2019-2020学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷

2019-2020学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷

第 1页（共 28页） 2019-2020 学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学 试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题中均有四个备选答案，其中有 且只有一个是正确的，请在答题平台上勾选． 1．（3 分）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A．x≠1 B．x＞1 C．x≥1 D．x≤1 2．（3 分）下列计算正确的是（ ） A．3 ﹣ ＝3 B．2+ ＝2 C． ＝﹣2 D． ＝2 3．（3 分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 4．（3 分）下列各组数中不能作为直角三角形的三条边的是（ ） A．6，8，10 B．9，12，15 C．1.5，2，3 D．7，24，25 5．（3 分）下列命题中错误的是（ ） A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形 6．（3 分）如图，一竖直的木杆在离地面 4 米处折断，木頂端落在地面离木杆底端 3 米处， 木杆折断之前的高度为（ ） A．7 米 B．8 米 C．9 米 D．12 米 7．（3 分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AC、BC 为直径作半圆 S1 和 S2，且 S1+S2 ＝2 π ，则 AB 的长为（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 第 2页（共 28页） 8．（3 分）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6，BD＝8，M、N 分别是 BC、CD 上的动点， P 是线段 BD 上的一个动点，则 PM+PN 的最小值是（ ） A． B． C． D． 9．（3 分）观察下列式子： ； ； ；… 根据此规律，若 ，则 a2+b2 的值为（ ） A．110 B．164 C．179 D．181 10．（3 分）如图，正方形 ABDC 中，AB＝6，E 在 CD 上，DE＝2，将△ADE 沿 AE 折叠至 △AFE，延长 EF 交 BC 于 G，连 AG、CF，下列结论： ① △ABG≌△AFG； ② BG＝CG； ③ AG∥CF； ④ S△FCG＝3， 其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（共 6 小题，每题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）化简： ＝ ；（﹣ ）2＝ ； ＝ ． 12．（3 分）如图，点 P（﹣2，3），以点 O 为圆心，以 OP 的长为半径画弧，交 x 轴的负半 轴于点 A，则点 A 的坐标为 ． 第 3页（共 28页） 13．（3 分）已知 是整数，自然数 n 的最小值为 ． 14．（3 分）如图，O 是矩形 ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD，∠OAE＝15°，则∠AEO 的度数为 ． 15．（3 分）如图，等腰三角形纸片 ABC 中，AD⊥BC 与点 D，BC＝2，AD＝ ，沿 AD 剪 成两个三角形．用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形中较长对角线的长 为 ． 16．（3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB＝12，点 E 是 AD 上的一点，AE＝6，BE 的垂直平分 线交 BC 的延长线于点F，连接 EF交 CD 于点G．若 G 是 CD 的中点，则 BC 的长是 ． 三、解答题（共 8 题，共 72 分） 17．（8 分）计算： ① ； ② ． 18．（8 分）已知 x＝2+ ，y＝2﹣ ，求下列各式的值： 第 4页（共 28页） （1）x2+2xy+y2 （2）x2﹣y2． 19．（8 分）如图，在▱ ABCD 中，AE＝CF，求证：四边形 DEBF 是平行四边形． 20．（8 分）如图，正方形网格中每个小正方形边长均为 1，每个小正方形的顶点叫格点，以 格点为顶点按下列要求画图： （1）画一个△ABC，使 AC＝ ．BC＝2 ，AB＝5； （2）若点 D 为 AB 的中点，则 CD 的长是 ； （3）在（2）的条件下，直接写出点 D 到 AC 的距离为 ． 21．（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，又 M、N 分别是 OA、OC 的中点． （1）求证：BM＝DN； （2）若 AO＝BD，试判断四边形 MBND 的形状，并证明你的结论． 22．（10 分）△ABC 中，BC＝8，以 AC 为边向外作等边△ACD． （1）如图 ① ，△ABE 是等边三角形，若 AC＝6，∠ACB＝30°，求 CE 的长； 第 5页（共 28页） （2）如图 ② ，若∠ABC＝60°，AB＝4，求 BD 的长． 23．（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝10cm，BC ＝8cm，CD＝16cm．点 P 从点 A 出发，以每秒 3cm 的速度沿折线段 AB﹣BC﹣CD 运动， 点 Q 从点 D 出发，以每秒 2cm 的速度沿线段 DC 方向向点 C 运动．已知动点 P、Q 同时 发，设运动时间为 t 秒（0≤t≤8）． （1）求 AB 的长； （2）当四边形 PBQD 为平行四边形时，求四边形 PBQD 的周长； （3）在点 P 运动过程中，当 t＝ 秒的时候，使得△BPQ 的面积为 20cm2． 24．（12 分）平面直角坐标系中有正方形 AOBC，O 为坐标原点，点 A、B 分别在 y 轴、x 轴正半轴上，点 P、E、F 分别为边 BC、AC、OB 上的点，EF⊥OP 于 M． （1）如图 1，若点 E 与点 A 重合，点 A 坐标为（0，8），OF＝3，求 P 点坐标； （2）如图 2，若点 E 与点 A 重合，且 P 为边 BC 的中点，求证：CM＝2CP； （3）如图 3，若点 M 为线段 OP 的中点，连接 AB 交 EF 于点 N，连接 NP，试探究线段 OP 与 NP 的数量关系，并证明你的结论． 第 6页（共 28页） 2019-2020 学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学 试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题中均有四个备选答案，其中有 且只有一个是正确的，请在答题平台上勾选． 1．（3 分）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A．x≠1 B．x＞1 C．x≥1 D．x≤1 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，就可以求解． 【解答】解：由 在实数范围内有意义，得 x﹣1≥0， 解得 x≥1， 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式的意义．考查的知识点为：分式有意 义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数． 2．（3 分）下列计算正确的是（ ） A．3 ﹣ ＝3 B．2+ ＝2 C． ＝﹣2 D． ＝2 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简计算即可． 【解答】解：A、3 ﹣ ＝2 ，故此选项错误； B、2+ 无法计算，故此选项错误； C、 ＝2，故此选项错误； D、 ＝2 ，正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次根式的 hi 额性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 3．（3 分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【分析】利用最简二次根式的定义对各选项进行判断． 第 7页（共 28页） 【解答】解： ＝2 ， ＝ ， ＝ ，只有 为最简二次根式． 故选：B． 【点评】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开 得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考 查了无理数． 4．（3 分）下列各组数中不能作为直角三角形的三条边的是（ ） A．6，8，10 B．9，12，15 C．1.5，2，3 D．7，24，25 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不 是直角三角形，分析得出即可． 【解答】解：A、∵62+82＝102， ∴此三角形是直角三角形，不合题意； B、∵92+122＝152， ∴此三角形是直角三角形，不符合题意； C、1.52+22≠32， ∴此三角形不是直角三角形，符合题意； D、72+242＝252， ∴此三角形是直角三角形，不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所 给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关 系，进而作出判断． 5．（3 分）下列命题中错误的是（ ） A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形 【分析】根据平行四边形和矩形的性质和判定进行判定． 【解答】解：根据平行四边形和矩形的性质和判定可知：选项 A、B、C 均正确．D 中说 第 8页（共 28页） 法应为：对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 故选：D． 【点评】本题利用了平行四边形和矩形的性质和判定方法求解． 6．（3 分）如图，一竖直的木杆在离地面 4 米处折断，木頂端落在地面离木杆底端 3 米处， 木杆折断之前的高度为（ ） A．7 米 B．8 米 C．9 米 D．12 米 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边， 从而得出这棵树折断之前的高度． 【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面 4 米处折断，頂端落在地面离木杆底端 3 米处， ∴折断的部分长为 ＝5（米）， ∴折断前高度为 5+4＝9（米）． 故选：C． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能 力． 7．（3 分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AC、BC 为直径作半圆 S1 和 S2，且 S1+S2 ＝2 π ，则 AB 的长为（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【分析】根据勾股定理得到 AC2+BC2＝AB2，根据圆的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， π ×（ ）2+ π ×（ ）2＝ π ×（AC2+BC2）＝2 π ， 解得，AC2+BC2＝16， 则 AB2＝AC2+BC2＝16， 解得，AB＝4， 故选：C． 第 9页（共 28页） 【点评】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c， 那么 a2+b2＝c2． 8．（3 分）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6，BD＝8，M、N 分别是 BC、CD 上的动点， P 是线段 BD 上的一个动点，则 PM+PN 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理得到 AB＝ ＝5，过 N 作 NQ⊥AB 于 Q 交 BD 于 P，过 P 作 PM⊥BC 于 M，则 PM+PN＝PN+PQ＝NQ 的值最小，根据菱形的面积公式即可得到结 论． 【解答】解：∵菱形 ABCD 中，AC⊥BD， ∴AB＝ ＝5， 过 N 作 NQ⊥AB 于 Q 交 BD 于 P， 过 P 作 PM⊥BC 于 M， 则 PM+PN＝PN+PQ＝NQ 的值最小， ∵S 菱形 ABCD＝ ×6×8＝5NQ， ∴NQ＝ ， 即 PM+PN 的最小值是 ， 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短距离问题，菱形的性质，菱形的面积的计算，正确的 作出图形是解题的关键． 第 10页（共 28页） 9．（3 分）观察下列式子： ； ； ；… 根据此规律，若 ，则 a2+b2 的值为（ ） A．110 B．164 C．179 D．181 【分析】由 1×2＝2，2×3＝6，3×4＝12，…可得 ab＝90，还发现每个式子的两个因数 是连续的整数，可得：a+1＝b，解方程组可得 a 和 b 的值，代入所求式子可得结论． 【解答】解：由题意得， ，解得： ， ∴a2+b2＝92+102＝181． 故选：D． 【点评】此题考查了数字类的变化规律题，还考查了二元二次方程组的解的问题，认真 观察已知条件，总结规律是解题的关键． 10．（3 分）如图，正方形 ABDC 中，AB＝6，E 在 CD 上，DE＝2，将△ADE 沿 AE 折叠至 △AFE，延长 EF 交 BC 于 G，连 AG、CF，下列结论： ① △ABG≌△AFG； ② BG＝CG； ③ AG∥CF； ④ S△FCG＝3， 其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】 ① 根据正方形的性质和翻折的性质即可证明 Rt△ABG≌Rt△AFG； ② 设 BG＝GF＝x，则 GC＝BC﹣BG＝6﹣x，根据翻折可得 EF＝DE＝2，GE＝GF+EF＝ x+2，EC＝4，再根据勾股定理可得 x 的值，进而证明 BG＝CG； ③ 根据 Rt△ABG≌Rt△AFG 可得∠AGB＝∠AGF，由 GF＝GC，可得∠GCF＝∠GFC， 进而得∠AGB＝∠FCG，可得 AG∥FC； 第 11页（共 28页） ④ 过点 F 作 FH⊥CE 于点 H，求出 FH 的长，由 S△GCF＝S△EGC﹣S△EFC 求出三角形 GCF 的面积，即可判断． 【解答】解：∵在正方形 ABDC 中，AB＝6， ∴AD＝DC＝BC＝AB＝6，∠B＝∠D＝∠BCD＝90°， ∵DE＝2， ∴CE＝CD﹣DE＝4， ① 由翻折可知： AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°， ∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°， ∵AG＝AG， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， 所以 ① 正确； ② ∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴BG＝GF， 设 BG＝GF＝x，则 GC＝BC﹣BG＝6﹣x， 由翻折可知：EF＝DE＝2， ∴GE＝GF+EF＝x+2，EC＝4， ∴在 Rt△EGC 中，根据勾股定理，得 （x+2）2＝42+（6﹣x）2， 解得 x＝3， ∴BG＝GF＝CG＝3， 所以 ② 正确； ③ 由 Rt△ABG≌Rt△AFG 可知： ∠AGB＝∠AGF， ∴2∠AGB+∠FGC＝180°， ∵GF＝GC， ∴∠GCF＝∠GFC， ∴2∠FCG+∠FGC＝180°， ∴∠AGB＝∠FCG， ∴AG∥FC． 第 12页（共 28页） 所以 ③ 正确； ④ 过点 F 作 FH⊥CE 于点 H， ∴FH∥GC， ∴ ＝ ， 又 EG＝EF+FG＝2+3＝5 即 ＝ ， ∴FH＝ ， ∴S△GCF＝S△EGC﹣S△EFC ＝ CG•CE﹣ CE•FH ＝ 3×4﹣ 4× ＝ ． 所以 ④ 错误． 综上所述： ①②③ ． 故选：C． 【点评】本题考查了翻折变换、全等三角形的判定、勾股定理、正方形的性质，解决本 题的关键是综合运用以上知识． 二、填空题（共 6 小题，每题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）化简： ＝ 2 ；（﹣ ）2＝ 5 ； ＝ ． 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解： ＝ ＝2 ； （﹣ ）2＝5； ＝ ＝ ． 第 13页（共 28页） 故答案为：2 ；5， ． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质与化简，正确掌握二次根 式相关性质是解题关键． 12．（3 分）如图，点 P（﹣2，3），以点 O 为圆心，以 OP 的长为半径画弧，交 x 轴的负半 轴于点 A，则点 A 的坐标为 （﹣ ，0） ． 【分析】先根据勾股定理求出 OP 的长，由于 OP＝OA，故得出 OP 的长，再根据点 A 在 x 轴的负半轴上即可得出结论． 【解答】解：∵点 P 坐标为（﹣2，3）， ∴OP＝ ， ∵点 A、P 均在以点 O 为圆心，以 OP 为半径的圆上， ∴OA＝OP＝ ， ∵点 A 在 x 轴的负半轴上， ∴点 A 的坐标为（﹣ ，0）， 故答案为：（﹣ ，0）． 【点评】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出 OP 的长是解答此题的关键． 13．（3 分）已知 是整数，自然数 n 的最小值为 2 ． 【分析】根据自然数和二次根式的性质得出 18﹣n＝16，求出即可． 【解答】解：∵ 是整数，n 为最小自然数， ∴18﹣n＝16， ∴n＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次根式的定义，能根据题意得出 18﹣n＝16 是解此题的关键． 14．（3 分）如图，O 是矩形 ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD，∠OAE＝15°，则∠AEO 第 14页（共 28页） 的度数为 30° ． 【分析】由角平分线定义及矩形性质可得 AB＝BE，∠AEB＝45°，再证明△ABO 是等边 三角形，得到 OB＝BE，在等腰△BOE 中求解∠OEB 度数，则∠AEO＝∠OEB﹣45°． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，∠DAB＝∠ABE＝90°，OA＝OB． ∵AE 平分∠BAD， ∴∠BAE＝45°，∠AEB＝45°． ∴AB＝BE． ∴∠BAO＝45°+15°＝60°． ∴△BAO 是等边三角形． ∴AB＝BO＝BE． ∵∠OBE＝30°， ∴∠OEB＝（180°﹣30°）÷2＝75°． ∴∠OEB＝75°﹣45°＝30°． 故答案为 30°． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是通过矩形性质 即特殊角得到等边三角形，平行线+角平分线得到等腰三角形，在等腰三角形中求解角的 度数． 15．（3 分）如图，等腰三角形纸片 ABC 中，AD⊥BC 与点 D，BC＝2，AD＝ ，沿 AD 剪 成两个三角形．用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形中较长对角线的长为 2 或 或 ． 【分析】分三种情况剪拼图形，画出图形即可求出平行四边形中较长对角线的长． 【解答】解：∵等腰三角形纸片 ABC 中，AD⊥BC， 第 15页（共 28页） ∴BD＝DC＝ BC＝1，AD＝ ， 根据勾股定理，得 AB＝2， 分三种情况画图如下： ① 当 AB 为对角线剪拼时，如图 1 所示： 此时较长对角线的长为 AB＝2； ② 当 AD 为对角线时剪拼，如图 2 所示： 过点 C 作 BD 延长线的垂线，垂足为点 E，得矩形 ADEC， ∴CE＝AD＝ ，DE＝AC＝BD＝1， ∴BE＝2， ∴BC＝ ＝ ． 所以该平行四边形中较长对角线的长为 BC＝ ； ③ 当 BD 为对角线时剪拼，如图 3 所示： 过点 A′作 AD 延长线的垂线，垂足为点 E，得矩形 A′EDB， ∴DE＝A′B＝AD＝ ，A′E＝BD＝1， ∴AE＝AD+DE＝2 ， 第 16页（共 28页） ∴AA′＝ ＝ ． 所以该平行四边形中较长对角线的长为 AA′＝ ． 综上所述：该平行四边形中较长对角线的长为 2 或 或 ． 故答案为：2 或 或 ． 【点评】本题考查了图形的剪拼、等腰三角形的性质、平行四边形的性质，解决本题的 关键是剪拼图形时共有 3 种情况． 16．（3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB＝12，点 E 是 AD 上的一点，AE＝6，BE 的垂直平分 线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是 10.5 ． 【分析】根据线段中点的定义可得 CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG 和△CFG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 DE＝CF，EG＝FG，设 DE＝x，表示出 BF，再 利用勾股定理列式求 EG，然后表示出 EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距 离相等可得 BF＝EF，然后列出方程求出 x 的值，从而求出 AD，再根据矩形的对边相等 可得 BC＝AD． 【解答】解：∵矩形 ABCD 中，G 是 CD 的中点，AB＝12， ∴CG＝DG＝ ×12＝6， 在△DEG 和△CFG 中， ， ∴△DEG≌△CFG（ASA）， ∴DE＝CF，EG＝FG， 设 DE＝x， 则 BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x， 在 Rt△DEG 中，EG＝ ， ∴EF＝2 ， 第 17页（共 28页） ∵FH 垂直平分 BE， ∴BF＝EF， ∴6+2x＝2 ， 解得 x＝4.5， ∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5， ∴BC＝AD＝10.5． 故答案为：10.5 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到 两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关 键 三、解答题（共 8 题，共 72 分） 17．（8 分）计算： ① ； ② ． 【分析】 ① 先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得； ② 根据二次根式的乘法运算法则计算可得． 【解答】解： ① 原式＝3 ﹣4 +2 ＝ ； ② 原式＝ ＝ ＝3． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和 二次根数混合运算顺序及其法则． 18．（8 分）已知 x＝2+ ，y＝2﹣ ，求下列各式的值： （1）x2+2xy+y2 （2）x2﹣y2． 【分析】可先把所求的式子化成与 x+y 和 x﹣y 有关的式子，再代入求值即可． 【解答】解： ∵x＝2+ ，y＝2﹣ ， ∴x+y＝4，x﹣y＝2 ， （1）x2+2xy+y2＝（x+y）2＝42＝16； 第 18页（共 28页） （2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×2 ＝8 ． 【点评】本题主要考查二次根式的化简，灵活运用乘法公式可以简化计算． 19．（8 分）如图，在▱ ABCD 中，AE＝CF，求证：四边形 DEBF 是平行四边形． 【分析】利用平行四边形的性质得出 AB∥CD，AB＝CD，进而求出 BE＝DF，进而利用 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而求出即可． 【解答】证明：在▱ ABCD 中，则 AB∥CD，AB＝CD， ∵AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， ∴BE＝DF， ∵BE∥DF， ∴四边形 DEBF 是平行四边形． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出 BE＝DF 是解题关键． 20．（8 分）如图，正方形网格中每个小正方形边长均为 1，每个小正方形的顶点叫格点，以 格点为顶点按下列要求画图： （1）画一个△ABC，使 AC＝ ．BC＝2 ，AB＝5； （2）若点 D 为 AB 的中点，则 CD 的长是 2.5 ； （3）在（2）的条件下，直接写出点 D 到 AC 的距离为 ． 【分析】（1）根据网格画一个△ABC，使 AC＝ ．BC＝2 ，AB＝5 即可； （2）根据点 D 为 AB 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出 CD 的长； （3）在（2）的条件下，证明 DE 是△ABC 的中位线，进而可得出点 D 到 AC 的距离． 【解答】解：（1）如图， 第 19页（共 28页） △ABC 即为所求； （2）∵AC＝ ．BC＝2 ，AB＝5， ∴AC2+BC2＝25，AB2＝25， ∴AC2+BC2AB2， ∴△ABC 是直角三角形， ∵点 D 为 AB 的中点， ∴CD＝ AB＝2.5， 所以 CD 的长是 2.5． 故答案为：2.5； （3）在（2）的条件下， 作 DE⊥AC 于点 E， ∵∠ACB＝90°， ∴DE∥BC， ∴点 E 是 AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE＝ BC＝ ． 所以点 D 到 AC 的距离是 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图、勾股定理，解决本题的关键是根据网格准 确画图． 21．（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，又 M、N 分别是 OA、OC 的中点． （1）求证：BM＝DN； （2）若 AO＝BD，试判断四边形 MBND 的形状，并证明你的结论． 第 20页（共 28页） 【分析】（1）直接利用平行四边形的性质得出 OA＝OC，OB＝OD，再利用平行四边形的 判定方法得出答案； （2）结合平行四边形的性质以及矩形的判定方法得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵M、N 分别是 OA、OC 的中点， ∴OM＝ OA，ON＝ OC， ∴OM＝ON， ∵OB＝OD， ∴四边形 MBND 是平行四边形， ∴BM＝DN； （2）若 AO＝BD，四边形 MBND 为矩形， 证明：∵OM＝ON＝ OA，OB＝OD＝ BD，AO＝BD， ∴OM＝ON＝OB＝OD， ∴BD＝MN， ∴四边形 MBND 为矩形． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定和矩形的判定，正确掌握相关性质与 判定是解题关键． 22．（10 分）△ABC 中，BC＝8，以 AC 为边向外作等边△ACD． 第 21页（共 28页） （1）如图 ① ，△ABE 是等边三角形，若 AC＝6，∠ACB＝30°，求 CE 的长； （2）如图 ② ，若∠ABC＝60°，AB＝4，求 BD 的长． 【分析】（1）由 SAS 证得△EAC≌△BAD，得出 CE＝BD，由∠ACD＝60°，∠ACB＝30°， 得出∠BCD＝90°，由勾股定理得出 BD＝ ＝10，即可得出结果； （2）取 BC 的中点 E，连接 AE，证明△ABE 是等边三角形，△ACE 是等腰三角形，∠ EAC＝∠ECA＝30°，求出∠BCD＝90°，∠BAC＝90°，由勾股定理得出 AC＝CD＝ 4 ，BD＝ ＝4 ． 【解答】解：（1）∵△ABE 和△ACD 都是等边三角形， ∴AE＝AB，AC＝AD＝CD，∠EAB＝∠DAC＝∠ACD＝60°， ∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD， 在△EAC 和△BAD 中， ， ∴△EAC≌△BAD（SAS）， ∴CE＝BD， ∵∠ACD＝60°，∠ACB＝30°， ∴∠BCD＝90°， 在 Rt△BCD 中，∵CD＝AC＝6，BC＝8， ∴BD＝ ＝ ＝10， ∴CE＝BD＝10； （2）取 BC 的中点 E，连接 AE，如图 ② 所示： ∵BC＝8， ∴BE＝CE＝ BC＝4， ∵AB＝4， ∴AB＝BE， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE 是等边三角形， ∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AE＝BE＝4＝CE， ∴△ACE 是等腰三角形， 第 22页（共 28页） ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∵△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴∠BCD＝∠ECA+∠ACD＝30°+60°＝90°，∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝ 90°， 由勾股定理得：AC＝CD＝ ＝ ＝4 ， ∴BD＝ ＝ ＝4 ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形 的判定与性质、三角形外角的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质、证 明三角形全等是解题的关键． 23．（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝10cm，BC ＝8cm，CD＝16cm．点 P 从点 A 出发，以每秒 3cm 的速度沿折线段 AB﹣BC﹣CD 运动， 点 Q 从点 D 出发，以每秒 2cm 的速度沿线段 DC 方向向点 C 运动．已知动点 P、Q 同时 发，设运动时间为 t 秒（0≤t≤8）． （1）求 AB 的长； （2）当四边形 PBQD 为平行四边形时，求四边形 PBQD 的周长； （3）在点 P 运动过程中，当 t＝ 或 7.8 秒的时候，使得△BPQ 的面积为 20cm2． 第 23页（共 28页） 【分析】（1）如图 1 中，作 AH⊥CD 于 H．则四边形 ABCH 是矩形解直角三角形求出 DH 即可解决问题． （2）当四边形 PBQD 为平行四边形时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 DC 上，根据 PB＝DQ 构建方程解决问题即可． （3）分三种情形： ① 当点 P 在线段 AB 上时． ② 当点 P 在线段 BC 上时． ③ 当点 P 在 线段 CD 上时，分别求解即可． 【解答】解：（1）如图 1 中，作 AH⊥CD 于 H． ∵∠AHC＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形 ABCH 是矩形， ∴AH＝BC＝8cm，AB＝CH， 在 Rt△ADH 中，∵∠AHD＝90°，AD＝10cm，AH＝8cm， ∴DH＝ ＝ ＝6（cm）， ∴AB＝CH＝CD﹣DH＝16﹣6＝10（cm）． （2）当四边形 PBQD 为平行四边形时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 DC 上， 由题知：BP＝10﹣3t，DQ＝2t， ∴10﹣3t＝2t，解得 t＝2，此时，BP＝DQ＝4，CQ＝12 ∴ ， 第 24页（共 28页） ∴四边形 PBQD 的周长＝2（BP+BQ）＝ ． （ 3 ） ① 当 点 P 在 线 段 AB 上 时 ， 即 0 ⩽ t ⩽ 时 ， 如 图 3 ﹣ 1 中 ， ，解得 t＝ ． ② 当点 P 在线段 BC 上时，即 ＜t ⩽ 6 时，如图 3﹣2 中，BP＝3t﹣10，CQ＝16﹣2t， 可得 ＝12（3t﹣10）×（16﹣2t）＝20 化简得：3t2﹣34t+100＝0，△＝﹣44＜0，所以方程无实数解． ③ 当点 P 在线段 CD 上时， 若点 P 在 Q 的右侧，即 6 ⩽ t ⩽ ，则有 PQ＝34﹣5t ＝ （34﹣5t）× 8＝20，解得 t＝ ＜6，舍去， 第 25页（共 28页） 若点 P 在 Q 的左侧，即 ＜t ⩽ 8，则有 PQ＝5t﹣34， ＝（5t﹣34）× 8＝20， 解得 t＝7.8． 综上所述，满足条件的 t 存在，其值分别为 t＝ 或 t═7.8． 故答案为 或 7.8． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，解直角 三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化 为三角形或特殊四边形，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 24．（12 分）平面直角坐标系中有正方形 AOBC，O 为坐标原点，点 A、B 分别在 y 轴、x 轴正半轴上，点 P、E、F 分别为边 BC、AC、OB 上的点，EF⊥OP 于 M． （1）如图 1，若点 E 与点 A 重合，点 A 坐标为（0，8），OF＝3，求 P 点坐标； （2）如图 2，若点 E 与点 A 重合，且 P 为边 BC 的中点，求证：CM＝2CP； （3）如图 3，若点 M 为线段 OP 的中点，连接 AB 交 EF 于点 N，连接 NP，试探究线段 OP 与 NP 的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）证明△OAF≌△BOP（ASA），得出 OF＝PB＝3，则 P 点坐标可求出． （2）取 OA 的中点 N．连接 CN 交 AF 于 H，连接 MN．证明 AC＝CM 即可解决问题． （3）如图 3 中，过 N 点分别作 NH⊥OB 于点 H，NG⊥CB 于点 G，连接 ON，PN，证明 △OPN 是等腰直角三角形即可解决问题． 【解答】解：（1）∵A（0，8）， 第 26页（共 28页） ∴OA＝8， ∵AF⊥OP 于 M， ∴∠OMF＝90°， ∴∠MOF+∠OFM＝90°， ∵∠OFM+∠OAF＝90°， ∴∠MOF＝∠OAF． ∵OA＝OB，∠AOF＝∠OBP， ∴△OAF≌△BOP（ASA）， ∴OF＝PB＝3， ∴P（8，3）． （2）取 OA 的中点 N．连接 CN 交 AF 于 H，连接 MN． ∵PC＝PB，AN＝ON，OA﹣BC， ∴PC＝ON，PC∥ON， ∴四边形 OPCN 是平行四边形， ∴CN∥OP， ∵NA＝NO， 第 27页（共 28页） ∴AH＝MH， ∵AF⊥OP， ∴CN⊥AM， ∴AC＝CM， ∵AC＝2PC， ∴CM＝2PC． （3）结论：OP＝ NP． 理由：如图 3 中，过 N 点分别作 NH⊥OB 于点 H，NG⊥CB 于点 G，连接 ON，PN， ∵∠NGB＝∠NHB＝∠GBH＝90°， ∴四边形 BGNH 是矩形， ∴∠GNH＝90°， ∵N 在正方形 AOBC 的对角线上， ∴∠NBG＝∠NBH， ∵NG⊥BC，NH⊥OB， ∴NH＝NG， ∵EF⊥OP，M 为 OP 的中点， ∴ON＝PN， ∴Rt△ONH≌Rt△PNG（HL）， ∴∠ONH＝∠PNG， ∴∠ONP＝∠HNG＝90°， ∴△ONP 是等腰直角三角形， ∴OP＝ NP． 第 28页（共 28页） 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等 腰直角三角形的和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解 决问题．