湘教版八年级数学上册全册精品教案（共216页）

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第1章 分式 ‎1.1 分式 第1课时 分式的概念 ‎【知识与技能】‎ ‎1.了解分式的概念，明确分式和整式的区别.‎ ‎2.使学生能够求出分式有意义的条件.‎ ‎【过程与方法】‎ 让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型.‎ ‎【情感态度】‎ 培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.‎ ‎【教学重点】‎ 理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.‎ ‎【教学难点】‎ 能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎ 下列式子中哪些是整式？‎ ‎【教学说明】因为分式概念的学习是学生通过观察，比较分式与整式的区别从而获得的，所以必须熟练掌握整式的概念．‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.思考：‎ ‎（1）某长方形画的面积为Sm2，长为8m，则它的宽为____m.‎ ‎（2）某长方形画的面积为Sm2，长为xm，则它的宽为____m.‎ 216‎ ‎（3）如果两块面积为x公顷，y公顷的稻田，分别产稻谷akg,bkg,那么这两块稻田平均每公顷产稻谷_____kg.‎ ‎【教学说明】要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，根据学生的情况，教师可以给予适当的提示和引导.‎ ‎2.讨论内容：前面出现的代数式如下，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？‎ ‎【教学说明】让学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同，从而得出分式的概念．‎ ‎【归纳结论】 一般地，一个整式f除以一个非零整式g（g中含有字母）所得的商记作,那么代数式叫做分式．‎ ‎3.当x取什么值时，分式的值满足下列条件：（1）不存在;（2）等于0.‎ 解：（1）当分母2x-3=0时，即x=时，分子的值为－2≠0，因此x=时，分式的值不存在.‎ ‎（2）当x -2=0，即x=2时，分式的值等于0.‎ ‎【教学说明】让学生通过观察，归纳、总结出整式与分式的异同，从而得到分式的概念.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎ ‎1.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？‎ 解：（2）、（4）是整式，（1）、（3）是分式．‎ ‎2.若分式有意义，则x的取值范围是（ ）‎ A.x≠3 B.x≠-3 C.x＞3 D.x＞-3‎ 解：当分母x-3≠0，即x≠3时，分式有意义，故选A.‎ ‎3.x取什么值时，下列分式无意义？‎ 解：（1）因为当分母的值为零时，分式没有意义．‎ 216‎ ‎ 由2x-3=0，得x =, 所以当x=时，分式无意义．‎ ‎（2）因为当分母的值为零时，分式没有意义．‎ ‎ 由5x+10=0，得x=-2,所以当x=-2 时， 分式无意义．‎ ‎4.若分式的值为零，则x的值为 1 .　‎ ‎【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题.‎ 解：要使的值为0，则|x|-1=0，即x=±1，且x+1≠0，即x≠-1．故x=1．‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题1.1”中第1、2题.‎ 在学习分式的概念时，借助整式的概念，用类比的思想进行教学，学生掌握的较好，能够紧抓概念，很容易的区分整式与分式.而在分式的值等于0的教学中，一部分学生都只考虑分式的分子等于0，而没有考虑分式的分母.因此，在后面的教学中对这方面的教学有待加强.‎ 第2课时 分式的基本性质和约分 ‎【知识与技能】‎ 使学生理解并掌握分式的基本性质，并能运用这些性质进行分式约分.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.‎ ‎【教学重点】‎ 掌握分式的基本性质.‎ 216‎ ‎【教学难点】‎ 运用分式的基本性质来化简分式.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.分数的基本性质是什么？‎ ‎2.的依据是什么？‎ ‎【教学说明】通过分数的约分，复习分数的基本性质，通过类比来学习分式的基本性质．‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.填空，并说一说下列等式从左到右变形的依据是什么？‎ ‎2.思考：与分式相等吗？分式与分式相等吗？‎ ‎【归纳结论】分式的分子与分母同乘以或除以一个非零整式，所得分式与原分式相等.即：（h≠0）．‎ ‎【教学说明】通过对分数的基本性质的理解，可类比得出分式的基本性质，但学生只想到分式的分子分母同时乘以或除以一个数，不容易想到整式，另外这个整式不能为零，老师要引导学生想到这一点．‎ ‎3.想一想：下列等式成立吗？为什么？‎ ‎ 【教学说明】先让学生讨论，待学生回答后，教师引导学生得出结论：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.‎ ‎4.根据分式的基本性质填空：‎ 216‎ ‎【教学说明】有的学生在应用分式的基本性质时往往分式的分子与分母没有同时乘以或除以同一个公因式，有的学生不能正确找到分子、分母的公因式，导致约分的错误和不彻底，所以教师适当引导.‎ ‎【归纳结论】把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分.‎ 分子和分母没有公因式的分式叫作最简分式．‎ 三、运用新知，深化理解 216‎ ‎【教学说明】在教学中让学生将约分的步骤分为这样几步，首先找出分子和分母公因式并提取，再将分式的分子和分母同时除以公因式，最后看看结果是否为最简分式或整式.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题1.1”中第5、6题.‎ 学生对分式的基本性质，能说能背.从表面上来看，掌握的比较好.但从练习中可以发现很多问题.如：不会找分式的分子、分母的公因式；分子、分母不同时乘或除；约分不彻底等.所以在这些方面要多练习.‎ 216‎ ‎1.2分式的乘法和除法 第1课时 分式的乘除法 ‎【知识与技能】‎ 理解分式的乘、除运算法则，会进行简单的分式的乘、除法运算.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探索分式的乘、除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性.‎ ‎【情感态度】‎ 通过师生讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力.‎ ‎【教学重点】‎ 掌握分式的乘、除法运算法则.‎ ‎【教学难点】‎ 熟练地运用乘除法法则进行计算，提高运算能力.‎ 一、情景导入，初步认知 计算，并说出分数的乘除法的运算法则：‎ ‎【教学说明】复习小学学过的分数的乘除法运算，为学习分式乘除法的法则做准备.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎ 1.探究：分式的乘除法法则 ‎ ‎ 你能总结分式乘除法的运算法则吗？与同伴交流.‎ 216‎ ‎【归纳结论】分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.即：‎ ‎【教学说明】让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的运算法则.‎ ‎【教学说明】学生独立完成，教师点评.‎ ‎3.计算：‎ ‎【教学说明】如果分子、分母含有多项式因式，应先分解因式，然后按法则计算.‎ 三、运用新知，深化理解 216‎ ‎3.先化简，再求值：,其中a=-8,b=．‎ 解：当a=-8,b=时，‎ ‎4.甲队在n天内挖水渠a米，乙队在m天内挖水渠b米，如果两队同时挖水渠，要挖x米，需要多少天才能完成？（用代数式表示）‎ 216‎ ‎【教学说明】需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题1.2”中第1、4、5 题.‎ 在练习中暴露出一些问题，例如我在传授过程中急于求成，法则的引入没有给学生过多的时间，如果时间足够，学生自己得出法则并不是一件难事.在解决习题时，对学生容易出现的错误没有重点强调，所以学生在后面的练习中仍然出现这样那样的错误.学生答题的规范性还差了些，在黑板上的板书不到位，在以后的教学中应加强学生答题的规范性练习.‎ 第2课时 分式的乘方 ‎【知识与技能】‎ ‎1.使学生牢记分式乘方的运算法则，并能根据此法则进行熟练无误的运算.‎ ‎2.学生能够熟练进行简单的分式乘除与乘方的混合运算.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历分式乘方法则的探究过程，采用自主探索与合作交流的方式,亲历“做数学”的过程，培养探究数学问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性，对数学产生强烈的好奇心和求知欲.‎ ‎【教学重点】‎ 216‎ 准确熟练地进行分式的乘方运算.‎ ‎【教学难点】‎ 准确熟练地进行简单的分式乘除与乘方的混合运算.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.分式乘除法则是什么？‎ ‎2.什么叫最简分式？‎ ‎3.分数的乘方法则是什么？让学生举例.‎ ‎【教学说明】复习旧知，为本节新知打基础.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.计算：‎ 由乘方的意义和分数乘法的法则，可得 根据上面的规律，请总结分式乘方的运算法则.‎ ‎【归纳结论】分式的乘方就是把分子、分母各自乘方.即：‎ ‎【教学说明】通过类比分数的乘方运算方法，总结出分式的乘方运算法则.‎ ‎2.做一做：取一条长度为1个单位的线段AB，如图:‎ 第一步：把线段AB三等分，以中间一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，就得到了由___条长度相等的线段组成的折线，每一段等于_____,总长度等于_____.‎ 216‎ 第二步：把上述折线中的每一条重复第一步的做法，得到______.‎ 继续下去.情况怎么样呢？‎ ‎（1）把结果填入下表：‎ ‎（2）进行到第n步时得到的线段总长度是多少呢？‎ ‎【教学说明】引导学生寻找并总结规律.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P10例3、例4.‎ 216‎ ‎6.计算：‎ ‎【教学说明】培养运用新知识解决问题的能力.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题1.2”中第2 题.‎ 216‎ 在分式的乘方运算这一课的教学中，我采用了类比的方法，让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，提示学生分式的乘方法则与分数的乘方法法则类似，要求他们用语言描述分式的乘方法则．学生反应较好，能基本上完整地讲出分式的乘方法则．‎ ‎ 本节课存在的不足：学生主动性还不够强，教师对学生自学能力估计不足，舍不得放手， 抑制部分学生的思维发展．‎ ‎1.3整数指数幂 ‎1.3.1同底数幂的除法 ‎【知识与技能】‎ 了解同底数幂的除法的运算性质，并能解决一些实际问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.‎ ‎【情感态度】‎ 发展推理能力和有条理的表达能力.‎ ‎【教学重点】‎ 同底数幂的除法法则以及利用该法则进行计算.‎ ‎【教学难点】‎ 同底数幂的除法法则的应用.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎【教学说明】复习分式的约分，为本节课的学习作铺垫.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.计算机硬盘的容量最小单位为字节(B)，千字节记作（KB），兆字节（MB），吉字节（GB）它们的换算单位如下：‎ 216‎ ‎1GB=210MB=1024MB;‎ ‎1MB=210KB;‎ ‎1KB=210B .‎ 一张普通的CD光盘的存储容量约为640MB，请问一个320GB的移动硬盘的存储容量相当于多少张光盘容量？‎ 因为320GB=320×210MB 因此一个320GB的移动硬盘的存储容量相当于512张光盘容量.‎ ‎2、如果把数字改为字母:一般地，设a≠0,m,n是正整数，且m>n,则等于多少？这是什么运算呢？‎ 通过上面的计算，归纳同底数幂除法的法则.‎ ‎【归纳结论】同底数幂相除，底数不变，指数相减.即：‎ ‎【教学说明】让学生从有理数的运算出发，由特殊逐渐过渡到一般，得到同底数幂的运算法则，再运用幂的意义加以说明.在此过程中，发展学生类比、归纳、符号演算、推理能力和有条理的表达能力.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P15例1、例2.‎ ‎4.已知ax=2,ay=3,求a3x-2y的值.‎ 216‎ ‎5.计算：‎ ‎6.计算机硬盘的容量单位KB，MB,GB的换算关系，近视地表示成：‎ ‎1KB≈1000B，1MB≈1000KB,1GB≈1000MB ‎(1)硬盘总容量为40GB的计算机，大约能容纳多少字节？‎ ‎(2)1个汉字占2个字节，一本10万字的书占多少字节？‎ ‎(3)硬盘总容量为40GB的计算机，能容纳多少本10万字的书？‎ 一本10万字的书约高1cm,如果把（3）小题中的书一本一本往上放，能堆多高？‎ 解：略.‎ ‎【教学说明】让学生通过上述题的训练，以达到巩固提高的效果.‎ 五、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题1.3”中第1 题.‎ 在同底数幂的除法这节教学活动中，通过让学生从特殊到一般，从生活到课堂，从未知到已知，一步步的探索，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步的发展，同时，也加深了我对新教材的理解，从而更好地完善新的教学模式.‎ ‎1.3.2 零次幂和负整数指数幂 ‎【知识与技能】‎ ‎1.通过探索掌握零次幂和负整数指数幂的意义. ‎ ‎2.会熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算. ‎ 216‎ ‎3.会用科学记数法表示绝对值较少的数.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过探索，让学生体会到从特殊到一般是研究数学的一个重要方法.‎ ‎【情感态度】‎ 通过探索，让学生体会到从特殊到一般是研究数学的一个重要方法.‎ ‎【教学重点】‎ 零次幂和负整数指数幂的公式推导和应用，科学记数法表示绝对值较小的数.‎ ‎【教学难点】‎ 零次幂和负整数指数幂的理解.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.同底数的幂相除的法则是什么？用式子怎样表示？用语言怎样叙述？‎ am÷an=(a≠0,m、n是正整数，且m>n)‎ ‎2.这个公式中，要求m>n,如果m=n,mn）‎ ‎（5） （b≠0，n是正整数）‎ 这些公式中的m、n都要求是正整数，能否是所有的整数呢？这5个公式中有没有内在联系呢？这节课我们来探究这些问题.‎ ‎【教学说明】复习正整数指数幂的运算法则，为本节课的教学作准备.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.幂的指数从正整数推广到了整数.可以说明：当a≠0、b≠0时，正整数指数幂的上述运算法则对于整数指数幂也成立，即：‎ ‎（1）am·an=（a≠0，m、n都是正整数）‎ ‎（2）（a≠0，m、n都是正整数）‎ ‎（3）（a≠0，n是整数）‎ ‎ 2.思考：‎ ‎（1）同底数幂的除法法则可以转换成什么运算法则？‎ ‎（2）分式的乘方法则可以转换成什么运算法则？‎ ‎【归纳结论】幂的除法运算可以利用幂的乘法进行计算，分式的乘方运算可以利用积的乘方进行运算.‎ ‎【教学说明】鼓励学生相互交流讨论.‎ 三、运用新知，深化理解 216‎ ‎1.教材P20例7、例8.‎ ‎3.计算：‎ ‎5.计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式：‎ 216‎ ‎6.当x=,y=8时，求式子的值.‎ 解：=-2x3‎ 当x=14,y=8时，上式=-16.‎ ‎7.计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式.‎ ‎【分析】正整数指数幂的相关运算对负整数指数幂和零指数幂同样适用.对于第（2）题，在运算过程中要把(x+y)、(x-y)看成一个整体进行运算.‎ ‎【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容.‎ 四、师生互动，课堂小结 216‎ 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.作以补充.‎ 布置作业:教材“习题1.3”中第6、7 题.‎ 课堂的有效性是当下教学的瞩目点，一堂高效的课，不仅仅是要让学生获得知识与技能，更多的是学习动机被唤醒、学习习惯的养成和思维方式的提升.‎ 本节课不足之处是学生容易把原有的5条性质混淆，导致指数幂范围扩大，就更混了，单独做做还可以过关，一旦混合运算，就基本上搞不清楚是哪一条了.总之，课堂还是要放手让给学生.‎ ‎1.4分式的加法和减法 第1课时 同分母分式的加减 ‎【知识与技能】‎ 理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算.‎ ‎【过程与方法】‎ 类比同分母分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则.‎ ‎【情感态度】‎ 通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想.‎ ‎【教学重点】‎ 同分母的分式加减法的运算.‎ ‎【教学难点】‎ 同分母的分式加减法的运算.‎ 一、情景导入，初步认知 做一做：‎ 216‎ ‎【教学说明】通过“做一做”的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性.从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.你能根据分数的加减法运算法则，总结出当分母相同时，分式的加减法运算法则吗？‎ ‎【归纳结论】同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．‎ ‎【教学说明】类比时注意引导学生正确猜想，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P23例1、P24例2.‎ 计算：‎ 216‎ ‎4.计算：‎ ‎【教学说明】通过演练巩固，让学生对同分母分式的加减法有更好的认识与掌握.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题1.4”中第1题.‎ 本节课的关键是法则的探究，重点是法则的应用.易错点是分母互为相反数，要化为同分母.在这个过程中要注意变号，学生先独立自学，完成不了的再小组内讨论交流.充分发挥学生自主、合作的意识.‎ 第2课时 通分、最简公分母的概念 216‎ ‎【知识与技能】‎ 会找最简公分母，能进行分式的通分.‎ ‎【过程与方法】‎ 认真阅读课本，比照分数通分的方法，类比归纳分式通分的方法.‎ ‎【情感态度】‎ 通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富教学情感与思想.‎ ‎【教学重点】‎ 分式的通分.‎ ‎【教学难点】‎ 找最简公分母.‎ 一、创设情境，导入新课 分式与的最简公分母是_________，通分后的结果分别是_________.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.什么是分式的通分呢？‎ ‎【归纳结论】根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.‎ ‎2.如何把分式、通分呢？‎ ‎【归纳结论】通分时，关键是确定公分母.一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.‎ 上面的两个分式的分母中，有哪些因式呢？所有因式的最高次幂的积是多少？最简公分母是什么？‎ 三、示例讲解，掌握新知 216‎ ‎1.见教材P26例3、例4.‎ ‎2.把下列各式通分.‎ ‎3.不改变分式的值，把下列分式中分子、分母的各项系数化为整数.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题1.4”中第1 、2 题.‎ 216‎ 教师应注重提高在验证、交流环节中学生的参与率，尤其是一些后进生可能普遍会感觉无从下手，在交流时不主动，从而停留在一知半解的状态.在巩固练习环节上，教师要注意学生的练习密度，确保能达到一定的练习量.‎ 第3课时 异分母分式的加减 ‎【知识与技能】‎ 理解并掌握异分母分式加减法的法则.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历异分母分式的加减运算的探讨过程，训练学生的分式运算能力.‎ ‎【情感态度】‎ 培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识.‎ ‎【教学重点】‎ 异分母分式加减法的计算.‎ ‎【教学难点】‎ 异分母分式加减法的计算.‎ 一、创设情境，导入新课 ‎1.同分母分式是怎样进行加减运算的？‎ ‎2.异分母分数又是如何进行加减？‎ ‎3.那么？你是怎么做的？‎ ‎【教学说明】通过回忆同分母分式的加减法法则、异分母分数的加减法运算，来引出本节课的内容，同时对问题3运用类比的思想方法，使进入新知识的学习顺理成章.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.类比异分母的分数相加减的法则，异分母的分式如何进行加减呢？‎ 216‎ ‎【归纳结论】异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算． ‎ ‎2.思考：从甲地到乙地依次经过1千米的上坡路和2千米的下坡路.已知小明骑车在上坡路上的速度为vkm/h，在下坡路上的速度为3vkm/h，则他骑车从甲地到乙地需要多长时间？‎ ‎【分析】他骑车从甲地到乙地的时间分为2段，即，走上坡路所用时间、走下坡路所用时间.‎ 解：根据题意可得，‎ 所以，小明骑车从甲地到乙地需要h.‎ ‎【教学说明】使学生掌握应用分式的加减法则解决实际问题的方法.‎ 三、示例讲解，掌握新知 ‎1.见教材P28例5、例6、P29例7.‎ ‎2.计算:‎ ‎ ‎ 216‎ 216‎ 216‎ 216‎ ‎【教学说明】让学生体会法则的运用要因题而变，而万变不离其宗——异分母分式加减法法则.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题1.4”中第3、4题.‎ 216‎ 在授课结束后发现学生对于同分母的分式的加减运算掌握得比较好，但是对于异分母的分式加减就掌握得不是很理想，很多学生对于计算结果应该为最简分式理解不够，总是无法化到最简的形式，所以对异分母的加减法还要加强练习.‎ ‎1.5可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 可化为一元一次方程的分式方程的解法 ‎【知识与技能】‎ ‎1.理解分式方程的意义,掌握分式方程的一般解法.‎ ‎2.了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握验根的方法.‎ ‎【过程与方法】‎ 训练学生的运算技巧,提高解题能力.‎ ‎【情感态度】‎ 在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.‎ ‎【教学重点】‎ 分式方程的解法及把分式方程化为整式方程求解的转化思想的渗透.‎ ‎【教学难点】‎ 了解产生增根的原因,掌握验根的方法.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.什么是方程？‎ ‎2.什么是一元一次方程？它的解怎样检验？‎ ‎3.回忆一元一次方程的解法，并且解方程 ‎【教学说明】回顾方程的相关知识，为本节课的教学做准备.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎ 216‎ ‎1.某校八年级学生乘车前往某景点秋游，现有两条线路可供选择：线路一全长25km，线路二全长30km;若走线路二平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10分钟，则走线路一、二的平均车速分别为多少？‎ 设走线路一的平均车速为xkm/h，则走线路二的平均车速为1.5km/h，又走线路二比走线路一少用10分钟，即：‎ 走线路一的时间-走线路二的时间=16h 因此，根据这一等量关系，我们可以得到如下的方程：‎ 它和我们以前所碰到的方程一样吗？有什么不一样的地方？‎ 上面所得到的方程有什么共同特点？‎ ‎【教学说明】让学生通过观察、归纳、总结出整式方程与分式方程的异同，从而得出分式方程的概念.‎ ‎【归纳结论】分母中含有未知数的方程叫做分式方程.‎ ‎2.怎样解分式方程呢？‎ 为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：‎ ‎（1）回忆一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？‎ ‎（2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？‎ ‎3.解分式方程 解：方程两边同乘6x,得 ‎25×6-30×4=x 解得 x=30‎ 经检验，x=30是所列方程的解.‎ ‎【归纳结论】从上面可以看出，解分式方程的关键是把含未知数的分母去掉，这可以通过在方程的两边同乘各个分式的最简公分母而达到.‎ ‎4.解方程：‎ 解：方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-2)得 x+2=4‎ 解得 x=2‎ 思考：x=2是不是原分式方程的解（或根）呢？‎ 216‎ 当x=2时，原分式方程左边和右边的分母（x－2）与（x2－4）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=2不是原分式方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.‎ ‎【归纳结论】在解分式方程时，产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.‎ ‎ 5.如何判定一个值是否为这个分式方程的根呢？分式方程如何检验呢？‎ ‎【归纳结论】解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根.‎ ‎6.可化为一元一次方程的分式方程的基本步骤有哪些呢？‎ ‎ 【归纳结论】解分式方程的基本步骤：‎ ‎（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为整式方程.‎ ‎（2）解整式方程.‎ ‎（3）检验.（把整式方程的解代入最简公分母中，若它的值不等于0，则这个解是原分式方程的根；若它的值等于0，则原分式方程无解.）‎ 三、运用新知，深化理解 216‎ 216‎ ‎【教学说明】通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对解分式方程是否清楚，以便教师能及时地进行查缺补漏．‎ 五、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题1.5”中第1 、5 题.‎ 216‎ 虽然在课堂上做了很多，但也存在许多不足的地方，这也是我在今后教学中应该注意的地方.第一，讲例题时，先讲一个产生增根的较好，这样便于说明分式方程有时无解的原因，也便于讲清分式方程检验的必要性，也是解分式方程与整式方程最大的区别所在，从而再强调解分式方程必须检验，不能省略不写这一步.第二，给学生的鼓励不是很多.鼓励可以让学生有充分的自信心.“信心是成功的一半”，“在今后的课堂教学中，应尊重其差异性，尽可能分层教学，评价标准多样化，多鼓励，少批评；多肯定，少指责，用动态的、发展的、积极的眼光看待每个学生，帮助他们树立自信心.赞美的力量是巨大的，有时，一句赞美的话，可以改变人的一生.一句肯定的话、一个赞许的点头、一张表示优胜的卡片，都是很好的鼓励，会起到意想不到的结果.‎ 第2课时 分式方程的应用 ‎【知识与技能】‎ ‎1.经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程；‎ ‎2.掌握列分式方程解应用题的一般步骤；‎ ‎3.会列出分式方程解决简单的应用题，提高学生的分析问题、解决问题的能力和应用意识.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．‎ ‎【情感态度】‎ 通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．‎ ‎【教学重点】‎ 列分式方程解应用题.‎ ‎【教学难点】‎ 对所求出的分式方程的根进行检验的思想的重视.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.解分式方程的一般步骤：‎ ‎2.解方程 216‎ ‎3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？‎ ‎【教学说明】回顾上节课知识，检查学生掌握情况，复习列一元一次方程解应用题的一般步骤，引出新问题.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎ 探究：A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.‎ 解：设B型机器人每小时搬运x kg,则A型机器人每小时搬运（x+20)kg.‎ 由“A型机器人搬运1000kg所用时间=B型机器人搬运800kg所用时间”这一等量关系，则可列出如下方程：‎ 解得：x=80‎ 检验：把x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，因此是原方程的根，且符合题意.‎ 所以，A、B型机器人每小时分别搬运100kg、80kg.‎ ‎【教学说明】引导学生通过独立思考和小组讨论的形式，用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题，鼓励学生大胆尝试，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，提升实践能力与创新精神．你能总结出列分式方程解应用题的一般步骤吗？‎ ‎【归纳结论】列分式方程解应用题的一般步骤：审——设——列——解——验——答.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.见教材P35例3.‎ ‎2.在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？‎ 解：设甲工程队单独完成任务需x天，则乙工程队单独完成任务需(x+2)天，依题意得 化为整式方程得 x2-3x-4=0‎ 解得x=-1或x=4．‎ 检验：当x=4和x=-1时，x(x+2)≠0，‎ 216‎ ‎∴x=4和x=-1都是原分式方程的解．‎ 但x=-1不符合实际意义，故x=-1舍去；‎ ‎∴乙单独完成任务需要x+2=6（天）．‎ 答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、6天．‎ ‎3.2008年5月12日，四川省汶川县发生了里氏8.0级大地震，兰州某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？‎ 解法1：设第一天捐款x人，则第二天捐款（x+50）人，‎ 由题意列方程=．‎ 解得x =200．‎ 检验：当x =200时，x（x+50）≠0，‎ ‎∴ x =200是原方程的解．‎ 两天捐款人数x+（x+50）=450， 人均捐款=24（元）．‎ 解法2：设人均捐款x元，‎ 由题意列方程＝50 ．‎ 解得x＝24.‎ 检验当x＝24时，x≠0,‎ ‎ ∴x＝24是原方程的解.‎ 两天捐款人数=450‎ 答：两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元．‎ ‎4.某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？‎ 解:设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分钟能输入2x名学生的成绩，根据题意得 解得：x＝11.‎ 经检验，x＝11是原方程的解.‎ 216‎ 并且x＝11，2x＝2×11＝22，符合题意.‎ 答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩.‎ ‎5.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？‎ 解：设原定是x人，由题意可知：‎ 解得：x=15‎ 经检验：x=15是原分式方程的根.‎ 答：原定的人数是15人.‎ ‎6.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．‎ ‎（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？‎ ‎（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？‎ 解：（1）设乙队单独完成需x天 ‎ 根据题意，得 解这个方程，得x=90‎ 经检验，x=90是原方程的解 ‎∴乙队单独完成需90天 ‎（2）设甲、乙合作完成需y天，则有=1‎ 解得y=36（天）‎ 甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）‎ 乙单独完成超过计划天数不符题意（若不写此行不扣分）．‎ 甲、乙合作完成需付工程款为 ‎36×（3.5+2）=198（万元）‎ 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．‎ 216‎ ‎【教学说明】使学生体会丰富的实例，巩固用分式方程解决实际问题的技巧．‎ 五、师生互动，课堂小结 今天这节课大家有什么收获？你学到了哪些知识？‎ 布置作业:教材“习题1.5”中第2、3、4、7题.‎ 应用题历来是个“老大难”，学生痛苦，老师无奈，怎么办？降低门槛，找准知识的生长点是关键，引导学生喜欢应用题是关键.‎ 第1章 分式 ‎【知识与技能】‎ ‎1.使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算；‎ ‎2.会解分式方程，利用分式方程解决实际问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过复习，发展学生的代数表达能力、运算能力和有条理地思考问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 提高学生解决实际问题的能力，发展学生的符号感，提高分析问题和解决问题的能力.‎ ‎【教学重点】‎ 会解分式方程，利用分式方程解决实际问题.‎ ‎【教学难点】‎ 会解分式方程，利用分式方程解决实际问题.‎ 一、知识结构 216‎ ‎【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.‎ 二、释疑解惑，加深理解 ‎1.分式的概念：‎ 一般地，一个整式f除以一个非零整式g（g中含有字母）所得的商记作，那么代数式叫分式.‎ ‎2.分式的性质：‎ 分式的分子与分母同乘以或除以一个非零整式，所得分式与原分式相等.即：‎ ‎3.约分的概念：‎ 把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分.‎ ‎4.最简分式的概念：‎ 分子和分母没有公因式的分式叫作最简分式．‎ ‎5.分式乘法的法则：‎ 分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.‎ ‎6.分式除法的法则：‎ 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.即：‎ ‎ 7.分式乘方的法则：‎ 分式的乘方就是把分子、分母各自乘方.即：‎ ‎ ‎ 216‎ ‎8.同底数幂除法的法则：‎ 同底数幂相除，底数不变，指数相减.即：‎ ‎9.零次幂与负整指数幂：‎ 任何不等于零的数的零次幂等于1.即： =1(a≠0)‎ ‎10.同分母分式加减法的法则：‎ 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．‎ 用式子表示为：‎ ‎11.异分母分式加减法的法则：‎ 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．‎ ‎12.通分的概念：‎ 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.‎ ‎13.分式方程的概念：‎ ‎ 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.‎ ‎14.解分式方程的步骤：‎ ‎（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为整式方程.‎ ‎（2）解整式方程.‎ ‎（3）检验.（把整式方程的解代入最简公分母中，若它的值不等于0，则这个解是原分式方程的根；若它的值等于0，则原分式方程无解.）‎ ‎15.列分式方程解应用题的一般步骤：审——设——列——解——验——答.‎ ‎【教学说明】通过学生的回顾与思考，加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.‎ 三、典例精析，复习新知 ‎1.（1）计算：_____________‎ 216‎ ‎（2）用科学记数法表示：-0.000000108＝_____________.‎ 答案： ‎ 解：原式计算的结果等于x2+4，所以不论x的值是+3还是-3结果都为13.‎ ‎4.一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．‎ 解：设前一小时的速度为x km/小时，则一小时后的速度为1.5x km/小时，‎ 由题意得：，‎ 解这个方程得x=60，‎ 经检验，x=60是所列方程的根，‎ 即前一小时的速度为60km/h．‎ ‎5.某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m3，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格．‎ 解：设该市去年居民用气的价格为x元/ m3，则今年的价格为(1+25%)x元/ m3．‎ 216‎ 根据题意，得 解这个方程，得x＝2.4． ‎ 经检验，x＝2.4是所列方程的根． ‎ ‎2.4×(1+25%)＝3 (元)‎ 所以，该市今年居民用气的价格为3元/ m3． ‎ ‎【教学说明】通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求.‎ 四、复习训练，巩固提高 ‎1.若的值为零，则x的值是（ -1 ）‎ ‎2.若分式的值是正整数，则整数x的值是________‎ 答案：2，4‎ ‎3.解方程 216‎ ‎6.轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米/小时，求船在静水中的速度.‎ 解：设船在静水中的速度为x千米／小时.‎ 则 去分母得30(x-2)=20(x+2)‎ ‎∴30x-60=20x+40‎ ‎10x=100∴x=10‎ 将x=10代入方程得：x=10是方程组的根，也是本问题的解.‎ ‎∴x=10‎ 答：船在静水中的速度是10千米／小时.‎ ‎7.某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工零件就少用10小时，采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？‎ 解：设采用新工艺前每小加工x个零件，则采用新工艺后每时加工1.5x个零件.‎ 由题意得 经检验：x=40是方程的解 216‎ ‎∴1.5x=60（个）‎ 答：采用新工艺前、后每时分别加工40个、60个零件.‎ ‎8.福兴商场文具专柜以每枝a（a为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每枝加价2元销售．由于这种品牌的钢笔价格优、质量好、外观美，很快就销售一空．结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为399a＋805（元）．你能根据上面的信息求出文具专柜共购进多少枝钢笔及每枝钢笔的进价a是多少元吗？‎ ‎【分析】依题意，已知购进钢笔的枝数为，显然，仅仅通过不能求出a．因此，挖掘条件中的内涵是解决问题的关键．这里a为正整数，也是正整数．‎ 解：设文具专柜共购进钢笔y枝，则有 故文具专柜共购进钢笔400枝，每枝进价5元.‎ ‎【教学说明】让学生能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感．通过解决生活中的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力.‎ 五、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 216‎ 布置作业:教材“复习题”中第3、6、9、10题.‎ 通过学生的回顾与思考，使学生对分式的基本性质、乘除法、加减法等基本运算有一个更深层次的认识；加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.‎ 通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求.加强学生对分式的运算等基本技能的训练.部分学生能举一反三，较好地掌握分式方程及其应用题的有关知识与解决生活中的实际问题等基本技能.‎ 第2章 三角形 ‎2.1 三角形 第1课时 三角形的有关概念及三边关系 ‎【知识与技能】‎ ‎1.理解三角形的有关概念.‎ ‎2.掌握三角形的三边关系，并运用三角形的三边关系解决相关问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力.‎ ‎【情感态度】‎ 学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ 三角形的有关概念.‎ ‎【教学难点】‎ 三角形三条边关系的应用.‎ 一、情景导入，初步认知 观察下列图片，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来.你还能列举生活中的一些实例吗？‎ 216‎ ‎【教学说明】通过观察图片、找三角形、举例等活动，为认识三角形概念、表示法、三要素、边的关系的学习奠定了基础.‎ 二、合作探究，探索新知 ‎1.什么样的图形是三角形？‎ ‎【归纳结论】不在同一直线上的三角形线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.‎ 三角形可用符号“△”来表示，如图：‎ 这个三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.其中，点A,B,C叫作△ABC的顶点；∠A,∠B,∠C叫作△ABC的内角（简称△ABC的角）；线段AB,BC,CA叫作△ABC的边.通常∠A,∠B,∠C的对边BC,AC,AB可分别用a,b,c来表示.‎ ‎2.三角形从“角”的角度来看，可分为哪些三角形？三角形从“边”的角度来看，有哪些特殊的三角形呢？‎ ‎【归纳结论】两条边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.‎ 三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.等边三角形是特殊的等腰三角形.‎ ‎3.警察抓劫匪（一名罪犯实施抢劫后，经AB——BC的路线往山上逃窜.警察为了能尽快抓到逃犯，经路线AC追赶，终于在山顶上将罪犯捉拿归案.）‎ 警察为什么能在这么短的时间内抓到罪犯呢？（学生各抒已见）‎ ‎【归纳结论】三角形两边之和大于第三边.‎ ‎4.做一做：有三根木棒，其长度分别为2 cm,3 cm,6 cm,它们能否首尾相接构成一个三角形？‎ 216‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P43例1.‎ ‎2.三条线段的长度分别为：‎ ‎(1)3cm、4cm、5cm ； (2)8cm、7cm、15cm；‎ ‎(3)13cm、12cm、20cm; (4)5cm、5cm、11cm；‎ 能组成三角形的有（B）组.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎3.现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（B）.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎4.已知三条线段的比是:①1∶3∶4;②1∶2∶3;③1∶4∶6;④3∶3∶6;⑤6∶6∶10;⑥3∶4∶5.其中可构成三角形的有(B)‎ A.1 个 B.2 个 C.3 个 C.4 个 ‎5.已知等腰三角形的两边长分别为 3 和 6,则它的周长为(C)‎ A.9 B.12 C.15 D.12 或 15‎ ‎6.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是19‎ 216‎ 所以能构成一个三角形.‎ 即周长为22.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充 布置作业:教材“习题2.1”中第1、2、6 题.‎ 我在练习设计上主要采用了层层深入的原则，先是基础知识的练习；然后用三角形的知识解决实际问题；最后增加拓展延伸题，让优等生在这个知识点上的学习更进一步.而每一道题都运用了本节课的知识，每一道题目的呈现方式又都不同.这样既能让后进生跟得上，又能让优等生吃得饱，从而让全班同学共同进步.‎ 从练习反馈中发现学生易错点，犯错的原因主要是学生未能认真审题.所以在以后审题教学中要重视抓关键词、培养审题习惯，提高解题效率.‎ 第2课时 三角形的高、中线、角平分线 ‎【知识与技能】‎ ‎1.掌握三角形有关的线段的概念及定理.‎ ‎2.会画出任意三角形的角平分线、中线、高线，特别注意钝角三角形高的画法.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力.‎ ‎【情感态度】‎ 学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ 三角形有关线段的概念及画法.‎ ‎【教学难点】‎ 结合三角形有关线段的定义探索相应的规律结论.‎ 216‎ 一、创设情境，导入新课 如图，试画出图中△ABC边上的高.‎ 二、合作探究，探索新知 三角形中还有哪些特殊的线段呢？‎ ‎①从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如下图：‎ 线段AH是△ABC的BC边上的高.‎ 做一做：试画出△ABC的BC边上的高.‎ 想一想：一个三角形有几条高？你能画出其它的高吗？‎ ‎②在三角形中，一个角的角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.如下图：‎ 216‎ ‎∠BAD=∠CAD,则线段AD是△ABC的一条角平分线.想一想：一个三角形有几条角平分线？你能画出其它的角平分线吗？‎ ‎③在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.如下图：‎ BE=EC，则线段AE是△ABC的BC边上的中线.‎ 做一做：任意画出一个三角形，画出三边上的中线.你发现了什么？‎ ‎【归纳结论】三角形的三条中线相交于一点，我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.‎ ‎【教学说明】使学生通过画、折等实践操作活动理解三角形的中线、角平分线、高的概念和交点情况，并培养学生动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得不是教师传授的，而是学生自己探索得到的.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P45例2.‎ ‎2.三角形的角平分线是（ C ）‎ A.直线 B.射线 C.线段 D.不确定 ‎3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ B ） ‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 ‎4.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC是（ D ）‎ A.边BB′上的中线 B.边BB′上的高 216‎ C.∠BAB′的角平分线 D.以上答案都正确 ‎5.如图，∠ACE=∠BCE.BD=CD，指出图中三角形的特殊线段.‎ 解：CE是△ABC的角平分线. ‎ AD是△ABC的中线.‎ ED是△EBC的中线.‎ CF是△ACD的角平分线.‎ ‎6.如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，指出图中相等的线段和相等的角. ‎ 解：相等的线段有：AE=CE.‎ 相等的角有：∠BAD=∠DAC.‎ ‎【教学说明】通过练习及解决课前问题，进一步提高学生知识应用的能力.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题2.1”中第3、4题.‎ 本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力．‎ 第3课时 三角形的内角和与外角 ‎【知识与技能】‎ 216‎ ‎1.掌握三角形内角和定理.‎ ‎2.掌握三角形的内角与外角的关系.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力；通过小组合作学习，培养集体协作学习的能力及概括能力.‎ ‎【情感态度】‎ 让学生在自主参与、合作交流的活动中，体验成功的喜悦，树立自信，激发学习数学的兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ 三角形内角和定理.‎ ‎【教学难点】‎ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.‎ 一、创设情境，导入新课 我们都知道一个三角形的三个内角的和为180°，你知道三角形的内角和为什么是180°呢？‎ ‎【教学说明】通过问题，提高学生的学习兴趣.‎ 二、合作探究，探索新知 ‎1.每个学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，分小组做拼角实验，能否拼出一个角的和为180°.为什么是180°?通过小组合作交流，讨论有几种拼合方法？ ‎ 开展小组竞赛（看哪个小组的发现多？说明清楚.），各小组派代表展示拼图，并说出理由.‎ ‎2.你能运用几何证明的方法证明三角形的三个内角的和为180°吗？试一试.‎ ‎【教学说明】学生通过动手拼图，再通过证明，总结出三角形的三个内角和是180°，能够加深理解.‎ ‎3.议一议：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？‎ 216‎ ‎4.直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”,在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角边的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.‎ ‎5.三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ACB的一个外角，它与内角∠ACB相邻.‎ ‎6.探究：在图中，外角∠ACD和∠A、∠B之间有什么大小关系？‎ ‎【归纳结论】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.‎ ‎【教学说明】通过证明，加深对定理的理解.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.判断：‎ ‎（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°.（ × ）‎ ‎（2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角. （ √ ）‎ ‎2.已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（C）‎ A.60° B.25° C.35° D.45°‎ 第2题图 ‎ ‎3.如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（B）‎ A.50° B.40° C.70° D.35°‎ ‎ 第3题图 ‎4.观察三角形，并把它们的标号填入相应的括号内：‎ 216‎ 锐角三角形（3 、5）‎ 直角三角形（1、4、6）‎ 钝角三角形（2、7）‎ ‎5.在△ABC中：‎ ‎①∠A=35°∠C=90° 则∠B=55° ‎ ‎②∠A=50°∠B=∠C 则∠B=65 °‎ ‎③∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1‎ 则△ABC是直角三角形 .‎ ‎④∠A－∠C =35°，∠B－∠C =10°， 则∠B =55° .‎ ‎6.在△ABC中∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.‎ 解：△ABC中,设∠A=x,则∠C=∠ABC =2x x+2x+2x=180°(三角形内角和为180°) ‎ ‎∴得∠C=2x=72°‎ 在△BCD 中,∠BDC=90°‎ 则∠DBC =90°-∠C=18°‎ ‎7. 如图，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2为多少度？‎ 解：∵△ABC中，∠A=50°，‎ ‎∴∠AED+∠ADE=130°，‎ ‎∴∠1+∠2=360°-（∠AED+∠ADE）=230°.‎ ‎8.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为多少度？‎ 216‎ ‎ ‎ ‎【分析】如图连接CE，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，在△DCE中有∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，即可得∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．‎ ‎ 解：如图连接CE，根据三角形的外角性质得 ‎∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，‎ 在△DCE中有，‎ ‎∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，‎ ‎∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．‎ ‎【教学说明】通过练习巩固本节课所学的内容.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题2.1”中第4、5、7 题.‎ 在教学过程中学生在教师创设的情境下，自己动手操作、动脑思考、动口表达、探索未知领域、寻找客观真理、成为发现者，学生自始至终地参与这一探索过程，发展了学生的创新精神和实践能力．通过有条理的表达“三角形内角和为180°”的拼图及“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的证明过程，为今后的几何证明打下基础．‎ ‎2.2命题与证明 第1课时 定义、命题 ‎【知识与技能】‎ 了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解.会区分命题的条件和结论.‎ ‎【过程与方法】‎ 216‎ 学生通过本节课内容的学习,使学生经历定义的产生过程,感受定义的必要性.同时对命题的含义有初步的体验.体验区分命题的条件和结论的重要性和必要性.‎ ‎【情感态度】‎ 通过与学生的交流互动,营造愉快、和谐的课堂氛围,积极鼓励学生参与活动,使学生感受到学习数学的快乐,培养学生主动探索数学知识的积极态度.‎ ‎【教学重点】‎ 找出命题的条件（题设）和结论.‎ ‎【教学难点】‎ 命题概念的理解.‎ 一、情景导入，初步认知 父子对话 ‎ 子：爸爸，什么是法律？‎ 父：法律就是法国的律师.‎ 子：那什么是法盲呢？‎ 父：法盲就是法国的盲人.‎ ‎（学生听后，大笑）‎ 同学们为什么笑呢？‎ ‎［生］父子俩对概念理解不清. ‎ ‎［师］同学们说得都很好，由于父子俩对法律、法盲的定义不理解，因而闹出了笑话，所以对某些特殊名称或术语，我们需要给出它们的定义. 这节课我们就要共同来研究“定义与命题”.‎ ‎【教学说明】巧设现实情境，引入新课.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.我们学习了许多有关三角形的概念，你能列举出一些与三角形有关的概念吗？‎ ‎【归纳结论】对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.如“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是代数式的定义.‎ ‎【教学说明】教给学生获取知识的方法和途径,让学生的学习可持续发展.‎ ‎2.说一说“方程”、“三角形的角平分线”的定义.‎ 216‎ ‎3.下列叙述事情的语句中，哪些对事情作出了判断？‎ ‎（1）三角形的内角和等于180°；‎ ‎（2）如果|a|=3，那么a=3;‎ ‎（3）1月份有31天；‎ ‎（4）作一条线段等于已知线段；‎ ‎（5）一个锐角与钝角互补吗？‎ ‎【归纳结论】一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.‎ ‎4.观察：下列命题的表述形式有什么共同点？‎ ‎（1）如果a=b,且b=c,那么a=c;‎ ‎（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.‎ 在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果……，那么……”的形式.用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论.‎ ‎5.做一做,指出下列命题的条件与结论，并改写成“如果…，那么…”的形式：‎ ‎①能被2整除的数是偶数.‎ ‎②有公共顶点的两个角是对顶角.‎ ‎③两直线平行，同位角相等.‎ ‎④同位角相等，两直线平行.‎ 上述命题③与④的条件与结论之间有什么关系？‎ ‎【归纳结论】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.‎ ‎【教学说明】学生感受命题中条件和结论的存在.使学生心中的命题结构化.为后面的题设、结论的认识、区分,更为命题的改写作铺垫.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？‎ ‎（1）对顶角相等；‎ ‎（2）画一个角等于已知角；‎ ‎（3）两直线平行，同位角相等；‎ ‎（4）a、b两条直线平行吗？‎ ‎（5）高个的李明明;‎ 216‎ ‎（6）玫瑰花是动物;‎ ‎（7）若a2＝4，求a的值;‎ ‎（8）若a2＝b2，则a＝b.‎ ‎2.下列语句中，哪些是命题?哪些不是命题?‎ ‎(1)若aAC，则∠C>∠B吗?‎ ‎ (4)两点之间线段最短；‎ ‎(5)解方程x2-2x-3=0；‎ ‎(6)1＋2≠3.‎ ‎3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：‎ ‎（1）三条边对应相等的两个三角形全等；‎ 解：条件是：两个三角形的三条边对应相等；结论是：这两个三角形全等.‎ 改写成：如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.‎ ‎（2）在同一个三角形中，等角对等边；‎ 解：条件是：同一个三角形中的两个角相等；结论是：这两个角所对的两条边相等.‎ 改写成：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.‎ ‎（3）对顶角相等.‎ 解：条件是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等.‎ 改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.‎ ‎(4)同角的余角相等；‎ 解：条件是：两个角是同一个角的余角；结论是：这两个角相等.‎ 改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.‎ ‎(5)三角形的内角和等于180°；‎ 解：条件是：三个角是一个三角形的三个内角；结论是：这三个角的和等于180°.‎ 改写成：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°.‎ ‎(6)角平分线上的点到角的两边的距离相等．‎ 解：条件是：一个点在一个角的平分线上；结论是：这个点到这个角的两边距离相等.‎ 改写成：如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等.‎ ‎4.写出下列命题的逆命题.‎ 216‎ ‎（1）直角三角形两个锐角互余.‎ ‎（2）两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.‎ ‎【教学说明】巩固所学知识，培养学生独立思考的习惯.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材P52“练习”.‎ 在教学中，学生对定义与命题的把握还是比较清楚的.大部分学生可以口头完成导学案设计的题目.能够迅速地把一个命题转化成“如果……那么……”的形式.利用疑问句和祈使句的特点,判定二者不是命题的语句.学生的掌握情况还是比较可观的.‎ 第2课时 真命题、假命题与定理 ‎【知识与技能】‎ 了解命题、公理 、定理的含义；理解证明的必要性.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过对真假命题的判断，培养学生科学严谨的学习方法.‎ ‎【情感态度】‎ 初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值.‎ ‎【教学重点】‎ 判断一个命题的真假.‎ ‎【教学难点】‎ 正确认识公理、定理、命题（真命题）和定义的区别.‎ 一、创设情境，导说新课 将“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.‎ ‎【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备.‎ 216‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.议一议：下列命题中，哪些正确？哪些错误？并说明理由.‎ ‎（1）每一个月都有31天；‎ ‎（2）如果a是有理数，那么a是整数；‎ ‎（3）同位角相等；‎ ‎（4）同角的补角相等.‎ ‎【归纳结论】我们把正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.‎ 要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理，得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.‎ 要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例，它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.我们把这种方法称为“举反例”.‎ ‎2.以学生同桌为单位进行操练，一人负责说命题，然后另一个人来回答是真命题还是假命题，并要有适当的理由，然后反过来.‎ ‎【教学说明】当遇到有不能解决的问题，或产生争论的时候，可以请老师裁决.‎ ‎3.说一说:判断下列命题为真命题的依据是什么？‎ ‎（1）如果a是整数，那么a是有理数.‎ ‎（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形.‎ ‎【归纳结论】人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公理.‎ 我们把经过证明为真的命题叫做定理.定理也可以作为判断其他命题真假的依据.由某些定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.‎ ‎4.“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题吗？它的逆命题是什么？其逆命题是真命题吗？‎ ‎【归纳结论】如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原命题的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.‎ ‎5.你能举出一对互逆定理吗？‎ ‎【教学说明】学生小组合作交流、回答.‎ 三、练习反馈，巩固提高 ‎1.下列的命题中，哪些是真命题?哪些是假命题?请说明理由：‎ ‎(1)对顶角相等；‎ 216‎ ‎(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；‎ ‎(3)三条直线两两相交，必有三个交点；‎ ‎(4)若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等；‎ ‎(5)“-a”是负数.‎ 解：略.‎ ‎2.“两点之间，线段最短”这个语句是（A）‎ A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题 ‎3.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（C）‎ A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题 ‎4.下列命题中，属于定义的是（D）‎ A.两点确定一条直线 B.同角的余角相等 C.两直线平行，内错角相等 D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 ‎5.下列句子中，是定理的是（E），是公理的是（B ），是定义的是（D）.‎ A.若a=b，b=c，则a=c；‎ B.对顶角相等；‎ C.全等三角形的对应边相等，对应角相等；‎ D.有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形；‎ E.两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.‎ ‎6.下面命题中：‎ ‎（1）旋转不改变图形的形状和大小.‎ ‎（2）轴反射不改变图形的形状和大小.‎ ‎（3）连接两点的所有线中，线段最短.‎ ‎（4）三角形的内角和等于180°.‎ 属于公理的有（C）‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎7.下面关于公理和定理的联系说法不正确的是（B）‎ A.公理和定理都是真命题.‎ B.公理就是定理，定理也是公理.‎ 216‎ C.公理和定理都可以作为推理论证的依据.‎ D.公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明.‎ ‎8.仔细观察下面推理，填写每一步用到的公理或定理.‎ ‎ 如图：在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠A=125°，求∠BCE.‎ 解：∵四边形ABCD是平行四边形(已知)‎ ‎∴AD∥BC（ ）‎ ‎∵∠A=125°（已知）‎ ‎∴∠B=180°-125°=55°（ ）‎ ‎∵△BEC是直角三角形（已知）‎ ‎∴∠BCE=90°-55°=35°( )‎ 答案：平行四边形对边平行；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形两锐角互余.‎ ‎【教学说明】学生尝试解题，师生共同评价，巩固所学知识.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材P55“练习”.‎ 新课程的教学告诉我们，在学生进行数学学习的过程中，要对学生进行合理的评价，这就是要关注学生数学学习的水平，更要关注它们在数学学习过程中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心.‎ 第3课时 证明与反证法 ‎【知识与技能】‎ 了解证明的含义.‎ ‎【过程与方法】‎ 216‎ 通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 让学生体验从实验几何向推理几何的过渡.‎ ‎【教学重点】‎ 证明的含义和表述格式.‎ ‎【教学难点】‎ 如何构造一个反例去证明一个命题是错误的.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.一般地，判断一件事情正确或不正确的句子叫做命题，命题分为真命题与假命题.‎ ‎2.说明一个命题是假命题，通常只用找出一个反例，但要说明一个命题是真命题，就必须用推理的方法，而不能光凭一个例子.‎ ‎3.判断下列命题的真假 ‎（1）有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形.（真命题）‎ ‎（2）素数不可能是偶数.（假命题）‎ ‎（3）黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人.（假命题）‎ ‎（4）有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形.（假命题）‎ ‎（5）若y(1-y)=0，则y=0.（假命题）‎ ‎【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.做一做：采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.‎ 此时，猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题，要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.‎ ‎【教学说明】在实验几何中，常让学生通过观察、实验和归纳得出结论.增加学生的感官感受.使学生感受到凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确，使学生感受到直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，从而让学生理解证明的必要性.‎ ‎2.证明命题“三角形的外角和等于360°”是真命题.‎ 已知：如图，∠BAF,∠CBD,∠ACE分别是△ABC的三个外角.‎ 216‎ 求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°‎ 证明：由题意得，在△ABC中 ‎∠1+∠2+∠3＝180°‎ ‎∵∠BAF+∠1=180°‎ ‎∠CBD+∠2=180°‎ ‎∠ACE+∠3=180°‎ 故 ‎∠BAF+∠CBD+∠ACE+∠1+∠2+∠3=180°+180°+180°＝540°‎ 则 ‎∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°‎ ‎【教学说明】引导学生写出证明过程.‎ ‎【归纳结论】证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：‎ ‎①画出图形；‎ ‎②写出已知、求证；‎ ‎③写出证明的过程.‎ ‎3.已知：∠A,∠B,∠C是△ABC的内角.求证：∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.‎ 分析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况，如果直接证明，比较困难，因此，我们将从另外一个角度来证明.‎ 证明：假设∠A,∠B,∠C中没有一个角大于或等于60°.‎ 则∠A+∠B+∠C<180°‎ 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.‎ 因此，∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.‎ ‎【归纳结论】先假设命题不成立，然后利用命题的条件或结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.‎ 三、运用新知，深化理解 216‎ ‎1.教材P57例1.‎ ‎2.如图，BC⊥ AC于点C，CD⊥AB于点D，E是AC延长线上一点，连接BE，∠EBC=∠A，求证：BE∥CD 证明：∵BC⊥AC(已知)‎ ‎∴∠ACD+∠BCD=90°(垂直的定义)‎ ‎∵CD⊥AB (已知)‎ ‎∴∠A+∠ACD=90°（直角三角形的两锐角和为90°）‎ ‎∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）‎ ‎ 又∵∠EBC=∠A（已知）‎ ‎∴∠ EBC=∠BCD ‎∴BE∥CD（内错角相等，两直线平行）‎ ‎3.已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分线，BH是∠ABC的角平分线, ∠A=58°.求∠H的度数.‎ 解：∵∠A=58°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-58°=122°…①，‎ ‎∵BH是∠ABC的角平分线，‎ ‎∴∠HBC=12∠ABC，‎ ‎∵∠ACD是△ABC的外角，CH是外角∠ACD的角平分线，‎ ‎∴∠ACH=12（∠A+∠ABC），‎ ‎∴∠BCH=∠ACB+∠ACH=∠ACB+‎ ‎12（∠A+∠ABC），‎ ‎∵∠H+∠HBC+∠ACB+∠ACH=180°，‎ ‎∴∠H+12∠ABC+∠ACB+12（∠A+∠ABC）=180°，即∠H+（∠ABC+∠ACB）+12∠A=180°…②，‎ 把①代入②得，∠H+122°+12×58°=180°，‎ ‎∴∠H=29°.‎ ‎4.已知：三条直线a、b、c，其中a∥b，b∥c，求证：a∥c.‎ 216‎ 解：假设a与c不平行，那么就会相交.因为a∥b，‎ 所以a，b永不相交，‎ 同理，b，c也永不相交，‎ 又因为a、b、 c在同一平面内，且互不重合，‎ 所以a与c不会相交，即假设不成立.‎ 所以a∥c.‎ ‎5.已知：如图，P是△ABC内任一点，求证：∠BPC＞∠A．‎ ‎ ‎ 证明：如图，延长BP交AC于D．‎ ‎∵∠BPC＞PDC，‎ ‎∠PDC＞∠A，‎ ‎∴∠BPC＞∠A．‎ ‎6.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.‎ 已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.‎ 证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°.‎ 则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°，‎ ‎∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，‎ 即∠A+∠B+∠C>180°，‎ 这与三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立．‎ ‎∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.‎ ‎【教学说明】巩固本节课所学的内容.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题2.2”中第6、7、9题.‎ 216‎ 反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后续的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理地去运用.‎ 整节课的教学设计适合学生学习，切合教材与新课程要求，教学流程设计清晰流畅，教学效果良好.‎ 但课堂容量较大，学生预习不够充分，时间不够用，学生没有足够的时间去思考，在一些环节的处理上存在粗糙的问题，有些问题还没有进行深层次地挖掘，下一节课还需进一步巩固提高.‎ ‎2.3 等腰三角形 第1课时 等腰（边）三角形的性质 ‎【知识与技能】‎ 能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生初步的演绎逻辑推理的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系.‎ ‎【教学重点】‎ 探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.‎ ‎【教学难点】‎ 明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎ 我们在前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些性质呢？‎ 216‎ ‎【教学说明】明确本节课所要学习的内容，提高学生学习的兴趣.‎ 二、合作探究，探索新知 ‎1.探究：任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC,如图，‎ 作△ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：‎ 射线AB的像是射线AC,射线AC的像是射线AB ；‎ 线段AB的像是线段AC,线段AC的像是线段AB ；‎ 点B的像是点C，点C的像是点B ；‎ 线段BC的像是线段CB.‎ 从而等腰三角形ABC关于直线AD 对称.‎ 由于点D的像是点D,因此线段DB的像是线段DC ，从而AD是底边BC上的中线 由于射线DB的像是射线DC ，射线DA的像是射线AD ，因此∠BDA = ∠CDA=90° °,从而AD是底边BC上的垂线 .‎ 由于射线BA的像是射线CA,射线BC的像是射线CB ，因此∠B= ∠C.‎ 由此，你能得到等腰三角形的哪些性质？‎ ‎【归纳结论】等腰三角形的性质：‎ 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角角平分线所在的直线.‎ 等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合（简称“三线合一”).‎ 等腰三角形的两个底角相等（简称为“对边对等角”）.‎ ‎【教学说明】让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足.‎ ‎2.如图，△ABC是等边三角形，那么∠A,∠B,∠C的大小之间有什么关系呢？‎ ‎【归纳结论】等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.‎ ‎【教学说明】引导学生证明.‎ ‎3.议一议：如图，在三角测平架中，AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上.‎ 216‎ ‎（1）AD与BC是否垂直，试说明理由；‎ ‎（2）这时处于水平位置，为什么？‎ ‎【教学说明】通过本题的探究，使学生明白数学来源于生活，并运用于生活.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P62例1.‎ ‎2.（1）等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是10 cm ； ‎ ‎（2）等腰三角形底角为75°,它的另外一个角为30° ； ‎ ‎（3）等腰三角形顶角为65°,它的另外两个角为57.5°57.5° ； ‎ ‎（4）等腰三角形一个角为70° ,它的另外两个角为70°40°或55°55° ； ‎ ‎（5）等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为35°35° .‎ ‎（6）在△ABC中，AB＝AC， ∠A＝50°，求∠B，∠C的度数.‎ ‎【分析】 根据等腰三角形的性质：两底角相等.结合三角形的内角和等于180°来计算.‎ 解：（6）在△ABC中，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠C（在一个三角形中等边对等角）‎ ‎∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°‎ ‎∴∠B＝∠C＝65°‎ ‎3.如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC∠BAC = 100°.‎ 求∠1、∠3、∠B的度数.‎ 解：∵在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC ‎∴∠1=12∠BAC =50°‎ ‎ ∠3=90°(等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合)‎ 在△ABD中,AB = AC ‎∴∠B=∠C=40°‎ ‎4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°．求∠ADC和∠BAD的度数．‎ 216‎ 解：∵AB=AC，‎ D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，又∠B=30°，∴∠BAD=60°‎ ‎5.如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，且ED⊥BC于D，求证：AE=AF.‎ 证明：∵AB=AC ‎∴∠B=∠C ‎∵ED⊥BC ‎∴∠B+∠BFD=90°‎ ‎∠C+∠E=90°‎ ‎∵∠BFD=∠EFA ‎∴∠B+∠EFA=90°‎ ‎∵∠C+∠E=90°‎ ‎∠B=∠C ‎∴∠EFA=∠E ‎∴AE=AF ‎6.如图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.‎ 解：∵AD=DC ‎∴∠ACD=∠A=20°‎ ‎∵∠ACD∶∠BCD=2∶3‎ ‎∴∠BCD=30°‎ ‎∴∠ACB=50°‎ ‎∴∠ABC=110°‎ ‎【教学说明】在此练习过程中，一定要注意学生的书写格式，必要时教师要在黑板上板书几何过程.‎ 五、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 216‎ 布置作业:教材“习题2.3”中第1、2、3 题.‎ 在本节课的教学中，要采用小组合作的方式教学，在小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上几个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板书证明,其余学生挑选其证明过程的书写是否规范.然后，教师补充强调.‎ 第2课时 等腰（边）三角形的判定 ‎【知识与技能】‎ 探索等腰三角形的判定定理.‎ ‎【过程与方法】‎ 理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.‎ ‎【情感态度】‎ 通过探索一个三角形是等腰三角形的条件，培养学生的探索能力.‎ ‎【教学重点】‎ 理解等腰三角形的判定定理.‎ ‎【教学难点】‎ 理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.‎ 一、情景导入，初步认知 如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？‎ 在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边是什么关系？‎ 216‎ ‎【教学说明】由现实中的实际问题入手，设置问题情境，导入本课的主题，为学生提供参与活动的时间和空间，调动学生的主观能动性.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.探究：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？‎ 你能用什么方法得出你的结论？请相互交流，归纳、总结.‎ ‎【归纳结论】有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.‎ ‎【教学说明】培养学生的动手能力，探究归纳得出等腰三角形的判定定理.‎ ‎2.动脑筋：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？‎ ‎【教学说明】引导学生证明.‎ ‎【归纳结论】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P64例2、P65例3.‎ ‎2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36，BD,CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中等腰三角形有（A）‎ A.5个B.4个C.3个D.2个 ‎3.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 .‎ 答案：∠BAD=∠CAD或∠ABD=∠ACD ‎4.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，则△ABC中是 三角形.‎ 答案：等腰 ‎5.已知，如图，等腰△ABC，AB=AC：‎ ‎（1）若AB=BC，则△ABC为 等边 三角形；‎ ‎（2）若∠A=60°，则△ABC为 等边 三角形；‎ ‎（3）若∠B=60°，则△ABC为 等边 三角形.‎ 216‎ ‎ ‎ 第5题图 第6题图 ‎6.如图，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为D，E为AC的中点，AD=DE=6 cm则∠ACD=（ ）°,AC= cm,∠DAC=( )°，△ADE是 三角形.‎ 答案：30 12 60 等边 ‎ ‎7.如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD = CE.求证：△ABC是等腰三角形.‎ 证明：∵S△ABC=12(AB·CE)=12(AC·BD) ‎ 且BD = CE ‎∴AB=AC ‎∴△ABC是等腰三角形.‎ ‎8.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC=AB.‎ 解：（1）∵AB=AC ‎∴∠B=∠C=30°‎ ‎∵∠C+∠BAC+∠B=180°‎ ‎∴∠BAC=180°-30°-30°=120°‎ ‎∵∠DAB=45°‎ ‎∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°；‎ ‎（2）∵∠DAB=45°‎ ‎∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°‎ ‎∴∠DAC=∠ADC ‎∴DC=AC ‎∴DC=AB.‎ ‎【教学说明】及时巩固、反馈，开放式的变式训练，培养学生思维的发散性.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 216‎ 布置作业:教材“习题2.3”中第4、6题.‎ 学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识.初二学生在这个阶段逐渐在各方面开始成熟，思维深刻性有了明显提高，有着独特的认识问题和解决问题的思维方式. 因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算.培养学生的动手、归纳猜想的能力；培养学生证明用文字表述的几何命题的能力；使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分类思想、转化思想.再进一步培养学生独立思考、勇于探索的创新精神和关于数学内容间普遍存在的相互联系、相互转化的观点.‎ ‎2.4线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 ‎【知识与技能】‎ 证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几何图形的认识.‎ ‎【情感态度】‎ 通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.‎ ‎【教学重点】‎ 运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题.‎ ‎【教学难点】‎ 垂直平分线的性质与判定的运用.‎ 一、情景导入，初步认知 如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.‎ 216‎ ‎（1）P1到端点A、B的距离是什么？分别表示为_______、_______.‎ ‎（2）量一量这两个距离，你能猜想出什么结论？‎ ‎（3）你能用什么方法来证明你的猜想，试写出论证(或说明).‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.观察：如图，人字形屋顶的框架中，点A与A′关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？‎ ‎【归纳结论】垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.‎ ‎2.探究：如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P,连接PA,PB，线段PA,PB之间有什么关系？‎ ‎【归纳结论】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.‎ ‎3.动脑筋：如图，我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果一点P到线段AB两端的距离PA,PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？‎ ‎【归纳结论】线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.‎ ‎【教学说明】引导学生分析证明过程.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P69例题. ‎ ‎2.已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.‎ 求证：直线 AO 垂直平分线段BC．‎ 216‎ 证明：∵ AB = AC ‎∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.‎ 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.‎ ‎∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）‎ ‎3.如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E， AC = 5，BC = 8，求△AEC的周长.‎ 解：∵DE为△ABC的AB边的垂直平分线 ‎∴AE=BE ‎∴C△AEC=AC+AE+CE=AC+BE+CE ‎ =AC+BC=5+8=13‎ ‎4.如图，已知：线段CD垂直平分AB，AB平分∠DAC. 求证：AD∥BC.‎ 证明：∵CD是AB的垂直平分线，‎ ‎∴AC=BC，‎ ‎∴∠CAB=∠B，‎ 又∵∠CAB=DAB，‎ ‎∴∠DAB=∠B，‎ ‎∴AD∥BC.‎ ‎5.如图，已知：AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=CE. 求证：△‎ 216‎ ABC是等腰三角形.‎ 证明：∵BE=CE,AD⊥BC，‎ ‎∴AD是BC的垂直平分线，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形.‎ ‎6.如图，已知：AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB=75°，∠DMC=45°，AM=DM. 求证：AB=BC. ‎ 证明：连接AC ‎∠AMD=180°-75°-45°=60°，且AM=DM，‎ ‎∴△AMD是等边三角形 ‎∴AM=AD. ‎ 又∵∠MDC=90°-45°=45°，‎ ‎∴∠MDC=∠DMC，‎ ‎∴CD=CM，‎ ‎∴AC为DM的垂直平分线，‎ 又∵CD=CM ‎∴CH是△CDM的角平分线 ‎∴∠ACM=90°-45°=45°，‎ ‎∴BC=AB.‎ ‎【教学说明】学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 216‎ 布置作业:教材“习题2.4”中第1、2、6题.‎ 由于本节课是对垂直平分线的性质与判定的综合应用，学生掌握起来难度较大，所以要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.‎ 第2课时 线段垂直平分线、垂线的作法 ‎【知识与技能】‎ 掌握线段垂直平分线、垂线的作法.‎ ‎【过程与方法】‎ 联系线段垂直平分线的知识，经历探索线段的垂直平分线的作画过程.‎ ‎【情感态度】‎ 通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.‎ ‎【教学重点】‎ 掌握线段垂直平分线、垂线的作法.‎ ‎【教学难点】‎ 垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用.‎ 一、情景导入，初步认知 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?‎ ‎【教学说明】从实际问题入手，提高学生学习兴趣，使学生明白数学来源于生活，应用于生活.‎ 二、思考探究，获取新知 216‎ ‎1.作出线段AB的垂直平分线 作法：‎ ‎（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；‎ ‎（2）作直线CD 所以直线CD就是线段AB的垂直平分线.‎ 问：（1）这样所作的直线为什么是线段的垂直平分线？‎ ‎（2）你能作出线段AB的中点吗？‎ ‎2.过一点作已知直线的垂线 问题1：过已知直线l外一点P你能做这条直线l的垂线CD吗？（只用圆规和直尺）‎ 作法：（1）以P点为圆心，以大于点P到直线l的距离为半径画弧，交直线l于A、B两点；‎ ‎（2）分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；‎ ‎（3）作直线CD 所以直线CD就是直线l的垂线.‎ 问题2：过已知直线l上一点P,你能做这条直线l的垂线CD吗？（只用圆规和直尺）‎ ‎（类似问题2作法）‎ ‎【教学说明】活动时可以先让学生讨论，然后点名学生板演，下面学生可以模仿着做，最后教师进行归纳和总结.‎ 三、运用新知，深化理解 要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短.‎ 216‎ 解：作点A关于l（街道看成是一条直线）的轴对称点A′，连接A′B与l交于C点.奶站应建在C点处，才能使从A、B到它的距离之和最短.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题2.4”中第5题.‎ 本课教学力求充分体现内容的基础性，方法的灵活性，学生学习的主体性和教学的主导性，在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察、动手交流和表述，并借助多媒体的手段辅助教学，增强直观性、激发学习兴趣，强调分组讨论，学生与学生之间很好的交流与合作，利用师生的双边活动，激发学生学习兴趣，教师从中发现、搜集学生的学习情况，查漏补缺，适时调度，从而顺利达到教学的目的.‎ ‎2.5全等三角形 第1课时 全等三角形的概念和性质 ‎【知识与技能】‎ 借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作、重叠图形等过程，了解图形全等的意义和全等三角形的定义，了解图形全等的特征和全等三角形的性质.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历“我实践，我发现”，“几何常识我知道”，“实践问题我创造”的教学活动由此“感悟图形的全等——应用图形的全等——创造图形的全等”，带动知识发生、发展的全过程.‎ ‎【情感与态度】‎ 216‎ 学生积极参与图形全等的探究过程，从中体会合作与成功的快乐，建立学习好数学的自信心，体会图形全等在现实生活中的应用价值.‎ ‎【教学重点】‎ 全等图形的概念.‎ ‎【教学难点】‎ 全等三角形的性质.‎ 一、情景导入，初步认知 请同学们观察这些图片有何特征?‎ ‎【教学说明】设置有趣的生活图片，一组是实物图形，一组是几何图形.让学生通过观察，对全等图形有一个感性认识.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.做一做：如图，是两组形状、大小完全相同的图形，用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？‎ ‎【归纳结论】我们把能够完全重合的两个图形叫作全等图形.‎ ‎2.动脑筋：如图，△ABC经过平移、旋转、轴反射后得到△A′B′C′,问△ABC与△A′B′C′能完全重合吗？‎ ‎【归纳结论】能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.‎ 全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角.‎ 比如，在图中，△ABC与△A′B′C′能够完全重合，它们是全等的.其中顶点A与A′重合，它们是对应顶点；AB边与A′B′边重合，它们是对应边；∠A与∠A′重合，它们是对应角. △ABC与△A′B′C′全等，我们把它记作“△ABC≌△A′B′C′”‎ 216‎ ‎. 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.‎ ‎3.思考：根据全等三角形的定义，你能得到全等三角形的性质吗？‎ ‎【归纳结论】全等三角形的对应边相等，对应角相等.‎ ‎【教学说明】让学生知道三角形的对应顶点、对应边和对应角，并指出其中的对应角和对应边. ‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P75例1. ‎ ‎2.下列说法正确的是（C）‎ ‎①用一张相纸冲洗出来的10张1寸相片是全等形；‎ ‎②我国国旗上的4颗小五角星是全等形；‎ ‎③所有的正方形是全等形；‎ ‎④全等形的面积一定相等.‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎3.对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，面积也相同．其中能获得这两个图形全等的结论共有（A）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4.下列图形：①两个正方形；②每边长都是1cm的两个四边形；③每边都是2cm的两个三角形；④半径都是1.5cm的两个圆．其中是一对全等图形的有（B ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎5.全等图形的 大小 和 形状 都相同．‎ ‎6. 找出图中的全等图形:‎ 解：（1）和（8），（2）和（6），‎ ‎（3）和（9），（5）和（7），‎ 216‎ ‎（13）和（14）.‎ ‎7. 下列图形中，哪些是全等图形？用线把它们连接起来．‎ 解：略 ‎8.如图:△ABC≌△AEC, ∠B=30°,∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数.‎ 解：在△ABC中, ∠B=30°,‎ ‎∠ACB=85°∴∠BAC=180°-85°-30°=65°‎ ‎ ∵△ABC≌△AEC ‎ ∴∠E=∠B=30°‎ ‎∠ACE=∠ACB=85°‎ 在三角形ACE中 ‎∠CAE=180°-∠E-∠ACE=65°‎ 即，△AEC各内角的度数分别为∠E=30°、∠ACE=85°、∠CAE=65°.‎ ‎【教学说明】巩固新知.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题2.5”中第1题.‎ 通过这节课的教学实践，使教师认识到；教学必须紧密联系学生的生活和实际，使学生对所学的内容兴趣盎然，乐于探究.教师最精彩的表现应该是高明的引导者、组织者、合作者，而不是舞台的主人——演员.全面的培养学生的创新意识与实践能力.‎ 216‎ 第2课时 SAS ‎【知识与技能】‎ ‎1.能主动积极探索出三角形全等的条件“SAS”.‎ ‎2.能熟练运用“SAS”判别方法来进行有条理的思考并进行简单的证明.‎ ‎3.初步综合运用四种判别方法来判定三角形全等.‎ ‎【过程与方法】‎ 学生经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，由此带动知识发生、发展的全过程.‎ ‎【情感态度】‎ 通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心.‎ ‎【教学重点】‎ 掌握三角形全等的条件“SAS”，并能利用它来判定三角形是否全等.‎ ‎【教学难点】‎ 探索三角形全等的条件“SAS”的过程及几种方法的综合应用.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.什么叫全等图形？什么叫作全等三角形？‎ ‎2.全等的符号是什么？‎ ‎3.如何判定两个三角形全等呢？‎ ‎【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的学习作铺垫.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.探究：每位同学在纸上的两个不同位置分别画出一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm,2.5cm,将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？‎ ‎2.换两条线段和一个角试试，你发现了什么？‎ ‎【归纳结论】两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或简记为（SAS）.‎ 216‎ ‎ 【教学说明】通过学生实践,让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力，提高他们归纳知识的能力和组织语言能力、表达能力.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P78例2.‎ ‎2.如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是（B）‎ Ａ．∠A=∠DＢ B.∠B=∠E Ｃ．∠C=∠FＤ．以上三个均可以 ‎ ‎ 第2题图 第3题图 ‎3.如图，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°,∠BAE=60°,则∠CAE= 20°.‎ ‎4.如图，已知AC⊥BD，BC=CE，则∠B与∠D的关系是 互余 .‎ ‎ ‎ 第4图 第5题图 ‎5.如图，AC=AD，AB平分∠CAD，那么BC=BD吗?为什么?‎ 解：BC=BD，‎ 理由是：‎ ‎∵AB平分∠CAD,∴∠CAB=∠DAB.‎ 在△ABC和△ABD中，‎ ‎∵ AC＝AD;‎ ‎∠CAB＝∠DAB;‎ AB＝AB.‎ ‎∴△ABC≌△ABD（SAS）‎ 216‎ ‎∴BC＝BD.‎ ‎6.如图,AD∥CB，AD＝CB，那么∠B=∠D吗?为什么?‎ 解：∠B=∠D，‎ 理由是：‎ ‎∵AD∥CB ‎∴∠DAC＝∠BCA.‎ 在△ABC和△CDA中，‎ AD＝CB;‎ ‎ ∠BCA＝∠DAC;‎ AC＝CA.‎ ‎∴ ABC≌△CDA ‎∠B＝∠D.‎ ‎7.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD 证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形.‎ ‎∴∠ABE=∠CBD=60°‎ ‎∵AB=CB, BE=BD 在△ABE与△CBD中，‎ AB=CB;‎ ‎∠ABE=∠CBD;‎ BE=BD.‎ ‎∴△ABE≌△CBD(SAS)‎ 216‎ ‎∴AE=CD ‎8.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2．‎ 求证：AD⊥BC．‎ 证明：在△ABD和△ACD中，‎ ‎∵ AB=AC(已知)‎ ‎∠1=∠2(已知)‎ AD=AD（公共边）‎ ‎∴△ABD≌△ACD(SAS).‎ ‎∴BD=CD,∠3=∠4.‎ 又∵∠3+∠4=180°，‎ 即2∠3=180°，‎ ‎∠3=90°，‎ ‎∴AD⊥BC．‎ ‎【教学说明】检验学生的掌握情况,培养学生的逻辑思维能力.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材P78“练习”.‎ 本节在应用定理判定三角形全等时的练习有点多，可能有些学生思维有点跟不上，是本节课的一大遗憾. 另外，在小组交流时气氛不是很活跃. 最后，我考虑在这种情况下是否可以让一个小组展示，一个小组讲解可能会更好一些.‎ 总之，从本节课的教学效果来看，学生能达到这个程度还算可以，实现了本节课的教学目标.自己以后要吸取教训.‎ 第3课时 ASA 216‎ ‎【知识与技能】‎ 使学生理解ASA的内容，能运用ASA全等判定法来判定三角形全等进而说明对应线段或角相等.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过画图、实验、发现、应用的过程教学，树立学生知识源于实践用于实践的观念.‎ ‎【情感态度】‎ 通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心.‎ ‎【教学重点】‎ 掌握三角形全等的条件“ASA”，并能利用它来判定三角形是否全等.‎ ‎【教学难点】‎ 探索三角形全等的条件“ASA”的过程及几种方法的综合应用.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.我们已学过判定两个三角形全等的简便方法是什么?判定三角形全等是不是还有其它方法呢？‎ ‎2.有一块三角形纸片撕去了一个角,要去剪一块新的,如果你手头没有测量的仪器,你能保证新剪的纸片形状、大小和原来的一样吗?‎ ‎【教学说明】既复习了全等三角形的“SAS”的判定方法，又唤起学生对新知识探索学习的渴望，激发学生的兴趣，从而提高学生学习的热情.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果BC=B′C′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,你能通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与△A′B′C′重合吗？‎ ‎2.请同学们动手做一个实验：同桌两位同学为一组.‎ ‎（1）共同商定画出任意一条线段AB，与两个角∠A、∠B（∠A+∠B<180°）‎ ‎（2）两位同学各自在硬纸板上画线段A′B′的长等于商定的线段AB的长，在A′B′‎ 216‎ 的同旁，画∠B′A′C′等于商定的∠A，画∠A′B′C′等于商定的∠B，设A′C′与B′C′相交于点C′，便得△A′B′C′.‎ ‎（3）用剪刀各自剪出△A′B′C′，将同桌同学剪出的两个三角形重叠在一起发现了什么？其他各桌的同学是否也有同样的结论呢？‎ ‎【归纳结论】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为“角边角”或为“ASA”.‎ ‎【教学说明】通过学生实践,让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力，提高他们归纳知识的能力和组织语言的能力、表达能力.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P79例3、P80例4.‎ ‎2.如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点，∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗？为什么？‎ 解：△AOC≌△BOD 理由是：‎ ‎∵O是AB的中点(已知）‎ ‎∴AO=BO（线段中点定义）‎ 又∵AB与CD相交于点O（已知）‎ ‎ ∴ ∠1=∠2（对顶角相等）‎ 在△AOC与△BOD中，‎ ‎ ∠A=∠B（已知）；‎ AO=BO(已证）；‎ ‎∠1=∠2（已证）.‎ ‎∴△AOC≌△BOD（ASA)‎ ‎3.如图，∠1=∠2，∠D=∠C，试说明△ADB ≌△ACB 证明：∵在△ADB中，‎ ‎∠3=180°-∠1-∠D(三角形内角和定理）‎ ‎∵在△ACB中，‎ ‎∠4=180°-∠2-∠C(三角形内角和定理）‎ 而∠1= ∠2，∠D=∠C（已知）‎ 216‎ ‎∴∠3=∠4（等量代换）‎ ‎∴在△ADB和△ACB中 ‎∠1= ∠2(已知）；‎ ‎ AB=AB（公共边）；‎ ‎ ∠3=∠4（已证）.‎ ‎∴△ADB ≌△ACB（ASA)‎ ‎4.如图，AB＝AC，∠B＝∠C，你能证明△ABD≌△ACE吗？‎ 证明： △ABD和△ACE中 ‎∠B=∠C(已知)；‎ AB=AC(已知)；‎ ‎∠A=∠A（公共角）.‎ ‎∴△ABD≌△ACE(ASA)‎ ‎5.求证“等腰三角形两底角的平分线相等”.‎ 证明：∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB．‎ ‎∴∠2=∠4．‎ 在△ABD和△ACE中，‎ ‎∠2=∠4；‎ AB=AC；‎ ‎∠A=∠A．‎ ‎∴△ABD≌△ACE(ASA)．‎ ‎∴BD=CE ‎【教学说明】使学生对三角形全等条件有了一个更清楚的理解——两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.在学生做题的过程中，学生还能体会到严谨的数学思想.‎ 五、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材P80“练习”.‎ 216‎ 本节课从复习旧知识入手，把知识点问题化，在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养学生类比的思想方法，让学生学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学教材在内容安排上螺旋上升的特点.采用自主探究、合作学习、组内交流的学习方式，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣，让学生在经历知识产生发展的过程中，体会“学数学”的乐趣.‎ 第4课时 AAS ‎【知识与技能】‎ ‎1．知道“角角边”的内容. ‎ ‎2．利用“AAS”证明全等，为证明线段相等和角相等创造条件.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力.‎ ‎【情感态度】‎ 学生积极参与三角形全等条件的探究过程，从中体会证明与成功的快乐，增强学习好数学的自信心，体会三角形全等条件在现实生活中的应用价值.‎ ‎【教学重点】‎ 三角形“角角边”的全等条件.‎ ‎【教学难点】‎ 用三角形“角角边”的条件进行有条理的思考并进行简单的推理.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.什么叫作全等三角形，如何判定两个三角形全等？‎ ‎2.判定三角形全等是不是还有其它方法呢？‎ ‎【教学说明】复习上节课的知识，同时为本节课的教学作铺垫.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,BC=B′C′,那么△ABC与△A′B′C′ 全等吗？‎ 216‎ ‎ 2.你能证明吗？‎ ‎ 3.动手画一画：比如∠A=45°，∠C=60°，AB=3cm，你能画这个三角形吗？‎ 提示：这里的条件与实验中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为实验中的条件吗？‎ 你画的三角形与同伴画的一定全等吗？‎ ‎【归纳结论】两个角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成：“角角边”或“AAS”.‎ ‎【教学说明】通过学生实践,让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力，提高他们归纳知识的能力和组织语言能力.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P81例5、P82例6.‎ ‎2.如图， 应填什么就有△AOC≌△BOD？‎ ‎∠A=∠B（已知）；‎ AC=BD（已知）； ‎ ‎∠C=∠D（已知）.‎ 所以△AOC≌△BOD（ ASA ）‎ 如图， 应填什么就有△AOC≌△BOD？‎ ‎∠A=∠B（已知）；‎ CO=DO（已知）；‎ ‎∠C=∠D（已知）.‎ 所以△AOC≌△BOD（ AAS ）‎ 如图，应填什么就有△AOC≌△BOD？‎ ‎∠A=∠B（已知）；‎ AO=BO（已知）；‎ ‎∠C=∠D（已知）.‎ 所以△AOC≌△BOD（AAS）‎ ‎3.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．‎ 216‎ 求证：PD=PE．‎ 证明：∠1=∠2，OP=OP，‎ ‎∴△PDO≌△PEO(AAS)．‎ ‎∴PD=PE ‎4.已知：如图，BC=DC，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADC．‎ 证明：∵∠1=∠2‎ ‎∴∠ACB=∠ACD ‎∵AC=AC,BC=DC ‎∴△ABC≌△ADC（SAS）.‎ ‎5.如图，∠B＝∠C ，AD平分∠BAC，你能证明△ABD≌△ACD吗？‎ 若BD＝3 cm，则CD有多长？‎ 证明：∵AD平分∠BAC ‎∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义）‎ 在△ABD和△ACD中 ‎∠B=∠C(已知)；‎ ‎∠BAD=∠CAD；‎ AD=AD. ‎ ‎∴△ABD≌△ACD（AAS）‎ ‎∴BD＝CD ‎∵BD＝3 cm（已知）‎ ‎∴CD＝BD＝3 cm（等量代换)‎ ‎6.如图，在△ABC中，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，且BE＝CF，那么BD与DC相等吗？你能说明理由吗？‎ 216‎ ‎ 解：BD＝DC.理由如下：‎ ‎∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F.‎ 在△BED与△CFD中，‎ ‎∠BED＝∠CFD；‎ ‎∠BDE＝∠CDF；‎ BE＝CF.‎ ‎∴△BED≌△CFD（AAS）‎ ‎∴BD＝DC ‎【教学说明】使学生对三角形全等条件有了一个更清楚的理解——两个角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.在学生证明的过程中，学生还能体会到严谨的数学思想.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材P82“练习”.‎ 本节课从复习旧知识入手，把知识点问题化，培养学生类比的思想方法，让学生学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学教材在内容安排上螺旋上升的特点.采用自主探究、合作学习、组内交流的学习方式，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣.‎ 第5课时 SSS ‎【知识与技能】‎ 216‎ 了解三角形的稳定性，三角形全等的条件“边边边”， 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.‎ ‎【过程与方法】‎ 使学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、交流等过程，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验.‎ ‎【情感态度】‎ 培养学生的空间观念以及推理能力，培养学生有条理的表达能力，积累数学活动经验.‎ ‎【教学重点】‎ 三角形的全等条件“边边边”.‎ ‎【教学难点】‎ 用三角形的全等条件“边边边”进行有条理地思考并进行简单的推理.‎ 一、情景导入，初步认知 请问同学，老师在黑板上画的两个三角形，当△ABC与△A′B′C′满足什么条件时，这两个三角形全等.还有其它方法来判定它们全等吗？‎ ‎【教学说明】既对上节课的知识复习，又为本节课的教学作铺垫.‎ 二、合作探究，探索新知 ‎1.探究：如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′,那么△ABC与△A′B′C′ 全等吗？‎ ‎【教学说明】教师引导学生证明.‎ ‎ 2.做一做：画一个三角形，使它 的三边的长度分别为3cm、4cm、5cm，你能画出这个三角形吗？‎ ‎3‎ 216‎ ‎.你所画的三角形与其他同学画的三角形全等吗？请你结合画图、对比，说说你发现了什么？‎ ‎【归纳结论】三边分别相等的两个三角形全等.简写为“边边边”或“SSS”.‎ ‎【教学说明】以问题串的形式引导学生逐步深入地思考可以使三角形全等的条件，问题的提出从条件的由少到多，由简到繁，一步步深入、引导，通过一系列的活动最终得出正确的结论.‎ ‎4.探究：取三根长度适当的木条，用钉子钉成一个三角形的框架，你所得到的框架的形状固定吗？用四根木条钉成的框架的形状固定吗？‎ ‎【归纳结论】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.‎ ‎【教学说明】让学生感受实例，直观，生动，便于理解.‎ 在此基础上，向学生提出：‎ ‎（1）.你能举出一些生活中应用三角形的稳定性的例子吗？‎ ‎（2）.图（2）的形状是可以改变的，它不具有稳定性.，你如何才能使图（2）的框架不能活动，也具有稳定性？‎ ‎ 【教学说明】从理论上升到实践，将知识延伸开去，应用到生活实践，才真正做到学有所用.‎ ‎5.根据下列条件，分别画出△ABC与△A′B′C′.‎ ‎（1）AB=A′B′=3 cm，AC=A′C′=2.5 cm,∠B=∠B′=45°;‎ ‎ (2)∠A=∠A′=80°,∠B=∠B′=30°,∠C=∠C′=70°.‎ 分别满足上述条件画出的△ABC与△A′B′C′一定全等吗？因此你能得出什么结论？‎ ‎【归纳结论】两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等；三个对应角相等的两个三角形不一定全等.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P83例7、P84例8.‎ ‎2.教材P85例9. ‎ ‎1.如图，已知AB=AC，BD=DC，那么下列结论中不正确的是（C）‎ 216‎ A．△ABD≌△ACD B．∠ADB=90°‎ C．∠BAD是∠B的一半 D．AD平分∠BAC ‎2.如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC= 76° .‎ ‎3.如图，是一个风筝模型的框架，由DE=DF，EH=FH，就说明∠DEH=∠DFH.试用你所学的知识说明理由.‎ 证明：由于已知DE=DF，EH=FH，连结DH，这是两个三角形的公共边，于是，‎ 在△DEH和△DFH中，‎ DE=DF；‎ EH=FH；‎ DH=DH.‎ 所以△DEH≌△DFH（SSS），‎ 所以∠DEH=∠DFH（全等三角形的对应角相等）.‎ ‎4.如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.‎ ‎【分析】根据条件OA=OC,EA=EC，OA、EA和OC、EC恰好分别是△EAO和△ECO的两条边，故可以构造两个三角形，利用全等三角形解决.‎ 解:连结OE 在△EAO和△ECO中，‎ OA=OC(已知);‎ 216‎ EA=EC（已知）;‎ OE=OE(公共边).‎ ‎∴△EOA≌△EOC（SSS）‎ ‎∴∠A＝∠C（全等三角形的对应角相等）‎ ‎5.如图,AD=BC,AB=DC. 求证：∠A+∠D=180°.‎ 证明：连结AC 在△ABC和△ACD中，‎ ‎∵ AD=BC;‎ AB=DC;‎ ＡＣ＝ＣＡ. ‎ ‎∴△ＡＢＣ≌△ＣＤＡ(SSS)‎ ‎∴∠ＢＡＣ=∠ACD ‎∴ＡＢ∥ＣＤ ‎∴∠Ａ＋∠Ｄ＝180°‎ ‎6.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD.‎ 求证：∠C=∠A.‎ 证明：连结BD.‎ 在△ABD和△CBD中，‎ ‎∵AB=CB；‎ AD=CD；‎ BD=BD.‎ ‎∴△ABD≌△CBD.‎ ‎∴∠C=∠A.‎ ‎【教学说明】巩固练习，对课上的探索结论有更深一步的认识.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 216‎ 布置作业:教材“习题2.5”中第3、5、9、10 题.‎ 在课堂上要给予学生充分的时间去思考、动手实践，而不是使合作流于形式.要把合作交流的空间真正的还给学生.教师在课堂中还要照顾到每一名学生，让全体的学生都动起来.在把他们的结论互相比较之前，应该留给学生足够的时间，使大部分的学生都能完成画图的活动，不能以一些思维活跃的学生的完成时间作为标准，剥夺了其他学生的操作时间.教师还应对画图有困难的学生给予适当的指导.‎ 第6课时 全等三角形的性质和判定的应用 ‎【知识与技能】‎ 会综合用各种方法判定两个三角形全等.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力.‎ ‎【情感态度】‎ 学生积极参与三角形全等条件的探究过程，从中体会证明与成功的快乐，增强学习好数学的自信心，体会三角形全等条件在现实生活中的应用价值.‎ ‎【教学重点】‎ 三角形全等的判定方法的综合运用.‎ ‎【教学难点】‎ 作辅助线构建全等三角形.‎ 一、情景导入，初步认知 如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地，若CE⊥AB，DF⊥AB，则C，D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？‎ 二、合作探究，探索新知 216‎ 如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△DEF；‎ ‎（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．‎ ‎【归纳结论】（1）先证明BC=EF，再根据S.S.S.即可证明；（2）AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P86例10.‎ ‎2.将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连结D1B，求∠E1D1B的度数.‎ ‎【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE=60°，由旋转的性质可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，从而得到∠BCD1=∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根据∠E1D1B=∠BD1C-∠CD1E1计算即可得解．‎ 解：∵∠CED=90°，∠D=30°，‎ ‎∴∠DCE=60°，‎ ‎∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，‎ ‎∴∠BCE1=15°，‎ ‎∴∠BCD1=60°-15°=45°，‎ ‎∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△CD1B中，‎ AC=CB,‎ ‎∠A=∠BCD1,‎ AB=CD1,‎ 216‎ ‎∴△ABC≌△CD1B（S.A.S.），‎ ‎∴∠BD1C=∠ABC=45°，‎ ‎∴∠E1D1B=∠BD1C-∠CD1E1=45°-30°=15°．‎ ‎3.如图，已知BE与CD相交于点A，M为BC的中点，∠1=∠2，AB=AC，求证：∠DBM=∠ECM．‎ ‎【分析】连结MA，可证得△ABM≌△ACM，可得出∠MAB=∠MAC，∠MAD=∠MAE，由题干中的条件可得∠AMD=∠AME，可证得△AMD≌△AME，得MD=ME，再证明△MBD≌△MCE即可得出结论．‎ 证明：如图，连结MA.‎ ‎∵AB=AC，M为BC中点.‎ 在△ABM和△ACM中，‎ AB=AC,‎ BM=CM,‎ AM=AM,‎ ‎∴△ABM≌△ACM(SSS),‎ ‎∴∠MAB=∠MAC，∠AMB=∠AMC，‎ ‎∴∠DAM=∠EAM，‎ ‎∵∠1=∠2，∴∠AMD=∠AME.‎ 在△AMD和△AME中，‎ ‎∠DAM=∠EAM,‎ AM=AM,‎ ‎∠AMD=∠AME,‎ ‎∴△AMD≌△AME（ASA），‎ ‎∴MD=ME，在△MBD和△MCE中，‎ MD=ME,‎ ‎∠1=∠2,‎ 216‎ MB=MC,‎ ‎∴△MBD≌△MCE（SAS），‎ ‎∴∠DBM=∠ECM．‎ ‎4.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围. ‎ ‎【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BA，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出AE的取值范围，然后由AE=2AD即可求解．‎ 解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连结CE.∵AD是BC边上的中线，‎ ‎∴BD=CD，在△ABD和△ECD中,‎ BD=CD，‎ ‎∠ADB=∠EDC，‎ AD=ED，‎ ‎∴△ABD≌△ECD（SAS），‎ ‎∴CE=AB，∵AB=3，AC=4，‎ ‎∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，‎ ‎∵AE=2AD，∴0.5＜AD＜3.5.‎ ‎5.如图①，AB∥CD，BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．‎ 求证：BC=AB+CD．‎ 分析：有两种思路：① 截长：在BC上取点F，使BF=BA，连结EF，先证△ABE≌△FBE，得出∠A=∠BFE，再证△CDE≌△CFE，就可以得出CD=CF，即可证明结论．②补短：延长BA、CE交于F,证明△FBE≌△CBE,△FAE≌△CDE即可得出结论.‎ 证明：方法一：截长.‎ 216‎ 如图②，在BC上取点F，使BF=BA，连结EF，‎ ‎∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，‎ ‎∴∠1=∠2，∠3=∠4．‎ 在△ABE和△FBE中，‎ AB=FB，‎ ‎∠1=∠2，‎ BE=BE，‎ ‎∴△ABE≌△FBE（S.A.S.），‎ ‎∴∠A=∠5．∵AB∥CD，‎ ‎∴∠A+∠D=180°，‎ ‎∴∠5+∠D=180．‎ ‎∵∠5+∠6=180°，‎ ‎∴∠6=∠D．在△CFE和△CDE中，‎ ‎∠6=∠D，‎ ‎∠3=∠4，‎ CE=CE，‎ ‎∴△CFE≌△CDE（AAS），‎ ‎∴CF=CD．‎ ‎∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD．‎ 方法二：补短.‎ 如图③，延长BA、CE交于点F.‎ ‎∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°.‎ ‎∵BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，‎ ‎∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠BCD.‎ ‎∴∠2+∠3=(∠ABC+∠BCD)=90°.∴∠BEC=90°.‎ 在△BEC和△BEF中，‎ ‎∠2=∠1，‎ BE=BE，‎ ‎∠BEC=∠BEF=90°，‎ 216‎ ‎∴△BEC≌△BEF（A.S.A.），‎ ‎∴BC=BF，EC=EF.‎ ‎∵AB∥CD，∴∠7=∠D，∠F=∠4.‎ 在△EAF和△EDC中，‎ ‎∠7=∠D，‎ ‎∠F=∠4，‎ EF=EC，‎ ‎∴△EAF≌△EDC（A.A.S.），‎ ‎∴FA=CD.‎ ‎∴BC=BF=BA+AF=AB+CD.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题2.5”中第6、7题.‎ 本课时教学应突出学生主体性原则，即通过探究学习，指引学生独立思考，自主得到结果，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验，激发学生探究的激情.‎ ‎2.6用尺规作三角形 第1课时 已知三边作三角形 ‎【知识与技能】‎ ‎1.会利用尺规作三角形：已知三边作三角形.‎ ‎2.会写出三角形的已知、求作和作法.‎ ‎3.能对新作三角形给出合理的解释.‎ ‎【过程与方法】‎ 216‎ 在用尺规作三角形与已知三角形的过程中，体会、思考作图的合理性及依据.‎ ‎【情感态度】‎ 通过师生共同观察、探索、交流、操作，品尝成功的喜悦，形成良好的思维品质，养成科学严谨的学习态度.‎ ‎【教学重点】‎ 作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形.‎ ‎【教学难点】‎ 作图语言的准确应用，作图的规范与准确.‎ 一、情景导入，初步认知 我们已经学会用尺规作一些基本图形，你会作哪些图形呢？动手试一试.‎ ‎【教学说明】作基本图形，为本节课的教学作准备.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.如图，已知线段a,b,c.求作△ABC，‎ 使得AB=c，AC=b，BC=a.‎ 如图：‎ 作法：①作线段BC=a；‎ ‎②以点C为圆心，以b为半径画弧，再以点B为圆心，以c为半径画弧，两弧相交于点A;‎ ‎③连接AB和AC，则 ‎△ABC为所求作的三角形.‎ ‎2.已知线段a,h.求作△ABC，使AB=AC,且BC=a,高AD=h.‎ 如图：‎ 作法：①作线段BC=a；‎ ‎②作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D;‎ ‎③在射线DM（或DN）上截取线段DA，使DA=h; ‎ 216‎ ‎④连接AB,AC,则△ABC为所求作的等腰三角形.‎ ‎3.如图，已知∠AOB，求作∠AOB的角平分线.‎ 如图：‎ ‎ ‎ 作法：①在OA,OB上分别截取线段OD,OE,使OD=OE;‎ ‎②分别以D，E为圆心，以大于DE的一半的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C;‎ ‎③作射线OC，则射线OC为所求作∠AOB的角平分线.‎ ‎【教学说明】在完成三个作图后，同学们要比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等.在此基础上，利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下列各作图题中，可直接用“边边边”条件作出三角形的是（A）‎ A．已知腰和底边，求作等腰三角形 B．已知两条直角边，求作等腰三角形 C．已知高，求作等边三角形 D．已知腰长，求作等腰直角三角形 ‎2.已知三边作三角形，用到的基本尺规作图为（B）‎ A．作一个角等于已知角 B．作一条线段等于已知线段 C．平分已知角 D．作已知直线的垂线 ‎3.下列各题中，属于尺规作图的是（A ）‎ A．画一个40°的角 B．用直尺三角板画平行线 C．用直尺的边缘画垂线 D．用圆规在已知直线上截取一线段等于已知线段 216‎ ‎4.已知线段a、b、c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c，下面作法的合理顺序为 ② ① ③ ‎ ‎①分别以B、C为圆心，c、b为半径作弧，两弧交于点A；‎ ‎②作直线BP，在BP上截取BC=a；‎ ‎③连结AB、AC，△ABC为所求作三角形.‎ ‎5.已知直角三角形的一条直角边和斜边，求作此直角三角形．(要求：写出已知，求作，结论，并用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明)‎ 解：已知：线段m和n 求作：Rt△ABC，使∠ACB=90°，AB=n，AC=m ‎6.已知线段a，b，求作等腰△ABC，使AB=BC=a，AC=b．‎ 解：如图：‎ 作法：（1）作射线AC，在射线AC上截取AC=b；（2）分别以A、C为圆心，a为半径作弧，两弧交AC上方于点B；（3）连接AB、BC，△ABC即为所求．‎ ‎【教学说明】对本节的知识进行巩固练习,考察学生的应变能力，培养学生的转换思想.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题2.6”中第1 、2 题.‎ 216‎ 本节课我将采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构.另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，直观地呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，提高教学效率.‎ 第2课时 已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形 ‎【知识与技能】‎ ‎1.会利用尺规作三角形：已知两角及夹边作三角形，已知两边及夹角作三角形.‎ ‎2.会写出三角形的已知、求作和作法.‎ ‎3.能对新作三角形给出合理的解释.‎ ‎【过程与方法】‎ 在用尺规作三角形与已知三角形的过程中，体会、思考作图的合理性及依据.‎ ‎【情感态度】‎ 通过师生共同观察、探索、交流、操作，品尝成功的喜悦，形成良好的思维品质，养成科学严谨的学习态度.‎ ‎【教学重点】‎ 作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形.‎ ‎【教学难点】‎ 作图语言的准确应用，作图的规范与准确.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.已知：a ‎ 求作：AB，使AB=a ‎2.已知：∠α 求作：∠AOB，使∠AOB=∠α 216‎ ‎【教学说明】通过作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角的复习，为本节课作三角形打好基础.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1、如图，已知∠AOB，求作一个角，使它等于∠AOB.‎ 如图：‎ 作法：①作射线O′A′;‎ ‎②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D;‎ ‎③以O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′，以OD的长为半径画弧;‎ ‎④以C为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于D′；‎ ‎⑤过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′为所求作的角.‎ ‎2.已知∠α和线段a、c.求作△ABC,使∠B=∠α，BC=a,BA=c.‎ 如图：‎ 作法：①作∠MBN=∠α;‎ ‎②在射线BM,BN上分别截取BC=a,BA=c;‎ 216‎ ‎③连接AC,则△ABC为所求的三角形.‎ ‎3.如图，已知∠α，∠β和线段a，求作△ABC,使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，BC=a,‎ 如图：‎ 作法：①作线段BC=a；‎ ‎②在BC的同侧，作∠DBC=∠α，∠ECB=∠β，BD与CE相交于点A，则△ABC为所求作的三角形.‎ ‎【教学说明】在完成三个作图后，同学们要比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等.在此基础上，利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.用尺规作图，下列已知条件：a、两边及夹角，b、三边，c、两角及夹边，d、两边及其中一边的对角.不能作出唯一三角形的是 d .（填序号）‎ ‎2.已知：线段c，∠1.‎ 求作：△ABC，使∠C=90°，∠A=∠1，AB=c.‎ 作法：(1)作∠EAF=∠1.‎ ‎(2)在射线AE上截取AB=c.‎ ‎(3)过点B作BC⊥AF交AF于点C，则△ABC就是所求作的三角形.‎ ‎3.已知两条直角边，求作直角三角形(要求写出已知、求作、作法).‎ 解：已知：线段a、b，‎ 求作：△ABC，使∠C=90°，AC=b，BC=a.‎ 作法：提示，先作∠C=90°.‎ ‎4.如图，已知线段a、b，求作：Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b(不写作法，保留作图痕迹)．‎ 216‎ 解：【分析】先作一个直角∠ACB=90°，再作BC=a，AC=b，连接AB就可以．‎ ‎ 作图如下：‎ ‎5.请你作出一个以线段a为底边，以∠α为底角的等腰三角形(要求：用尺规作图，并写出已知，求作，保留作图痕迹，不写作法和结论).‎ ‎【分析】可先画线段BC=a，进而在BC的同侧作∠MBC=∠α，∠NCB=∠α，MB，CN交于点A，△ABC就是所求的三角形．‎ 已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使BC=a，AB=AC，∠ABC=∠α．‎ ‎△ABC就是所求作的三角形．‎ ‎【教学说明】对本节的知识进行巩固练习.考察学生的应变能力，培养学生的转换思想.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题2.6”中第3、4、5 题.‎ 通过练习情况来看，学生对于涉及到作角的作图题掌握的不够好，不知道该在什么地方作角，因此，对此类题型应多加练习.‎ 216‎ 第2章 三角形 ‎【知识与技能】‎ ‎1.使学生进一步掌握三角形各部分名称与意义、三角形内角和、三角形分类的有关知识.‎ ‎2.掌握全等三角形的性质和判定.‎ ‎【过程与方法】‎ 引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、合情推理能力和归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想.‎ ‎【情感态度】‎ 在整理知识点的过程中培养学生独立思考的习惯，让学生感受成功，并找到解决三角形相关问题的一般方法.‎ ‎【教学重点】‎ 全等三角形的判定.‎ ‎【教学难点】‎ 三角形的应用.‎ 一、知识框图，整体把握 ‎【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.‎ 二、释疑解惑，加深理解 216‎ ‎1.三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边.‎ ‎2.重心的概念：三角形的三条中线相交于一点，我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.‎ ‎3.三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°.‎ ‎4.三角形的内角与外角的关系：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.‎ ‎5.定义的概念：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.‎ ‎6.命题的概念：一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.‎ 我们把正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.‎ ‎7.公理的概念：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公理.‎ ‎8.定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原命题的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.‎ ‎9.证明：证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：①画出图形；②写出已知、求证.③写出证明的过程.‎ ‎10.反证法：先假设命题不成立，然后利用命题的条件或结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.‎ ‎11.等腰三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角角平分线所在的直线；等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高三条线重合（简称“三线合一”)；等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）；‎ 等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.‎ ‎12.等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.‎ ‎13.等边三角形的判定：三个角都是60°的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.‎ ‎14.垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.‎ ‎15.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.‎ 216‎ ‎16.全等三角形的判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”.两个角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”.‎ 三边分别相等的两个三角形全等.简写为“边边边”或“SSS”.‎ ‎17.作三角形：熟练以下三种三角形的作法及依据.①已知三角形的两边及其夹角，作三角形.②已知三角形的两角及其夹边，作三角形.③已知三角形的三边，作三角形.‎ ‎【教学说明】复习本章所学知识点，可采用提问的方式进行.‎ 三、典例精析，复习新知 ‎1.下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（D）‎ A.7cm 、5cm、12cm B.6cm、8 cm、15cm C.8cm、4 cm、3cm D.4cm、6 cm、5cm ‎2.如图1，△AOB≌△COD，A和C，B和D是对应顶点，若BO=8，AO=10，AB=5，则CD的长为（ C ）‎ A.10 B.8 C.5 D、不能确定 ‎ ‎ ‎3.如图2，已知∠1=∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（C ）‎ A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.DB=DC D.AB=AC ‎4.生活中，我们经常会看到如图3所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（A）‎ A.稳定性B.全等性 C.灵活性D.对称性 216‎ ‎5.下列说法错误的是（B）‎ A.任何命题都有逆命题 B.定理都有逆定理 C.命题的逆命题不一定是正确的 ‎ D.定理的逆定理一定是正确的 ‎6.如图9，AB＝CD，BC＝AD，则∠B与∠D相等吗？试说明你的理由.‎ 证明：连接AC，‎ 在△ABC和△CDA中，‎ AB=CD；‎ AC=AC；‎ BC=AD.‎ 故△ABC≌△CDA（SSS）‎ 故∠B=∠D.‎ ‎7.如图10，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB.求证：BC＝AC+AD.‎ 证明：在BC上截取CE=CA，易证得△ADC≌△EDC，故∠A=∠DEC，从而∠DEC=2∠B，又∠DEC=∠B+∠BDE，故∠B=∠BDE，故BE=DE，于是BC=AC+AD.‎ 四、复习训练，巩固提高 ‎1.如果一个三角形三边上的高的交点在三角形的外部，那么这个三角形是（C ）‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 ‎2.根据下列条件作三角形，不能唯一确定三角形的是（ A）‎ A.已知三个角 B.已知三条边 C.已知两角和夹边 D.已知两边和夹角 ‎3.尺规作图：小明作业本上画的三角形被墨迹污染，他想画出一个与原来完全一样的三角形，请帮助小明想办法用尺规作图法画一个出来，并说明你的理由.‎ 216‎ 解：（1）.作线段DE，使DE=AB, ‎ ‎（2）.作∠EDF=∠BAC,∠DEF=∠ABC,两角在DE的同侧，交于F点.则，△DEF即为所求.‎ 图形略.‎ ‎4.已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．‎ 求证：⑴△ABC≌△DEF；‎ ‎⑵BE＝CF．‎ 证明：(1)∵AC∥DF ‎∴∠ACB＝∠F 在△ABC与△DEF中 ‎∠BAC=∠EDF;‎ ‎∠ACB=∠DFE;‎ AB=DE.‎ ‎∴△ABC≌△DEF（AAS）‎ ‎(2)∵△ABC≌△DEF ‎∴BC=EF ‎∴BC-EC=EF-EC 即BE=CF ‎5.如图9，已知线段a，h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：‎ ‎①以点B、C为圆心，以大于a2的长为半径画弧，两弧在BC两侧分别交于点D、M，连结DM交BC于点E. ‎ ‎②以E点为圆心，以h为半径画弧交直线MD延 长线MN于点A.‎ ‎③连接AB、AC,△ABC即为所求.‎ ‎6.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证△ABC≌△ADE.‎ 216‎ 证明：∵∠1=∠2‎ ‎∴∠DAE=∠BAC ‎ ‎∵AB=AD，AC=AE ‎∴△ABC≌△ADE（SAS）‎ ‎7.已知：如图，点E、F在线段BD上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE． ‎ 求证：（1）AE＝CF ‎（2）AF//CE 证明：(1)∵BF=DE,‎ ‎∴BF+FE=DE+FE.‎ 即BE=DF 又∵AB=CD,∠B=∠D,‎ ‎∴△ABE≌△CDF(SAS)‎ ‎∴AE=CF ‎（2）∵△ABE≌△CDF ‎∴∠AEB=∠CFD ‎∴AF//CE(内错角相等，两直线平行)‎ ‎8.如图12，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，D为AB上一点，AD＝AC，AF平分∠CAE交CE于点F.请你猜想FD//BC有怎样的关系？并证明你的猜想.‎ 证明：猜想FD∥BC 由AF平分∠CAE，得∠CAF=∠EAF.‎ 又∵AC=AD，AF=AF，‎ ‎ ∴△ACF≌△ADF（SAS）.‎ ‎∴∠ACF=∠ADF.‎ 又∵∠ACB=90°，CE⊥AB，‎ ‎∴∠CBE和∠ACE都是∠ECB的余角，‎ ‎∴∠CBE=∠ACE，（同角的余角相等）‎ ‎∴∠ADF=∠CBE，‎ ‎∴FD∥BC.（同位角相等，两直线平行）‎ ‎9.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高.‎ 216‎ 求证：AD垂直平分EF.‎ 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高 ‎∴DE=DF ‎∴D在EF的垂直平分线上 在Rt△ADE与Rt△ADF中 DE=DF AD=AD ‎∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)‎ ‎∴AE=AF ‎∴A在EF的垂直平分线上 ‎∴AD垂直平分EF ‎【教学说明】利用习题巩固本章知识点，体验解决问题的方法，培养实践能力和创新意识.‎ 五、师生互动，课堂小结 通过本节课的复习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？‎ 布置作业:教材“复习题”中第4、6、11、13、15、16题.‎ 本节课是对三角形的相关知识和全等三角形进行复习，重心在后一板块，但是在实际课堂中，并没有达到复习课的有效性，导致前一个板块简单知识冗长且重复，而后一个板块没有得到充分地挖掘与展现，主题不鲜明，重点没有突出，有头重脚轻之嫌.‎ 第3章 实数 ‎3.1 平方根 第1课时 平方根和算术平方根 ‎【知识与技能】‎ ‎1.了解平方根和算术平方根的概念； ‎ 216‎ ‎2.会算出一个非负数的平方根及算术平方根；‎ ‎3.了解平方与开平方是互逆运算.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过学习平方根的概念，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维.‎ ‎【情感态度】‎ 让学生体验到数学与生活息息相关，数学来源于生活又应用于生活，数学是有用的数学，是有价值的数学，所以要学好数学.‎ ‎【教学重点】‎ 理解开方与乘方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.‎ ‎【教学难点】‎ 了解平方根与算术平方根的区别与联系.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.一个正方形桌面的边长是‎4m，求这个桌面的面积是多少平方米？‎ ‎2.已知一个正方形的面积是‎25cm2，求它的边长. ‎ ‎3.如果一个正方形展厅的地面面积为55平方米，求它的边长.‎ ‎【教学说明】前两个问题学生能很快地回答出来，而第三个问题学生解答有困难，引发了学生的思维困惑，激发了学生的求知欲和学习兴趣.教师不直接告诉学生答案，表示学习了本节课的内容我们就可以解决这类问题，学生带着问题引入课堂.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.动脑筋：某家庭在装修儿童房时需铺地垫‎10.8m2‎,刚好用去正方形的地垫30块，你能算出每块地垫的边长是多少吗？‎ 每块地垫的面积是：‎ ‎10.8÷30=‎‎0.36m2‎ 即边长×边长=0.36‎ 由于0.62=0.36‎ 因此面积为‎0.36m2‎的正方形地垫的边长是‎0.6m.‎ 216‎ ‎2.上面的问题实际上是：已知幂及乘方的指数求底数，这是什么运算？‎ ‎【教学说明】学生很容易想到是求乘方的逆运算，进而顺势引出平方根的概念.‎ ‎【归纳结论】如果一个数r，使得r2=a,那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.即：若r2=a，则r是a的一个平方根.如，由于22=4，因此2是4的一个平方根.‎ ‎3.探究：4的平方根除了2以外，还有其它的数吗？‎ ‎【归纳结论】如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”；把a的负平方根记作-，读作“负根号a”.这样正数a的平方根可以用“±”来表示.‎ 例如： 2的平方根是“±”.‎ ‎4.零的平方根是多少？负数有平方根吗？‎ ‎【归纳结论】正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.‎ ‎【教学说明】形成“平方根”的概念.在列举一些具体数据的感性认识的基础上,由平方运算反推出平方根的概念和定义，让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化，并明白它们之间的互逆关系.‎ ‎5.一个数的平方根与算术平方根有什么区别和联系？‎ ‎【归纳结论】平方根与算术平方根的联系与区别：‎ 联系：①包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.②存在条件相同:只有非负数才有平方根和算术平方根.‎ 区别：①个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.②表示法不同：平方根表示为±，而算术平方根表示为.‎ ‎【教学说明】注重学生原有认知结构，与原有的概念进行了比较与辨析.因此，学生对平方根和算术平方根概念掌握得比较牢靠,突出本节课的重点.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P107例1、例2.‎ ‎2.下列五个命题：①只有正数才有平方根；②-2是4的平方根；③5的平方根是 ；④±都是3的平方根；⑤(-2)2的平方根是-2；其中正确的命题是（ D ）‎ A．①②③ B．③④⑤‎ 216‎ C．③④ D．②④‎ ‎3.一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是（ D ）‎ A．a+1 B．a2+1 ‎ C．a+1 D．‎ ‎4.下列命题中，正确的个数有（ B ）‎ ‎①1的平方根是1；②1是1的算术平方根；③(-1)2的平方根是-1；④0的算术平方根是它本身 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎5.下列计算正确的是（ A ）‎ A． =2 B.0.1=0.01‎ C.5=± D.±‎ ‎6.（1）若m的平方根是±3，则m = ；‎ ‎（2）若5x+4的平方根是±1，则x = .‎ 答案：（1）9；（2）由5x+4 = 1得x =-‎ ‎7.在下列各数中，-2,(-3)2，-32,,-()有平方根的数的个数为： .‎ 答案：2个 ‎8.若的算术平方根是3，则a = ‎ 答案：81‎ ‎9.求下列各数的值：‎ 答案：①.±12；②.±；③.0.25；④.0.1；⑤.－4；⑥.-；⑦.5；⑧.0.‎ ‎10.小刚同学的房间地板面积为‎16m2‎，恰好由64块正方形的地板砖铺成，求每块地板砖的边长是多少？‎ 解：设每块地板砖的边长为x米，‎ 216‎ 由题意得64·x2 = 16，即x2 ==，所以x =± (负的舍去)，即x =‎ 答：边长为‎0.5米．‎ ‎【教学说明】这个环节围绕本节课的内容设置一组由浅入深的练习，来检测学生的掌握情况.前部分习题较基础巩固知识点，后部分稍有拓展让学有余力的学生思维得到拓展.在这个过程中，充分发挥学生的主体作用，由学生自己完成这些练习，在练习中享受学习的乐趣.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题‎3.1”‎中第1、2、3 题.‎ 实际生活问题情境的引入，激发了学生的好奇心及求知欲，同时让学生感受到数学来源于实践又服务于实践.注重数学思维方式的养成.从具体到抽象，从特殊到一般，逐渐形成平方根的概念；通过分类讨论探究平方根的本质特征；运用类比思想区分“平方根”与“算术平方根”两个概念，“平方”与“开平方”两种运算.‎ 鼓励学生探索和交流：由学生自主合作探究平方根的本质特征，共同归纳“平方根”与“算术平方根”两个概念的区别及联系.学生在交流中互相提高，享受学习的乐趣，同时发挥了学生的主体作用.‎ 精选习题：围绕本节课的重点，精选了有层次,有梯度的习题，既巩固新知又有拓展提升，让学生的思维得到充分的训练.‎ 第2课时 无理数 ‎【知识与技能】‎ ‎1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. ‎ ‎2.探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.‎ ‎3.能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由. ‎ ‎【过程与方法】‎ 216‎ 让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神.‎ ‎【情感态度】‎ 了解有关发现无理数的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.‎ ‎【教学重点】‎ 会判断一个数是否为无理数.‎ ‎【教学难点】‎ 正确理解无理数的意义.‎ 一、情景导入，初步认知 讲故事： 早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示， 他认为在生活中还存在除有理数之外的另一种数. ‎ 到底谁的观点正确呢？我们以前学的有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？‎ 这节课我们就共同来研究这个问题.‎ ‎【教学说明】以故事引入新课首先能激起学生的学习兴趣，同时让学生带着问题听讲新课会收到良好的效果.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.做一做：如图，将一个长为‎4cm，宽为‎2cm的长方形纸片剪拼成一个正方形，最后得到的这个正方形的面积是多少？它的边长是整数吗？‎ ‎【教学说明】小组合作剪拼.小组合作，加强学生的合作意识.‎ ‎2.观察下列结果：‎ ‎2.82=7.84 2.92=8.41‎ 216‎ ‎2.822=7.9524 2.832=8.0089‎ ‎2.8282=7.997584‎ ‎2.8292=8.003241‎ ‎……‎ 从上述数据，你能猜想出面积为8的正方形的边长是多少吗？‎ ‎【归纳结论】既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫作无理数.‎ ‎3.你能列举一些无理数吗？无理数有没有正负之分？‎ ‎ 【教学说明】通过探究、举例、交流让学生自己总结出什么是无理数，有利于培养学生自己解决问题的能力.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P110例3.‎ ‎2.填空题.‎ ‎（1）我们把能够写成分数形式(m、n是整数，n≠0)的数叫做 .‎ ‎（2）有限小数和 都可以化为分数，它们都是有理数.‎ ‎（3） 叫做无理数.‎ ‎（4）写出一个比-1大的负有理数 .‎ 答案：（1）有理数 （2）无限循环小数 （3）无限不循环小数 （4）答案不唯一，如：-0.5‎ ‎3.判断题.‎ ‎（1）无理数与有理数的差都是有理数；‎ ‎（2）无限小数都是无理数；‎ ‎（3）无理数都是无限小数；‎ ‎（4）两个无理数的和不一定是无理数.‎ ‎（5）有理数不一定是有限小数.‎ 答案：（1）错，如3π-0=3π.‎ ‎（2）错，如：0.333….‎ ‎（3）对，无理数的两个前提条件之一无限.‎ ‎（4）对，3π+（-3π）=0.‎ 216‎ ‎（5）对，如：0.333….‎ ‎4.下列说法正确的是：（ B ）‎ A.整数就是正整数和负整数 B.分数包括正分数、负分数 C.正有理数和负有理数统称有理数 D.无限小数叫做无理数 ‎5.m，n分别是6-的整数部分和小数部分，那么‎2m-n的值是（ C ）‎ A.3- B.4-‎ C.6+ D.2+‎ ‎6.的整数部分为 ，小数部分为 .‎ 答案：5；-5.‎ ‎7.满足4，所以>2；‎ 因为32=9，且5<9，所以<3.‎ ‎【教学说明】教师适当引导，学生相互交流，找到解题办法.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P120例2、例3.‎ ‎2.要使二次根式有意义，字母x的取值必须满足的条件是（ A ）‎ A.x≥1 B.x≤‎1 ‎‎ C.x>1 D.x<1‎ ‎3.不用计算器，计算：‎ ‎（1）2+3-4‎ 解：原式=‎ ‎（2）2+3-‎ 解：原式＝（2+3-1）‎ ‎=4‎ ‎（3）3+5-7-2‎ 解：原式=-2‎ ‎（4）-++‎ 解：原式=‎ 216‎ ‎6.已知实数x，y满足|x-5|+y+4=0，求代数式（x+y）2016的值.‎ 解：依题意 当x=5,y=-4时，‎ 解得（x+y）2016=（5-4）2016=1‎ ‎7.你还会比较+与π的大小吗？‎ 解：用计算器求得 ‎+≈3.14626437，‎ 而 π≈3.141592654，‎ 因此+＞π．‎ ‎8.已知的整数部分是a，小数部分是b，求a-的值．‎ ‎【分析】由于22=4＜5＜32=9，估计的大小，可得a、b的值，将ab的值代入代数式可得答案．‎ 解：∵22=4＜5＜32=9，‎ ‎∴2＜＜3，‎ ‎∴a=2，b=-2，‎ 216‎ ‎∴原式=-．‎ ‎【教学说明】结合有理数的运算，采用类比的方式得到实数的运算与有理数的运算是一样的.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题‎3.3”‎中第4、5、6、10 题.‎ 本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系.‎ 根据新课标精神，对学生的评价不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否依据算理正确地进行计算，能否确认结果的合理性等等.对于较复杂的实数运算，应关注学生是否会使用计算器进行运算．因此，注意对运算技能要求作恰当的定位，特别是在开始运算的第一课时，不要提高要求.‎ 第3章 实数 ‎【知识与技能】‎ ‎1．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根； ‎ ‎2．会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算； ‎ ‎3．了解无理数的意义，会对实数进行分类，掌握实数的相反数和绝对值的意义；‎ ‎4．理解实数与数轴上的点一一对应，理解有理数的运算律适用于实数范围．‎ ‎【过程与方法】‎ 通过对本章知识的复习，进一步巩固实数的定义、性质及其运算规律.‎ ‎【情感态度】‎ 提高对知识的应用能力.‎ ‎【教学重点】‎ 216‎ 重点是无理数、平方根、算术平方根、立方根及实数的定义与性质，以及实数的运算法则.‎ ‎【教学难点】‎ 难点是利用平方根、算术平方根、立方根及实数运算法则进行有关题目的计算，特别是平方根与算术平方根的不同之处.‎ 一、 知识框图，整体把握 ‎ ‎ ‎【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.‎ 二、释疑解惑，加深理解 ‎1.平方根的概念：‎ 如果一个数r，使得r2=a,那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.即：若r2=a，则r是a的一个平方根.‎ ‎2.算术平方根的概念：‎ 如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”.‎ ‎3.平方根与算术平方根的联系与区别：‎ 联系：①包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.‎ ‎②存在条件相同:只有非负数才有平方根和算术平方根.‎ 区别：①个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.‎ ‎②表示法不同：平方根表示为±a，而算术平方根表示为a.‎ ‎4.无理数的概念：‎ 216‎ 既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫作无理数.‎ ‎5.立方根的概念：‎ 如果一个数b，是b3=a,那么我们把b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根.a的立方根叫作，读作“立方根号a”或“三次根号a”.‎ ‎6.实数的概念：‎ 有理数和无理数统称为实数.‎ ‎7.实数的分类：‎ ‎①从概念分；‎ ‎②从正负性分.‎ ‎8.实数的性质：‎ 实数和数轴上的点一一对应.‎ ‎①每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数；‎ ‎②0的平方根是0;‎ ‎③在实数范围内，负实数没有平方根；‎ ‎④在实数范围内，每个实数a有且只有一个立方根.‎ ‎【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点.加深学生印象.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.有下列说法：‎ ‎（1）无理数就是开方开不尽的数；‎ ‎（2）无理数是无限不循环小数；‎ ‎（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；‎ ‎（4）无理数都可以用数轴上的点来表示.‎ 其中正确的说法的个数是（ C ）‎ A．1 B．‎2 ‎‎ ‎‎ C．3 D．4‎ ‎2.(0.7)2的平方根是（ B ）‎ A．-0.7 B．±‎0.7 ‎‎ C．0.7 D．0.49‎ ‎3.若a2=25，|b|=3，则a+b=（ D ）‎ A．-8 B．±‎8 ‎‎ C．±2 D．±8或±2‎ 216‎ ‎4.在-,，，-，3.14，0,-1，，|-1|中，其中：‎ 整数有 ；‎ 无理数有 ；‎ 有理数有 .‎ 解：整数有：0，|-1|；‎ 无理数有：，，-1，，‎ 有理数有：-，-，3.14，0，|-1|.‎ ‎5.计算 ‎（保留三位有效数字）.‎ 答案：(1)1.5; (2)7.00‎ ‎6.化简：|-|+|-1|-|3-|‎ 答案：2-4‎ ‎7.青云学府新建了一个面积为16平方米的传达室，计划用100块正方形的地板砖来铺设地面，那么所需要的正方形的地板砖的边长是多少？‎ 答案：‎‎0.4米 ‎【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展.‎ 四、复习训练，巩固提高 ‎1.下列说法正确的是（ D ）；‎ A.两个无理数的和一定是无理数 ；‎ B.是分数；‎ C.1和2之间的无理数只有；‎ D.2是4的一个平方根.‎ 216‎ ‎2.下列说法中，不正确的是（ C ）．‎ A.3是（-3）2的算术平方根 B. ±3是（-3）2的平方根 C. －3是（-3）2的算术平方根 D.－3是（-3）3的立方根 ‎3.下列说法中，正确的有（ C ）‎ ‎①无限小数是无理数；‎ ‎②无理数是无限小数；‎ ‎③两个无理数的和是无理数；‎ ‎④对于实数a、b,如果a2=b2，那么a=b；‎ ‎⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数.‎ A.②④ B.①②⑤ C.② D.②⑤‎ ‎4.一组数,3.14,,-, - ,2这几个数中，无理数的个数是（ B ）‎ ‎ A. 2 B. ‎3 ‎‎ C. 4 D. 5‎ ‎5.求下列各式的值：‎ ‎6.求下列各式中的x值：‎ ‎（1）121x2=64‎ ‎（2）3x3-24=0‎ ‎（3）(5-x)2=(-7)2‎ 216‎ 答案：（1）x=±;（2）x=2;（3）x=12;x= -2‎ ‎7.若a和b互为相反数，c与d互为倒数，m的倒数等于它本身，试化简：‎ ‎8.比较大小，并说理由.‎ ‎（1）与6；‎ ‎（2）-+1与-.‎ 答案：（1）＜6；‎ ‎（2）-+1＜-理由略.‎ ‎【教学说明】学生独立思考，教师适当提示.‎ 五、师生互动，课堂小结 师生共同总结，对于本章的知识.你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流.‎ 布置作业:教材“复习题”第1、6、7、10、11、、13、16题.‎ 本节课是章节复习课，我运用了学案式教学，让学生通过做练习理解概念，掌握了运算法则.让学生回忆并口述所学的基础知识，采用互答式巩固了所学内容；通过老师精讲，强化重点、难点、易混点、注意点，引导学生对所学的知识进行梳理、总结、归纳，帮助学生理清知识结构，分清解题思路，弄清各种解题方法.‎ 第4章 一元一次不等式（组）‎ ‎4.1 不等式 216‎ ‎【知识与技能】‎ ‎1.能够从现实问题中想象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式.‎ ‎2.正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.‎ ‎3.理解不等式的解的意义，能举出一个不等式的几个解并且会检验一个数是不是该不等式的解.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步增强学生的符号感和数学化的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.‎ ‎【情感态度】‎ 使学生产生独立克服困难、运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心；在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获.‎ ‎【教学重点】‎ 理解并会用不等式表达数学量之间的关系，不等式的解的意义.‎ ‎【教学难点】‎ 不等号的准确应用；不等式的解.‎ 一、情景导入，初步认知 世纪公园的票价是每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元.某班有27名少先队员去世纪公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票.但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？‎ 那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的“浪费”呢？‎ ‎【教学说明】通过实际问题的导入，引起了学生的学习兴趣.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.动脑筋：（1）处于平衡状态的托盘天平的右盘上放一质量为50g的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量xg与质量为50g的砝码之间具有怎样的关系？‎ ‎（2）一辆轿车在一条规定车速不低于60km/h，且不高于100km/h的高速公路上行驶，如何用式子表示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km)与行驶时间x(h)之间的关系呢？‎ ‎【分析】对于（1）我们很容易知道圆球的质量大于砝码的质量，即x>50.‎ 216‎ 对于（2），根据路程与速度、时间之间的关系可得：s≥60x,且s≤100x.‎ ‎【归纳结论】我们把用不等号（>，<，≥，≤,≠）连接而成的式子叫作不等式.‎ ‎【教学说明】学生通过亲自计算，自己得出不等式的概念.‎ ‎2.用不等式表示下列数量关系：‎ ‎（1）x的5倍大于-7；‎ ‎（2）a与b的和的一半小于-1；‎ ‎（3）长、宽分别为x cm,y cm的长方形的面积小于边长为a cm的正方形的面积.‎ ‎3.做一做：已知一支圆珠笔1.5元，签字笔与圆珠笔相比每支贵2元，小华想要买x支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元，则如何用含x的不等式来表示小华所需支付的金额与50之间的关系？‎ ‎【教学说明】学生独立思考，教师适当提示.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.在数学表达式：（1）－3＜0;（2）3x+5＞0;（3）x2－6;（4）x=－2;（5）y≠0;（6）x≥50中，不等式的个数是（C）‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎2.下列按要求列出的不等式中正确的是(D).‎ A.“a不是负数”即a>0‎ B.“b是不大于零的数”即b<0‎ C.“m是不小于-2的数”即m>-2‎ D.“P+Q是正数”即P+Q>0‎ ‎3.某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（D）‎ A.t＞33 B.t≤24‎ C.24＜t＜33 D.24≤t≤33‎ ‎4.若m是非负数，则用不等式表示正确的是（D）‎ A.m＜0 B.m＞0 C.m≤0 D.m≥0‎ ‎5.k的值大于－1且不大于3，则用不等式表示 k的取值范围是－1＜k≤3．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空）‎ ‎6.用不等式表示.‎ ‎(1)x的23与5的差小于1;‎ 解：“x的23与5的差小于1”就是2/3x-5<1.‎ 216‎ ‎(2)x与6的和大于9;‎ 解：“x与6的和大于9”就是x+6>9.‎ ‎(3)8与y的2倍的和是正数;‎ 解：“8与y的2倍的和是正数”就是8+2y>0.‎ ‎(4)a的3倍与7的差是负数;‎ 解：“a的3倍与7的差是负数”就是3a-7<0.‎ ‎(5)x的3倍大于或等于1;‎ 解：“x的3倍大于或等于1”就是3x≥1.‎ ‎ (6)x与5的和不小于0;‎ 解：“x与5的和不小于0”就是x+5≥0.‎ ‎7.下列说法中，哪些是正确的？哪些是错误的？请把错误的加以改正.‎ ‎（1）“2x与1的和是负数”用不等式表示为：2x+1＜0；‎ ‎（2）“a与b的差是非负数”用不等式表示为：a-b＞0；‎ ‎（3）“a的2倍与4的差不小于5”用不等式表示为：2a-4＞5；‎ ‎（4）“x的相反数与3的和是正数”用不等式表示为：3-x＞0.‎ 解:（1），（4）正确；（2）,（3）错误,改正如下：（2）因为非负数即≥0,可改为:a-b≥0；（3）因为不小于5即≥5,可改为:2a-4≥5.‎ ‎8.当x取下列数值时1,0,-2.5,-4,3.5,4,4.5,不等式x+3<6是否成立?‎ 解：将1,0,-2.5,-4,3.5,4,4.5分别代入x+3，得x+3=4，3，0.5，-1，6.5,7,7.5,其中只有4,3,0.5,-1小于6,‎ ‎∴上述各数中,只有1,0,-2.5,－4可使不等式x+3<6成立,当x取3.5,4,4.5时,不等式x+3<6不成立.‎ ‎【教学说明】通过观察学生做题情况，了解他们列不等式的掌握情况，通过分析错误，提出容易犯错的地方，及时巩固新知识.‎ 五、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题4.1”中第2 、3、4题.‎ 216‎ 本节教学过程中，始终通过师生互动，鼓励学生积极思考，努力探索，合作交流，关注学生能否发现问题，提出问题，能否敢于发表自己的见解，吸取正确的见解；关注学生学习过程中表现的学习习惯、个性品质、情感态度等. 通过游戏、分组竞赛等激发学生的积极性，培养团队精神.通过例题和闯关游戏，检测学生学习情况，及时反馈调节；通过不同层次的变式题，评价各层学生的学习效果，增强学习信心.留给学生思考、探究的时间和空间.对学生回答是否正确、全面与否都给予了及时的肯定和鼓励，时刻注意激发学习内驱力，确保学生学得更多、更快、更好！总之，本节教学既贴近生活，又超越生活，既努力从生活中来，又努力到生活中去，实现了：生活世界、数学世界、教学世界的融会贯通！‎ ‎4.2 不等式的基本性质 第1课时 不等式的基本性质1‎ ‎【知识与技能】‎ ‎1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.‎ ‎2.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过研究等式的基本性质过程,类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法.‎ ‎【情感态度】‎ 通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心.‎ ‎【教学重点】‎ 理解不等式的性质.‎ ‎【教学难点】‎ 理解不等式的性质.‎ 一、情景导入，初步认知 216‎ 我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ ‎ 等式的基本性质一：在等式的两边都（ ）或（ ）同一个________或________，等式仍然成立.‎ 等式的基本性质二：在等式的两边都（ ）或（ ）同一个________，等式仍然成立.‎ 请同学们大胆地猜想一下不等式有哪些基本性质？解一元一次方程有哪些基本步骤呢？一元一次不等式的解与方程的解是不是步骤类同呢？‎ ‎【教学说明】通过复习不等式性质以旧引新，为新知识的学习和应用作好铺垫，为下一步的类比、联想提供必要的生长点.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.探究：‎ ‎（1）用不等号填空：‎ ‎5________3； 2________4；‎ ‎5+2________3+2；2+1________4+1‎ ‎5-2________3-2；2-3________4-3.‎ ‎（2）水果店的小王从水果批发市场购进100kg梨和84kg苹果，在卖出akg梨和akg苹果后，又分别购进了bkg的梨和苹果.请用“>”或“<”填空：‎ ‎100-a________84-a;‎ ‎100-a+b________84-a+b. ‎ ‎(3)自己任意写一个不等式，在它的两边加上或减去同一个数，看看不等关系有没有变化，与同桌互相交流，你们发现了什么规律？‎ ‎【归纳结论】不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式），不等号的方向不变.用字母表示：若a>b，则a+c>b+c或a-c>b- c.‎ ‎ 2.将下列不等式化为x﹥a或x﹤a的形式．‎ ‎（1）x+6>5; (2)3x<2x-2‎ 解:(1)不等式的两边都减去6，得：‎ ‎ x+6-6>5-6‎ ‎ 即x>-1．‎ ‎(2)不等式两边都减去2x，得；‎ ‎3x-2x<2x-2-2x 即x<-2．‎ 216‎ 像上面这样，把不等式的某一项变号后移到另一边．称为移项，这与解一元一次方程中的移项相类似.‎ ‎3.动脑筋：我们知道在△ABC中，任意两边之和大于第三边，即，AB+AC>BC;AB+BC>AC;BC+AC>AB.那么三角形中两边之差与第三边又有怎样的关系呢？‎ ‎【教学说明】学生尝试将这个不等式变形.师生共同分析解答.‎ ‎【归纳结论】三角形任意两边之差小于第三边.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是（D）‎ A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>b>-a>-b D.a>-b>b>-a ‎2.设a＜b．用“＞”或“＜”号填空.‎ ‎(1)a-1 < b－1；‎ ‎(2)a＋3 < b+3；‎ ‎(3)a+m < b+m;‎ ‎(4)a-c < b-c.‎ ‎3.用“＜”或“＞”填空：‎ ‎（1）若a－b＜c－b，则a < c ‎ ‎（2）若a－b＞a则b < 0 ‎ ‎（3）若a＜b则a－b < 0‎ ‎4.将下列不等式化为x﹥a或x﹤a的形式．‎ ‎(1)x-7＞26 (2)3x<2x+1‎ 解：(1)为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不变，得 x-7+7﹥26+7‎ x﹥33‎ ‎(2)3x<2x+1‎ 为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都减去 2x ，不等号的方向 不变 .‎ 216‎ ‎3x-2x﹤2x+1-2x x﹤1‎ ‎ 【教学说明】让学生所学的知识在基础题中得到巩固，在技能题中得到加深，在拓展题中得到升华.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材P135“练习”.‎ 新知识的生成，总觉得不是很到位的．由于没有亲自组织学生对新知识的由特殊到一般的探究过程，学生对不等式的性质的归纳总结到底处于一个什么层次，心里总是没有个底，从前面的回答来看，学生直接拿结论的现象比较严重，我们都很重视学生新知识的学习方法，为此，我也一再要求学生自学，本课在学生学习方法的指导上，丢下了这方面的指导和检查．‎ 第2课时 不等式的基本性质2、3‎ ‎【知识与技能】‎ 掌握不等式的性质2、3,并能运用这些性质将不等式进行变形.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过研究等式的基本性质过程,类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法.‎ ‎【情感态度】‎ 在具体情景中，进一步感受不等式是刻画现实世界的有效模型.‎ ‎【教学重点】‎ 不等式的基本性质.‎ ‎【教学难点】‎ 对不等式基本性质3的理解.‎ 216‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.如果梨的价格是每千克3元，苹果的价格是每千克4元．梨和苹果各买10千克．买哪种水果花钱较多?买0.5千克呢?‎ ‎2.在不等式12＞9的两边同时乘(或除以)－2．不等号方向如何变化？‎ ‎【教学说明】通过实际问题引入新课.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.探究：‎ ‎（1）用不等号填空：‎ ‎6_____4‎ ‎-2_____-4‎ ‎6×2_____4×2‎ ‎-2×2_____ -4×2‎ ‎6÷（-2）_____4÷（-2）‎ ‎-2÷（-2）_____-4÷（-2）‎ ‎（2）已知苹果的价格是a元/kg,梨的价格是b元/kg,且a>b，小李各买了3kg苹果和梨，则买那种水果花钱较多？用不等号填空： 3a_____3b ‎（3）在某次知识抢答中，甲、乙两队的总得分分别为a,b,其中a> B.已知每队人员均为3名，则哪队的平均得分高？用不等号填空：a÷3_____b÷3‎ ‎（4）自己写一个不等式，分别在它的两边都乘以（或除以）同一个正数或负数，看看有怎样的结果，与同桌相互交流，你们发现了什么规律？‎ ‎【归纳结论】不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变.即：如果a>b．c>0，那么ac>bc．且a/c>b/c.‎ 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数．不等号的方向改变．‎ 即：如果a>b．c<0，那么ac9的两边都减去5，得：‎ ‎-4x>4‎ 216‎ ‎ 在不等式-4x>4的两边都除以-4，得：‎ x>-1‎ 请问他做对了吗？如果不对，请改正.‎ ‎3.议一议：不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？‎ ‎【教学说明】以问题的形式引导学生从对比中自己先猜想不等式的基本性质，再通过具体数值验算性质，最后自己总结归纳出性质并能用字母表示出来.因此在整个教学过程中，学生均处于主导地位，教师只是从旁引导.这时，学生对于由自己推导出性质应该感到非常兴奋.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.若x＞y，则下列式子错误的是（B）‎ A.x－3＞y－3 B.－3x＞－3y C.x+3＞y+3 D. ‎ ‎2.已知0＜m＜1，则m、m2、（C）‎ A.m2＞m＞ B.m2＞＞m C. ＞m＞m2 D. ＞m2＞m ‎3.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是（B）‎ A．a-d>b-c B. ‎ C．a+ c >b+ d D.ac>bd ‎4.给出下列命题，其中正确的是（A ）‎ ‎①若1x<1，则x>1;②若a2x>a2y，则x>y; ③<<0，则abb2,a3b>1，y1=，y2=，y3=, 则y1，y2，y3的大小关系是（C）‎ A.y1b且______，则ac≤bc；‎ ‎（2）若a>b>0且______，则ac＞bd；‎ ‎（3）若a＞b且______，则＜；‎ ‎（4）若a＞b且______，a(c-1)2>b(c-1)2.‎ 解：(1)c≤0;(2) c>d>0;(3) ab>0;(4) c≠1‎ ‎9.将下列不等式化为x﹥a或x﹤a的形式．‎ 解不等式 ‎（1）x－7>26‎ 解：不等式两边都加上7,不等号的方向不变，所以 x-7+7>26+7‎ x>33‎ ‎(2) －8x<10‎ 216‎ 解：不等式两边都除以-8，不等号的方向要改变，所以 ‎-8x÷ (-8) >10÷ (-8)‎ ‎ x>-‎ ‎【教学说明】让学生所学的知识在基础题中得到巩固，在技能题中得到加深，在拓展题中得到升华.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题4.2”中第3、4、5、6 题.‎ 本节课主要采用了类比-实验-交流的教学方法，采用多媒体教学手段，学生参与课堂的积极性很高，课堂气氛非常活跃，大多数学生掌握了不等式的三条基本性质并能简单运用.但这节课，在探索新知上花的时间较多，以至于学生的练习时间太短了，以后我在安排教学内容时应注意教学时间的把握，充分利用好课堂时间.‎ ‎4.3 一元一次不等式的解法 第1课时 一元一次不等式的解法 ‎【知识与技能】‎ ‎1.理解不等式的解与解集的概念，了解什么是一元一次不等式.‎ ‎2.理解用不等式的性质解一元一次不等式的基本方法，会熟练地解一元一次不等式.‎ ‎【过程与方法】‎ 让学生经历一元一次不等式的形成过程，通过类比理解一元一次不等式的解法.‎ ‎【情感态度】‎ 通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ 一元一次不等式的解法.‎ 216‎ ‎【教学难点】‎ 一元一次不等式的解法.‎ 一、情景导入，初步认知 复习提问：‎ ‎(1)不等式的三条基本性质是什么?‎ ‎(2)运用不等式基本性质把下列不等式化成x>a或xx-5‎ ‎③x-4<6‎ ‎④-x≥+x ‎(3)什么叫一元一次方程?解一元一次方程的步骤是什么?‎ ‎【教学说明】通过问题，让学生回顾一元一次方程的概念和解一元一次方程的步骤，以及不等式的意义，不等式的基本性质和不等式的解集，为后面归纳一元一次不等式的概念及解法提供条件.同时让学生体会等式与不等式之间所蕴含的特殊与一般的关系.‎ 二、合作探究，探索新知 ‎1.动脑筋：已知一台升降机的最大载重量是1200kg，在一名重75kg的工人乘坐的情况下，它最多能装载多少件25kg重的货物？‎ 本题涉及的数量关系是：‎ 工人重+货物重≤最大载重量 设能载x件25kg重的货物，因为升降机最大载重量是1200kg，所以有 ‎ 75+25x≤1200‎ ‎2.这个关系式有什么特点呢？（含有_______个未知数，且未知数的次数为_______）这样的不等式叫什么不等式？你认为呢？‎ ‎【归纳结论】含有一个未知数，且未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式.‎ ‎3.如何解不等式 75+25x≤1200呢？‎ ‎【归纳结论】我们把满足一个不等式的未知数的每一个值，称为这个不等式的一个解.‎ 把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.‎ 求一个不等式的解集的过程称为解不等式.‎ 216‎ ‎4.解下列不等式和方程 ‎（1）2-5x=8-6x ‎（2）‎ 你能利用不等式的基本性质解决吗？试一试.‎ ‎5.在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤？能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？‎ ‎6.在解一元一次不等式的步骤中，应注意什么？‎ ‎【归纳结论】解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化1.‎ 在解一元一次不等式的步骤中，应注意：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向.‎ ‎【教学说明】学生通过小组合作学习的方式探索用不等式的基本性质去求解并相互交流做法，通过观察、探讨、交流、归纳一元一次不等式的解法.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.若点M（1，2a-1）在第四象限内，则a的取值范围是．‎ 解：∵点M（1，2a-1）在第四象限内，‎ ‎∴2a-1＜0，解得：a<‎ ‎2.判断正误：‎ ‎（1）不等式x-1>0有无数个解 ‎（2）不等式2x-3≤0的解集为x≥‎ 答案：（1）对；（2）错.‎ ‎3.解下列不等式.‎ ‎（1）3x+2＜2x-5‎ 解：移项得：‎ ‎3x-2x＜-5-2‎ 合并同类项得：‎ x＜-7‎ 所以，不等式的解集为x＜-7‎ ‎（2）3（y+2）-1≥8-2（y-1）‎ 216‎ 解：去括号得：‎ ‎3y+6-1≥8-2y+2‎ 移项得：‎ ‎3y+2y≥8+2+1-6‎ ‎ 合并同类项得：‎ ‎5y≥5‎ 系数化为1得：‎ y≥1‎ 所以，不等式的解集为y≥1‎ ‎（3）2（2x+3）＜5（x+1）‎ 解：去括号得：‎ ‎4x+6＜5x+5‎ 移项得：‎ ‎4x-5x＜5-6‎ ‎ 合并同类项得：‎ ‎-x＜-1‎ 系数化为1得：‎ x＞1‎ 所以，不等式的解集为x＞1‎ ‎（4）3［x-2(x-2)］＞x-3(x-2)‎ 解：去括号得：‎ ‎3x-6x+12＞x-3x+6‎ 移项得：‎ ‎3x-6x-x+3x＞6-12‎ ‎ 合并同类项得：‎ ‎-x＞-6‎ 系数化为1得：‎ x＜6‎ 所以，不等式的解集为x＜6‎ ‎4.已知方程ax+12=0的解是x=3，求不等式（a+2）x＜-6的解集．‎ 216‎ 解：由ax+12=0的解是x=3，得a=－4．‎ 将a=-4代入不等式（a+2）x＜-6，‎ 得（-4+2）x＜-6，‎ 所以x＞3．‎ ‎5.已知3x+4≤6+2（x-2），则|x+1|的最小值是多少？‎ 解：3x+4≤6+2x-4，‎ ‎3x-2x≤6-4-4，‎ 解得x≤-2．‎ ‎∴当x=-2时，|x+1|的最小值为1．‎ ‎6.关于x的一元一次方程2（x-m）=4+x的解是非负数，则m的取值范围是多少？‎ 解：去括号得2x-2m=4+x，‎ 移项得x=2m+4，‎ ‎∵x≥0，‎ ‎∴2m+4≥0，‎ ‎∴m≥-2‎ ‎7.m取何值时，关于x的方程的解大于1.‎ 解：解这个方程：‎ x-2(6m-1)=6x-3(5m-1)‎ ‎∴x=‎ 根据题意，得>1‎ 解得m＞2‎ ‎【教学说明】学生先独立演算，再小组讨论，教师通过巡视及时发现问题、解决问题，强化学生对一元一次不等式解法的过程与步骤的理解.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题4.3”中第1 、2 题.‎ 216‎ 在教学中要充分体现学生的积极参与和合作交流.通过教师的引入让学生体会采用类比方程的解得到不等式的解的定义，进一步通过问题情况的引入，积极参与交流探索，通过老师的引导，理解不等式的解和解集的意义.在学生自主练习、小组展示和交流质疑的过程中，能及时发现学生的不同见解及思维误区，并及时进行纠正指导.‎ 第2课时 用数轴表示一元一次不等式的解集 ‎【知识与技能】‎ ‎1.进一步熟练掌握一元一次不等式的解法；‎ ‎2.掌握不等式解集在数轴上的表示方法，能正确地表示出解集.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过对一元一次方程的解法的复习和对不等式的性质的利用，导入对解不等式的讨论.‎ ‎【情感态度】‎ 通过类比一元一次方程的解法，从而更好地掌握一元一次不等式的解法，树立辩证唯物主义思想.‎ ‎【教学重点】‎ 熟练地解一元一次不等式，并把解集表示在数轴上.‎ ‎【教学难点】‎ 在数轴上正确地表示不等式的解集.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.解下列不等式：‎ ‎（1）7（4-x）-2(4-3x)<4x ‎（2）‎ ‎2.解一元一次不等式的依据是什么？有哪些步骤？与解一元一次方程有哪些相同之处和不同之处？‎ 216‎ ‎3.数可以用数轴上的点来表示，数轴上的点可以表示数，这样数和形就紧密地结合起来了，一元一次不等式的解集能否用数轴上的点来表示呢？下面我们来研究这个问题.‎ ‎【教学说明】既能对以前所学内容复习，又能给本节课的教学打好基础.‎ 二、合作探究，探索新知 ‎1.如何在数轴上表示不等式3x>6的解集呢？‎ ‎【分析】解得这个不等式的解集为x>2,先在数轴上标出表示2的点A，则点A右边所有的点表示的数都大于2，而点A左边所有的点表示的数都小于2，因此可以像下图这样表示3x>6的解集x>2.‎ ‎【教学说明】强调：把表示2的点A画成空心圆圈，表示解集不包括2.‎ ‎2.解不等式12-6x≥2(1-2x),并把它的解集在数轴上表示出来.‎ 解：12-6x≥2(1-2x)‎ ‎12-6x≥2-4x ‎-6x+4x≥2-12‎ ‎-2x≥-10‎ x≤5‎ 原不等式的解集在数轴上表示如图所示：‎ ‎【教学说明】强调：解集x≤5这包含5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P142例3.‎ ‎2.解不等式，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎（1） ．‎ 解：去分母，得4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60，‎ 整理，得-27x≥－54，‎ 系数化为1，得x≤2．‎ 解集在数轴上表示为：‎ ‎（2）‎ 216‎ 解：x+43-3x-12>1‎ 去分母，得2（x+4）-3（3x-1）＞6‎ 去括号 得2x+8-9x+3＞6‎ 整理 得-7x+11＞6‎ ‎-7x＞-5‎ 系数化为1 得x<．‎ 解集在数轴上表示为：‎ ‎3.分别解不等式2x-3≤5（x-3）和，并比较x、y的大小．‎ 解：2x-3≤5（x-3），‎ 去括号，得2x-3≤5x-15，‎ 移项，得3x≥12，‎ 即x≥4；‎ 由y-16-y+13>1‎ 去分母得，‎ 解得y＜-9；‎ 所以x＞y．‎ ‎4.已知方程组的解x、y满足x+y＞1，则m的取值范围是什么？‎ 解： ‎ 解得 ，‎ ‎∵x+y＞1，∴，‎ 解得m＞4．‎ 216‎ ‎5.如果关于x的一元一次方程+1=5的解大于2，则k的取值范围是什么？‎ 解：解关于x的一元一次方程+1=5得，x=8+k，‎ ‎∵关于x的一元一次方程+1=5的解大于2，‎ ‎∴8+k＞2，‎ 解得k＞-6．‎ ‎6.若关于x的不等式（2a-b）x+a-5b＞0的解集是x<，那么关于x的不等式（a-b）x＞b的解集是多少？‎ 解：∵（2a-b）x+a-5b＞0的解集是x<，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得 ‎∴（a-b）x＞b，‎ ‎-2x＞-1，‎ ‎∴x<．‎ ‎7.y取何正整数时，代数式2(y-1)的值不大于10-4（y-3）的值.‎ 解：根据题意列出不等式：‎ ‎2(y-1)≤10-4(y-3)‎ 解这个不等式，得y≤4，‎ 解集y≤4中的正整数解是：1，2，3，4.‎ ‎8.已知不等式x+8＞4x+m（m是常数）的解集是x＜3，求m．‎ 解：因为x+8＞4x+m，‎ 所以x-4x＞m-8，-3x＞m-8，x＜-（m-8）．‎ 因为其解集为x＜3，所以-（m-8）=3．解得m=-1．‎ ‎【教学说明】通过做题，掌握解一元一次不等式的一般步骤.‎ 216‎ 五、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题4.3”中第3、5、6、7 题.‎ 对于一元一次不等式解法的教学中采用小组合作学习的方法，首先鼓励学生运用不等式的性质和不等式的解集自主尝试求解，再小组交流解答过程，并进行适当的归纳总结.类比解方程的方法，并比较其异同.在教学过程中不能急于求成，不要包办代替学生的活动，给学生充分的时间思考、交流，适时给予恰当的引导.再通过范例与学生共同经历解一元一次不等式的过程.‎ ‎4.4 一元一次不等式的应用 ‎【知识与技能】‎ ‎1.进一步巩固求一元一次不等式的解集.‎ ‎2.能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过学生独立思考，培养学生用数学知识解决实际问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 通过学生自主探索，培养学生学数学的好奇心与求知欲，使他们能积极参与数学学习活动，锻炼克服困难的意志，增强自信心.‎ ‎【教学重点】‎ ‎1.求一元一次不等式的解集.‎ ‎2.用数学知识去解决简单的实际问题.‎ ‎【教学难点】‎ 能结合具体问题发现并提出数学问题.‎ 一、情景导入，初步认知 216‎ 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上.‎ ‎（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎【教学说明】通过对这两个一元一次不等式的求解，让学生回顾解一元一次不等式的基本步骤以及在数轴上表示解集的方法.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.小华打算星期天与同学去登山，计划上午7点出发，到达山顶后休息2小时，下午4点以前回到出发点.如果他们去时的平均速度是3km/h，回时的平均速度是4km/h，他们最远能登上哪座山顶？（下图中数字表示出发点到山顶的路程.）‎ ‎【分析】问题中涉及到的数量关系是：‎ 去时所花的时间+休息时间+回来所花的时间≤总时间.‎ 解：设从出发点到山顶的距离为xkm,则他们去时所花时间为小时，回来所花时间为小时，根据题意事例不等式为：‎ ‎+2+≤9‎ 解得： x≤12‎ 所以他们最远能登上D山顶.‎ ‎2.某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10％.如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？‎ ‎【分析】本题涉及的数量关系是：‎ 销售额-成本-税费≥纯利润 解：设每套童装的售价是x元，则 ‎40·x-90×40-40·x·10％≥900‎ 216‎ 解得：x≥125‎ 答：每套童装的售价至少是125元.‎ 大家依据列方程解应用题的过程，对照上面解不等式应用题的步骤，总结一下两者的不同，并给出解一元一次不等式应用题的一般步骤，请互相交流.‎ ‎【归纳结论】一元一次不等式应用题的一般步骤：‎ 第一步：审题，找不等关系；‎ 第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式；‎ 第三步：列不等式；‎ 第四步：解不等式；‎ 第五步：根据实际情况写出答案.‎ ‎【教学说明】通过学生之间的合作、交流，让学生体会不等式在解决实际问题时的作用，并且提高了学生的合作、交流与数学语言的表达能力.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P145例2.‎ ‎2.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5％，则至多可打( B ) ‎ A．6折B．7折C．8折D．9折 ‎2.毛笔每枝2元，钢笔每枝5元，现有的购买费用不足20元，则购买毛笔和钢笔允许的情况是 (D) ‎ A．5枝毛笔，2枝钢笔 ‎ B．4枝毛笔，3枝钢笔 C．0枝毛笔，5枝钢笔 ‎ D．7枝毛笔，1枝钢笔 ‎3.有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0．5万元，乙种蔬菜每亩可收入 0.8万元，若要使总收入不低于15．6万元，则至多只能安排 4 人种甲种蔬菜.‎ ‎4.颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可以买几支笔？‎ 解：设她还可以买n支笔，根据题意得 ‎3n+2.2×2≤21‎ 216‎ 解这个不等式，得n≤‎ 因为在这一问题中n只能取正整数，‎ 所以，小颖还可以买1支，2支，3支，4支或5支笔.‎ ‎5.某工人计划在15天内加工408个零件，最初三天中每天加工24个.问以后每天至少加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？‎ ‎【分析】所谓“超额完成任务”，就是前后两个阶段完成的工作总量应大于408个.因为是超额完成.‎ 不等关系：前三天的工作量+后12天的工作量＞408个.‎ 解：设后面每天加工x个零件，则 ‎24×3+（15—3）x＞408‎ ‎12x＞336，‎ x＞28，‎ 那么以后每天加工的个数应大于28个，才能超额完成任务.‎ ‎6.某市的一种出租车起步价为7元，起步路程为3 km(即开始行驶路程在3 km以内都需付7元)，超过3 km，每增加1 km加价2．4元(不足1 km以1 km计价)，现在某人乘出租车从甲地到乙地，支付车费14．2元，问从甲地到乙地的路程最多是多少? ‎ 解：设从甲地到乙地的路程为x 公里，则由题意，可得 ‎ 7 ＋ 2.4 （x－3）≤ 14.2 ,‎ 解得 x ≤6 .‎ 所以，从甲地到乙地的路程最多是6 km.‎ ‎7.在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？‎ 解：设命中x次，脱靶（10-x）次，则 ‎5x-(10-x)≥35 6x≥45‎ 因为x为整数，‎ 所以x=8‎ 答：至少要中靶8次 ‎8.某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．‎ 216‎ ‎（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？‎ ‎（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元，1株乙种花木售价为540元．若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农应该种甲、乙两种花木各多少株？‎ 解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元．由题意得：‎ ‎ 解得：‎ 答：甲、乙两种花木的成本价别为400元和300元.‎ ‎（2）设种植甲种花木为a株，则种植乙种花木为（3a+10）株．则有：‎ ‎（760-400）a+（3a+10）×240≥21600‎ 解得：a≥‎ 由于a为整数，且取最小值 所以，a=18‎ ‎3×18+10=64（株）‎ 答：花农应该种甲、乙两种花木各18株、64株.‎ ‎ 【教学说明】通过学生独立对随堂练习的解答，及时发现问题、解决问题，让学生熟练解一元一次不等式，并能利用不等式解决一些实际问题.‎ 三、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题4.4”中第3、5、6 题.‎ 本节课是在学习不等式的概念、性质及其解法和运用一元一次方程（或方程组）解决实际问题等知识的基础上，利用不等式解决实际问题.这既是对已学知识的运用和深化，又为今后在解决实际问题中提供另一种有效的解决途径.通过实际问题的探究，让学生学会列一元一次不等式，解决具有不等关系的实际问题.经历由实际问题转化为数学问题的过程，掌握利用一元一次不等式解决问题的基本过程.促进学生的数学思维意识，从而使学生乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论某些数学话题，能够在数学活动中发挥积极作用.同时向学生渗透由特殊到一般、类比、建模和分类考虑问题的思想方法.‎ 216‎ ‎4.5 一元一次不等式组 ‎【知识与技能】‎ ‎1.理解一元一次不等式组及其解的意义，加强运算的熟练性和准确性，培养思维的全面性；‎ ‎2.初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法.‎ ‎【过程与方法】‎ 培养学生独立思考的习惯和合作交流意识.‎ ‎【情感态度】‎ 初步认识数学与人类生活的密切联系及其对人类历史发展的作用.‎ ‎【教学重点】‎ 正确解一元一次不等式组.‎ ‎【教学难点】‎ 正确解一元一次不等式组.‎ 一、情景导入，初步认知 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：‎ ‎1. 2x-1>x+1 2. x+8<4x-1‎ ‎3. 2x+3≥x+11 4. -1<2-x ‎【教学说明】复习一元一次不等式的解法.既复习了旧知识又为新课作了铺垫.这几个练习由浅入深，也可充分调动各层次学生的学习积极性.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.探究：一个长方形足球场的宽为70米，如果它的周长大于350米，面积小于7630平方米，求这个足球场的长的取值范围，并判断这个足球场是否可以进行国际比赛（用于国际比赛的足球场的长在100米至110米之间，宽在64米至75米之间）.‎ 如果设足球场的长为xm,那么它的周长就是2（x+70)m,面积就是70xm2.根据已知条件，我们知道足球场的长必须要使 216‎ ‎2（x+70)>350和70x<7630‎ 这两个不等式同时成立.‎ 为此，我们用大括号把上述两个不等式联立起来，得 ‎【归纳结论】把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成了一个一元一次不等式组.‎ 我们把几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们组成的一元一次不等式组的解集.‎ 求不等式组的解集的过程，叫作解不等式组.‎ ‎2.解不等式组 解：解这两个不等式得：‎ x>105,x<109‎ 此不等式组的解集就是x>105与x<109的公共部分，我们在同一条数轴上把x>105与x<109表示出来为：‎ 由图形容易分析它们的公共部分是105a ‎（2）‎ 216‎ 解集为：x，‎ 解不等式②得：x≤2，‎ ‎∴不等式组的解集为：＜x≤2，‎ 在数轴上表示不等式组的解集为：‎ ‎，‎ ‎3.不等式组的解集为（A ）‎ A．x> B．x<-1 ‎ 216‎ C．-1-‎ ‎4.若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集为（D)‎ A. x≤2 B. x>1‎ C. 1≤x<2 D. 1．‎ 证明： ‎ ‎∵解不等式①得：x≥，‎ 解不等式②得：x≤-a，‎ ‎∴不等式组的解集为：≤x≤-a，‎ ‎∵不等式组2x-b≥0‎ x+a≤0的解集为3≤x≤4，‎ ‎∴=3，-a=4，‎ b=6，a=-4，‎ ‎∴-4x+6＜0，‎ 216‎ x＞，‎ 故解集为：x＞‎ ‎7.解不等式组，并把解集表示在数轴上.‎ ‎ ‎ 解：（1）解不等式①，得x>2‎ 解不等式②，得x>4‎ 把不等式①和 ②的解集在数轴上表示出来：‎ 则原不等式的解集为x>4‎ ‎（2）解不等式①，得x≥8‎ 解不等式②，得x< ‎ 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：‎ 则原不等式无解.‎ ‎8.已知：关于x，y的方程组 的解是正数，且x的值小于y的值．‎ ‎（1）求a的范围；‎ ‎（2）化简|8a+11|-|10a+1|．‎ 解：（1）根据题意，得 解不等式①得,‎ 216‎ 解不等式②得a＜5，‎ 解不等式③得，‎ ① ‎③的解集在数轴上表示如图．‎ ‎∴上面的不等式组的解集是 ‎ ‎ ‎（2）∵ ‎ ‎∴8a+11＞0，10a+1＜0．‎ ‎∴|8a+11|-|10a+1|‎ ‎＝8a+11-［-(10a+1)］‎ ‎＝8a+11+10a+1‎ ‎＝18a+12．‎ ‎9.一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件.求小朋友的人数与玩具数.‎ 解：设小朋友的人数为x，则玩具数为（2x+3）件，根据题意，得 解不等式组，得 ‎4＜x≤6‎ 因为x是整数，所以x=5,6，则2x+3为13，15.‎ 因此，当有5个小朋友时，玩具数为13个；当有 6个小朋友时，玩具数为15个.‎ ‎【教学说明】学生在练习过程中，借助数轴表示解集，从而使学生更直观地掌握不等式组的解集.本组题目有一定的难度，教师应作适当的引导.‎ 三、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“习题4.5”中第1、2、3、4 题.‎ 216‎ 我在本课的设计上突出了以学生为主，强调知识发生发展的过程，通过先学后教，当堂训练使学生对一元一次不等式组与二元一次方程组的综合应用、根据不等式组的解集求字母的取值范围，有了更深刻的理解，并能用所学知识解决相关的问题，达到了预期的教学目标.‎ 第4章 一元一次不等式（组）‎ ‎【知识与技能】‎ ‎1.要求学生通过复习熟练掌握不等式和不等式解集的概念.‎ ‎2.掌握求一元一次不等式及不等式组的解集.‎ ‎3.能较熟练地应用一元一次不等式和一元一次不等式组来解决简单的实际问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过引导学生复习总结知识结构，进一步加深学生对本章知识的理解.‎ ‎【情感态度】‎ 在练习过程中让学生认识到数形结合的思想，从而让他们感觉到数学解题的简洁美.‎ ‎【教学重点】‎ 一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法. ‎ ‎【教学难点】‎ 利用一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题.‎ 一、知识结构 ‎【教学说明】总结学生的发言，并将本章的内容作一次总结，指出本章重难点，鼓励学生作出知识结构图.‎ 216‎ 二、释疑解惑，加深理解 ‎1.不等式的概念：我们把用不等号（>，<，≥，≤,≠）连接而成的式子叫作不等式.‎ ‎2.不等式的性质：‎ 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式），不等号的方向不变.‎ 不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变.‎ 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数．不等号的方向改变．‎ ‎3.一元一次不等式的概念：含有一个未知数，且未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式.‎ 我们把满足一个不等式的未知数的每一个值，称为这个不等式的一个解.‎ 把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.‎ 求一个不等式的解集的过程称为解不等式.‎ ‎4.解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：‎ ‎（1）去分母；（2）去括号；（3）移项； （4）合并同类项；‎ ‎（5）系数化1.‎ ‎5.一元一次不等式解决实际问题的一般步骤：‎ 第一步：审题，找不等关系；‎ 第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式；‎ 第三步：列不等式；‎ 第四步：解不等式；‎ 第五步：根据实际情况写出答案.‎ ‎6.一元一次不等式组的概念：把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成了一个一元一次不等式组.‎ 我们把几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们组成的一元一次不等式组的解集.‎ 求不等式组的解集的过程，叫作解不等式组.‎ ‎7.求不等式组解集的规律：皆大取大，皆小取小，大小小大取中间，大大小小是无解.‎ ‎【教学说明】通过引导学生复习总结本章概念和知识点，进一步加深学生对本章知识的理解.‎ 216‎ 三、典例精析，复习新知 ‎1.下列不等式中，是一元一次不等式的有（B）个.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎2.不等式ax+b>0（a<0）的解集是（B）‎ A. x>－ B. x<－‎ C. x> D. x<‎ ‎3.若关于x的方程3x+2m=2的解是正数，则m的取值范围是（B）‎ A. m>1 B. m<1‎ C. m≥1 D. m≤1‎ ‎4.不等式组的解集在数轴上表示正确是的是（D）‎ ‎5.若关于x的不等式的整数解共有4个,则m的取值范围是 (D )‎ A.6－1与不等式2（x－1）+3>5的解集相同，请确定a的值 解：解4x－3a>－1得x>；‎ 解2（x－1）+3>5得x>2，‎ 由于两个不等式的解集相同，‎ 所以有=2，解得a=3.‎ ‎4.关于x的一元一次方程4x+m+1=3x－1的解是负数，求m的取值范围.‎ 解：解此方程得x=－2－m，‎ 根据方程的解是负数，‎ 可得－2－m<0，‎ 216‎ 解得m>－2.‎ ‎5.解不等式组 并写出该不等式组的整数解 解：解不等式-3（x-2）≥4-x 得：x≤1；‎ 解不等式”或“<”填空）‎ 你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？‎ 证明：∵a>b，∴a+c>b+c． ‎ 又∵c>d，∴b+c>b+d，‎ ‎∴a+c>b+d．‎ ‎7.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元.后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于5%，请你帮忙算一算，该商品至多可以打几折？‎ 解：设该商品可以打x折，则有 ‎1200·－800≥800×5%‎ 解得x≥7.‎ 答：该商品至多可以打7折.‎ ‎8.郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元．用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．‎ ‎（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?‎ ‎（2）郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后．余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?‎ 216‎ 解：(1)设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为(x－8)元．根据题意得：‎ ‎3x +2(x－8)＝124‎ 解得：x＝28．‎ ‎∴x－8＝20．‎ 答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．‎ ‎（2）设购买书包y个，则购买词典(40－y)本．根据题意得：‎ 解得：10≤y≤12.5‎ 因为y取整数，所以y的值为10或11或12．‎ 所以有三种购买方案，分别是：‎ ‎①书包10个，词典30本；‎ ‎②书包11个，词典29本；‎ ‎③书包12个，词典28本．‎ ‎9.整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：‎ ‎（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？‎ ‎（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？‎ 解：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x元，乙种药品的出厂价格为每盒y元．‎ 则根据题意列方程组得：‎ ‎ ‎ 216‎ 解之得： ‎ ‎ 5×3.6-2.2=18-2.2=15.8（元）‎ ‎6×3=18（元）‎ 答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元.‎ ‎（2）设购进甲药品x箱（x为非负整数），购进乙药品（100-x）箱，则根据题意列不等式组得：‎ ‎ ‎ 解之得：≤x≤60‎ 则x可取：58，59，60，此时100-x的值分别是：42，41，40‎ 有3种方案供选择：‎ 第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱；‎ 第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱；‎ 第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40箱；‎ ‎【教学说明】要求每个学生在进行独立思考时，教师要关注学困生并给予帮助.‎ 五、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:教材“复习题”中第5、7、8、14题.‎ ‎1.本节课的重点在让每个学生建构本章知识体系.教师让学生充分思考、练习和交流，同时充分暴露出存在的问题，达到有效复习的目的.‎ ‎2.第一环节基本知识的复习时间要控制，学生不牢固的部分可以通过例题、练习的形式加深巩固复习.‎ 第5章 二次根式 ‎5.1 二次根式 216‎ 第1课时 二次根式的概念及性质 ‎【知识与技能】‎ ‎1.了解二次根式的概念. ‎ ‎2.掌握二次根式的基本性质.‎ ‎3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历二次根式的基本性质、运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象的概括能力.‎ ‎【情感态度】‎ 经历观察、比较、总结和应用数学等活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.体会发现的快乐，并提高应用的意识.‎ ‎【教学重点】‎ 二次根式的概念及意义.‎ ‎【教学难点】‎ 利用“（a≥0）”解决具体问题.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？‎ ‎2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？‎ ‎3.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？‎ ‎4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？‎ ‎5.－7有没有平方根？有没有算术平方根？‎ ‎【教学说明】评价学生与本节课相关的旧知识的掌握情况.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.说一说：‎ ‎（1）5的平方根是什么？正实数a的平方根是什么？‎ ‎（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度，才能克服地球引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道，而第一宇宙速度u与地球半 216‎ 径R之间存在如下关系：u2=gR，其中重力加速度常数g≈9.5m/s2.如已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？‎ 我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作，称为a的算术平方根，另一个是-.‎ ‎【归纳结论】我们把形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.‎ ‎2.思考二次根式“”中被开方数a能取任意实数吗？‎ ‎【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.‎ ‎ 对于非负实数a,由于是a的一个平方根，因此（）2=a(a≥0)‎ ‎3.做一做：填空.‎ ‎ ‎ 根据上述结果猜想，当a≥0时， = .‎ ‎【归纳结论】=a(a≥0)‎ ‎4.议一议：‎ 当a<0时，=a是否依然成立？为什么?‎ ‎【归纳结论】二次根式的性质：‎ ‎【教学说明】学生小组交流期间师巡回指导,引导学生小结形成新知，理解新知;引导学生对二次根式的性质做出合理的解释.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P155例1、P156例2、例3. ‎ ‎2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（B）‎ A．5 B． C． D．以上皆不对 ‎3.使式子有意义的未知数x有（B）个．‎ A．0 B．1 C．2 D．无数 ‎4.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：‎ 216‎ ‎5.当x是多少时， 在实数范围内有意义？‎ ‎【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．‎ ‎6.当x是多少时， 在实数范围内有意义？‎ ‎7.当x是多少时，在实数范围内有意义？‎ ‎【分析】要使在实数范围内有意义，必须同时满足 中的2x+3≥0和中的x+1≠0．‎ 216‎ ‎8.已知a、b为实数，且 ，求a、b的值．‎ 答案：a=5，b=-4‎ ‎【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.‎ 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:完成教材第159页“习题5.1”中第1 、2 题.‎ 学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础.本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用.‎ 通过复习引入新知，注重将新知识与旧知识进行联系与对比.随后从学生熟悉的四个实际问题出发，用已有的知识写出这四个问题的答案，并分析所得的结果在表达式上的特点，由此引入二次根式的概念，对于二次根式的一些结论，让学生参与思考、探索、学会分类讨论的方法，在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密，以此充分调动学生学习的兴趣.‎ 第2课时 二次根式的化简 ‎【知识与技能】‎ ‎1.了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断. ‎ 216‎ ‎2.能熟练地把二次根式化为最简二次根式.‎ ‎3.了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用.‎ ‎【过程与方法】‎ 进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力.‎ ‎【情感态度】‎ 通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点.‎ ‎【教学重点】‎ 会把二次根式化简为最简二次根式.‎ ‎【教学难点】‎ 准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.什么叫二次根式？使二次根式有意义的条件是什么？‎ ‎ 2.当a≥0时， 叫什么？当a<0时，有意义吗？‎ ‎【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作铺垫.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？‎ ‎2.化简下列二次根式 ‎（1） （2） （3） ‎ ‎【教学说明】化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外.（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）‎ ‎3.化简下列二次根式 ‎4.观察上面几个二次根式化简的结果，它们有什么特点？‎ 216‎ ‎【归纳结论】我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.‎ 在二次根式的运算中，一般要把最后的结果化为最简二次根式.‎ ‎【教学说明】引导学生计算，观察计算结果，总结规律.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？‎ ‎【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是.‎ 解：最简二次根式有 不是最简二次根式.因为 ，‎ 被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式.‎ ‎2.化简 (x>0)‎ ‎ ‎ 216‎ ‎6.化简：‎ ‎7.一个底面为30cm×‎ 216‎ ‎30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的铁桶中，当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？‎ ‎【分析】根据倒出的水的体积等于铁桶的体积，列出方程求解即可．‎ 解：设正方形铁桶的底面边长为x，则10x2=30×30×20，‎ x2=1800，‎ 解得x=（厘米）．‎ 答：正方形铁桶的底面边长是厘米．‎ ‎【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:完成教材P160“习题5.1”中第4、5、8 题.‎ 学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动.正是在这一教育思想的指导下，促进学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动.互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振.‎ ‎5.2 二次根式的乘法和除法 第1课时 二次根式的乘法 ‎【知识与技能】‎ ‎1.使学生掌握二次根式乘法法则 (a≥0,b≥0).‎ ‎2.使学生掌握=a（a≥0）,并能加以初步应用以化简二次根式.‎ ‎【过程与方法】‎ 216‎ 通过猜想，体验探究二次根式的乘法法则，实践应用，巩固法则.‎ ‎【情感态度】‎ 培养良好的学习习惯，体验成功的喜悦.‎ ‎【教学重点】‎ 会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式对一些式子进行化简.‎ ‎【教学难点】‎ 二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.‎ 一、情景导入，初步认知 一块正方形的木板面积为200cm2，已知=1.414，你能不用计算器以最快的速度求出正方形木板的边长吗？‎ ‎【教学说明】通过实际问题引入新课.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.积的算术平方根的性质是什么？‎ ‎（a≥0,b≥0)‎ ‎2.试一试：并观察结果，你能发现什么规律？‎ ‎ ‎ ‎【教学说明】让学生计算，由学生总结,（1）（2）两式均相等.‎ ‎【教学说明】组织学生计算，验证猜想.让学生自主探究，通过类比得到规律，让学生体验到成功的喜悦，激发学生学习的兴趣.‎ ‎【归纳结论】二次根式乘法的运算公式：（a≥0,b≥0)，老师应引导学生关注a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，上述法则不能成立．因为当a<0，b<0时，虽然有意义，而 在实数范围内却没有意义，乘法法则显然不能成立．‎ ‎3.计算.‎ 216‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P161例1、例2.‎ ‎2.下列各式正确的是（D）‎ 216‎ ‎8.已知正方形A，矩形B,圆C的面积均为628cm2，其中矩形B的长是宽的2倍，如果π取3.14，试比较它们的周长LA,LB,LC解完本题后，你能得到什么启示？‎ 解：略.‎ ‎【教学说明】训练学生对待计算题也要认真分析，找出合理快捷的方法解决问题.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 216‎ 布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第1、4 题.‎ 这一堂课的教学对我的启发很大，好像又回到了初一年级，学生对数的认识是一个很难的问题，很多同学在数的认识中有着很大的欠缺.对根式的认识，特别是对根式的性质的认识总是转换不过来，没有办法只有花上很大的一段时间进行巩固学习，少数同学对负数中的符号问题容易出现错误.今后，应充分给学生训练时间，合理利用学案，让学生把知识掌握好.‎ 第2课时 二次根式的除法 ‎【知识与技能】‎ 会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法.‎ ‎【情感态度】‎ 培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学的应用价值.‎ ‎【教学重点】‎ 二次根式除法运算.‎ ‎【教学难点】‎ 探索二次根式除法法则.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.积的算术平方根的性质是什么？‎ ‎2.二次根式乘法法则是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？‎ ‎【教学说明】复习旧知，为学习新知做准备.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？‎ 216‎ ‎【教学说明】发现规律，归纳出二次根式的除法公式.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.教材P163例4、P164例5、例6. ‎ 216‎ 216‎ ‎【教学说明】巩固提高.‎ 四、师生互动，课堂小结 216‎ 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第2、3、4 题.‎ 这节课原本希望学生能在一节课内就体会到先局部化简再计算起来比较简洁.但这节课并没有实现这个目的,而且没有想到学生竟然给出多种方法.我想应当把这个问题延伸到下一节课,可以在下一节课中把学生的课后作业的解法对比,让学生去体会哪种方法更好,更简洁.不要急于在这一节课中去解决,这一节课只要能用自己的方法解决就可以.‎ ‎5.3二次根式的加法和减法 第1课时 二次根式的加减运算 ‎【知识与技能】‎ ‎1.知道二次根式加减运算的步骤,‎ ‎2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探究二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法.‎ ‎【情感态度】‎ 通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美.‎ ‎【教学重点】‎ 二次根式的加减法运算.‎ ‎【教学难点】‎ 被开方数是分数(式)或含字母的二次根式加减运算.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.下列根式中，哪些是最简二次根式？‎ 216‎ ‎2.计算下列各式：‎ ‎(1)2x+3x (2)3x-2y+y ‎【教学说明】复习整式加减法的内容，为下面探究二次根式加减法的解法做铺垫.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.二次根式的加减运算能否依据整式的加减法运算进行？‎ ‎【教学说明】在此过程中，使学生理解掌握二次根式加减法的解法，并体会类比的思想方法.‎ ‎2.如图，是由面积分别为8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成，求BE的长.‎ ‎3.你能根据上面的计算过程总结二次根式加减法运算的步骤吗？‎ ‎ 【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．‎ ‎ 【教学说明】通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望.在二次根式加减法的整个教学环节中，要及时纠正学生的错误认识.‎ 三、运用新知，深化理解 216‎ ‎1.教材P168例1、例2.‎ ‎2.下列二次根式中，能与合并的二次根式是（B）‎ 216‎ ‎7.有一艘船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向上，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔在船的西北方向.问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？（结果保留根号）‎ 答案： ‎ ‎【教学说明】独立完成，之后相互交流，纠错.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 216‎ 布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第1、2 题.‎ 将法则的教学与整式的加减比较学习.在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.巩固本节内容，作业分层布置，使不同层次学生都有发展和提高. ‎ 通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美，通过题目练习，复习同类二次根式的概念，温故而知新.‎ 第2课时 二次根式的混合运算 ‎【知识与技能】‎ 使学生会熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.‎ ‎【过程与方法】‎ 讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点.‎ ‎【情感态度】‎ 培养学生进行类比的学习思想和理解运算律的广泛意义.‎ ‎【教学重点】‎ 二次根式的混合运算.‎ ‎【教学难点】‎ 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.‎ 一、情景导入，初步认知 ‎1.二次根式有哪些性质？‎ ‎2.已学过的整式的乘法公式和法则有哪些？‎ ‎3.怎样化简二次根式？‎ ‎【教学说明】进一步梳理和巩固已学过的知识，为本节课的教学作准备.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横截面设计为上底宽4‎ 216‎ ‎ m,下底宽6 m，高m的梯形，这段路基长500 m,那么这段路基的土石方大小为多少立方米呢？‎ 路基的土石方大小等于路基横截面面积乘以路基的长度，所以，这段路基的土石方为：‎ ‎【教学说明】从上面的解题过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.‎ ‎2.计算：‎ ‎【教学说明】引导学生类比实数的运算进行计算.‎ 从上面的运算可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似，我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法教学简便运算.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1. 教材P170例4、P171例5.‎ 216‎ 216‎ ‎4.下面的三个大三角形中各有三个小三角形，每个大三角形中的四个数都有规律，请按左、右每个大三角形内填数的规律，在中间的大三角形的中间，填上恰当的数.‎ 答案： ‎ ‎【教学说明】学生先做，教师之后挑选部分进行点评.‎ 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第3、4、6题.‎ 本节课是二次根式加减的第二节课，它是在二次根式加减的基础上的进一步学习，利用二次根式加减法解决一些实际问题.在设计本课时教案时，着重从以下几点考虑：1.先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则.2.四人小组探索、发现、 解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力.本节课秉着以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆.同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.‎ 216‎ 第5章 二次根式 ‎【知识与技能】‎ ‎1.了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则.‎ ‎2.用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算.‎ ‎3.会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力.‎ ‎【情感态度】‎ 通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又应用于实际的辩证唯物主义思想.‎ ‎【教学重点】‎ 运用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系.‎ ‎【教学难点】‎ 运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题，是本节复习课的难点，这就要求学生有严密的数学思维.‎ 一、知识结构 216‎ ‎【教学说明】揭示知识之间的内在联系，将所学的零散的知识连接起来，形成一个完整的知识结构，有助于学生对知识的理解和运用.‎ 二、释疑解惑，加深理解 ‎1.二次根式的概念：‎ 我们把形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.‎ ‎2.二次根式的意义：‎ 只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.‎ ‎3.二次根式的性质：‎ ‎4.最简二次根式的概念：‎ 我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.‎ 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.‎ ‎5.二次根式乘法的运算公式：‎ ‎6.二次根式的除法运算公式：‎ 216‎ ‎7.二次根式的加减运算方法：‎ 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．‎ ‎【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.‎ 三、典例精析，复习新知 ‎1.下列式子一定是二次根式的是（C）‎ ‎2.若 有意义，则m能取的最小整数值是（B）‎ A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3‎ ‎3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ A）‎ ‎4.化简：‎ 216‎ ‎【教学说明】使学生通过二次根式的化简及化简依据的说明，引导学生回忆二次根式的性质.进而让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，源自二次根式的性质.‎ 四、复习训练，巩固提高 216‎ 216‎ 216‎ ‎【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.‎ 五、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.‎ 布置作业:完成教材P174和P175“复习题5”中第4、5、6、8、12题.‎ 从整堂课来看，效果比较好，学生从未知到已知，并且进行了消化.整堂课始终把学生摆在第一位，让他们主动去学习.真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体.层层问题给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程.在这种学习过程中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力.‎ 当然本节课也有不足之处，在处理某些题的时候没有能注意学生能力的差异，基础比较薄弱的学生可能没有真正的把握.因此通过这节课，我要在以后的教学过程中注意分层作业，让每一个同学都能体验成功的喜悦.‎ 216‎