人教版8年级上册数学全册课时十字相乘法分解因式导学案

人教版8年级上册数学全册课时十字相乘法分解因式导学案

1 十字相乘法进行因式分解 【学习目标】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为 1 的二次三项式的十字相乘法． 学习重点：理解十字相乘法的根据。 学习难点：能用十字相乘法分解二次三项式。 学习过程： 1．二次三项式 多项式 cbxax 2 ，称为字母 x 的二次三项式，其中 2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例 如， 322  xx 和 652  xx 都是关于 x 的二次三项式． 在多项式 22 86 yxyx  中，如果把 y 看作常数，就是关于 x 的二次三项式；如果把 x 看作常数， 就是关于 y 的二次三项式． 在多项式 372 22  abba 中，把 ab 看作一个整体，即 3)(7)(2 2  abab ，就是关于 ab 的二次 三项式．同样，多项式 12)(7)( 2  yxyx ，把 x＋y 看作一个整体，就是关于 x＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为 1 的二次三项式 qpxx 2 ，如果能把常数项 q 分解成两个因数 a，b 的积， 并且 a＋b 为一次项系数 p，那么它就可以运用公式 ))(()(2 bxaxabxbax  分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的 x 可以表示单项式，也可以表 示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 2 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符 号相同． （2）对于二次项系数不是 1 的二次三项式 cbxax 2 (a，b，c 都是整数且 a≠0)来说，如果存在四 个整数 2121 ,,, ccaa ，使 aaa  21 ， ccc  21 ，且 bcaca  1221 ， 那么 cbxax 2 ))(()( 2211211221 2 21 cxacxaccxcacaxaa  它的特征是“拆两头，凑 中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是 1 的情况复杂，因此，一般要借助“画十 字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二 次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解 为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数， 使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注 意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由 十字相乘写出的因式漏写字母．如： )45)(2(865 22  xxyxyx 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考 虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概 括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试， 结果应是乘积式”． 【典型例题】 例 1 把下列各式分解因式： （1） 1522  xx ；（ 2） 22 65 yxyx  ． 例 2 把下列各式分解因式： （1） 352 2  xx ；（ 2） 383 2  xx ． 例 3 把下列各式分解因式： （1） 910 24  xx ； 3 （2） )(2)(5)(7 23 yxyxyx  ； （3） 120)8(22)8( 222  aaaa ． 例 4 分解因式： 90)242)(32( 22  xxxx ． 例 5 分解因式 653856 234  xxxx ． 例 6 分解因式 6552 22  yxyxyx ． ． 例 7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)． 例 8 已知 126 24  xxx 有一个因式是 42  axx ，求 a 值和这个多项式的其他因式． 例 9 分解因式： 222 10235 yabyba  ．