，安排3辆甲车，7辆乙车时，所用的燃油费最少，最低燃油费是24200．‎ ‎27．先阅读下面的内容，再解决问题：‎ 问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：‎ x2+2ax﹣3a2‎ ‎＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2‎ ‎＝（x+a）2﹣4a2‎ ‎＝（x+a）2﹣（2a）2‎ ‎＝（x+3a）（x﹣a）‎ 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：‎ ‎（1）分解因式：a2﹣8a+15＝　（a﹣3）（a﹣5）　；‎ ‎（2）若△ABC的三边长是a，b，c，且满足a2+b2﹣14a﹣8b+65＝0，c边的长为奇数，求△ABC的周长的最小值；‎ ‎（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．‎ ‎【分析】（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后分解因式；‎ ‎（2）根据题目中的式子，利用配方法可以求得a、b的值，根据三角形三边关系确定c的值，由三角形周长可得结论；‎ ‎（3）根据配方法即可求出答案．‎ 解：（1）a2﹣8a+15＝（a2﹣8a+16）﹣1＝（a﹣4）2﹣12＝（a﹣3）（a﹣5）；‎ 故答案为：（a﹣3）（a﹣5）；‎ ‎（2）∵a2+b2﹣14a﹣8b+65＝0，‎ ‎∴（a2﹣14a+49）+（b2﹣8b+16）＝0，‎ ‎∴（a﹣7）2+（b﹣4）2＝0，‎ ‎∴a﹣7＝0，b﹣4＝0，‎ 解得，a＝7，b＝4，‎ ‎∵△ABC的三边长是a，b，c，‎ ‎∴3＜c＜11，‎ 又∵c边的长为奇数，‎ ‎∴c＝5，7，9，‎ 当a＝7，b＝4，c＝5时，△ABC的周长最小，最小值是：7+4+5＝16；‎ ‎（3）﹣2x2﹣4x+3，‎ ‎＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3，‎ ‎＝﹣2（x+1）2+5，‎ ‎∴当x＝﹣1时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值，最大值是5．‎ ‎28．如图1，▱ABCD在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0）、B（0，4）、C（3，2），点G是对角线AC的中点，过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F，点P是直线EF上的动点．‎ ‎（1）求点D的坐标和S四边形BEFC的值；‎ ‎（2）如图2，当直线EF交x轴于点H（5，0），且S△PAC＝S四边形BEFC时，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图3，当直线EF交x轴于点K（3，0）时，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据平行线的性质可求点D的坐标，根据重心的定义可得S四边形BEFC＝S▱ABCD，从而求解；‎ ‎（2）分两种情况：①点P在AC左边，②点P在AC右边，进行讨论即可求解；‎ ‎（3）先作出图形，再根据矩形的性质即可求解．‎ 解：（1）∵▱ABCD在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，0）、B（0，4）、C（3，2），‎ ‎∴点D的坐标为（2，﹣2），‎ ‎∴S▱ABCD＝6×4﹣×1×4﹣×3×2﹣×1×4﹣×3×2＝14，‎ ‎∵点G是对角线AC的中点，‎ ‎∴S四边形BEFC＝S▱ABCD＝7；‎ ‎（2）∵点G是对角线AC的中点，‎ ‎∴G（1，1），‎ 设直线GH的解析式为y＝kx+b，则 ‎，‎ 解得，‎ ‎∴直线GH的解析式为y＝﹣x+；‎ ‎①点P在AC右边，‎ S△ACH＝×6×2＝6，‎ ‎∵S△PAC＝S四边形BEFC，‎ ‎1+4×＝，‎ 当x＝时，y＝﹣×+＝﹣；‎ ‎∴P（，﹣）；‎ ‎②点P在AC左边，‎ 由中点坐标公式可得P（﹣，）．‎ 综上所述，点P的坐标为（，﹣）或（﹣，）；‎ ‎（3）如图，设直线GK的解析式为y＝kx+b，则 ‎，‎ 解得．‎ 则直线GK的解析式为y＝﹣x+；‎ CP⊥AP时，点P的坐标为（3，0）或（﹣1，2）；‎ CP⊥AC时，‎ 直线AC的解析式为y＝x+‎ 直线CP的解析式为y＝﹣2x+8‎ 故点P的坐标为（，﹣）；‎ AP⊥AC时，‎ 同理可得点P的坐标为（﹣，）．‎ 综上所述，点P的坐标为（3，0）或（﹣1，2）或（，﹣）或（﹣，）．‎