2020-2021学年初二数学上册单元测试卷：勾股定理

2020-2021学年初二数学上册单元测试卷：勾股定理

2020-2021 学年初二数学上册单元测试卷：勾股定理 本试卷三个大题共 22 个小题，全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟。 题号 一 二 三 全卷总分 总分人 17 18 19 20 21 22 得分 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分.以下每小题都给出了 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A C B A B B A C B C C 1、用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步应先假设命题不成立， 则下列各备选项中，第一步假设正确的是（ A ） A、假设四边形中没有一个角是钝角或直角 B、假设四边形中有一个角是钝角或直角 C、假设四边形中每一个角均为钝角 D、假设四边形中每一个角均为直角 2、如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形 M 和 N，它们的面积分别为 29 cm 和 225 cm ，则直角三角形的面积为（ A ） A、 26 cm B、 212 cm C、 224 cm D、 23cm 3、如图，在 ABCRt  中， = 90ACB ， 4=AC ， 3=BC ， ABCD ⊥ 于 D，则 CD 的长是（ C ） A、5 B、7 C、 5 12 D、 5 24 4、在直角三角形中，若两条直角边的长分别是 1cm、2cm，则斜边的长为（ B ）cm A、3 B、 5 C、2 或 5 D、 3 或 5、已知 中， = 90C ，若 cmba 10=+ ， cmc 8= ，则 的面积为（ A ） A、 29cm B、 218cm C、 224cm D、 236cm 6、若直角三角形的一条直角边和斜边的比为 1：2，另一条直角边长为 33 ，则直角三角形 的斜边长为（ B ） A、3 B、6 C、 36 D、 26 M N 第 2 题图 D C A B 第 3 题图 3 1 E B C D A 第 7 题图 7、如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，若 1=EB ， 3=EC ，那么正方形 ABCD 的面积 （ B ） A、 22 B、8 C、 10 D、10 8、如图，每个小正方形的边长为 1，四边形的顶点 A，B，C，D 都在格点上，则下面 4 条线 段长度为 10 的是（ A ） A、AB B、BC C、CD D、AD 9、已知 ABC 的三边分别为 a、b、c，下列条件中，不能判定 为直角三角形的是（ C ） A、 CBA += B、 2:1:1:: =cba C、 5:4:3:: = CBA D、 222 cab += 10、如图，D 为 的边 BC 上一点，已知 13=AB ， 12=AD ， 15=AC ， 5=BD ，则 BC 的长为（ B ） A、13 B、14 C、15 D、16 11、如图，正方体的棱长为 4cm，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点。 一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点 A 爬到点 B 的最短路径是（ C ） A、9 B、 623 + C、 102 D、12 12、《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体 系、“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几 何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 4 尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1 丈＝10 尺）（ C ） A、3 B、5 C、4.2 D、4 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 13、如图，已知 = 90C ， 12=AB ， 3=BC ， 4=CD ， 13=AD ，则 ________=ABD ； 第 12 题图 D B C A 第 13 题图 第 14 题图 D 第 8 题图 B C A D 第 10 题图 B C A 第 11 题图 B A 【答案】90° 14、如图，一根长 20cm 的吸管置于底面直径为 9cm，高为 12cm 的圆柱形水杯中，吸管露在 杯子外面的长度最短是 cm； 【答案】5 15、若三角形的三边长满足关系式 ( ) 0618|8| 2 =−+−++− cbaa ，则这个三角形是 三角形；（填“锐角”或“直角”或“钝角”） 【答案】直角 16、已知 CD 是 ABC 的边 AB 上的高，若 5=CD ， 2=AD ， ACAB = ，则 BC 的长为 . 【答案】 6 或 30 三、解答题（本大题 6 个小题，共 56 分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。） 17、（本小题满分 8 分）如图，在 ABC 中， ABCD ⊥ 于点 D， 6=BC ， 8=AC ， 10=AB ， 求 CD 的长。 【分析】根据勾股定理的逆定理求出 = 90ACB ，根据三角形的面积公式求出即可。 【解答】解：∵在 中， ， ， ∴ 222 ABACBC =+ ∴ = 90ACB ∵由三角形的面积公式得： CDABBCAC = ∴ CD= 1086 解得： 8.4=CD 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能熟记勾股定理的逆定理的内容是 解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边 a、b、c 满足 222 cba =+ ，那么这个三角形是直角 三角形。 18、（本小题满分 8 分）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，其中 ACAB = ，由于某种原因，由 C 到 A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定 在河边新建一个取水点 H（A、H、B 在同一条直线上），并新修一条路 CH，测得 5.1=CB 千米， 2.1=CH 千米， 9.0=HB 千米。 （1）问 CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求新路 CH 比原路 CA 少多少千米？ 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可。 【解答】解：（1）是 理由是：在 CHB 中， ∵ 25.29.02.1 2222 =+=+ BHCH ， 25.22 =BC ∴ 222 BCBHCH =+ ∴ ABCH ⊥ 所以 CH 是从村庄 C 到河边的最近路； （2）设 xAC = 千米 在 ACHRt 中，由已知得 xAC = ， 9.0−= xAH ， 2.1=CH 由勾股定理得： 222 CHAHAC += D B C A B H C A ∴ ( ) 222 2.19.0 +−= xx 解这个方程，得 25.1=x 05.02.125.1 =− （千米） 答：新路 CH 比原路 CA 少 0.05 千米。 【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答。 19、（本小题满分 10 分）已知 a，b，c 满足 ( ) 01858 2 =−+−+− cba . （1）求 a，b，c 的值；并求出以 a，b，c 为三边的三角形周长； （2）试问以 a，b，c 为边能否构成直角三角形？请说明理由。 【分析】（1）由非数的性质可分别求得 a、b、c 的值，进而解答即可； （2）利用勾股定理的逆定理可进行判断即可、 【解答】解：（1）∵ ∴ 08 =−a ， 05 =−b ， 018 =−c ∴ 22=a ， 5=b ， 23=c ∴以 a，b，c 为三边的三角形周长 25552322 +=++= （2）不能构成直角三角形， ∵ 2618822 =+=+ ca ， 252 =b ∴ 222 bca + ∴不能构成直角三角形 【点评】本题主要考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得 a、b、c 的值是解题的关键。 20、（本小题满分 8 分）法国数学家费尔马早在 17 世纪就研究过形如 222 zyx =+ 的关系式， 显然，满足这个关系式的 x，y，x 有无数组、当 x，y，x 都为正整数时，我们把这样的三个数 x， y，z 叫做勾股数。如，3，4，5 就是一组勾股数。 （1）请你再写出两组勾股数： ， ； （2）古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果 n 表示大于 1 的整数， nx 2= ， 12 −= ny ， 12 += nz ， 那么，x，y，z 为勾股数，请你加以证明。 【分析】（1）利用勾股数定义解答即可；（2）利用勾股定理逆定理进行证明即可。 【解答】解：（1）两组勾股数：6，8，10；9，12，15； 故答案为：6，8，10；9，12，15； （2）证明： ( ) ( )22222 12 −+=+ nnyx ( )2224242 112124 +=++=+−+= nnnnnn ∴x，y，z 为勾股数、 【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足 222 cba =+ 的三个正整数，称为勾股数。 21、（本小题满分 10 分）阅读下列内容：设 a，b，c 是一个三角形的三条边的长，且 a 是最 长边，我们可以利用 a，b，c 三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若 222 cba += ， 则该三角形是直角三角形；②若 222 cba + ，则该三角形是钝角三角形；③若 222 cba + ，则 该三角形是锐角三角形、例如：若一个三角形的三边长分别是 4，5，6，则最长边是 6， 222 54366 += ，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是 7，8，9，则该三角形是 三角形； （2）若一个三角形的三边长分别是 5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求 x 的值。 【分析】（1）先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，再得出答案即可；（2）分为两 种情况，12 为最长边或 x 为最长边，根据勾股定理求出即可。 【解答】解：（1）∵ 11387 22 =+ ， 819 2 = ∴ 222 879 + ∴该三角形是锐角三角形 故答案为：锐角； （2）当最长边是 12 时， 119512 22 =−=x 当最长边是 x 时， 13512 22 =+=x 即 13=x 或 119 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关 键。 22、（本小题满分 12 分）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们 直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角 形较大的直角边长都为 a，较小的直角边长都为 b，斜边长都为 c），大正方形的面积可以表示为 2c ， 也可以表示为 ( )2 2 14 baab −+ ，所以 ( ) 22 2 14 cbaab =−+ ，即 222 cba =+ .由此推导出重要的 勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，则 222 cba =+ .图②为美国第二 十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理。 （2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形 ABC 的两直角边长为 3 和 4，则斜边上的 高为 ； （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释( ) 222 442 bababa +−=− ，画在上面的网格中， 并标出字母 a，b 所表示的线段。 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两 次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高； （3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形。 图 ② b D B a c C A b a c 图 ① 【解答】解：（1）梯形 ABCD 的面积为 ( )( ) 22 2 1 2 1 2 1 babababa ++=++ 也利用表示为 abcab 2 1 2 1 2 1 2 ++ ∴ abcabbaba 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 222 ++=++ 即 222 cba =+ （2）∵直角三角形的两直角边分别为 3，4， ∴斜边为 5 ∵设斜边上的高为 h，直角三角形的面积为 h= 52 1432 1 ∴ 5 12=h 故答案为 5 12 （3）∵图形面积为： ( ) 222 442 bababa +−=− ∴边长为 ba 2− 由此可画出的图形为： 【点评】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形 的创新题型，此类证明要转化成同一个物体的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果。 a a b b b b