人教版初中数学八年级下册课件18.2.3 正方形第1课时 正方形的性质

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

人教版初中数学八年级下册课件18.2.3 正方形第1课时 正方形的性质

18.2.3 正方形 第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 正方形的性质 学习目标 1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质,并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. (难点) 导入新课 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形, 在生活中无处不在. 情景引入 你还能举 出其他的 例子吗? 讲授新课 矩 形 〃 〃 问题1:矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现? 问题引入 正方形的性质 正方形 问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现? 正方形 邻边相等矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义: 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫正方形. 归纳总结 已知:如图,四边形ABCD是正方形. 求证:正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明:∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC (正方形的定义). 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形(矩形的定义), 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 证一证 已知:如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD 相交于点O.求证:AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 证明:∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观 察并思考. 正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对 称轴有几条? 对称性: . 对称轴: . 轴对称图形 4条 A B C D 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是 特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系: 性质:1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 归纳总结 例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四 个全等的等腰直角三角形. A D CB O 已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的 等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都 是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. 典例精析 D A B C E 例2 如图,在正方形ABCD中, ΔBEC是等边三角形, 求证: ∠EAD=∠EDA=15° . 证明:∵ ΔBEC是等边三角形, ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°, ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°, ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°, ∴△ABE,△DCE是等腰三角形, ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°, ∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°. 【变式题1】四边形ABCD是正方形,以正方形 ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小. 解:当等边△ADE在正方形ABCD外部时,如图①, AB=AE,∠BAE=90°+60°=150°. ∴∠AEB=15°. 同理可得∠DEC=15°. ∴∠BEC=60°-15°-15°=30°; 当等边△ADE在正方形ABCD内部时,如图②, AB=AE,∠BAE=90°-60°=30°, ∴∠AEB=75°. 同理可得∠DEC=75°. ∴∠BEC=360°-75°-75°-60°=150°. 综上所述,∠BEC的大小为30°或150°. 易错提醒:因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公 共边,所以边相等.本题分两种情况:等边△ADE在 正方形的外部或在正方形的内部. 【变式题2】 如图,在正方形ABCD内有一点P满足 AP=AB,PB=PC,连接AC、PD. (1)求证:△APB≌ △DPC; 解:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABC=∠DCB=90°. ∵PB=PC, ∴∠PBC=∠PCB. ∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB, 即∠ABP=∠DCP. 又∵AB=DC,PB=PC, ∴△APB≌ △DPC. 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BAC=∠DAC=45°. ∵△APB≌ △DPC, ∴AP=DP. 又∵AP=AB=AD, ∴DP=AP=AD. ∴△APD是等边三角形. ∴∠DAP=60°. ∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°. ∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°. ∴∠BAP=2∠PAC. (2)求证:∠BAP=2∠PAC. 例3 如图,在正方形ABCD中,P为BD上一点, PE⊥BC于E, PF⊥DC于F.试说明:AP=EF. A B C D P E F 解: 连接PC,AC. 又∵PE⊥BC , PF⊥DC, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD, ∴四边形PECF是矩形, ∴PC=EF. ∴AP=PC. ∴AP=EF. 在正方形的条件下证明两条线段相等:通常连接 对角线构造垂直平分的模型,利用垂直平分线性质, 角平分线性质,等腰三角形等来说明. 归纳 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质( ) A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 B D 练一练 3.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与 BD相交于点O,AO=2,求正方形的周长与面 积.解:∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,OA=OD=2. 在Rt△AOD中,由勾股定理,得 ∴正方形的周长为4AD= , 面积为AD2=8. 2 2 2 2,AD AO OD   8 2 2.一个正方形的对角线长为2cm,则它的面积是 (  ) A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( ) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等 A 当堂练习 3.在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= . 4.在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,且 AE=AB,则∠EBC的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第3题图 第4题图 45° 5.如图,正方形ABCD的边长为1cm,AC为对角 线,AE平分∠BAC,EF⊥AC,求BE的长. 解:∵四边形ABCD为正方形, ∴∠B=90°,∠ACB=45°,AB=BC=1cm. ∵EF⊥AC,∴∠EFA=∠EFC=90°. 又∵∠ECF=45°, ∴△EFC是等腰直角三角形,∴EF=FC. ∵∠BAE=∠FAE,∠B=∠EFA=90°,AE= AE, ∴△ABE≌ △AFE, ∴AB=AF=1cm,BE=EF. ∴FC=BE. 在Rt△ABC中, ∴FC=AC-AF=( -1)cm, ∴BE=( -1)cm. 2 2 2cm,AC AB BC   2 2 6. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点,F为BC边延 长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系? 请说明理由. 解:BE=DF,且BE⊥DF.理由如下: ∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . ∴∠DCF=180°-∠BCE=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌ △DCF. ∴BE=DF. A B D C F E 延长BE交DE于点M, ∵△BCE≌ △DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ∴∠CDF +∠F =90°, ∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. A B D F E C M 课堂小结 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形 的性质 性质 定义 有一组邻相等,并且有一个角是 直角的平行四边形叫做正方形.
查看更多

相关文章

您可能关注的文档