2020八年级数学上册第13章全等三角形13

2020八年级数学上册第13章全等三角形13

‎ [13.3　1.等腰三角形的性质]‎ ‎,　　‎ 一、选择题 ‎1．等腰三角形有一个角是120°，则另两个角分别是(　　)‎ A．60°，60° B．30°，30°‎ C．30°，120° D．20°，120°‎ ‎2．2017·重庆九龙坡七校期末联考一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为(　　)‎ A．17 B．15‎ C．13 D．13或17‎ ‎3．2016·呼伦贝尔如图K－29－1，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC.若∠1＝70°，则∠BAC的大小为(　　)‎ A．40° B．30° C．70° D．50°‎ 图K－29－1‎ ‎4.如图K－29－2，AB∥CD，点E在BC上，CD＝CE.若∠ABC＝34°，则∠BED的度数是(　　)‎ ‎　　　　‎ 图K－29－2‎ A．104° B．107° C．116° D．124°‎ ‎5．如图K－29－3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为(　　)‎ 12‎ A．36° B．60° C．72° D．108°‎ 图K－29－3‎ ‎6．如图K－29－4，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE＝DC，∠C＝80°，则∠A的度数为(　　)‎ ‎　　　‎ 图K－29－4‎ A．80° B．90° C．100° D．110°‎ ‎7．若等腰三角形的一个内角等于88°，则另两个内角的度数分别为(　　)‎ A．88°，4° B．46°，46°或88°，4°‎ C．46°，46° D．88°，24°‎ 图K－29－5‎ ‎8．如图K－29－5，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为(　　)‎ A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°‎ 二、填空题 ‎9．如图K－29－6，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝________．‎ ‎10．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其周长为‎16 cm，则AB边的取值范围是________．‎ 12‎ 图K－29－6‎ ‎11．如图K－29－7，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________°. ‎　　　‎ 图K－29－7‎ 三、解答题 ‎12．2017·北京如图K－29－8，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.‎ 求证：AD＝BC.‎ 图K－29－8‎ ‎13．如图K－29－9，已知△ABC中，AB＝BD＝DC，∠ABC＝105°，求∠A，∠C的度数．‎ 图K－29－9‎ 12‎ ‎14．如图K－29－10，△ABC和△ADE都是等边三角形，AD是BC边上的中线．‎ 求证：BE＝BD. 图K－29－10‎ ‎15．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12和18的两部分，求三角形的三边长．‎ 12‎ ‎16．如图K－29－11，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，求∠α的度数．‎ 图K－29－11‎ ‎17．如图K－29－12，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连结AE.‎ 求证：AE∥BC.‎ 图K－29－12‎ ‎18．小明做了一个如图K－29－13所示的“风筝”骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.‎ ‎(1)八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，她认为AC⊥BD，垂足为E，并且BE＝ED，你同意王云的判断吗？为什么？‎ ‎(2)设AC＝a，BD＝b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积. 12‎ 图K－29－13‎ ‎　　　　　　　　　‎ 规律探究2016·六盘水如图K－29－14，已知AB＝A1B，A1B1＝A‎1A2，A2B2＝A‎2A3，A3B3＝A‎3A4，….若∠A＝70°，则∠An－1AnBn－1的度数为(　　)‎ 图K－29－14‎ A. B. C. D. 12‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．B ‎2．[解析] A　等腰三角形的两边长分别是3和7，有两种情况：①三边长为3，3，7，这种情况的三边不能构成三角形；②三角形的三边长为7，7，3，此时三角形的周长为17.‎ ‎3．[解析] A　∵AD∥BC，‎ ‎∴∠C＝∠1＝70°.‎ ‎∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，‎ ‎∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝40°.故选A.‎ ‎4．B ‎5．[解析] C　∵AB＝AC，∠A＝36°，‎ ‎∴∠ABC＝∠C＝72°.‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD＝36°，‎ ‎∴∠1＝∠A＋∠ABD＝72°.‎ 故选C.‎ ‎6．C ‎7．B ‎8．[解析] D　∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，‎ ‎∴∠A＝∠CDA＝50°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED.‎ ‎∵∠B＋∠DCB＝∠CDA＝50°，‎ ‎∴∠B＝25°.‎ ‎∵∠B＋∠BDE＋∠BED＝180°，‎ 12‎ ‎∴∠BDE＝∠BED＝×(180°－25°)＝77.5°，‎ ‎∴∠CDE＝180°－∠CDA－∠BDE＝180°－50°－77.5°＝52.5°.‎ 故选D.‎ ‎9．[答案] 15°‎ ‎[解析] 因为AB＝AC，‎ 所以∠ABC＝∠C.‎ 因为∠A＝30°，‎ 所以∠C＝75°.‎ 又因为BD⊥AC，‎ 所以∠CBD＝90°－75°＝15°.‎ ‎10．‎4 cm＜AB＜‎‎8 cm ‎11．[答案] 15‎ ‎[解析] ∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠ACB＝60°.‎ ‎∵CG＝CD，∠ACD＝120°，‎ ‎∴∠CDG＝30°.‎ ‎∵DF＝DE，∴∠E＝15°.‎ ‎12．证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，‎ ‎∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠A)＝×(180°－36°)＝72°.‎ 又∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝×72°＝36°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°，‎ ‎∴∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，‎ ‎∴AD＝BD＝BC.‎ 12‎ ‎13．解：∵AB＝BD，‎ ‎∴∠BDA＝∠A.‎ ‎∵BD＝DC，‎ ‎∴∠C＝∠CBD.‎ 设∠C＝∠CBD＝x，‎ 则∠BDA＝∠A＝2x，‎ ‎∴∠ABD＝180°－4x，‎ ‎∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝180°－4x＋x＝105°，‎ 解得x＝25°，‎ ‎∴2x＝50°，‎ 即∠A＝50°，∠C＝25°.‎ ‎14．证明：∵△ABC和△ADE均是等边三角形，‎ ‎∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝60°.‎ ‎∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，‎ ‎∴∠BAE＝∠BAD＝30°.‎ 在△ABE和△ABD中，‎ ‎∵AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，AB＝AB，‎ ‎∴△ABE≌△ABD(S.A.S.)，‎ ‎∴BE＝BD.‎ ‎15．解：根据题意画出图形，如图．‎ 12‎ 设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y.‎ ‎∵BD是腰上的中线，‎ ‎∴AD＝DC＝x.‎ 若AB＋AD的长为12，则2x＋x＝12，‎ 解得x＝4，‎ 则x＋y＝18，即4＋y＝18，‎ 解得y＝14，‎ ‎∴等腰三角形的腰长为8，底边长为14.‎ 若AB＋AD的长为18，则2x＋x＝18，‎ 解得x＝6，‎ 则x＋y＝12，即6＋y＝12，‎ 解得y＝6，‎ ‎∴等腰三角形的腰长为12，底边长为6.‎ 综上所述，三角形的三边长分别为8，8，14或12，12，6.‎ ‎16．[解析] 根据等腰三角形的性质求出∠C＝∠B，‎ 根据三角形外角的性质求出∠B＝∠C＝∠AED＋∠α－30°，‎ 根据∠AED＝∠ADE＝∠C＋∠α，‎ 得出等式∠AED＝∠AED＋∠α－30°＋∠α，‎ 求出∠α即可．‎ 解：∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠C.‎ ‎∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠B＋30°＝∠AED＋∠α，‎ ‎∴∠B＝∠C＝∠AED＋∠α－30°.‎ ‎∵AE＝AD，‎ ‎∴∠AED＝∠ADE＝∠C＋∠α，‎ 12‎ 即∠AED＝∠AED＋∠α－30°＋∠α，‎ ‎∴2∠α＝30°，‎ ‎∴∠α＝15°.‎ ‎17．[导学号：90702269]‎ 证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，‎ ‎∴∠BCA＝∠DCE＝60°，‎ ‎∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，‎ 即∠BCD＝∠ACE.‎ 在△DBC和△EAC中，‎ ‎∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，‎ ‎∴△DBC≌△EAC，‎ ‎∴∠DBC＝∠EAC.‎ 又∵∠DBC＝∠ACB＝60°，‎ ‎∴∠ACB＝∠EAC，‎ ‎∴AE∥BC.‎ ‎18．[解析] (1)根据“S.S.S.”证△ABC≌△ADC，推出∠BAC＝∠DAC，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可推出AC⊥BD；(2)四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△CBD＝BD·AC，代入求出即可．‎ 解：(1)同意．理由如下：‎ 在△ABC和△ADC中，‎ ‎∵AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，‎ ‎∴△ABC≌△ADC(S.S.S.)，‎ ‎∴∠BAC＝∠DAC.‎ ‎∵AB＝AD，‎ ‎∴AC⊥BD，BE＝DE(等腰三角形的“三线合一”)．‎ ‎(2)∵AC＝a，BD＝b，‎ 12‎ ‎∴四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△CBD＝BD·AE＋BD·CE＝BD·(AE＋CE)＝BD·AC＝ab.‎ ‎[素养提升]‎ C　[解析] ∵在△ABA1中，∠A＝70°，AB＝A1B，‎ ‎∴∠BA‎1A＝70°.‎ ‎∵A‎1A2＝A1B1，∠BA‎1A是△A‎1A2B1的外角，‎ ‎∴∠B‎1A2A1＝＝35°＝.‎ 同理可得∠B‎2A3A2＝17.5°＝，∠B‎3A4A3＝8.75°＝，‎ ‎∴∠An－1AnBn－1＝.‎ 故选C.‎ 12‎